2.3.1 两条直线的交点坐标-（配套课件）【精讲精练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦两条直线的交点坐标，通过课前问题导学（如直线上点与方程解的关系）引导自主学习，课堂互动探究（求交点、判定位置关系）深化理解，构建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动数学抽象，通过一题多解（如直线系法）培养逻辑推理，结合基础自测强化数学运算。课堂小结系统梳理知识与技法，助力学生提升核心素养，也为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

第二章　直线和圆的方程 2.3　直线的交点坐标与距离公式 2.3.1　两条直线的交点坐标 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案 ·学业评价 03 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 无解 相交 重合 平行 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 课后案·学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 谢谢观看 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 学业标准 素养目标 1．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标． 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(重点) 通过求解两直线的交点坐标，提升数学运算、数学抽象的核心素养． 导学　两条直线的交点坐标 直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么关系？ [提示] 直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上点的坐标是其方程的解．反之，直线方程的每一个解都表示直线上点的坐标. [提示] A1B2－A2B1≠0. [提示] 只需写出这两条直线方程，然后联立求解即可． ◎结论形成 两条直线的交点问题 已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则： 方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解 一组 无数组 ______ 两条直线l1，l2的公共点 一个 无数个 零个 直线l1，l2的位置关系 ______ ______ ______ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若点A(1，－1)在直线Ax＋By＝0上，则A＝B.(　　) (2)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．(　　) (3)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．(　　) (4)若直线2x＋y＋1＝0与直线x－y－4＝0的交点为(a，b)，则a－b＝4.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　) A．(3，2) B．(2，3) C．(－2，－3) D．(－3，－2) 解析　解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－y－1＝0，,x＋3y－11＝0))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3.))所以两条直线交点坐标为(2，3). 答案　B 3．方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋y＋1＝0，,6x＋2y－5＝0))解的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．无数个 解析　因为方程表示的两条直线平行，则方程组无解． 答案　A 4．直线ax＋y＋1－a＝0(a∈R)经过的定点是________． 答案　(1，－1) 题型一　求两条直线的交点坐标 (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. [解析]　(1)方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－y－7＝0，,3x＋2y－7＝0))的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1.)) 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1). (2)方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－6y＋4＝0，,4x－12y＋8＝0))有无数个解，这表明直线l1和l2重合． (3)方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x＋2y＋4＝0，,2x＋y－3＝0))无解，这表明直线l1和l2没有公共点， 故l1∥l2. 求两直线的交点坐标的方法及注意事项 (1)方法：联立这两条直线的方程组成方程组，这个方程组的解对应的实数对即为两条直线的交点坐标． (2)注意事项：解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． 题型二　过定点的直线问题　一题多解 (1)与直线2x＋y＋5＝0平行； (2)与直线2x＋y＋5＝0垂直． [解析]　解法一　由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋4y－5＝0，,2x－3y＋8＝0))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2，)) 所以交点M的坐标为(－1，2). (1)斜率k＝－2，由点斜式得所求直线方程为y－2＝－2(x＋1)， 即2x＋y＝0. (2)斜率k＝ eq \f(1,2)，由点斜式得所求直线方程为y－2＝ eq \f(1,2)(x＋1)， 即x－2y＋5＝0. 解法二　设直线方程为(3x＋4y－5)＋λ(2x－3y＋8)＝0， 即(3＋2λ)x＋(4－3λ)y＋(－5＋8λ)＝0.(*) (1)因为与直线2x＋y＋5＝0平行， 所以(3＋2λ)×1－(4－3λ)×2＝0，解得λ＝ eq \f(5,8). 经检验λ＝ eq \f(5,8)符合题意． 代入(*)式化简得2x＋y＝0. (2)因为与直线2x＋y＋5＝0垂直，所以2×(3＋2λ)＋1×(4－3λ)＝0，解得λ＝－10. 代入(*)式化简得x－2y＋5＝0. [素养聚焦]　通过对过定点的直线问题的研究，主要提升直观想象、逻辑推理等核心素养． (1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)特殊解法(直线系法) ①先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数．最后确定直线方程； ②过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). [触类旁通] 2．(1)直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为(　　) A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0 C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0 解析　设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，因为l过原点，所以λ＝8，则所求直线l的方程为2x－y＝0. 答案　B (2)无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0，恒过一定点P，求点P的坐标． 解析　∵(m＋1)x－y－7m－4＝0， ∴m(x－7)＋(x－y－4)＝0， ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－7＝0，,x－y－4＝0，))∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝3.)) ∴点P的坐标为(7，3). 知识落实 技法强化 两条直线的交点问题、直线系过定点问题． (1)方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0. (2)利用A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)求过两直线交点的直线方程． $