专题1.2 直线方程（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线方程”核心知识点，以倾斜角与斜率概念为基础，系统梳理点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式五种方程形式，构建从概念理解到方程转化再到综合应用的学习支架。 资料通过知识点诠释明确方程适用条件，即学即练即时巩固，题型分类（如定点问题、面积最值）培养数学思维，结合实例辨析截距与距离提升数学语言表达。课中辅助教师系统授课，课后助力学生分层练习查漏补缺。

专题1.2 直线方程 教学目标 1.理解直线的倾斜角与斜率的概念。 2.掌握过两点的直线斜率的计算公式。 3.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式）。 教学重难点 1.重点 （1）直线的倾斜角与斜率； （2）直线方程的五种形式； 2.难点 （1）直线方程的相互转化； （2）直线的位置关系。 知识点一 直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式. 知识点诠释： 1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2.当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3.当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为：. 4.表示直线去掉一个点；表示一条直线. 【即学即练】 1．（25-26高二下·云南昆明·开学考试）已知直线经过点，则下列选项中正确的是（   ） A．直线的斜率为1 B．直线的倾斜角为 C．直线的方向向量为 D．直线在y轴上的截距为2 知识点二 直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即.我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 知识点诠释： 1.b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2.斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3.当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式. 4.斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 5.斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距. 【即学即练】 1．（25-26高二上·山东临沂·期中）若直线沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位后，回到原来的位置，则直线的斜率为________. 知识点三 直线的两点式方程 经过两点(其中)的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式. 知识点诠释： 1.这个方程由直线上两点确定； 2.当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程. 3.直线方程的表示与选择的顺序无关. 4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 知识点四 直线的截距式方程 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程.a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距. 知识点诠释： 1.截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线. 2.求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y= 0得直线在x轴上的截距. 【即学即练】 1．经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. 知识点五 直线的一般方程 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式． 知识点诠释： 1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2． 在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程. 知识点六 直线方程的综合应用 1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求． 2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同． （1）从斜截式考虑-已知直线,, 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． （2）从一般式考虑： 且或，记忆式（） 与重合，，， 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为 【即学即练】 1．（25-26高二上·上海徐汇·阶段检测）已知直线：恒过点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程； 题型01 直线的点斜式方程与斜截式方程 【典例1】．过点且方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·北京昌平·期中）在同一平面直角坐标系中，直线：和直线：有可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高二下·上海·期中）过点且斜率为2的直线的斜截式方程为__________. 【变式3】．（25-26高二·全国·暑假作业）直线在轴上的截距是_________． 【变式4】．（25-26高二上·江西宜春·期末）过点且斜率为2的直线方程为_____. 题型02 直线的两点式方程与截距式方程 【典例2】．（25-26高二上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，直线l过点，则直线l在y轴上的截距为______． 【变式1】．已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 【变式2】．