专题1.4 两条直线的交点（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“两条直线的交点”核心知识点，系统梳理通过解方程组求交点坐标的方法，结合解的个数判断直线位置关系，前承直线方程形式及平行垂直判定，后接参数范围、三角形构成等应用，搭建代数运算到几何应用的学习支架。 资料亮点在于题型分层设计，含典例及多地期中期末变式题，通过交点象限分析培养运算能力与推理意识，直线系方程应用体现模型观念。课中辅助教师分层教学，课后助力学生针对性练习，有效巩固知识盲点。

专题1.4 两条直线的交点 教学目标 1.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式。 2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直。 3.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。 教学重难点 1.重点 （1）掌握直线方程的五种形式； （2）求两条直线的交点坐标； 2.难点 （1）求两条直线的交点坐标 ； （2）直线的交点系方程。 知识点一 直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 知识点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 【即学即练】已知直线和的交点在第四象限，则的取值范围为____. 知识点二 过两点直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 【即学即练】．平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为_______________．（写成一般式） 题型01 求直线的交点 【典例1】．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】．直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·青海·阶段检测）直线和直线的交点的坐标为__________． 【变式3】．（25-26高二上·四川遂宁·期中）直线与直线的交点的坐标为________________. 【变式4】．（25-26高二上·浙江·期中）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 题型02 由直线的交点或交点个数，求参数 【典例1】．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高二上·广东东莞·阶段检测）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）三条直线，，相交于一点，则__________． 【变式4】．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）直线与直线的交点在第四象限，则实数k的取值范围为______． 题型03 三角形问题 【典例1】．两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 【变式1】．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）若三条直线，，不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为_____. 【变式2】．（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（多选题）若直线，，不能构成三角形，则m的取值可能为（    ）． A． B． C． D． 【变式4】．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则______. 题型04 直线的交点系方程 【典例1】．经过点和两直线；交点的直线方程为_________. 【变式1】．若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为______． 【变式2】．设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为___________. 【变式3】．过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【变式4】．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型05 综合应用 【典例1】．（25-26高二下·上海杨浦·期末）已知三条直线：，：，：，． (1)若，求的值； (2)若、、不能围成三角形，求的值． 【变式1】．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知的顶点的坐标为，直线的方程为，边上的中线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求边上的高线的方程. 【变式2】．（25-26高二上·青海西宁·期末）已知直线. (1)直线经过定点吗？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，说明理由. (2)若直线分别与轴正半轴，轴的正半轴交于，两点.当面积最小时，求直线的方程. 【变式3】．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知直线. (1)证明：直线恒过定点，并求该点坐标. (2)若直线与轴的交点的横坐标与其在轴上的截距相等，求的值； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设三角形的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 【变式4】．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知直线. (1)求直线过定点的坐标； (2)若直线被两平行直线：与：所截得的线段的中点恰好在直线上，求的值. 一、单选题 1．（25-26高三·全国·一轮复习）直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 2．若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 3．（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 4．已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题 5．（25-26高二上·陕西榆林·期中）直线与的交点坐标是________． 6．若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是________. 7．三条直线与相交于一点，则的值为______. 8．若三条直线与能围成一个直角三角形，则__________． 9．已知三条直线、、不能围成一个三角形，则实数的值为______． 10．过两直线和的交点且过原点的直线方程为________． 11．已知直线：，且与轴、轴分别交于、两点．若使的面积为的直线共有（   ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 12．（多选题）已知直线：和直线：，则下列结论正确的是（    ） A．存在实数k，使得直线的倾斜角为 B．对任意的实数k，直线与直线都有公共点 C．对任意的实数k，直线与直线都不重合 D．对任意的实数k，直线与直线都不垂直 13．（多选题）已知三条直线，，能构成三角形，则实数m的取值可能为（    ） A．2 B． C． D． 15．（25-26高二上·甘肃平凉·期末）已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且． (1)求直线与的交点坐标； (2)已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求的方程． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 两条直线的交点 教学目标 1.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式。 2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直。 3.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。 教学重难点 1.重点 （1）掌握直线方程的五种形式； （2）求两条直线的交点坐标； 2.难点 （1）求两条直线的交点坐标 ； （2）直线的交点系方程。 知识点一 直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 知识点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 【即学即练】已知直线和的交点在第四象限，则的取值范围为____. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由直线的交点坐标求参数 【分析】求出两直线交点的坐标，根据交点位置可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】联立可得， 所以，两直线的交点坐标为，且交点在第四象限， 则，解得，因此，实数的取值范围是. 知识点二 过两点直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 【即学即练】．平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为_______________．（写成一般式） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线交点系方程及应用 【分析】设交点系方程，结合直线过求方程即可. 【详解】由题设，令直线的方程为，且直线过， 所以，故直线的方程为. 故答案为： 题型01 求直线的交点 【典例1】．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标 【分析】联立直线方程，求出交点坐标即可得解. 【详解】由，解得， 即两条直线的交点坐标为， 所以两条直线的交点所在的象限是第二象限， 故选：B 【变式1】．直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标 【分析】联立两条直线的方程，求解方程组，可求得两条直线的交点坐标. 【详解】由，得. 所以直线与直线的交点坐标为. 故选：B. 【变式2】．（25-26高二上·青海·阶段检测）直线和直线的交点的坐标为__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标 【分析】根据直线交点的性质，联立直线方程求出交点坐标． 【详解】设直线交点坐标为，则交点位于直线上， 联立直线方程，解得， 直线交点坐标为． 故答案为：． 【变式3】．（25-26高二上·四川遂宁·期中）直线与直线的交点的坐标为________________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求直线交点坐标 【分析】联立两直线方程，求解即得. 【详解】联立方程得：， 解得：， 所以交点坐标为 故答案为： 【变式4】．（25-26高二上·浙江·期中）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求直线交点坐标 【分析】解两直线构成的方程组即可. 【详解】由，解得， 所以直线和的交点坐标为， 故选：B 题型02 由直线的交点或交点个数，求参数 【典例1】．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数 【分析】由两直线相交，求得交点坐标，再根据交点所在位置，得不等式组，求解即可. 【详解】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 【变式1】．（24-25高二上·广东东莞·阶段检测）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数 【分析】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A 【变式2】．已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数 【分析】联立两直线方程求出交点坐标，由交点在第四象限，列方程组求实数k的取值范围. 【详解】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 两直线的交点在第四象限，则有，解得或， 所以实数k的取值范围为. 故选：D. 【变式3】．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）三条直线，，相交于一点，则__________． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数 【分析】联立直线方程求交点坐标，再将点坐标代入含参直线方程求参数. 【详解】联立，解得， 把交点坐标代入，得，解得. 故答案为：. 【变式4】．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）直线与直线的交点在第四象限，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由直线的交点坐标求参数 【分析】首先可得，再联立两直线方程求出交点坐标，由交点在第四象限，列不等式组求实数的取值范围. 【详解】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 因为两直线的交点在第四象限，则有，解得， 所以实数k的取值范围为. 故答案为：. 题型03 三角形问题 【典例1】．两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 【答案】且 【难度】0.62 【知识点】直线截距式方程及辨析、求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数、三线能围成三角形的问题 【分析】找出直线过的定点，由题意可得：直线不能经过原点，与轴不能平行，与直线不能平行，即可求解. 【详解】由得：， 联立，得， 所以直线过定点， ，不在直线上， 直线与轴相交于原点， 直线的斜率为，直线的斜率为. 两直线与轴相交且能构成三角形， 直线不能经过原点，； 直线与轴不能平行，，即； 直线与直线不能平行，，即， 综上得满足的条件是：且. 【变式1】．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）若三条直线，，不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、求直线交点坐标、三线能围成三角形的问题 【分析】分三种情况，三条直线交于同一点，与平行,与平行，分别求出的值，得到答案. 【详解】当三条直线，，交于同一点时，不能构成三角形， 联立，解得，将代入得，解得； 当与平行时，不能构成三角形，此时； 当与平行时，不能构成三角形，此时； 综上，实数所有可能的取值组成的集合为. 故答案为： 【变式2】．（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、求直线交点坐标、三线能围成三角形的问题 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值. 【详解】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故选：C 【变式3】．（多选题）若直线，，不能构成三角形，则m的取值可能为（    ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标、三线能围成三角形的问题 【分析】由已知可得出不能构成三角形的条件，分个讨论即可得到. 【详解】因为直线，，不能构成三角形， 所以存在，，过与的交点三种情况. 显然，.则直线的斜率分别为，，. 当时，有，即，解得； 当时，有，即，解得； 当过与的交点时.先联立，解得，则与的交点为， 代入，得，解得． 综上：或或． 故选：ABD． 【变式4】．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则______. 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数 【分析】先由两直线方程求得交点，再将该点代入第三条直线方程，计算即得. 【详解】由和联立，解得， 依题意，点在直线上，解得. 故答案为：3. 题型04 直线的交点系方程 【典例1】．经过点和两直线；交点的直线方程为_________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线交点系方程及应用 【分析】设所求直线方程为，将点代入方程，求得，即可求解. 【详解】设所求直线方程为， 点在直线上， ， 解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. 【变式1】．若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知斜率求参数、斜率公式的应用、直线交点系方程及应用 【分析】先设经过交点的直线系，应用斜率求出参数即可得直线方程. 【详解】设直线l的方程为（其中为常数），即 ①． 又直线l的斜率为，则，解得． 将代入①式并整理，得，此即所求直线l的方程． 故答案为：. 【变式2】．设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为___________. 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标、直线交点系方程及应用 【分析】由题可求交点，结合条件即可求出；或设直线系方程，结合已知即求. 【详解】方法一：由，得， 所以两条直线的交点坐标为（14，10）, 由题意可得直线的斜率为1或-1， 所以直线的方程为或， 即或. 方法二：设直线的方程为，整理得， 由题意，得，解得或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 【变式3】．过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线交点系方程及应用 【分析】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，求解即可. 【详解】设过两直线交点的直线系方程为， 代入原点坐标，得，解得， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 【变式4】．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线交点系方程及应用 【分析】求得直线恒过的定点，判断两直线位置关系，找到与的关系，利用均值不等式求最值. 【详解】直线可整理为，故恒过定点，即为A的坐标； 直线整理为，故恒过定点，即为B坐标； 又两条直线垂直，故可得， 即 整理得 解得，当且仅当时取得最大值. 故选：A. 题型05 综合应用 【典例1】．（25-26高二下·上海杨浦·期末）已知三条直线：，：，：，． (1)若，求的值； (2)若、、不能围成三角形，求的值． 【答案】(1) (2) 或或或 【难度】0.72 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、由直线的交点坐标求参数 【分析】（1）利用两直线垂直的一般式系数关系直接求解； （2）不能围成三角形分三线共点、至少两条直线平行两类情况分类讨论求解 【详解】（1）对于直线和，垂直的充要条件为， 代入、的系数得： ，解得 （2）三条直线不能围成三角形分两类： ① 三线共点：联立和的方程，解得交点为， 代入得： ，化简得，解得或； ② 存在平行直线：若，则，解得，此时两直线平行； 若，则，解得，此时两直线平行； 若，则，即，无实根，不存在符合条件的， 综上，的取值为、、、. 【变式1】．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知的顶点的坐标为，直线的方程为，边上的中线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求边上的高线的方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】（1）根据两直线交点计算得到的坐标，结合点斜式方程求解即可； （2）先根据垂直关系计算斜率，结合点斜式方程求解即可； 【详解】（1）设点坐标为，点坐标为， 因为是中点，，所以， 在中线上，代入得：， 化简得，又在直线上，满足， 联立解得，即， 点在直线上，联立和， 解得，即 直线的斜率为，直线的方程为， 整理得 （2）由边上的高线可知，故， 点，直线的方程为，整理得. 【变式2】．（25-26高二上·青海西宁·期末）已知直线. (1)直线经过定点吗？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，说明理由. (2)若直线分别与轴正半轴，轴的正半轴交于，两点.当面积最小时，求直线的方程. 【答案】(1)直线 过定点 (2) 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用、直线过定点问题、求直线交点坐标 【分析】（1）整理直线方程，令参数系数为零即可求出直线的定点； （2）写出直线的截距式方程，表示出面积，可得面积最小时参数的值，从而求出直线方程. 【详解】（1）由题意，知直线. 令 解得 故直线 过定点. （2）设点的坐标分别为， 因为分别在 轴，轴的正半轴，所以， 则可设直线，因为直线过定点， 代入得， ，由，得， 所以，当且仅当，即，时取等号. 故 面积最小时，直线. 因为直线的方程为与是同一条直线， 所以对应系数成比例，即，解得， 当时，直线的方程为， 其与轴、轴的交点分别为和，符合题意。 【变式3】．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知直线. (1)证明：直线恒过定点，并求该点坐标. (2)若直线与轴的交点的横坐标与其在轴上的截距相等，求的值； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设三角形的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析， (2)或 (3)的最小值为16，此时直线的方程为 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线截距式方程及辨析、直线过定点问题、求直线交点坐标 【分析】（1）将直线方程化为的形式，从而确定定点； （2）先分别求出直线与轴交点的横坐标和在轴上的截距，再根据二者相等列方程求解的值； （3）先求出两点的坐标，进而得到的面积表达式，然后利用基本不等式求出面积的最小值，最后根据面积取最小值时的值确定直线l的方程． 【详解】（1）直线l的方程可化为，所以直线l恒过定点. （2）当时，直线的方程为，与轴无交点，不符合题意； 当时，直线的方程为， 令，则， 令，则， 由题意得，即， 即，解得或，经检验，均成立. 所以的值为或. （3）由题意可知，由（2）知，， 故， 当且仅当，即时，取等号， 故的最小值为16，此时直线的方程为. 【变式4】．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知直线. (1)求直线过定点的坐标； (2)若直线被两平行直线：与：所截得的线段的中点恰好在直线上，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数 【分析】（1）根据题意，化简直线的方程为，联立方程组，即可求解； （2）设直线分别与直线交于两点，联立方程组，求得的坐标，得到的中点，设点在直线和上，利用三角形全等，证得，所以为的中点，代入直线的方程，即可求解. 【详解】（1）解：由直线，可化为， 联立方程组，解得， 所以直线恒过定点. （2）解：设直线分别与直线交于两点， 由，解得，即， 又由，解得，即， 所以的中点的坐标为， 不妨设点在直线上，点在直线上，则，所以， 所以为的中点，将点代入直线的方程， 可得，解得. 一、单选题 1．（25-26高三·全国·一轮复习）直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标 【分析】联立直线方程求解即可. 【详解】联立，解得，即l1与l2的交点坐标为． 2．若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、由直线交点的个数求参数 【分析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求. 【详解】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 3．（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、三线能围成三角形的问题 【分析】根据题意判断三条直线能够组成三角形时的条件，列出不等式组，求出结果即可. 【详解】当三条直线能构成一个三角形时，直线不与这两条直线平行，且不经过两条直线的交点即可. 由，解得，所以，解得； 不与平行时，； 不与平行时，； 综上，的取值范围是且； 故选：B. 4．已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线交点系方程及应用 【分析】首先求直线所过定点，再判断选项. 【详解】， ，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限 故选：A 二、填空题 5．（25-26高二上·陕西榆林·期中）直线与的交点坐标是________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标 【分析】解方程组可得答案. 【详解】由得， 所以两直线的交点坐标是. 故答案为：. 6．若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是________. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】由直线交点的个数求参数 【分析】由题给方程组有唯一解，可得方程有唯一解，进而得到实数a满足的条件 【详解】由，可得， 由关于，的方程组有唯一解， 可得方程有唯一解，则 故答案为： 故答案为：. 7．三条直线与相交于一点，则的值为______. 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数 【分析】联立直线方程求交点坐标，再将点坐标代入含参直线方程求参数. 【详解】由，即三条直线交于， 代入，有. 故答案为：3 8．若三条直线与能围成一个直角三角形，则__________． 【答案】或1 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数、三线能围成三角形的问题 【分析】由三条直线两两垂直，即两直线的斜率之积为，求解即可. 【详解】显然，3x-y+1=0，x+y+3=0有交点， 若与垂直，则； 若与垂直，则．所以或1． 故答案为：或1 9．已知三条直线、、不能围成一个三角形，则实数的值为______． 【答案】6或-4或 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、三线能围成三角形的问题 【分析】分直线与平行，与平行，过与的交点三种情况分别求解可得. 【详解】由题知，当直线与平行，即，时，三条直线无法围成三角形； 当与平行，即，时，三条直线无法围成三角形； 由解得，当直线过点，即，即时，三条直线无法围成三角形. 综上，当或或时，三条直线无法围成三角形. 故答案为：6或-4或 10．过两直线和的交点且过原点的直线方程为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线交点系方程及应用 【分析】根据直线相交设所求直线为，结合直线过原点求参数，即可得方程. 【详解】令所求直线为， 又直线过原点，则， 所以所求直线为. 故答案为： 11．已知直线：，且与轴、轴分别交于、两点．若使的面积为的直线共有（   ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、三线能围成三角形的问题、直线围成图形的面积问题 【分析】利用直线方程求得直线与两坐标轴的交点、，从而将的面积表示为斜率的函数，分和两种情况根据的面积为的条件计算，利用一元二次方程的解法运算即可得解. 【详解】解：    如上图，当时，则直线过定点， ∵与轴、轴分别交于、两点， ∴直线的斜率存在且不为， 且∵直线方程为， ∴当时，当时， ∴直线与轴交于点，直线与轴交于点， ∴，， ∵，则是直角三角形， ∴， （i）当时，， 由题意，的面积为，则， 即，解得：. （ii）当时，， 由题意，的面积为，则， 即，解得：. 综上知，使的面积为的直线共有3条. 故选：C. 12．（多选题）已知直线：和直线：，则下列结论正确的是（    ） A．存在实数k，使得直线的倾斜角为 B．对任意的实数k，直线与直线都有公共点 C．对任意的实数k，直线与直线都不重合 D．对任意的实数k，直线与直线都不垂直 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】直线的一般式方程及辨析、由一般式方程判断直线的垂直、由直线交点的个数求参数 【分析】举例即可说明A、C；分以及，得出直线与直线的关系，即可得出B项；根据直线垂直列出方程，求解方程，即可说明D项. 【详解】对于A项，当时，直线的方程为，此时直线的倾斜角为，故A项正确； 对于B项，当时，直线的方程为，与重合，此时两直线有公共点； 当时，有，即一定相交. 综上所述，对任意的实数k，直线与直线都有公共点，故B项正确； 对于C项，由B可知，当时，直线与重合，故C项错误； 对于D项，要使直线与直线垂直，则应有，该方程无解， 所以对任意的实数k，直线与直线都不垂直，故D项正确. 故选：ABD. 13．（多选题）已知三条直线，，能构成三角形，则实数m的取值可能为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、求直线交点坐标、三线能围成三角形的问题 【分析】因为三条直线，，能构成三角形，所以直线与或都不平行，且直线不过与的交点，进而即可求得实数m的取值，从而可得结果． 【详解】因为三条直线，，能构成三角形， 所以直线与，都不平行， 且直线不过与的交点， 直线与，都不平行时，，且， 联立，解得， 即直线与的交点坐标为， 代入直线中，得，故可知， 结合选项可知实数m的取值可以为2或， 故选：AD 15．（25-26高二上·甘肃平凉·期末）已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且． (1)求直线与的交点坐标； (2)已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求的方程． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数、直线截距式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】（1）由题意，设的方程为，根据题意，直线过点，代入可得m值，即可得直线的方程，与的方程联立，可得交点坐标. （2）讨论过原点和不过原点两种情况，分别设出的方程，代入直线与的交点坐标，计算求解，综合即可得答案. 【详解】（1）因为，且的方程为， 所以设的方程为， 因为在轴上的截距为，即过点， 所以，解得，即． 联立，解得，则直线与的交点坐标为． （2）当过原点时，设方程为，又直线过点，代入解得， 所以的方程为，即 当不过原点时，设的方程为， 又直线过点，所以，解得， 所以的方程为． 综上，的方程为或． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $