1.3.2 空间向量运算的坐标表示-（配套教参）【精讲精练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦空间向量运算的坐标表示核心知识点，从平面向量坐标运算切入，通过问题引导过渡到空间向量，系统梳理坐标运算公式、平行垂直条件、模与夹角公式及两点间距离公式，构建完整学习支架。 资料通过“判断正误”“母题变式”等设计，结合直三棱柱求线段长等实例，提升学生数学运算素养与逻辑推理能力，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

1．3.2　空间向量运算的坐标表示 学业标准 素养目标 1．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(重点) 2．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些知识解决简单几何体中的问题．(重点、难点) 通过学习空间向量坐标运算的公式及方法，提升学生数学运算素养和数学抽象素养． [对应学生用书P16] 导学　空间向量运算的坐标表示 设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，那么m＋n，m－n，λm，m·n如何运算？ [提示] m＋n＝(x1＋x2，y1＋y2)，m－n＝(x1－x2，y1－y2)，λm＝(λx1，λy1)，m·n＝x1x2＋y1y2. 已知非零向量a，b，c分别平行于x轴、y轴、z轴，它们的坐标各有什么特点？ [提示] 向量a的横坐标不为0，其余均为零；向量b的纵坐标不为0，其余均为0；向量c的竖坐标不为零，其余均为0. ◎结论形成 1．空间向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝__(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)__ 减法 a－b＝__(a1－b1，a2－b2，a3－b3)__ 数乘 λa＝__(λa1，λa2，λa3)，λ∈R__ 数量积 a·b＝__a1b1＋a2b2＋a3b3__ 2．空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行 (a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直 (a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔__a1b1＋a2b2＋a3b3＝0__(a，b均为非零向量) 模 |a|＝＝ 夹角 公式 cos 〈a，b〉＝＝ 3．向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则 (1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)； (2)P1P2＝||＝. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在空间直角坐标系中，向量的坐标与终点B的坐标相同．(　　) (2)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔＝＝.(　　) (3)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则〈a，b〉是钝角⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＜0.(　　) (4)把向量a＝(x，y，z)平移后其坐标不变．(　　) 解析　(1)×.向量的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标． (2)×.当b的三个坐标都不为0时，a∥b⇔＝＝才成立，否则有些分式无意义． (3)×.当a1b1＋a2b2＋a3b3＜0时，〈a，b〉可能等于180°. (4)√.向量平移后，起点和终点坐标会发生变化，但对应坐标的差，即向量的坐标不变． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知a＝(1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，则b＝(　　) A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2) C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3) 解析　b＝a－(－1，2，－1)＝(1，－2，1)－(－1，2，－1)＝(2，－4，2). 答案　A 3．已知空间向量a＝(m＋1，m，－2)，b＝(－2，1，4)，且a⊥b，则m的值为(　　) A．－ B．－10 C．10 D． 解析　∵a⊥b，∴－2(m＋1)＋m－8＝0⇒m＝－10.故选B. 答案　B 4．已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，则a·(－2b)＝________，(a－b)·(2a－3b)＝________． 解析　a·(－2b)＝－2a·b＝－2(0＋1＋0)＝－2，a－b＝(1，0，－1)，2a－3b＝2(1，1，0)－3(0，1，1)＝(2，－1，－3).所以(a－b)·(2a－3b)＝(1，0，－1)·(2，－1，－3)＝2＋3＝5. 答案　－2　5 [对应学生用书P17] 题型一　空间向量的坐标运算 已知O是坐标原点，点A(2，0，－2)，B(3，1，2)，C(2，－1，7). (1)若点P满足＝2－3，则点P的坐标为________； (2)若点P满足＝2－，则点P的坐标为________. [解析]　＝(1，1，4)，＝(0，－1，9). (1)因为＝2－3＝2(1，1，4)－3(0，－1，9)＝(2，5，－19)， 所以点P的坐标为(2，5，－19). (2)设P(x，y，z)，则＝(x－2，y，z＋2). 