专题02：空间图形的平面直观图的画法 （3大知识点+9大题型+21题强化）-2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义（沪教版必修第三册）

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题02 空间图形的平面直观图的画法 知识点一、斜二测画法 在初中， 我们已经学习过投影；一个物体的投影，不仅与这个物体的形状有关， 而且还与投影的方式和物体与投影的位置关系有关； 利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图； 我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法． 【注意】 1．斜二测画法中“斜”和“二测”分别指什么？ [提示]　“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半． 2、斜二测画法中“三变”： 坐标轴的夹角改变；与y轴平行的线段的长度变为原来的一半；图形改变。 “三不变”：平行性不改变；与x轴、z轴平行的线段的长度不改变；对位置不改变。 知识点二、平面图形直观图的画法 知识点三、空间几何体直观图的画法 立体图形直观图的画法步骤 1，画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴. 2.画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图. 3.画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变. 4.成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. 知识点四、直观图的还原 1.直观图的还原技巧。由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可． 2．直观图与原图形面积之间的关系 若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′． 考点一、平面图形的直观图的画法 题型一、平面图形的直观图的画法 【方法点拨】画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置.顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过作过此点且与轴平行或垂直的线段，将此点转到与轴平行或垂直的线段上来确定. 【例1】如图，等腰梯形ABCD上底，下底，高为1cm．用斜二测画法画出该梯形的直观图. 【例2】用斜二测画法画出如图所示的五边形的直观图.(不写作法，保留作图痕迹) 【跟踪训练】 1. 用斜二测画法画出下列图形： (1)水平放置的边长为的正方形； (2)水平放置的梯形和平行四边形； 2. 用斜二测画法画水平放置的正五边形ABCDE的直观图． 题型二、由直观图还原几何图形 【例3】如图所示，按斜二测画法所得直观图，绘出原图形． 【例4】如图，在斜二测画法下被画成正三角形，请画出的真正图形． 【跟踪训练】 1. 如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（    ） A． B． C． D． 2. 如图，是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中，则△ABC是（　　） A．钝角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 3. 如图，直观图所表示的平面图形是(　　) A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 4. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 题型三、斜二测画法辨析 【例5】关于“斜二测画法”,下列说法不正确的是( ) A．原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于轴,长度不变 B．原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于轴,长度变为原来的 C．在画与直角坐标系对应的坐标系时,必须是45° D．在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同 【例6】对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述错误的是（    ） A．三角形的直观图仍然是一个三角形 B．的角的直观图会变为的角 C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半 D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同 【跟踪训练】 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中错误的是（    ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．相等的角在直观图中不一定相等 C．平行的线段在直观图中仍然平行 D．互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直 2.关于斜二测画法，下列说法错误的是（    ） A．平行直线的直观图仍然是平行直线 B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线 C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的 D．线段的中点在直观图中仍然是中点 3.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ） A．