2.2.2 直线的两点式方程-（配套课件）【精讲精练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦直线的两点式与截距式方程，通过问题链引导学生从点斜式方程过渡，探究两点式方程的推导、适用范围及截距式方程的形成，构建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以问题驱动自主学习，结合分层题型设计与一题多变，突出数学抽象和逻辑推理素养。例如课前通过具体问题推导方程形式，课堂案变式训练强化运算能力，帮助学生深化理解，教师可借助结构化资源提升教学效率。

第二章　直线和圆的方程 2.2　直线的方程 2.2.2　直线的两点式方程 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案 ·学业评价 03 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 课后案·学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 谢谢观看 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 学业标准 素养目标 1．掌握直线方程两点式和截距式的形式、特点及适用范围．(重点) 2．能选择适当的形式求直线方程． (难点、易错点) 通过学习直线的两点式及截距式方程，提升数学抽象及逻辑推理素养． 导学1　直线的两点式方程 观察如图所示的直线l，思考下列问题： [提示] 由x1≠x2，所求直线的斜率为k＝ eq \f(y2－y1,x2－x1)，则直线的点斜式方程为y－y1＝ eq \f(y2－y1,x2－x1)(x－x1). eq \f(y2－y1,x2－x1) INCLUDEPICTURE "问题2.tif" 方程y－y1＝(x－x1)(x1≠x2)能否写成 eq \f(x－x1,x2－x1)＝ eq \f(y－y1,y2－y1)？ [提示] 当y1≠y2时，可以写成上式；当y1＝y2时，不能写成该形式． [提示] 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母，过点(2，3)，(5，3)的直线也不能用两点式表示． ◎结论形成 直线的两点式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 两点式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 _______________ 斜率存在且不为0 eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1) 导学2　直线的截距式方程 若直线l经过点A(a,0)与点B(0，b)，a≠0且b≠0，则直线l的两点式方程是什么？ [提示] 直线l的两点式方程为eq \f(y－0,b－0)＝eq \f(x－a,0－a)，即eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1. 过点(5,0)和(0,7)的直线能用eq \f(x,5)＋eq \f(y,7)＝1表示吗？ [提示] 能． ◎结论形成 直线的截距式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 截 距 式 在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0 ____________ 斜率存在且不为0，直线不过原点 eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)过点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的直线都可以用方程 eq \f(y－y1,y2－y1)＝ eq \f(x－x1,x2－x1)表示．(　　) (2)在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,b)＝1.(　　) (3)能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示.(　　) (4)直线y＝x在x轴和y轴上的截距均为0.(　　) 解析　(1)×.当x1＝x2或y1＝y2时，直线不能用方程 eq \f(y－y1,y2－y1)＝ eq \f(x－x1,x2－x1)表示． (2)×.当a＝0或b＝0时，在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线不能用方程 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,b)＝1表示． (3)√.直线的截距式就是直线过(a，0)，(0，b)两点的直线的两点式方程的简化形式． (4)√.直线y＝x与坐标轴的交点为(0，0)，故在x轴和y轴上的截距均为0. 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．经过点A(－3，2)，B(4，4)的直线的两点式方程为(　　) A． eq \f(y－2,2)＝ eq \f(x＋3,7)　　　　　 B． eq \f(y－2,－2)＝ eq \f(x－3,7) C． eq \f(y＋2,2)＝ eq \f(x－3,7) D． eq \f(y－2,x＋3)＝ eq \f(2,7) 解析　由方程的两点式可得直线方程为 eq \f(y－2,4－2)＝ eq \f(x－(－3),4－(－3))，即 eq \f(y－2,2)＝ eq \f(x＋3,7). 答案　A 3．经过P(4，0)，Q(0，－3)两点的直线方程是(　　) A． eq \f(x,4)＋ eq \f(y,3)＝1 B． eq \f(x,3)＋ eq \f(y,4)＝1 C． eq \f(x,4)－ eq \f(y,3)＝1 D． eq \f(x,3)－ eq \f(y,4)＝1 解析　因为由点坐标知直线在x轴、y轴上截距分别为4，－3，所以直线方程为 eq \f(x,4)＋ eq \f(y,－3)＝1. 答案　C 4．直线 eq \f(x,5)－ eq \f(y,3)＝1在y轴上的截距为________． 解析　 eq \f(x,5)－ eq \f(y,3)＝1可化为 eq \f(x,5)＋ eq \f(y,－3)＝1，所以此直线在y轴上的截距为－3. 答案　－3 题型一　直线的两点式方程 (2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝________． [解析]　(1)由于点A与点B的横坐标相等， 所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2. (2)由直线方程的两点式得 eq \f(y－(－1),4－(－1))＝ eq \f(x－2,－3－2)，即 eq \f(y＋1,5)＝ eq \f(x－2,－5). ∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2， ∵点P(3，m)在直线AB上， 则m＋1＝－3＋2，得m＝－2. [答案]　(1)x＝2　(2)－2 利用两点式求直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式． (2)若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． [触类旁通] 1．(1)经过M(3，2)与N(6，2)两点的直线的方程为(　　) A．x＝2 B．y＝2 C．x＝3 D．x＝6 解析　由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线MN的方程为y＝2，故选B. 答案　B (2)过点(1，3)且在x轴上的截距为2的直线方程是________． 解析　由题意知直线过点(2，0)，又直线过点(1，3)， 由两点式可得 eq \f(y－0,3－0)＝ eq \f(x－2,1－2)，整理得3x＋y－6＝0. 答案　3x＋y－6＝0 题型二　直线的截距式方程 [解析]　①当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝ eq \f(2,5)x，即2x－5y＝0. ②当直线l在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,－a)＝1，即x－y＝a，又l过点A(5，2)， 所以5－2＝a，a＝3，所以直线l的方程为x－y－3＝0， 综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0. 截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用． [触类旁通] 2．(多选)过点(2，3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为(　　) A．y＝ eq \f(3,2)x B．x＋y＝5 C．y＝－ eq \f(3,2)x D．x＋y＋5＝0 解析　设直线在两坐标轴上的截距分别为a，b. 当a＝b≠0时，直线方程为 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,a)＝1， ∴ eq \f(2,a)＋ eq \f(3,a)＝1，∴a＝5，∴x＋y＝5； 当a＝b＝0时，k＝ eq \f(3,2)，∴y＝ eq \f(3,2)x， 综上所述，所求直线方程为y＝ eq \f(3,2)x或x＋y＝5. 答案　AB 题型三　直线方程形式的灵活应用　一题多变 (1)求BC边的方程； (2)求BC边中线所在直线的方程． [解析]　(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， 由两点式，得 eq \f(y－(－4),－2－(－4))＝ eq \f(x－5,0－5)， 即2x＋5y＋10＝0， 故BC边的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5). (2)设BC的中点M(a，b)， 则a＝ eq \f(5＋0,2)＝ eq \f(5,2)，b＝ eq \f(－4＋(－2),2)＝－3， 所以M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－3))， 又BC边的中线过点A(－3，2)， 所以 eq \f(y－2,－3－2)＝ eq \f(x－(－3),\f(5,2)－(－3))，即10x＋11y＋8＝0， 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. [母题变式] 1．(变结论)本例3中条件不变，试求AB边上的高线所在直线方程． 解析　设AB边上的高线所在直线的斜率为k. ∵kAB＝ eq \f(2－(－4),－3－5)＝－ eq \f(3,4)，∴k＝ eq \f(4,3)， 又高线过点C(0，－2)， ∴由点斜式方程得高线所在直线方程为y＋2＝ eq \f(4,3)(x－0)， 即4x－3y－6＝0. 2．(变结论)本例3中条件不变，试求与AB平行的中位线所在直线方程． 解析　由变式1知kAB＝－ eq \f(3,4)，即中位线所在直线斜率为－ eq \f(3,4)， 由例题知BC的中点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－3))， 所以由点斜式方程可得，与AB平行的中位线所在直线方程为 y＋3＝－ eq \f(3,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))，即6x＋8y＋9＝0. [素养聚焦]　本题主要考查直线方程形式的灵活应用，突出培养直观想象和数学运算核心素养． (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程． (4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决． [触类旁通] 3．(多选)经过点(2，1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是(　　) A．x＋y－3＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0 解析　由题意设直线方程为 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,a)＝1或 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,－a)＝1，把点(2，1)代入直线方程得 eq \f(2,a)＋ eq \f(1,a)＝1或 eq \f(2,a)＋ eq \f(1,－a)＝1，解得a＝3或a＝1，所以所求直线的方程为 eq \f(x,3)＋ eq \f(y,3)＝1或 eq \f(x,1)＋ eq \f(y,－1)＝1，即x＋y－3＝0或x－y－1＝0. 答案　AC 知识落实 技法强化 直线的两点式方程及截距式方程． (1)当已知两点坐标，应考虑用两点式求直线方程． (2)利用截距式求直线方程时易忽略过原点的情况导致漏解． $