1.3.2 空间向量运算的坐标表示-（配套课件）【精讲精练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量运算的坐标表示，涵盖加减、数乘、数量积运算及平行垂直判定、模与夹角公式等核心内容。通过平面向量运算回顾与空间向量坐标特点问题导入，衔接平面到空间知识脉络，搭建递进式学习支架。 其亮点在于以数学运算和抽象素养为导向，设计基础自测辨析易错点，课堂互动探究含一题多变、母题变式，如直三棱柱中向量求长及夹角问题，将几何问题代数化。课堂小结强化知识落实与技法，助力学生提升运算能力，教师可依托分层资源高效教学。

第一章　空间向量与立体几何 1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案 ·学业评价 03 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1，λa2，λa3)，λ∈R a1b1＋a2b2＋a3b3 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 a1＝λb1 a2＝λb2 a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 课后案·学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 谢谢观看 栏目导航 第一章　空间向量与立体几何 1 学业标准 素养目标 1．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(重点) 2．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些知识解决简单几何体中的问题．(重点、难点) 通过学习空间向量坐标运算的公式及方法，提升学生数学运算素养和数学抽象素养． 导学　空间向量运算的坐标表示 设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，那么m＋n，m－n，λm，m·n如何运算？ [提示] m＋n＝(x1＋x2，y1＋y2)，m－n＝(x1－x2，y1－y2)，λm＝(λx1，λy1)，m·n＝x1x2＋y1y2. [提示] 向量a的横坐标不为0，其余均为零；向量b的纵坐标不为0，其余均为0；向量c的竖坐标不为零，其余均为0. ◎结论形成 1．空间向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝____________________________ 减法 a－b＝____________________________ 数乘 λa＝_________________________ 数量积 a·b＝_____________________ 2．空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则： 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(_________，, _________，λ∈R, _________，)) 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔_________________________(a，b均为非零向量) 模 |a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3)) 夹角公式 cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))) 3．向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则： (1)eq \o(P1P2,\s\up14(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)； (2)P1P2＝|eq \o(P1P2,\s\up14(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12). 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在空间直角坐标系中，向量 eq \o(AB,\s\up14(→))的坐标与终点B的坐标相同．(　　) (2)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔ eq \f(a1,b1)＝ eq \f(a2,b2)＝ eq \f(a3,b3).(　　) (3)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则〈a，b〉是钝角⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＜0.(　　) (4)把向量a＝(x，y，z)平移后其坐标不变．(　　) 解析　(1)×.向量 eq \o(AB,\s\up14(→))的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标． (2)×.当b的三个坐标都不为0时，a∥b⇔ eq \f(a1,b1)＝ eq \f(a2,b2)＝ eq \f(a3,b3)才成立，否则有些分式无意义． (3)×.当a1b1＋a2b2＋a3b3＜0时，〈a，b〉可能等于180°. (4)√.向量平移后，起点和终点坐标会发生变化，但对应坐标的差，即向量的坐标不变． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知a＝(1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，则b＝(　　) A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2) C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3) 解析　 b＝a－(－1，2，－1)＝(1，－2，1)－(－1，2，－1)＝(2，－4，2). 答案　A 3．已知空间向量a＝(m＋1，m，－2)，b＝(－2，1，4)，且a⊥b，则m的值为(　　) A．－ eq \f(10,3) B．－10 C．10 D． eq \f(10,3) 解析　∵a⊥b，∴－2(m＋1)＋m－8＝0⇒m＝－10.故选B. 答案　B 4．已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，则a·(－2b)＝________，(a－b)·(2a－3b)＝________． 解析　a·(－2b)＝－2a·b＝－2(0＋1＋0)＝－2，a－b＝(1，0，－1)，2a－3b＝2(1，1，0)－3(0，1，1)＝(2，－1，－3).所以(a－b)·(2a－3b)＝(1，0，－1)·(2，－1，－3)＝2＋3＝5. 答案　－2　5 题型一　空间向量的坐标运算 (1)若点P满足 eq \o(OP,\s\up14(→))＝2 eq \o(AB,\s\up14(→))－3 eq \o(AC,\s\up14(→))，则点P的坐标为________； (2)若点P满足 eq \o(AP,\s\up14(→))＝2 eq \o(AB,\s\up14(→))－ eq \o(AC,\s\up14(→))，则点P的坐标为________. [解析]　 eq \o(AB,\s\up14(→))＝(1，1，4)， eq \o(AC,\s\up14(→))＝(0，－1，9). (1)因为 eq \o(OP,\s\up14(→))＝2 eq \o(AB,\s\up14(→))－3 eq \o(AC,\s\up14(→))＝2(1，1，4)－3(0，－1，9)＝(2，5，－19)， 所以点P的坐标为(2，5，－19). (2)设P(x，y，z)，则 eq \o(AP,\s\up14(→))＝(x－2，y，z＋2). 因为 eq \o(AP,\s\up14(→))＝2 eq \o(AB,\s\up14(→))－ eq \o(AC,\s\up14(→))， 所以(x－2，y，z＋2)＝2(1，1，4)－(0，－1，9)＝(2，3，－1)， 所以x－2＝2，y＝3，z＋2＝－1， 即x＝4，y＝3，z＝－3， 所以点P的坐标为(4，3，－3). [答案]　(1)(2，5，－19)　(2)(4，3，－3) 空间向量坐标运算的解题方法 (1)直接计算，首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量的坐标运算公式计算． (2)由条件求向量或点的坐标时，首先把向量用坐标的形式设出来，然后建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标． [触类旁通] 1．(1)已知向量a＝(3，5，－1)，b＝(2，2，3)，c＝(1，－1，2)，则向量a－b＋4c的坐标为(　　) A．(5，－1，4)　　　　 B．(5，1，－4) C．(－5，1，4) D．(－5，－1，4) 解析　由题意得a－b＋4c＝(3，5，－1)－(2，2，3)＋4(1，－1，2)＝(5，－1，4).故选A. 答案　A (2)已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝(　　) A．－1 B．1 C．0 D．－2 解析　∵p＝a－b＝(1，0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0，3，1)，∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1，故选A. 答案　A 题型二　空间向量平行、垂直、夹角、模的坐标运算　一题多变 (1)向量 eq \o(AB,\s\up14(→))与 eq \o(AC,\s\up14(→))夹角的余弦值为________； (2)若向量a∥ eq \o(BC,\s\up14(→))，且|a|＝ eq \r(38)，则a＝________． [解析]　由题可知 eq \o(AB,\s\up14(→))＝(－1，1，3)， eq \o(AC,\s\up14(→))＝(1，－2，－2)， eq \o(BC,\s\up14(→))＝(2，－3，－5)， (1)cos 〈 eq \o(AB,\s\up14(→))， eq \o(AC,\s\up14(→))〉＝ eq \f(\o(AB,\s\up14(→))·\o(AC,\s\up14(→)),|\o(AB,\s\up14(→))||\o(AC,\s\up14(→))|)＝ eq \f(－1－2－6,\r(11)×3)＝－ eq \f(3\r(11),11). (2)由a∥ eq \o(BC,\s\up14(→))， eq \o(BC,\s\up14(→))＝(2，－3，－5)， 可设a＝(2k，－3k，－5k)， 则由|a|＝ eq \r(38)可求得k2＝1，即k＝±1， 所以a＝(2，－3，－5)或(－2，3，5). [答案]　(1)－ eq \f(3\r(11),11) (2)(2，－3，－5)或(－2，3，5) [母题变式] 1．