三角形的直观图是三角形 B．长方形的直观图是长方形 C．正方形的直观图是正方形 D．菱形的直观图是菱形 考点二、空间图形的直观图的画法 题型四、空间图形的直观图的画法 【方法点拨】(1)对于一些常见简单几何体(柱体、锥体、台体、球) 的直观图，应该记住它们的大致形状，以便快速准确地画出. (2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向. (3)平行于z轴(或在z轴上)的线段，方向与长度都与原来保持一致. 【例7】用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图． 【跟踪训练】 1.用斜二测画法画出长方体的直观图，其中，，． 2.画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3的正六边形，高为5． 考点三、斜二测画法的有关计算 题型五、直观图和原图的面积问题 【方法点拨】斜二侧画法的面积是原来图形面积的倍。 原来的高变成了45°的线段，且长度是原高的一半，因此新图形的高是这个一半线段的倍，故新高是原来高的，而横向长度不变，所以面积变为原面积的。 【例8】如图，是一个平面图形的直观图，若，则这个平面图形的面积是（    ） A．1 B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为1的正方形，如图所示，则该平面图形的面积是（    ） A．1 B． C．2 D． 2.已知正△ABC的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是（    ） A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 3.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰长为2，上底长为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（    ）． A． B． C． D． 4．如图，一个三角形在斜二测画法下的直观图是一个边长为2的正三角形．求该三角形原来的面积． 5.如图，已知通过斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形，则为（    ） A．面积为的等腰三角形 B．面积为的等腰三角形 C．面积为的直角三角形 D．面积为的直角三角形 题型六、直观图和原图的周长问题 【例9】如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是平行四边形，且，则平面图形的周长为（    ） A．12 B． C．5 D．10 【跟踪训练】 1.在直角坐标系中水平放置的直角梯形如图所示.已知为坐标原点，,,.在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形的周长为（    ） A．8 B．10 C． D． 2.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（    ） A．8 B． C．16 D． 一、填空题 1.直角梯形ABCD，，，，，，则ABCD水平放置的直观图中的形状是 . 2.如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作轴，则的长为 ． 3. 利用斜二测画法作边长为2的正方形的直观图，则所得直观图的面积为_______ 4. 如图，水平放置的的斜二测直观图为，若，则______ 5.如图，已知水平放置的按斜二测画法得到的直观图为，若，，则的面积为______ 6.如图所示，的直观图是边长为4的等边，则在原图中，边上的高为______ 7. 关于斜二测画法，有如下说法： ①在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同；②等腰三角形的直观图仍为等腰三角形；③梯形的直观图仍然是梯形；④正三角形的直观图一定为等腰三角形． 其中正确的序号有______． 二、选择题 8．如图有一个直角梯形，则它的水平放置的直观图是（    ） A．  B．C．   D． 9.一个三角形水平放置的直观图是正三角形，则原三角形是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 10.利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上说法正确的是（    ） A．① B．①② C．③ D．①②③④ 11．如图是斜二测画法下水平放置的平面图形的直观图，则其表示的原平面图形是（    ） A．任意梯形 B．直角梯形 C．任意四边形 D．平行四边形 12.如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（    ） A．面积为的矩形 B．面积为的矩形 C．面积为的菱形 D．面积为的菱形 13．如图，正方形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，若，则四边形周长与面积的数值之比为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 14.用斜二测画法画出正五棱柱的直观图． 15.如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CDAB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试画出梯形ABCD水平放置的直观图，并求直观图的面积． 16.用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定），并由此探寻直观图面积与原图形面积之间的关系. (1)矩形；(2)平行四边形；(3)正三角形；(4)正五边形 17.（1）已知的直观图是边长为a的正三角形.求原三角形的面积； （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，能否判断的形状； （3）若（2）中的边A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？ 18.如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题02 空间图形的平面直观图的画法 知识点一、斜二测画法 在初中， 我们已经学习过投影；一个物体的投影，不仅与这个物体的形状有关， 而且还与投影的方式和物体与投影的位置关系有关； 利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图； 我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法． 【注意】 1．斜二测画法中“斜”和“二测”分别指什么？ [提示]　“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半． 2、斜二测画法中“三变”： 坐标轴的夹角改变；与y轴平行的线段的长度变为原来的一半；图形改变。 “三不变”：平行性不改变；与x轴、z轴平行的线段的长度不改变；对位置不改变。 知识点二、平面图形直观图的画法 知识点三、空间几何体直观图的画法 立体图形直观图的画法步骤 1，画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴. 2.画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图. 3.画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变. 4.成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. 知识点四、直观图的还原 1.直观图的还原技巧。由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可． 2．直观图与原图形面积之间的关系 若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′． 考点一、平面图形的直观图的画法 题型一、平面图形的直观图的画法 【方法点拨】画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置.顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过作过此点且与轴平行或垂直的线段，将此点转到与轴平行或垂直的线段上来确定. 【例1】如图，等腰梯形ABCD上底，下底，高为1cm．用斜二测画法画出该梯形的直观图. 【解题思路】在等腰梯形中建立平面直角坐标系，再利用“斜二测”画法确定另两个顶点位置即可画出其直观图. 【解答过程】在等腰梯形中，过D作于O，以直线CB，OD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图， 其中， 在平面内取点，过作直线，使，如图， 在直线上取点，使，过作线段，使， 在直线上取点，使， 连接，抹去辅助线得等腰梯形的直观图，如图梯形. 【例2】用斜二测画法画出如图所示的五边形的直观图.(不写作法，保留作图痕迹) 【解题思路】根据斜二测画法作图即可. 【解答过程】 ①如图(1)，将A点和原点O重合，AB和x轴重合，AE与y轴重合.通过C分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、I，通过D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为F、G； ②如图(2)，作坐标系，轴和轴夹角为45°，在轴上取点，使得：与重合，，，； ③如图(2)，在轴上取点，使得：，，； ④如图(2)，过作轴平行线，过作轴平行线，两平行线交于；过作轴平行线，过作轴平行线，两平行线交于； ⑤如图(2)，依次连接、、、即可完成作图． 【跟踪训练】 1. 用斜二测画法画出下列图形： (1)水平放置的边长为的正方形； (2)水平放置的梯形和平行四边形； 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】根据题意，结合斜二测画法的规则，即可画出平面图形的直观图. 【详解】（1）解：在已知正方形中，，取所在直线为轴， 如图所示， 画出对应的轴，使，，，如图所示， 即四边形即为正方形的直观图. （2）解：取等腰梯形底边的中点，连接，以为原点，以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图所示， 画出对应的轴，使，结合斜二测画法的画法，如图所示， 可得等腰梯形的直观图为， 以为原点，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 画出对应的轴，使，结合斜二测画法的画法，如图所示， 可得平行四边形的直观图为. 2. 用斜二测画法画水平放置的正五边形ABCDE的直观图． 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法的要求和步骤，写出画法并作图，可得答案. 【详解】（1）如图1，在正五边形ABCDE中，以AD所在的直线为x轴，过点E作AD的垂线， 以垂线所在的直线为y轴，两轴交于点O，y轴交BC于点F． 如图2，画相应的轴与轴，两轴相交于点，使． （2）在图2中，以为的中点，在轴上取，在轴上取，． 以为的中点，作且平行于轴． （3）连接，，，，并擦去辅助线轴和轴， 便获得水平放置的正五边形ABCDE的直观图（如图3）． 题型二、由直观图还原几何图形 【例3】如图所示，按斜二测画法所得直观图，绘出原图形． 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法的规则，即可画出原图形. 【解析】如图（1）所示，设直观图四边形与轴交于点，可得， 如图（2）所示，根据斜二测画法的规则，可得， 过点作，取且，得到四边形， 即直观图四边形对应的原图形为. 【例4】如图，在斜二测画法下被画成正三角形，请画出的真正图形． 【答案】作图见解析 【分析】利用斜二测画法概念进行还原图形即可． 【解析】如图，即为所求图形． 作图过程： 过C作CD⊥AB于D，延长DA到O，使得DO＝DC，连接OC，则∠COD＝45°． 过O作Oy⊥OB，并以Oy作为y轴，OB作为x轴， 在y轴正半轴取，使得，连接、， 则根据斜二测画法的原理可知即为真正的图形． 【跟踪训练】 1. 如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜二测画法规律，平行于轴的线段长度是原长的一半即可判断. 【详解】在直观图中，其一条对角线在y轴上且长度为， 所以在原图形中其中一条对角线必在y轴上，且长度为， 故选：A． 2. 如图，是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中，则△ABC是（　　） A．钝角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】根据题意，将△还原成原图，分析、、的关系，由三角形的性质即可得答案． 【详解】将其还原成原图，设，则可得， ，从而，所以， 即，故是等腰直角三角形. 故选：C. 3. 如图，直观图所表示的平面图形是(　　) A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【解析】由直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后原图AC∥y轴，BC∥x轴．直观图还原为平面图形是直角三角形．故选D. 4. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合斜二测画法的原几何图形，进而求得其对角线长，得到答案. 【详解】由梯形的直观图，结合斜二测画法，得到原几何图形是直角梯形， 如图所示，其中，， 所以. 故选：C． 题型三、斜二测画法辨析 【例5】关于“斜二测画法”,下列说法不正确的是( ) A．原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于轴,长度不变 B．原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于轴,长度变为原来的 C．在画与直角坐标系对应的坐标系时,必须是45° D．在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同 【答案】C 【解析】根据斜二测画法的规则,平行于x轴或在x轴上的线段其长度在直观图中不变, 平行于y轴或在y轴上的线段其长度在直观图中变为原来的,并且或135°,故选：C. 【例6】对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述错误的是（    ） A．三角形的直观图仍然是一个三角形 B．的角的直观图会变为的角 C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半 D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同 【答案】B 【分析】利用斜二测画法的规则对四个选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线， 因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确； 对于B，的角的直观图会变为或的角，故B错误； 对于C，D，由斜二测画法的特点可知，C，D显然正确． 故选：B． 【跟踪训练】 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中错误的是（    ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．相等的角在直观图中不一定相等 C．平行的线段在直观图中仍然平行 D．互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直 【答案】A 【分析】根据斜二测画法的作图规则结合反例，判断各选项. 【详解】如图：四边形为正方形， 由斜二测画法可得其直观图如下： 对于A，因为，而， 故相等的线段在直观图中仍然相等这种说法错误，A错误； 对于B，因为，而 故相等的角在直观图中不一定相等这种说法正确，B正确； 对于C，由斜二测画法性质可得平行的线段在直观图中仍然平行，C正确； 对于D，因为，而不垂直， 所以互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直这种说法正确，D正确. 故选：A. 2.关于斜二测画法，下列说法错误的是（    ） A．平行直线的直观图仍然是平行直线 B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线 C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的 D．线段的中点在直观图中仍然是中点 【解题思路】根据斜二测画法的基本原理依次判断各个选项即可. 【解答过程】对于A，平行直线在直观图中长度可能会变化，但平行关系不变，A正确； 对于B，平行于轴和轴的两条直线，在直观图中夹角为，B错误； 对于C，直观图中与两条坐标轴重合的直线，还原后与平面直角坐标系中的轴重合，实际位置互相垂直，C正确； 对于D，线段的中点在直观图中依然会是该线段直观图画法中的中点，D正确. 故选：B. 3.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ） A．三角形的直观图是三角形 B．长方形的直观图是长方形 C．正方形的直观图是正方形 D．菱形的直观图是菱形 【解题思路】根据斜二测直观图的画法规则，对选项逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】由斜二测直观图的画法规则，平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，可知三角形的直观图还是三角形，故A正确； 长方形跟正方形的直观图是平行四边形，故BC错误； 菱形的直观图是平行四边形，故D错误. 故选：A. 考点二、空间图形的直观图的画法 题型四、空间图形的直观图的画法 【方法点拨】(1)对于一些常见简单几何体(柱体、锥体、台体、球) 的直观图，应该记住它们的大致形状，以便快速准确地画出. (2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向. (3)平行于z轴(或在z轴上)的线段，方向与长度都与原来保持一致. 【例7】用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图． 【解题思路】由斜二测画法的规则画出直观图即可. 【解答过程】解：根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形． ①画出水平放置的长、宽分别是8 cm、6 cm的矩形ABCD的直观图． ②作Az垂直于AB，在Az轴上截取． 分别过点B、C、D作，，，且． ③连接、、、，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得长方体的直观图，如图2所示． 【跟踪训练】 1.用斜二测画法画出长方体的直观图，其中，，． 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法的要求和步骤，作图即可. 【详解】（1）画轴.如图，画x,y,z轴，三轴相交于O(A)，使得 . （2）画底面.在x轴正半轴上取线段AB，使AB=3cm,在y轴正半轴上取线段AD,使AD=2cm, 过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C,则就是长方体的底面ABCD的直观图. （3）画侧棱.在z轴正半轴上取线段,使，过B,C,D各点作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取5cm长的线段 . （4）成图.顺次连接,并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），得到所要求作的长方体的直观图 2.画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3的正六边形，高为5． 【解题思路】根据斜二测画法的要求和步骤，作图即可. 【解答过程】（1）画轴.如图，画x,y,z轴，三轴相交于O，使得 . （2）画底面.在x轴上以O为中点截取线段FC，使FC=6cm,在y轴上以O为中点取线段GH, 使 ,分别过点G,H作x轴的平行线，并在平行线上分别以G,H为中点截取AB=3cm,ED=3cm, 连接BC,CD,EF,FA,则六边形ABCDEF就是正六棱柱的底面的直观图. （3）画侧棱.在z轴正半轴上取线段,使，过A,B,C,D,E,F各点作z轴的平行线， 在这些平行线上分别截取5cm长的线段 . （4）成图.顺次连接,并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），得到所要求作的正六棱柱的直观图. 考点三、斜二测画法的有关计算 题型五、直观图和原图的面积问题 【方法点拨】斜二侧画法的面积是原来图形面积的倍。 原来的高变成了45°的线段，且长度是原高的一半，因此新图形的高是这个一半线段的倍，故新高是原来高的，而横向长度不变，所以面积变为原面积的。 【例8】如图，是一个平面图形的直观图，若，则这个平面图形的面积是（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】结合斜二测法的转化关系，求出平面图形的底和高，即可求解. 【解答过程】由已知得中，直角边，， 则平面图中该三角形，对应底面边长不变为，三角形的高应为， 则平面三角形的面积为. 故选：C. 【跟踪训练】 1.已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为1的正方形，如图所示，则该平面图形的面积是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】斜二测画法换元注意纵坐标长度是原来的倍，横坐标长度不变． 【详解】，所以，还原如图所示： 则，所以平面图形面积． 故选：D． 2.已知正△ABC的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是（    ） A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 【答案】D 【分析】先求出正△ABC的面积S＝a2，根据直观图面积S′与原图面积之比即可求出直观图的面积. 【详解】因为正△ABC的边长为a，所以其面积S＝a2，又因为直观图面积S′与原图面积之比为，即＝，所以S′＝×a2＝a2． 答案：D 3.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰长为2，上底长为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，再计算平面图形的面积即可. 【详解】由已知用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图如下图： 则， 则把直观图还原为平面图形如下图： 这个平面图形的面积为. 故选：C. 4．如图，一个三角形在斜二测画法下的直观图是一个边长为2的正三角形．求该三角形原来的面积． 【答案】 【分析】根据斜二测法中原图与直观图面积的数量关系，即可求原来面积. 【解析】由题设，正三角形在轴上的底与原图一样为2， 而正三角形的高是原图高的并倾斜45°后得到，有，即， 若原来面积为，则. 5.如图，已知通过斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形，则为（    ） A．面积为的等腰三角形 B．面积为的等腰三角形 C．面积为的直角三角形 D．面积为的直角三角形 【解题思路】将直观图还原即可求解. 【解答过程】解：如图因为斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形， 故，, 将直观图还原，则,, 故所得三角形为直角三角形，面积为. 故选：D. 题型六、直观图和原图的周长问题 【例9】如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是平行四边形，且，则平面图形的周长为（    ） A．12 B． C．5 D．10 【答案】D 【分析】根据斜二测画法得到平面图形，即可得解； 【详解】根据斜二测画法的规则可知该平面图形是矩形，如下图所示，且长，宽. 故该平面图形的周长为. 故选：D 【跟踪训练】 1.在直角坐标系中水平放置的直角梯形如图所示.已知为坐标原点，,,.在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形的周长为（    ） A．8 B．10 C． D． 【解题思路】根据原图作出它的直观图，再计算周长. 【解答过程】如图，画出直观图， 过点作，垂足为.因为，，所以，，，则，故四边形的周长为，所以D正确. 故选：D. 2.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（    ） A．8 B． C．16 D． 【答案】C 【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的周长即可． 【详解】还原直观图为原图形如图所示， 因为，所以，还原回原图形后， ，， 所以， 所以原图形的周长为． 故选：C. 一、填空题 1.直角梯形ABCD，，，，，，则ABCD水平放置的直观图中的形状是 . 【解题思路】根据斜二测画法的原则，“横不变，纵减半”画出平面图形，即可得出结果. 【解答过程】在直角坐标系中，如图1所示，以A为坐标原点O，作出直角梯形ABCD， 如图2所示，再作出坐标系，使，以为坐标原点，在轴上作，在轴上作，作，且，连结，则，为等腰三角形. 则ABCD水平放置的直观图中的形状是等腰三角形. 故答案为：等腰三角形. 2.如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作轴，则的长为 ． 【解题思路】结合已知条件利用直观图与原图之间的面积关系得到的面积，进而得到. 【解答过程】因为，， 所以，即. 故答案为：. 3. 利用斜二测画法作边长为2的正方形的直观图，则所得直观图的面积为_______ 【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积． 【解析】根据斜二测画法的原则可知，， 对应直观图的面积为， 故选：C． 4. 如图，水平放置的的斜二测直观图为，若，则______ 【分析】首先得到平面图形，再根据斜二测画法规则求出线段长度. 【解析】依题意由直观图可得如下平面图形，因为， 所以，， 所以. 5.如图，已知水平放置的按斜二测画法得到的直观图为，若，，则的面积为______ 【分析】根据斜二测画法的规则，还原图象，可得三角形的高和底，可得答案. 【解析】由题意，，，， . 6.如图所示，的直观图是边长为4的等边，则在原图中，边上的高为______ 【分析】首先求出直观图中上的高，即可求出，从而求出，即可得解. 【解析】在直观图中，因为边长为的等边，所以上的高， ∴， ∴在原图中，上的高. 7. 关于斜二测画法，有如下说法： ①在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同；②等腰三角形的直观图仍为等腰三角形；③梯形的直观图仍然是梯形；④正三角形的直观图一定为等腰三角形． 其中正确的序号有______． 【答案】①③ 【分析】利用斜二测画法逐一作出判断即可. 【详解】由斜二测画法规则知： ①在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同，故正确； ②等腰三角形的直观图不一定是等腰三角形，故错误； ③梯形的直观图仍然是梯形，故正确； ④正三角形的直观图不一定为等腰三角形，故错误． 故答案为：①③ 二、选择题 8．如图有一个直角梯形，则它的水平放置的直观图是（    ） A．   B． C．   D． 【答案】A 【分析】 作出直角梯形的直观图，即可得出合适的选项. 【解析】作出直角梯形的直观图如下图所示： A选项满足要求. 故选：A. 9.一个三角形水平放置的直观图是正三角形，则原三角形是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】作出直观图为正三角形对应的原三角形，即可判断作答. 【详解】令正是水平放置的的直观图，不妨令点在数轴上，如图， 因为，则线段与轴必相交，令交点为， 在直角坐标系中，点在轴上，，点在轴上，，如图， 因此点必在线段的延长线上，有，即是钝角三角形， 所以原三角形是钝角三角形. 故选：C 10.利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上说法正确的是（    ） A．① B．①② C．③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据斜二测画法的规则依次判断各命题即可作答. 【详解】由斜二测画法规则知，斜二测画法不改变平行性，即原图形与直观图中对应的相交直线、平行直线的关系不变， 因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形，①②正确， 由于斜二测画法规则中，原图形中x，y轴互相垂直，在直观图中，对应的轴夹角为， 并且原图形中在y轴上或平行于y轴的线段在直观图中长度减半，原图形中在x轴上或平行于x轴的线段在直观图中长度不变， 因此斜二测画法会改变角的大小，③④错误. 故选：B 11．如图是斜二测画法下水平放置的平面图形的直观图，则其表示的原平面图形是（    ） A．任意梯形 B．直角梯形 C．任意四边形 D．平行四边形 【答案】B 【分析】根据所给的图形中，可得到原图形为一个直角梯形． 【解析】因为直观图中，， 所以原图形中， 因为直观图中， 所以原图形中， 综上，原图形是直角梯形， 故选：B． 12.如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（    ） A．面积为的矩形 B．面积为的矩形 C．面积为的菱形 D．面积为的菱形 【答案】C 【分析】根据题意利用斜二测画法判断原图形的形状，即可求出其面积. 【详解】，所以， 故在原图中，， ， 所以四边形为菱形(如图所示)，， 则面积为. 故选：C 13．如图，正方形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，若，则四边形周长与面积的数值之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直观图与原图的关系分析求解即可； 【解析】由图可知，所以四边形的面积为； 根据轴不变，轴减半的原则，的坐标为： 四边形周长为 所以四边形周长与面积的数值之比为, 故选：A. 三、解答题 14.用斜二测画法画出正五棱柱的直观图． 【答案】见解析 【分析】利用斜二测画法画出即可. 【详解】（1）画轴．画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示． （2）画底面．按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE. （3）画侧棱．过点A，B，C，D，E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′都相等． （4）成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示． 15.如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CDAB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试画出梯形ABCD水平放置的直观图，并求直观图的面积． 【答案】图见解析， 【分析】由斜二测画法规则作直观图，在直观图中求得梯形的高可得面积． 【详解】解：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1.由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变．如图所示， 在直观图中，O′D′＝OD，梯形的高D′E′＝，于是，梯形A′B′C′D′的面积S＝×(1＋2)×＝. 16.用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定），并由此探寻直观图面积与原图形面积之间的关系. (1)矩形； (2)平行四边形； (3)正三角形； (4)正五边形 【解题思路】（1）根据斜二测画法的规则，即可得到平面图形的直观图，再探究可得出直观图与原图形面积之间的等量关系； （2）根据斜二测画法的规则，即可得到平面图形的直观图，再探究可得出直观图与原图形面积之间的等量关系； （3）根据斜二测画法的规则，即可得到平面图形的直观图，再探究可得出直观图与原图形面积之间的等量关系； （4）根据斜二测画法的规则，即可得到平面图形的直观图，再探究可得出直观图与原图形面积之间的等量关系. 【解答过程】(1) 解：根据斜二测画法的规则，可得： 设，，则，直观图中边边上的高为， 因此，设直观图和原图形的面积分别为、，则. (2) 解：根据斜二测画法的规则，可得： 设，，则，直观图中边边上的高为， 因此，设直观图和原图形的面积分别为、，则. (3) 解：根据斜二测画法的规则，可得： 设，，则，直观图中边边上的高为， 因此，设直观图和原图形的面积分别为、，则. (4) 解：根据斜二测画法的规则，可得： 设，，则，的边边上的高为， 所以，， 同理可得，，，， 设五边形的面积为，直观图五边形的面积为， 则 . 17.（1）已知的直观图是边长为a的正三角形.求原三角形的面积； （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，能否判断的形状； （3）若（2）中的边A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？ 【答案】（1）（2）能（3）10 【分析】首先分析题意，利用面积公式求出原图形面积，再用斜二测画法进行求解. 【详解】（1）∵直观图的面积S直＝S原，S直＝a2，∴S原＝a2， 即原三角形ABC的面积为a2. （2）由斜二测画法规则知，故为直角三角形. （3）由已知得在直角中，， 故. 18.如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 【答案】(1)图形见解析 (2)， 【分析】（1）利用直观图与原图形的关系作图即可得； （2）利用直观图的性质计算可得原图形对应边长，即可计算原图形的高与面积. 【详解】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即， 在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取， 过点作轴，并使， 连接，，则即为原来的图形，如图②所示： （2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高， 且， 在直观图中作于点， 则的面积， 在直角三角形中，，所以， 所以. 故原图形中边上的高为，原图形的面积为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $