高考新风向(1) 立体几何中高考新视角——探索性问题-（配套教参）【精讲精练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学立体几何探索性问题，系统梳理条件追溯型（假设结论逆推所需条件）和存在探索型（假设存在推理验证）解题策略，结合巧设参数（用变量表示点坐标）方法，通过典例解析与进阶训练构建完整学习支架。 该资料以新高考核心素养为导向，通过提取信息、加工转化、深度解析环节，培养直观想象（空间直角坐标系构建）、逻辑推理（线面垂直证明）、数学运算（法向量夹角计算）能力。典例中用参数表示D点坐标，体现数学语言表达，课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固提升。

[对应学生用书P37] 新高考对立体几何着重考查直观想象、逻辑推理及数学运算核心素养，虽是传统类型但形式明显创新．其中探索性问题是新课标的热考方向． 1．解决立体几何中的探索性问题的策略 条件追溯型 解题策略一般是先假设结论成立，然后把该结论作为一个已知条件，再结合题目中的其他已知条件逆推(即从后往前推)，一步一步推出所要求的条件．此时要注意推理的可逆性，不要默认为所有的条件都是充要条件． 存在探索型 解决这类问题的基本策略是：假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论． 2.巧设参数，减少运算量 (1)若点在已知直线上，用一个变量可以表示出所求点的坐标； (2)已知平面内的点，可用两个变量表示出所求点的坐标． [典例]　(2025·山东日照模拟)在直三棱柱ABC ­A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点． (1)证明：DF⊥AE； (2)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值为？若存在，说明点D的位置；若不存在，请说明理由． [提取信息](1)在直三棱柱ABC ­A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，E，F都是中点，AE⊥A1B1，D在棱A1B1上； (2)所探究的点D，使得平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值为. [加工转化](1)由线面垂直证线线垂直，从而建立空间直角坐标系，巧设参数，将线线垂直转化为证·＝0即可； (2)在(1)的基础上，将两平面的夹角问题转化两平面的法向量的夹角(锐角)问题，从而求出D点的位置或说明其不存在． [深度解析] (1)因为AE⊥A1B1，A1B1∥AB，所以AE⊥AB. 在直三棱柱ABC ­A1B1C1中，AA1⊥AB.又AA1∩AE＝A，AA1，AE⊂平面A1ACC1，所以AB⊥平面A1ACC1. 又AC⊂平面A1ACC1，所以AB⊥AC，所以AB，AC，AA1三线两两垂直． 故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题知AA1＝AB＝AC＝2，所以A(0，0，0)，E(0，2，1)，F(1，1，0)，A1(0，0，2)，B1(2，0，2).又D为棱A1B1上的点，设D(a，0，2)，0≤a≤2， 故＝(1－a，1，－2)， 又＝，所以·＝2－2＝0， 所以DF⊥AE. (2)存在满足条件的点D. 由(1)知，平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1). 设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)， ＝(－1，1，1)，＝(1－a，1，－2)， 则即 令x＝3，则y＝1＋a，z＝2－a，所以平面DEF的一个法向量为n＝(3，1＋a，2－a). 因为平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值为， 所以|cos 〈m，n〉|＝＝， 即＝， 解得a＝1或a＝(舍去)，所以当D为A1B1的中点时，符合题意． [进阶训练] (2025·福建厦门模拟)在如图所示的四棱锥P­ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，DC＝2AD＝2AB＝2a，PA＝PD，二面角P­AD­B的大小为135°，点P到底面ABCD的距离为. (1)过点P是否存在直线l，使直线l∥平面ABCD？若存在，作出该直线，并写出作法和理由；若不存在，请说明理由． (2)若＝2，求点M到平面PAD的距离． 解析　(1)过点P存在直线l，满足直线l∥平面ABCD，作法和理由如下． 作法：过点P在平面PAD内作直线l∥直线AD，如图1，满足题意． 理由：因为l∥AD，l⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以l∥平面ABCD. (2)如图2，取线段AD的中点O，线段BC的中点E，连接OE，OP，PE.因为四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，所以OE∥AB.又AD⊥AB，所以AD⊥OE.因为PA＝PD，所以PO⊥AD.又PO∩OE＝O，PO，OE⊂平面POE，所以AD⊥平面POE. 过点O在平面POE内作直线ON⊥OE交PE于点N，则直线OA，OE，ON两两垂直． 以O为原点，OA，OE，ON所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图2所示的空间直角坐标系． 过点P作PF∥NO，交直线OE于点F. 因为ON⊥平面ABCD，故PF⊥平面ABCD. 又点P到底面ABCD的距离为， 所以PF＝. 因为OE⊥AD，OP⊥AD， 所以∠POE为二面角P­AD­B的平面角． 由已知可得∠POE＝135°，所以∠POF＝45°， 所以OF＝， 所以A，D，P，C， 所以＝，＝， ＝. 因为＝2，所以＝＝，所以＝. 设平面PAD的法向量为n＝(x，y，z)， 则所以 令y＝1，则x＝0，z＝1，所以n＝(0，1，1)为平面PAD的一个法向量， 所以点M到平面PAD的距离d＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $