2.3.2 两点间的距离公式-（配套课件）【精讲精练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦“两点间的距离公式”，通过特殊情况（平行x轴、y轴的两点距离）导入，再构造直角三角形用勾股定理推导一般公式，形成从具体到抽象的学习支架，衔接直线方程相关知识。 其亮点是采用一题多变和坐标法应用，如母题变式判断三角形形状、坐标法证明AE=CD，培养数学思维与数学语言表达。基础自测和触类旁通题强化数学运算，助力学生提升逻辑推理能力，为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

第二章　直线和圆的方程 2.3　直线的交点坐标与距离公式 2.3.2　两点间的距离公式 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案 ·学业评价 03 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 |x2－x1| |y2－y1| 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 课后案·学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 谢谢观看 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 学业标准 素养目标 1．探索并掌握平面上两点间的距离公式．(重点) 2．会用坐标法证明简单的平面几何问题．(难点) 通过求两点间的距离，提升数学运算、数学抽象及逻辑推理素养． 导学　两点间的距离公式 已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2). 当x1≠x2，y1＝y2时，|P1P2|是多少？ [提示] |P1P2|＝|x2－x1|. [提示] |P1P2|＝|y2－y1|. [提示] 因为|P1Q|＝|M1M2|，|QP2|＝|N1N2|， 所以|P1Q|＝|x2－x1|，|QP2|＝|y2－y1|. [提示] 在Rt△P1QP2中，利用勾股定理，得到|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，由此得到|P1P2|＝ eq \r((x2－x1)2＋(y2－y1)2). eq \o(P1P2,\s\up14(→)) INCLUDEPICTURE "问题5.tif" 的模的几何意义是什么？ [提示] 表示P1，P2的距离． ◎结论形成 两点间的距离公式 (1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝________________________. (2)两点间距离的特殊情况： ①原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2). ②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝__________. ③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝__________. eq \r(x2－x12＋y2－y12) 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点P1(0，a)，点P2(b，0)之间的距离为a－b.(　　) (2)点P1(a，0)，点P2(b，0)之间的距离为a－b.(　　) (3)已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当x1＝x2，y1≠y2时，|P1P2|＝|y2－y1|.(　　) (4)当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|等于(　　) A．5 B． eq \r(37) C． eq \r(13) D．4 解析　|MN|＝ eq \r((2＋1)2＋(1－5)2)＝5. 答案　A 3．(多选)已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为(　　) A．1 B．－1 C．5 D．－5 解析　由两点间距离公式得(－2－a)2＋(－1－3)2＝52，所以(a＋2)2＝32，所以a＋2＝±3，即a＝1，或a＝－5. 答案　AD 4．点A(6，0)，P在直线y＝－x上，|AP|＝3 eq \r(2)，则P点的个数是________． 答案　1 题型一　两点间的距离公式及应用　一题多变 (1)求AB边上的高CE所在直线的方程； (2)求△ABC的面积． [解析]　(1)由题意可知，E为AB的中点，kAB＝ eq \f(1－3,4－2)＝－1， 所以E(3，2)，且kCE＝－ eq \f(1,kAB)＝1， 所以CE所在直线方程为y－2＝x－3， 即x－y－1＝0. (2)由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－2y＋2＝0，,x－y－1＝0))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝3，)) 所以C的坐标(4，3)， 又A(2，3)，B(4，1)， 所以|EC|＝ eq \r((4－3)2＋(3－2)2)＝ eq \r(2)， |AB|＝ eq \r((4－2)2＋(1－3)2)＝2 eq \r(2)， 所以S△ABC＝ eq \f(1,2)|AB|·|EC|＝2. [母题变式] 1．(变条件、变结论)把本例三角形所满足的条件改为“A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)”，试判断此三角形的形状，并求其面积． 解析　解法一　因为|AB|＝ eq \r((3＋3)2＋(－3－1)2)＝2 eq \r(13)， |AC|＝ eq \r((1＋3)2＋(7－1)2)＝2 eq \r(13)， 又|BC|＝ eq \r((1－3)2＋(7＋3)2)＝2 eq \r(26)， 所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， 所以△ABC是等腰直角三角形， S△ABC＝ eq \f(1,2)|AC|·|AB|＝ eq \f(1,2)×2 eq \r(13)×2 eq \r(13)＝26. 解法二　因为kAC＝ eq \f(7－1,1－(－3))＝ eq \f(3,2)，kAB＝ eq \f(－3－1,3－(－3))＝－ eq \f(2,3)， 则kAC·kAB＝－1，所以AC⊥AB. 又|AC|＝ eq \r((1＋3)2＋(7－1)2)＝2 eq \r(13)， |AB|＝ eq \r((3＋3)2＋(－3－1)2)＝2 eq \r(13)， 所以|AC|＝|AB|， 所以△ABC是等腰直角三角形， S△ABC＝ eq \f(1,2)|AC|·|AB|＝ eq \f(1,2)×2 eq \r(13)×2 eq \r(13)＝26. 2．(变条件、变结论)把本例条件变为：已知点A(－1，2)，B(2， eq \r(7))，在x轴上求一点P，使得|PA|＝|PB|，并求|PA|的值． 解析　设所求点为P(x，0)，于是有 |PA|＝ eq \r([x－(－1)]2＋(0－2)2)＝ eq \r(x2＋2x＋5)， |PB|＝ eq \r((x－2)2＋(0－\r(7))2)＝ eq \r(x2－4x＋11)， 由|PA|＝|PB|，得 eq \r(x2＋2x＋5)＝ eq \r(x2－4x＋11)， 解得x＝1，所以P点坐标为(1，0)， 所以|PA|＝ eq \r(12＋2×1＋5)＝2 eq \r(2). [素养聚焦]　本题主要考查平面内两点间距离公式的应用，着重培养直观想象和数学运算核心素养． 利用两点间的距离公式求参数值的方法及技巧 (1)方法：常用方法是待定系数法，即先设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立方程，然后利用方程的思想求解参数． (2)技巧：解决此类问题时，常常需要结合图形，来直观地找出点与点、点与线、线与线的位置关系，然后利用相关性质转化成我们熟悉的问题． [触类旁通] 1．(1)已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是(　　) A．2 eq \r(3) B．3＋2 eq \r(3) C．6＋3 eq \r(2) D．6＋ eq \r(10) 解析　由两点间距离公式得 |AB|＝ eq \r((2＋1)2＋(3－0)2)＝3 eq \r(2)， |BC|＝ eq \r((－1－2)2＋(0－0)2)＝3， |CA|＝ eq \r((2－2)2＋(3－0)2)＝3. 故△ABC的周长为6＋3 eq \r(2). 答案　C (2)已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是(　　) A．－ eq \f(7,2) B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(1,2) D． eq \f(7,2) 解析　因为A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)， 所以|AB|＝ eq \r([(a＋1)－5]2＋[(a－4)－(2a－1)]2) ＝ eq \r((a－4)2＋(a＋3)2)＝ eq \r(2a2－2a＋25) ＝ eq \r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(49,2))， 所以当a＝ eq \f(1,2)时，|AB|取得最小值． 答案　C 题型二　坐标法的应用 [证明]　如图所示，以B为原点，取AC所在的直线为x轴，以垂直于AC且经过B点的直线为y轴，建立平面直角坐标系． 设△ABD和△BCE的边长分别为a和c， 则A(－a，0)，E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(\r(3)c,2)))，C(c，0)，D eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(\r(3)a,2)))， 则|AE|＝ eq \r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(c,2)－(－a)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)c,2)－0))\s\up12(2)) ＝ eq \r(a2＋ac＋\f(c2,4)＋\f(3c2,4))＝ eq \r(a2＋ac＋c2)， |CD|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)－c))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,2)－0))\s\up12(2))＝ eq \r(\f(a2,4)＋ac＋c2＋\f(3a2,4))＝ eq \r(a2＋ac＋c2)， 所以|AE|＝|CD|. 用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤 [触类旁通] 2．已知正三角形ABC的边长为a，在平面上求点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求出最小值． 解析　以正三角形的一边所在直线为x轴，此边中线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0))，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0))，C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3)a,2))). 设P(x，y)，则有|PA|2＋|PB|2＋|PC|2 ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2))) eq \s\up12(2)＋y2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2))) eq \s\up12(2)＋y2＋x2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)a)) eq \s\up12(2) ＝3x2＋3y2－ eq \r(3)ay＋ eq \f(5,4)a2＝3x2＋3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),6)a)) eq \s\up12(2)＋a2. ∴当P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),6)a))时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2有最小值a2. 知识落实 技法强化 两点间的距离公式及应用、坐标法的应用． (1)解决平面几何问题可利用坐标法． (2)已知距离求参数问题易漏解． $