(变条件、变结论)若例2中点A，B，C坐标不变，向量λ eq \o(AB,\s\up14(→))＋ eq \o(AC,\s\up14(→))与向量 eq \o(BC,\s\up14(→))互相垂直，则实数λ的值为多少？ 解析　因为λ eq \o(AB,\s\up14(→))＋ eq \o(AC,\s\up14(→))＝(－λ＋1，λ－2，3λ－2)， eq \o(BC,\s\up14(→))＝(2，－3，－5)， 所以2(－λ＋1)－3(λ－2)－5(3λ－2)＝0， 解得λ＝ eq \f(9,10). 2．(变结论)若例2中点A，B，C坐标不变，问是否存在实数λ使向量λ eq \o(AB,\s\up14(→))＋ eq \o(AC,\s\up14(→))与向量 eq \o(BC,\s\up14(→))互相平行？ 解析　因为λ eq \o(AB,\s\up14(→))＋ eq \o(AC,\s\up14(→))＝(－λ＋1，λ－2，3λ－2)， eq \o(BC,\s\up14(→))＝(2，－3，－5)， 所以(－λ＋1，λ－2，3λ－2)＝k(2，－3，－5)， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－λ＋1＝2k，,λ－2＝－3k，,3λ－2＝－5k，))方程组无解，所以不存在实数λ使向量λ eq \o(AB,\s\up14(→))＋ eq \o(AC,\s\up14(→))与向量 eq \o(BC,\s\up14(→))互相平行． [素养聚焦]　此类题目通过考查空间向量在平行、垂直、夹角、距离等问题中的运算，提升学生数学运算核心素养． 1．利用向量的模、向量夹角的计算公式来求线段长度及角，牢记运算公式是解题的关键． 2．向量平行与垂直的坐标表示是本节的重要知识点，应熟练掌握．含参数的向量平行问题中，应用比例式求参数值时，要注意其前提． (2)设x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－2，2)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝________． 解析　因为a⊥c，所以a·c＝2x－2＋2＝0，解得x＝0. 又b∥c，则 eq \f(1,2)＝ eq \f(y,－2)＝ eq \f(1,2)，得y＝－1. 所以a＝(0，1，1)，b＝(1，－1，1). 所以a＋b＝(0，1，1)＋(1，－1，1)＝(1，0，2)， 所以|a＋b|＝ eq \r(1＋4)＝ eq \r(5). 答案　 eq \r(5) 题型三　空间向量的坐标运算的应用 (1)求BN的长； (2)求A1B与B1C所成角的余弦值． [解析]　如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz. (1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)， ∴ eq \o(BN,\s\up14(→))＝(1，－1，1)， ∴| eq \o(BN,\s\up14(→))|＝ eq \r(12＋(－1)2＋12)＝ eq \r(3)， ∴线段BN的长为 eq \r(3). (2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)， ∴ eq \o(A1B,\s\up14(→))＝(－1，1，－2)， eq \o(B1C,\s\up14(→))＝(0，－1，－2)， ∴ eq \o(A1B,\s\up14(→))· eq \o(B1C,\s\up14(→))＝(－1)×0＋1×(－1)＋(－2)×(－2)＝3. 又| eq \o(A1B,\s\up14(→))|＝ eq \r(6)，| eq \o(B1C,\s\up14(→))|＝ eq \r(5)， ∴cos 〈 eq \o(A1B,\s\up14(→))， eq \o(B1C,\s\up14(→))〉＝ eq \f(\o(A1B,\s\up14(→))·\o(B1C,\s\up14(→)),|\o(A1B,\s\up14(→))||\o(B1C,\s\up14(→))|)＝ eq \f(\r(30),10). 又异面直线所成角为锐角或直角，故A1B与B1C所成角的余弦值为 eq \f(\r(30),10). 知识落实 技法强化 空间向量运算的坐标表示、空间向量的坐标表示的应用． (1)空间向量的坐标运算实际上是平面向量坐标运算的推广(在平面向量坐标的基础上增加了一个竖坐标)，与平面向量的坐标运算相比，空间向量坐标运算的适用范围更广，它可以解决立体几何中的相关问题． (2)两向量对应坐标的比相等是a∥b的充分不必要条件，而非充要条件． $