（25-26高二上·天津·期末）直线在轴上的截距是（   ） A． B． C．1 D． 【变式3】．（25-26高二上·湖南永州·期末）已知直线的方程为，则直线在轴上的截距为（    ） A．1 B． C．5 D． 【变式4】．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知直线的点斜式方程是，则直线在y轴上的截距为（   ） A． B．2 C． D． 题型03 直线一般式方程 【典例3】．（25-26高二下·湖北·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．直线l经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为______. 【变式2】．（2026高二·全国·专题练习）直线的倾斜角为________． 题型04 定点问题 【典例4】．（25-26高二上·广西玉林·期末）直线一定经过点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．平面直角坐标系中的直线系方程：经过的定点是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2025高二上·湖南·专题练习）已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线不恒过定点 B．当时，直线不过第三象限 C．直线的斜率可能不存在 D．若直线在坐标轴上的截距相等，则 【变式3】．（25-26高二上·湖南常德·期末）直线：恒过定点______． 【变式4】．（2026高二·全国·专题练习）直线过定点________. 题型05 直线方程与坐标轴围成的三角形的面积 【典例5】．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知直线过点，且与轴正半轴、轴正半轴分别交于，，则面积的最小值________，此时的直线方程为________________. 【变式1】．（25-26高二上·河北沧州·期中）已知A，B是直线上的两点，且，，则的面积的最大值为___________，此时，__________. 【变式2】．（2026高三·全国·专题练习）过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 【变式3】．（2026高二·全国·专题练习）已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 题型06 直线方程的综合应用 【典例1】．（25-26高三·全国·一轮复习）直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，是否存在这样的直线分别满足下列条件：若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． (1)的周长为12； (2)的面积为6． 【变式1】．（25-26高二上·江苏常州·期末）设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 【变式2】．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 【变式3】．（2026高三·全国·专题练习）已知关于的方程表示一个直线系. (1)证明：直线过定点，并求出定点坐标； (2)若该直线系中的某条直线分别与轴的正半轴交于两点，求面积的最小值. 【变式4】．设直线的方程为. (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若直线与轴、轴分别交于点，，且，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程. 一、单选题 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（       ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东临沂·期中）直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（25-26高二上·海南·期中）一次函数与为常数，且，它们在同一坐标系内的图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   4．（2026高二·全国·专题练习）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 5．（25-26高三·全国·一轮复习）若直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C． D．1 6．（25-26高二下·贵州·期中）直线的一个法向量为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·广东梅州·期末）无论取何值，直线总经过点（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·山东青岛·期中）直线，当变动时，则直线恒过定点坐标为（  ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·江苏盐城·期中）不论取何值，直线都过定点（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知直线，直线，下列结论正确的是（    ） A．直线恒过点 B．对于任意的，直线的斜率都存在 C．若，则 D．若，则 11．（25-26高二上·辽宁·期末）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高二上·广东珠海·阶段检测）若直线在两坐标轴上的截距相等，则的值为__________. 13．（25-26高二下·上海·期中）已知直线的方程为，若直线过点，且直线与直线的夹角为，则直线的方程为____________. 14．（25-26高二上·北京西城·期中）已知直线与坐标轴正半轴围成的三角形的面积为1，则______. 15．（25-26高二上·吉林通化·阶段检测）在平面直角坐标系中，过点作直线，分别与轴的正半轴，轴的正半轴交于点．当直线的斜率为______时，的面积最小（是坐标原点），最小面积是______． 16．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知点A，B位于直线上，其中点A在x轴上，点C是平面xOy中的一点，若为正三角形，则直线AC的斜率为（ ） A． B． C．或 D．或 17．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．已知直线：()． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值． 19．（25-26高二上·陕西榆林·期中）设直线过点，且和直线平行． (1)求直线的方程； (2)设直线与轴相交于点，求直线绕点逆时针旋转所得的直线方程． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 直线方程 教学目标 1.理解直线的倾斜角与斜率的概念。 2.掌握过两点的直线斜率的计算公式。 3.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式）。 教学重难点 1.重点 （1）直线的倾斜角与斜率； （2）直线方程的五种形式； 2.难点 （1）直线方程的相互转化； （2）直线的位置关系。 知识点一 直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式. 知识点诠释： 1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2.当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3.当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为：. 4.表示直线去掉一个点；表示一条直线. 【即学即练】 1．（25-26高二下·云南昆明·开学考试）已知直线经过点，则下列选项中正确的是（   ） A．直线的斜率为1 B．直线的倾斜角为 C．直线的方向向量为 D．直线在y轴上的截距为2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、已知两点求斜率、求直线的方向向量（平面中）、直线的倾斜角 【分析】由斜率公式求得斜率，得到直线方程，再结合倾斜角、方向向量和截距的概念逐项判断即可. 【详解】设直线的倾斜角为 由斜率公式得，故A错误； ，故B错误； 由斜率可得方向向量为，是直线方向向量，所以C正确． 直线方程为：，令得，即直线在轴上截距为，D错误. 知识点二 直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即.我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 知识点诠释： 1.b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2.斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3.当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式. 4.斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 5.斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距. 【即学即练】 1．（25-26高二上·山东临沂·期中）若直线沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位后，回到原来的位置，则直线的斜率为________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线的斜截式方程及辨析 【分析】 由直线的平移变换可得平移后的直线方程，比较系数可得． 【详解】易知直线的斜率存在，设方程为，① 所以直线沿轴向右平移3个单位后得到的方程为， 再沿轴向上平移2个单位后得到的方程为，② 因为回到原来的位置，所以方程①②应为同一个， 比较系数可得，解得 故答案为：． 知识点三 直线的两点式方程 经过两点(其中)的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式. 知识点诠释： 1.这个方程由直线上两点确定； 2.当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程. 3.直线方程的表示与选择的顺序无关. 4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 知识点四 直线的截距式方程 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程.a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距. 知识点诠释： 1.截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线. 2.求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y= 0得直线在x轴上的截距. 【即学即练】 1．经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. 【答案】或 【难度】0.75 【知识点】直线截距式方程及辨析 【详解】依题意，该直线的截距不能为0，则可设其方程为， 因为直线过点，所以， 整理得，解得或． 于是所求直线方程的截距式为或． 知识点五 直线的一般方程 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式． 知识点诠释： 1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2． 在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程. 知识点六 直线方程的综合应用 1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求． 2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同． （1）从斜截式考虑-已知直线,, 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． （2）从一般式考虑： 且或，记忆式（） 与重合，，， 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为 【即学即练】 1．