因为＝2－， 所以(x－2，y，z＋2)＝2(1，1，4)－(0，－1，9) ＝(2，3，－1)， 所以x－2＝2，y＝3，z＋2＝－1， 即x＝4，y＝3，z＝－3， 所以点P的坐标为(4，3，－3). [答案]　(1)(2，5，－19)　(2)(4，3，－3) 空间向量坐标运算的解题方法 (1)直接计算，首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量的坐标运算公式计算． (2)由条件求向量或点的坐标时，首先把向量用坐标的形式设出来，然后建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标． [触类旁通] 1．(1)已知向量a＝(3，5，－1)，b＝(2，2，3)，c＝(1，－1，2)，则向量a－b＋4c的坐标为(　　) A．(5，－1，4)　　　　 B．(5，1，－4) C．(－5，1，4) D．(－5，－1，4) 解析　由题意得a－b＋4c＝(3，5，－1)－(2，2，3)＋4(1，－1，2)＝(5，－1，4).故选A. 答案　A (2)已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝(　　) A．－1 B．1 C．0 D．－2 解析　∵p＝a－b＝(1，0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0，3，1)，∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1，故选A. 答案　A 题型二　空间向量平行、垂直、夹角、模的坐标运算　一题多变 已知点A(2，0，－1)，B(1，1，2)，C(3，－2，－3). (1)向量与夹角的余弦值为________； (2)若向量a∥，且|a|＝，则a＝________． [解析]　由题可知＝(－1，1，3)，＝(1，－2，－2)，＝(2，－3，－5)， (1)cos 〈，〉＝＝＝－. (2)由a∥，＝(2，－3，－5)， 可设a＝(2k，－3k，－5k)， 则由|a|＝可求得k2＝1，即k＝±1， 所以a＝(2，－3，－5)或(－2，3，5). [答案]　(1)－ (2)(2，－3，－5)或(－2，3，5) [母题变式] 1．(变条件、变结论)若例2中点A，B，C坐标不变，向量λ＋与向量互相垂直，则实数λ的值为多少？ 解析　因为λ＋＝(－λ＋1，λ－2，3λ－2)， ＝(2，－3，－5)， 所以2(－λ＋1)－3(λ－2)－5(3λ－2)＝0， 解得λ＝. 2．(变结论)若例2中点A，B，C坐标不变，问是否存在实数λ使向量λ＋与向量互相平行？ 解析　因为λ＋＝(－λ＋1，λ－2，3λ－2)， ＝(2，－3，－5)， 所以(－λ＋1，λ－2，3λ－2)＝k(2，－3，－5)， 所以方程组无解，所以不存在实数λ使向量λ＋与向量互相平行． [素养聚焦]　此类题目通过考查空间向量在平行、垂直、夹角、距离等问题中的运算，提升学生数学运算核心素养． 1．利用向量的模、向量夹角的计算公式来求线段长度及角，牢记运算公式是解题的关键． 2．向量平行与垂直的坐标表示是本节的重要知识点，应熟练掌握．含参数的向量平行问题中，应用比例式求参数值时，要注意其前提． [触类旁通] 2．(1) 已知空间向量a＝，b＝，则下列结论正确的是(　　) A．当实数λ＝4时，＝ B．当实数λ＝时，使得a·b＝10 C．若a与b垂直，则λ＝0 D．若a与b平行，则λ＝－8 解析　由λ＝4，则|a|＝＝，|b|＝＝，A对， 由λ＝，则a·b＝1×2＋2×(－1)＋×4＝10，B对， 若a与b垂直，则a·b＝1×2＋2×(－1)＋4λ＝0，可得λ＝0，C对， 若a与b平行，则＝＝，显然≠，不存在λ使等式成立，D错． 故选ABC. 答案　ABC (2)设x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－2，2)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝________． 解析　因为a⊥c，所以a·c＝2x－2＋2＝0， 解得x＝0. 又b∥c，则＝＝，得y＝－1. 所以a＝(0，1，1)，b＝(1，－1，1). 所以a＋b＝(0，1，1)＋(1，－1，1)＝(1，0，2)， 所以|a＋b|＝＝. 答案　 题型三　空间向量的坐标运算的应用 (教材例3·提升)如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点． (1)求BN的长； (2)求A1B与B1C所成角的余弦值． [解析]　如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz. (1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)， ∴＝(1，－1，1)， ∴||＝＝， ∴线段BN的长为. (2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)， ∴＝(－1，1，－2)，＝(0，－1，－2)， ∴·＝(－1)×0＋1×(－1)＋(－2)×(－2)＝3. 又||＝，||＝， ∴cos 〈，〉＝＝. 又异面直线所成角为锐角或直角， 故A1B与B1C所成角的余弦值为. 运用向量坐标运算解决几何问题的方法 [触类旁通] 3. 如图，BC＝2，坐标原点O是BC的中点，点A的坐标为，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°. (1)求向量的坐标； (2)求与的夹角的余弦值． 解析　(1)过点D作DE⊥BC于点E，由题意，CD＝，BD＝1， 则DE＝CD·sin 30°＝， OE＝OB－BD cos 60°＝1－＝， 所以D， 因为BC＝2，O是BC的中点，所以C(0，1，0)， 所以＝. (2)A，所以＝， BC＝2，所以B(0，－1，0)，C(0，1，0)， 所以＝(0，2，0)， 则与的夹角的余弦值为cos 〈，〉＝＝＝－. 知识落实 技法强化 空间向量运算的坐标表示、空间向量的坐标表示的应用． (1)空间向量的坐标运算实际上是平面向量坐标运算的推广(在平面向量坐标的基础上增加了一个竖坐标)，与平面向量的坐标运算相比，空间向量坐标运算的适用范围更广，它可以解决立体几何中的相关问题． (2)两向量对应坐标的比相等是a∥b的充分不必要条件，而非充要条件． 学科网（北京）股份有限公司 $