（25-26高二上·上海徐汇·阶段检测）已知直线：恒过点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程； 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）把直线的方程化为，进而求出点的坐标. （2）确定点到直线的距离最大时直线的位置，再求出直线的方程. 【详解】（1）直线的方程化为，令，解得， 所以点的坐标为. （2）由（1）知直线恒过定点，当且仅当时，点到直线的距离最大， 而直线的斜率，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 题型01 直线的点斜式方程与斜截式方程 【典例1】．过点且方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据直线的方向向量求直线方程 【分析】求出直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】由题意可知，所求直线的斜率为，故所求直线的方程为，即. 【变式1】．（25-26高二上·北京昌平·期中）在同一平面直角坐标系中，直线：和直线：有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线的斜截式方程及辨析 【分析】根据每个选项中与的图象，分别确定的取值即可判断. 【详解】对于A，直线单调递减，与轴交于正半轴，则， 直线单调递减，与轴交于负半轴，则，不成立，故A错误； 对于B，直线单调递减，与轴交于负半轴，则， 直线单调递减，与轴交于负半轴，则，成立，故B正确； 对于C，直线单调递增，与轴交于负半轴，则， 直线单调递增，与轴交于正半轴，则，不成立，故C错误； 对于D，直线单调递增，与轴交于正半轴，则， 直线单调递减，与轴交于正半轴，则，不成立，故D错误； 故选：B. 【变式2】．（24-25高二下·上海·期中）过点且斜率为2的直线的斜截式方程为__________. 【答案】 【难度】0.95 【知识点】直线的斜截式方程及辨析 【详解】过点且斜率为2的直线的斜截式方程为. 【变式3】．（25-26高二·全国·暑假作业）直线在轴上的截距是_________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】直线的斜截式方程及辨析 【详解】由，令，得． 【变式4】．（25-26高二上·江西宜春·期末）过点且斜率为2的直线方程为_____. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】利用直线的点斜式方程求解即可. 【详解】由题意得直线方程为， 化简得，即. 故答案为： 题型02 直线的两点式方程与截距式方程 【典例2】．（25-26高二上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，直线l过点，则直线l在y轴上的截距为______． 【答案】7 【难度】0.85 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 【分析】设直线l的方程为，根据待定系数法求得直线l的方程为，再求截距即可． 【详解】根据题意，设直线l的方程为， ，解得， 即直线l的方程为，与y轴的交点为， 故直线l在y轴上的截距为． 故答案为：． 【变式1】．已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】根据题意设直线的方程为，求截距，列式求解即可. 【详解】由题意可知直线斜率存在且不为0，设直线的方程为， 令，解得；令，解得， 可得，解得或， 所以直线方程为或. 故答案为：或. 【变式2】．（25-26高二上·天津·期末）直线在轴上的截距是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】应用截距定义令计算求解. 【详解】令，则， 则直线在轴上的截距是1. 故选：C. 【变式3】．（25-26高二上·湖南永州·期末）已知直线的方程为，则直线在轴上的截距为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】根据直线在轴上的截距，即当时，求出的值即可. 【详解】因为直线的方程为，当时，， 故直线在轴上的截距为. 故选：B. 【变式4】．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知直线的点斜式方程是，则直线在y轴上的截距为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】，令，解得值，即为所求 【详解】，令，得，所以直线在y轴上的截距为. 故选：C 题型03 直线一般式方程 【典例3】．（25-26高二下·湖北·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、直线的一般式方程及辨析、特殊角的三角函数值、直线斜率的定义 【分析】借助斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【详解】设该直线的倾斜角为，则由题意， 又，所以. 【变式1】．直线l经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为______. 【答案】或 【难度】0.46 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 【分析】根据题意，分截距均为0和截距不为0，两种情况讨论，结合题意，列出方程组，即可求解. 【详解】当截距均为0时，即过，此时直线的方程为； 当截距不为0时，设直线的方程为，满足，解得， 此时直线的方程为， 综上可得直线的方程为或. 【变式2】．（2026高二·全国·专题练习）直线的倾斜角为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线斜率的定义、直线的倾斜角 【分析】根据给定方程，求出该直线斜率，结合诱导公式求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 而，所以. 故答案为： 题型04 定点问题 【典例4】．（25-26高二上·广西玉林·期末）直线一定经过点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题 【分析】根据给定的直线方程，直接求出所过定点坐标即可. 【详解】直线，即，对任意实数，当时，恒成立， 所以点的坐标. 故选：A 【变式1】．平面直角坐标系中的直线系方程：经过的定点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题 【分析】由直线方程得到，由，即可求解. 【详解】由， 可得， 因为方程对恒成立， 所以可得：， 解得，， 所以直线系方程：经过的定点是， 故选：C 【变式2】．（2025高二上·湖南·专题练习）已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线不恒过定点 B．当时，直线不过第三象限 C．直线的斜率可能不存在 D．若直线在坐标轴上的截距相等，则 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题、直线截距式方程及辨析 【分析】求出直线过定点坐标，即可判断A；求出直线所过象限，即可判断B；将直线方程化为斜截式，即可判断C；分截距均为、截距均不为两种情况讨论，求出参数的值，即可判断D. 【详解】对于A：因为直线：，即， 令，解得，所以直线过定点，故A错误； 对于B：当时直线：，即， 所以直线过第一、二、四象限，不过第三象限，故B正确； 对于C：直线：，即，所以直线的斜率为，即直线的斜率一定存在，故C错误； 对于D：若直线在坐标轴上的截距相等， 若截距均为，则，解得； 若截距均不为，显然，对于，令可得， 令，则，所以，解得（舍去）或； 综上可得或，故D错误. 故选：B 【变式3】．（25-26高二上·湖南常德·期末）直线：恒过定点______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题 【分析】原方程整理为，解方程组得解. 【详解】由可得， 联立，解得， 故直线恒过点, 故答案为： 【变式4】．（2026高二·全国·专题练习）直线过定点________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题 【分析】将直线方程整理成关于的方程，根据题意列方程组求解即得定点. 【详解】由整理得：， 因，则，解得，即直线经过定点. 故答案为：. 题型05 直线方程与坐标轴围成的三角形的面积 【典例5】．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知直线过点，且与轴正半轴、轴正半轴分别交于，，则面积的最小值________，此时的直线方程为________________. 【答案】 12 【难度】0.65 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、基本不等式求和的最小值 【分析】设，，则直线的方程为，依题意可得，再由基本不等式求出面积最小值，即可得解. 【详解】依题意设，，则直线的方程为， 直线过点，，， ， 当且仅当，即时，， 此时，则直线的方程为，即. 故答案为：；. 【变式1】．（25-26高二上·河北沧州·期中）已知A，B是直线上的两点，且，，则的面积的最大值为___________，此时，__________. 【答案】 20 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题 【分析】求出直线所过的定点，直线l与直线PC垂直时点P到直线l的距离最大，的面积取得最大值，求出即可求得. 【详解】由，得. 令，得，则直线l过定点， 从而点P到直线l的距离最大值为， 故的面积最大值为， 当的面积取得最大值时，直线l与直线PC垂直，即， 所以，解得. 故答案为：20， 【变式2】．（2026高三·全国·专题练习）过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线截距式方程及辨析 【分析】设直线方程为，根据过点及直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，列出方程组求解即可. 【详解】假设存在过点的直线，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8， 设直线的方程为，则，即， 直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积，即， 联立解得直线的方程为，即， 即这样的直线有且只有一条． 【变式3】．（2026高二·全国·专题练习）已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】设直线的方程为，代入点坐标，得到的方程，用表示出的面积，利用基本不等式即可求解. 【详解】如图： 依题意设直线的方程为（，），则，且，， 所以，即，当且仅当，时，等号成立， 所以的面积，则面积的最小值为20. 故选：B 题型06 直线方程的综合应用 【典例1】．（25-26高三·全国·一轮复习）直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，是否存在这样的直线分别满足下列条件：若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． (1)的周长为12； (2)的面积为6． 【答案】(1)存在；或 (2)存在；或 【难度】0.62 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 【分析】（1）设所求直线方程为，根据点坐标以及的周长求得，进而求得直线方程. （2）设所求直线方程为，根据点坐标以及的面积求得，进而求得直线方程. 【详解】（1）存在．设直线方程为， 由题意可知，．① 又因为直线过点， 所以，② 由①②可得， 解得，或 所以所求直线的方程为或， 即或． （2）存在．设直线方程为， 由题意可知 解得或 所以所求直线的方程为或， 即或． 【变式1】．（25-26高二上·江苏常州·期末）设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.75 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线过定点问题、直线截距式方程及辨析 【分析】（1）整理可得，进而分析定点即可； （2）求直线在坐标轴上的截距，结合题意列式求解即可直线方程. 【详解】（1）由整理可得， 令，解得， 所以不论为何值，直线必过一定点. （2）由题意可知：，且， 令，解得；令，解得； 因为，解得或， 当时，直线的方程为：； 当时，直线的方程为：； 综上所述：所求直线的方程为或. 【变式2】．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】(1) 由直线方程变形可得， 所以直线过直线与直线的交点， 联立，解得， 所以直线过定点. (2) 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】（1）直线方程可化为，故直线过直线与直线的交点，联立求交点可得结论； （2）求直线与坐标轴的交点，表示三角形面积，结合二次函数性质求最值可得结论. 【详解】（1）略 （2）已知直线：， 令，得，得. 令，得，得， 则三角形面积为， 当时，分母取得最大值，则此时取到最小值. 此时，直线的方程为，即. 【变式3】．（2026高三·全国·专题练习）已知关于的方程表示一个直线系. (1)证明：直线过定点，并求出定点坐标； (2)若该直线系中的某条直线分别与轴的正半轴交于两点，求面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析，定点坐标为 (2)面积的最小值为12 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线过定点问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）将直线的方程改写成的形式，解方程组，求出定点坐标后即可得证； （2）结合条件（1）中的定点，可将直线设为，求出两点的坐标并得到的关系式，表示出的面积，利用基本不等式即可求出面积的最小值. 【详解】（1）依题意，直线的方程可化成，由，得， 所以直线过定点，且定点坐标为； （2）依题意，直线分别与轴的正半轴交于两点，所以直线在两坐标轴上的截距均存在且为正， 故可设直线的方程为，则，； 由（1）知，直线过定点，所以； 因为，所以， 所以面积，当且仅当，即时取等号； 故面积的最小值为12. 【变式4】．设直线的方程为. (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若直线与轴、轴分别交于点，，且，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1) (2)最小值为2，直线的方程为. 【难度】0.65 【知识点】直线图象的辨析、基本不等式求和的最小值、直线截距式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）由题意得到求解即可； （2）令，得，令，得，进而得到三角形面积，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）直线的方程可化为. 因为不经过第二象限，所以， 解得，从而的取值范围为. （2）直线的方程可化为， 令，得，令，得， 所以，， 从而， 当且仅当，即时等号成立， 因此面积的最小值为2， 此时直线的方程为. 一、单选题 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、直线的斜截式方程及辨析 【分析】先由直线斜截式方程得到斜率，再结合倾斜角的取值范围，利用斜率与倾斜角的正切关系求解. 【详解】已知直线的斜截式方程为，因此直线的斜率. 由直线斜率与倾斜角的关系， 可得， 结合，解得. 2．（25-26高二上·山东临沂·期中）直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线的斜截式方程及辨析 【分析】把点代入求得化直线方程为，求各轴上的截距，运算求解即可. 【详解】因为直线经过点， 则可得， 直线方程为， 因为直线在两坐标轴上的截距互为相反数，可知， 令，得；令，得； 则，化为，解得或， 故的所有可能取值之和为. 故选： 3．（25-26高二上·海南·期中）一次函数与为常数，且，它们在同一坐标系内的图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线的斜截式方程及辨析 【分析】根据图象分析b、k取值符号进行判断即可． 【详解】对于选项A中，直线的直线的∴A错； 对于选项B中，直线的直线的，∴B错； 对于选项C中，直线的直线的∴C对； 对于选项D中，直线的直线的∴D错． 故选：C． 4．（2026高二·全国·专题练习）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】分截距为零与不为零两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为， 当截距都不为零，设直线方程为，则， 所以直线方程为，即. 综上直线方程为：或. 故选：C 5．（25-26高三·全国·一轮复习）若直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线斜率的定义、直线的倾斜角 【详解】由题意，直线化为斜截式可得， 所以，所以. 6．（25-26高二下·贵州·期中）直线的一个法向量为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、根据直线的法向量求直线方程 【详解】直线的一个法向量为，且过点， 设直线上任意一点，所以， 所以，即， 直线的方程为：. 7．（25-26高二上·广东梅州·期末）无论取何值，直线总经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题 【分析】将直线化为即可求解． 【详解】由， 当，即时，，解得， 所以无论取何值，直线总经过点． 故选：C． 8．（25-26高二上·山东青岛·期中）直线，当变动时，则直线恒过定点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题 【分析】整理直线方程可得：，列出方程即可求解. 【详解】整理直线方程可得：，令，解得：，所以当变动时，则直线恒过定点坐标为， 故选：B 9．（25-26高二上·江苏盐城·期中）不论取何值，直线都过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题 【分析】提取得，从而得到方程组，解出即可. 【详解】，即，则，解得. 则过定点. 故选：C. 二、多选题 10．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知直线，直线，下列结论正确的是（    ） A．直线恒过点 B．对于任意的，直线的斜率都存在 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【难度】0.94 【知识点】已知直线垂直求参数、已知直线平行求参数、直线过定点问题 【分析】对于A，由题意得，若直线过定点，则有，，即可求得直线所过的定点，对于B，由题意得的斜率为，对于任意的，直线的斜率都存在，对于C，由可得两直线斜率之积为，对于D，由可得两直线斜率相等. 【详解】对于A，由题意得，即， 若直线过定点，则有，解得，定点为，故A正确； 对于B，直线的斜率为，对于任意的，直线的斜率都存在，故B正确； 对于C，因为，所以有，解得或，故C错误； 对于D，因为，所以，解得，故D错误. 故选：AB. 11．（25-26高二上·辽宁·期末）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】由一般式方程判断直线的平行、直线过定点问题、由一般式方程判断直线的垂直 【分析】根据直线和的方程，求得定点的坐标，可判定A正确，B不正确；根据两直线位置关系的判定方法，可判定C正确，D不正确. 【详解】由直线，令，可得，所以直线过定点，所以A正确； 由直线，可得， 联立方程组，解得，所以恒过定点，所以B不正确； 由和，可得，所以，所以C正确，D不正确； 故选：AC. 三、填空题 12．（25-26高二上·广东珠海·阶段检测）若直线在两坐标轴上的截距相等，则的值为__________. 【答案】1或2 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】根据给定条件，利用直线在坐标轴上的截距的意义列方程求解. 【详解】依题意，，直线在轴上的截距分别为， 因此，解得或，所以的值为1或2. 故答案为：1或2 13．（25-26高二下·上海·期中）已知直线的方程为，若直线过点，且直线与直线的夹角为，则直线的方程为____________. 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】两条直线的到（夹）角公式 【分析】利用直线夹角公式，结合直线是否存在斜率分类讨论进行求解即可. 【详解】， 所以直线的斜率为，倾斜角为， 当直线不存在斜率时，方程为， 显然此时直线与直线的夹角为，符合题意； 当直线存在斜率时，设为， 因为直线与直线的夹角为， 所以， 此时方程为. 故答案为：或 14．（25-26高二上·北京西城·期中）已知直线与坐标轴正半轴围成的三角形的面积为1，则______. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】计算直线与坐标轴的交点坐标，计算直角三角形的面积即可. 【详解】由题意可知，直线与坐标轴的交点为，且， 则直线与坐标轴正半轴围成的三角形的面积为，得. 故答案为： 15．（25-26高二上·吉林通化·阶段检测）在平面直角坐标系中，过点作直线，分别与轴的正半轴，轴的正半轴交于点．当直线的斜率为______时，的面积最小（是坐标原点），最小面积是______． 【答案】 8 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线截距式方程及辨析 【分析】设、，，，则，将代入得，利用基本不等式可求出，从而求得的最小面积及此时直线的斜率． 【详解】设， 则直线， 将代入得， 由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，，， 所以直线的斜率时， 的面积最小，最小值为8， 故答案为：，8． 16．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知点A，B位于直线上，其中点A在x轴上，点C是平面xOy中的一点，若为正三角形，则直线AC的斜率为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】直线的一般式方程及辨析、斜率与倾斜角的变化关系、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】首先确定直线的倾斜角，再利用两角和差的正切公式，即可求斜率. 【详解】因为点A在x轴上，且在直线上，所以， 易知直线l的倾斜角为，若为正三角形， 则直线AC的倾斜角为或，即或， 故直线AC的斜率为， 或. 故选：D 17．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】设直线的方程为，可得出，利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出的最小值. 【详解】不妨设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程得， 由基本不等式可得，可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故，即面积的最小值为. 故选：B. 18．已知直线：()． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值． 【答案】(1) 因为直线的方程可化为：， 所以直线过定点. (2) (3)4 【难度】0.65 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线过定点问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）将直线化成点斜式，可得直线经过的定点. （2）考虑直线的斜率及在轴上的截距建立不等式求解. （3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程. 【详解】（1）略 （2）因为直线过定点，在轴上的截距为：. 要使直线不经过第四象限，则. 即的取值范围是. （3）直线与轴的交点为，与轴的交点为. 由题意，. 又， 当且仅当即时取等号. 所以的最小值为4. 19．（25-26高二上·陕西榆林·期中）设直线过点，且和直线平行． (1)求直线的方程； (2)设直线与轴相交于点，求直线绕点逆时针旋转所得的直线方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由两条直线垂直求方程、由两条直线平行求方程 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）分析可知，所求直线与直线垂直，可得出所求直线的斜率，并求出点的坐标，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】（1）因为直线的斜率为， 故直线的斜率为，又直线过点， 所以直线的方程为：，化简得：． （2）在直线的方程中，令可得，解得，即点， 直线绕点逆时针旋转所得直线与直线垂直，则所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，化简得：． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $