专题01 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、造桥模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理特殊平行四边形最值模型体系，以矩形、菱形、正方形为载体，结合将军饮马、遛马、造桥三大经典模型，用思维导图呈现几何变换（轴对称、平移）与公理（两点之间线段最短）的内在联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与模型化方法指导，如将军饮马双线段和最小值典例（北京期中题），通过“定轨迹-找对称-化直-计算”四步培养推理能力与几何直观。A/B/C组题满足不同学生需求，易错点总结助力自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

专题01 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、造桥 特殊平行四边形最值模型，是以矩形、菱形、正方形为固定载体，结合三大经典几何最值（将军饮马、遛马、造桥）衍生的综合题型。核心本质：依托特殊平行四边形的对称性、边长相等、垂直平行等特殊性质，通过轴对称翻折、平移变换，将折线、折线段和差、带固定间距的路径，转化为直线段，利用“两点之间，线段最短”“垂线段最短”公理求解最值，是几何变换与图形性质的综合应用。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 2 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 6 模型3.将军饮马（多线段和的最小值） 9 模型4.将军遛马模型 12 模型6.将军造桥（过桥）模型 16 易错点与方法总结 21 模型运用 22 A组（基础题） 22 B组（能力提升题） 28 C组（综合压轴题） 33 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 1）几何公理：两点之间线段最短、垂线段最短； 2）变换性质：轴对称对应边相等、对应角相等；平移不改变线段长度与角度； 3）特殊平行四边形核心性质：正方形四边相等、四角90°、对角线垂直平分且相等；菱形四边相等、对角线垂直平分；矩形四角直角、对角线相等平分； 4）基础能力：勾股定理计算、线段转化、图形对称找点、动点轨迹分析。 本模型综合性极强，高频联动考点：矩形/菱形/正方形边角性质、对角线性质、轴对称变换、平移变换、勾股定理、最短路径、动点问题、几何定值最值。中考命题趋势：弱化单一模型考查，强化“特殊平行四边形性质+最值模型嵌套”，多以动点压轴、线段和差最值、周长最值形式出题，侧重考查几何转化思想。 模型1. 将军饮马模型（双线段和的最小值） 【模型提炼与证明】 条件：如图（1）（2），A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）：点A、B在直线m两侧： 模型（2）：点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，，，平分，是对角线上的一个动点，点是边上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：四边形是平行四边形，，， 平分，，， ，平行四边形是菱形，连接，，过点作于点， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得、关于对称，则， ，即就是的最小值，，， 在中，，，， 由勾股定理，得．的最小值为．故答案为：． 【典例2】（25-26八年级上·广东潮州·期末）如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： ∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴，，， ∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕， ∴，，， ∴，即是等边三角形，∴， ∵，∴， ∵，∴设，，则在中，， ∴，∴， ∵在中，，又∴，解得， ∴，，∴， ∵点Q是折痕上的一个动点，点A与点关于对称，∴连接，则， ∴，当、Q、E共线时取等号，此时点Q在N处， ∴的最小值为，故答案为：． 【典例3】（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图所示，在边长为的菱形中，，点为中点，点是上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，，， ∴四边形是菱形， ∴， 点与点关于对称，∴， ∵，∴，∴当三点共线时，则的最小值为的长， ∵， ∴为等边三角形， ∵点为的中点， ∴，， ∴在中，由勾股定理得，故答案为：． 【典例4】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，正方形的边长为4，在上，且，是上一动点．则周长的最小值为（    ） A． B． C．7 D．6 【答案】D 【详解】解：连接，， ∵四边形是正方形，∴点B与点D关于直线对称，∴， ∴，∴周长的最小值为， ∵正方形的边长为4，∴， ∵，∴，周长的最小值为．故选：D 模型2. 将军饮马模型（双线段差的最大值） 【模型提炼与证明】 条件：如图（3）（4），A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（3）：点A、B在直线m同侧： 模型（4）：点A、B在直线m异侧： 图（3） 图（4） 模型（3）：如图（3），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（4）：如图（4），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 【模型运用】 【典例1】（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为________．    【答案】 【详解】解：作的对称点，连接并延长交于点，∴，∴， 当在同一条直线上时，有最大值， ∵在菱形中，，∴，， ∴是等边三角形，∴，，， ∵，∴，∵，∴， ∵点为的中点，∴为的中点，∴， ∴，∴是等边三角形，∴，故答案为；    【典例2】（24-25·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________． 【答案】 【详解】解：①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度， ∵四边形是矩形，∴，，∴， ∵点O是的中点，∴，又∵，∴，∴，， ∵，∴，过点P作于点P，∵，∴四边形是矩形， ∴，，∴，∴，∴； ②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小， 的最小值为的长度，延长交于点G， ∵，点O是的中点，∴， ∴，，∴，， ∴，∴的最小值为：，故答案为：；． 【典例3】（24-25八年级下·山东聊城·期中）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且为对角线上一点，则的最大值为 ．    【答案】 【详解】解：如图，以为对称轴作N的对称点，连接，    根据轴对称性质可知，，∴，当三点共线时，取“”， ∵在正方形中，，， ∴，∵O为中点，∴， ∵N为中点，∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴为等腰直角三角形，∴，故答案为：2． 模型3. 将军饮马模型（多线段和的最小值） 【模型提炼与证明】 条件：如图（1）（2）（3），A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 模型（1）两个点在直线外侧；模型（2）内外侧各一点；模型（3）两个点在内侧 图（1） 图（2） 图（3） 模型（1）（两点都在直线外侧型） 如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）（直线内外侧各一点型） 如图（2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（3）（两点都在直线内侧型） 如图（3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 条件：如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 模型（4）：如图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 【模型运用】 【典例1】（2025·四川成都·校考一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），则四边形的周长取最小值是 【答案】2+ 【详解】解：如图1所示，作E关于BC的对称点，点A关于的对称点，连接，四边形的周长最小，∵，，∴，，AE=2． 在中，=;即四边形AEPQ的周长最小为2+： 【典例2】（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别是和上的两个动点，M为的中点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：作点D关于的对称点，作点M关于的对称点，连接，，， 则， ∴当，E，F，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长， ∵矩形中，，，∴，， 过点作的垂线，交的延长线于点H，则四边形为矩形，∴， ∵M为的中点，，∴， ∴，∴， ∴的最小值是．故答案为：． 【典例3】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在▱中，，，，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连接、、． （1）点到直线的距离是 ；（2）周长的最小值是 ． 【答案】 3 【详解】解：（1）如图：过点作的垂线，交延长线于点， ∵四边形是平行四边形，∴， ，，∴ ，，∴点到直线的距离是3；故答案为：3； （2）如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，， 则长为周长的最小值；由（1）知，在中，，， ，， 由对称性可知，，，是等腰三角形， 又，，， ∴周长的最小值；故答案为：. 模型4.将军遛马模型 【模型提炼与证明】 模型（1）：将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1）； 点A、B在直线m同侧 （图2）； 图1 图2 将军遛马模型（异侧型）：如图1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 将军遛马模型（同侧型）：如图2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 【模型运用】 【典例1】（2025·四川宜宾·二模）如图，在正方形中，，点是边的中点，点、是边上的两个动点且，连结、，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如下图所示，把向右平移个单位长度，使点与点重合，得到，延长交于M，则四边形是矩形，∴，； 四边形是正方形，，， 则，由平移的性质可知，， 作点关于的对称点，连接，则，，， 当点、、三点共线时最短， ∵，，，，， 在中，，的最小值是．故答案为： ． 【典例2】（2025·广东深圳·二模）如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边上，且．当时，的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N; ∵正方形的边长为3，∴ ∵∴∴ ∵四边形是正方形∴， ∴四边形是矩形∴∴， ∵∴∴ 又∵∴∴ ∵，∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度 ∵∴∴．故答案为：． 【典例3】（2025·河北邯郸·三模）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：在边长为1的菱形中，，，， 将沿射线的方向平移得到，，， 四边形是菱形，，，， ，，四边形是平行四边形， ，的最小值的最小值，点在过点且平行于的定直线上， 作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，则的长度即为的最小值， 在中，，， ，，，， ，，作， 过点D作垂足为G 在中， ．故选：． 【典例4】（24-25九年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在正方形中，，点、是对角线上的两个动点，且，连接、，则的最小值是 ． 【答案】5 【详解】解：连接，∵四边形是正方形，点B与点D关于对角线对称，∴， 过点D作，且，连接，∴四边形是平行四边形， ∴，∴．连接， ∵在正方形中，，∴，即， ∵在正方形中，，，∴在中，， ∴在中，，∴的最小值是5．故答案为：5 模型5.将军过桥（造桥）模型 【模型提炼与证明】 将军造桥（过桥）模型：已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 证明：如图2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 【模型运用】 【典例1】（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．    【答案】 【详解】解：如图，过点E作交于点I，连接．       ∵中，，，∴，∴， ∴，．∵，，∴． ∵，∴四边形为平行四边形，∴．同理可得出． ∵，，∴四边形为平行四边形， ∴，∴四边形为平行四边形，   ∴，∴，∴当最小时，最小． ∵当点I，H，C三点共线时，最小，∴此时最小，如图， ∵，∴．∵∴四边形为平行四边形，∴，， ∵，，∴，∴，∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【典例2】（25-26八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 【答案】【数学建模】， ① ，；【问题拓展】见解析【迁移应用】米 【详解】，①，；解：【问题拓展】桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短； 解：【迁移应用】如图所示，过作，使得，作关于直线对称点，延长交于，连接交直线于，此时使得最短， ∵，，∴四边形是平行四边形，∴， ∵关于直线对称点，∴，，, ∴， 在△中，由勾股定理得， ∴， 故步行观光路线的最短长度为米． 【典例3】（2025·西安·校考一模）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、． 【答案】米 【详解】解：如图所示，将点A沿着垂直于支流1的河岸的方向平移米得到，连接，将点B沿着垂直于支流2的河岸的方向平移米得到，连接， ∴四边形和四边形都是平行四边形，∴， ∴， ∴当四点共线时，最小，即此时最小； 如图所示， 分别延长交于H，∵支流1和支流2与线段所夹的锐角分别为、， ∴，∴，∴米， ∴米，∴米，米， ∴米， ∴的最小值为米． 模型常见易错点 1）混淆将军饮马和、遛马差最值逻辑； 2）对称找点错误，未利用特殊平行四边形对称轴； 3）遛马模型忽略动点边界限制； 4）造桥模型忘记平移消定长； 5）特殊图形性质误用； 6）最值求解后未验证动点位置。 解题方法总结 1）将军饮马（和最小）步骤 步骤1：定轨迹：确定动点在矩形/菱形/正方形的边、对角线上运动； 步骤2：找对称：利用特殊图形对称轴，翻折其中一个定点； 步骤3：化直：连接对称点与另一定点，线段长即为最小值； 步骤4：计算：结合勾股定理、图形边长性质求解； 步骤5：规范作答最值及动点位置。 2）遛马模型（差最大）步骤 步骤1：列关系：根据三边关系得 ； 步骤2：定条件：判断动点能否与A、B三点共线； 步骤3：判边界：共线点在轨迹内，最大值为AB；超出则取端点最值； 步骤4：计算作答。 3）造桥模型（定距路径最小）步骤 步骤1：判题型：双平行线+定长动线段平移路径； 步骤2：做平移：将定点沿垂直平行线方向平移定长距离； 步骤3：连线段：平移点与另一定点连线，为最短可变路径； 步骤4：求和：最短总路径=连线长度+定长线段； 步骤5：规范求解。 1．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，正方形中，，点为线段上一点，且，点为上的任意一点，则的最小值为（　　） A．5 B． C．7 D．4 【答案】A 【详解】解：如图，作点P关于的对称点，连接， 则的长即为的最小值， ，， ，则的最小值为5，故选：A 2．（25-26八年级下·广东东莞·期中）在菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过作于交于点，过作于点，则此时的P、E满足最小， ∵四边形是菱形，∴且、互相平分，平分，∴， ∵垂线段最短，∴，即的最小值为线段的长度， ∵，，∴，，∴， ∴，∴菱形的面积为：， ∴，∴，∴的最小值为．故选：B． 3．（2025·安徽滁州·三模）如图，在矩形中，，点E，F，G，H分别在边，，，上，且，，则的最小值（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意，可知四边形是平行四边形，延长至点P使得，过点G作垂线，垂足为点Q，连接，当时最小， ∵，，∴，， ∴．故选：A． 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，，点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设边上的高是h，，，， 动点P在与平行且与的距离是2的直线l上， 如图，作点A关于直线l的对称点E，连结，， 则的长就是所求的最短距离，在中，，， ，即的最小值为．故选D． 5．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在矩形中，为的中点，若为边上的两个动点，且，则线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，连接，过A点作的平行线交于一点，即为P点，过G点作的平行线交的延长线于H点． ，，四边形是平行四边形，∴，    ∵E为边的中点，∴， F点与点G关于对称，垂直平分，， ∴，，， ∴，线段的最小值为，故答案为：． 6．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形ABCD的边长是5，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：作D关于AE的对称点D′，交AE于F，再过D′作D′P′⊥AD于P′，交AE于N， 则DD′⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD′，∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，∴△DAF≌△D′AF， ∴D′是D关于AE的对称点，AD′＝AD＝5， 当重合时，DQ+PQ ∴D′P′即为DQ+PQ的最小值， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′＝45°，∴AP′＝P′D′， ∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2＝AD′2，AD′2＝25，∵AP′＝P′D'，2P′D′2＝AD′2，即2P′D′2＝25， ∴P′D′＝，即DQ+PQ的最小值为．故答案为： 7．（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在矩形中，对角线上一动点E，连接，过点E作于点F，，求的最小值为 ．    【答案】2 【详解】过点A作的对称点，连接，则， ∴，∴当点，E，F共线时，最小，即最小， 此时，， 在中，，∴，， ∴，∴是等边三角形， ∴，∴，∴，∴，故答案为2．    8．（2025·辽宁锦州·三模）如图，矩形中，，，点E、F分别是、上的动点，，则的最小值是 ． 【答案】20 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，， ∵矩形中，，∴，，， ∵，∴四边形是矩形，∴，∴， ∵，，∴， 又∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为20，故答案为：20． 9．（2025·陕西榆林·二模）如图，在菱形中，，，连接，点为上的动点，连接并延长至点，使得，连接，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：连接并延长至点，使，记与的交点为，连接，连接，连接，过点作直线垂直，则： 直线是线段的垂直平分线， ∵菱形中，∴，，，∴是的中位线， ∴，∴，∴点在直线上，∴， ∵是定长，∴周长的最小值为， ∴当点在上时，的周长最小，为， ∵在菱形中，，∴，， ∴是等边三角形，∴，， ∴，∴， ∵，∴， ∴周长的最小值为，故答案为：． 10．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作点关于的对称点，过点作于，交于点，连接，，如图： 由折叠的性质知是的平分线，∴点在上， ∵，∴的最小值为的长， 由折叠的性质知为线段的垂直平分线， ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵为线段的垂直平分线，∴，， ∴，∴，∴四边形为平行四边形， ∵，∴四边形为菱形，∴，， ∴，∵，即，∴， ∴，即，∴，∴， ∴的最小值为．故选：C． 11．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，在正方形中，边长，点为边的中点，连接对角线，在上截取线段，使，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，以为腰在正方形的左侧作等腰直角三角形，取的中点，连接，过点作于点， ∵四边形是正方形，，∴， ∵等腰直角三角形，∴， ∴∴ ∵∴ ∴四边形是平行四边形，∴ ∴ ∴的最小值为 ∵， ∴ ∴， ∵是的中点∴∴， 在中， ∴的最小值为，故答案为：． 12．（2025·陕西·校考二模）如图，在菱形中，为边中点，而点在边上，为对角线所在直线上一动点，已知，，且，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，取的中点，连接，四边形是菱形 在和中 连接 当共线时，最大，图中处 作于 ．即的最大值为． 13．（2025·陕西·模拟预测）如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为________ 【答案】 【详解】解：如图，作DMAC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F， ∵DM＝EF，DMEF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE+BF＝FM+FB＝BM， 根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60° ∴AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝3， ∵BD⊥AC，DM∥AC，∴BD⊥DM，在Rt△BDM中，BM＝＝ ∴DE+BF的最小值为．故答案为． 14．（2025·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是______． 【答案】/ 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，． ，．，， ∴四边形为平行四边形，． ，，三点共线，此时的周长最小． ，，即，， 周长的最小值为：．故答案为：． 15.（24-25九年级下·山东泰安·期中）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为 【答案】 【详解】解：在边长为1的菱形中，，，， 将沿射线的方向平移得到，，， 四边形是菱形，，，，，， 四边形是平行四边形，，的最小值的最小值， 点在过点且平行于的定直线上，作点关于定直线的对称点，连接交定直线于， 则的长度即为的最小值，在中，，， ，，，， ，， ．故答案为：． 16．（2025·校考一模）如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连接AH，CG．若，，，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：如图：延长DA到点O，使AO=HE=4，连接OE、EG， ，，， 又，四边形AOEH是平行四边形，， 当点E、点G在OC上时，最小，即最小，， ，， ，故的最小值为，故答案为：． 17．（24-25·江苏淮安·八年级校考期中）如图，矩形中，，矩形的对角线相交于点O，点E，F为边上两个动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 【详解】过点O作于点H，把点O向右平移2个单位至点，作点关于的对称点，交于点K，连接交于点E，作，交的延长线于点G．则四边形和四边形都是矩形，∴，，，． ∵，∴四边形是平行四边形，∴， ∴， ∴由两点之间线段最短可知，此时的值最小，最小值是线段的长． ∵四边形是矩形，∴，，， ∴，．∵，∴，∴， ∴，即的最小值为．故答案为：． 18．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在矩形中，，，把边沿对角线平移，点，分别对应点、．给出下列结论： ①顺次连接点，，，的图形一定是平行四边形；②点到它关于直线的对称点的距离为48； ③的最大值为15；④的最小值为36．其中正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【详解】解：如图，当与不重合时， ，，，，，， 四边形是平行四边形，当点与重合时，四边形不存在，故①错误， 作点关于直线的对称点，连接交于，交于点，作于点，由平移的性质，得，，由矩形的对称性，得，，， 四边形是矩形，，，， ，，，故②正确， ，，的最大值为15，故③正确， 如图，，，作点关于的对称点，连接交于，过点作交的延长线于，连接交于， 此时的值最小，最小值，由上面推理②知，， ∵，∴，可得， ，，，， ，的最小值为．故④错误， 故答案为：②③． 19．（2025·陕西榆林·二模）【问题提出】（1）如图1，在四边形中，，，，点E为的中点，点F为BC上一点，连接EF，，则的长为________； 【问题探究】（2）如图2，菱形的边长为8，且，E是的中点，F为对角线上一动点，连接，求周长的最小值； 【问题解决】（3）某校为了开展劳动教育，开辟出一块四边形空地，其平面示意图如图3中四边形所示，经测量，米，米，，并沿着对角线修建一条隔墙（厚度不计）将该空地分成和两个区域，其中区域为幼苗培育区，区域为作物观察区，的中点P处有一扇门，现计划在上取点E、F（点E在点F左侧），并沿修建一面结果记录墙（厚度不计），根据规划要求，米，且与的长度之和最小，请问的值是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）11；（2）；（3）的值存在最小值，最小值为米． 【详解】解：（1）∵，点E为的中点，∴， ∵，，∴四边形是平行四边形， ∴，∴，故答案为：11 （2）菱形的边长为8，点E为的中点， ，当最小时，的周长最小． 连接交AC于点，如图2． 四边形为菱形，，． 在和中，，，， ，，， 当B、F、E三点共线，即点F在点的位置时，取得最小值，最小值为的长． 过点E作交的延长线于点H，如图2． 四边形为菱形，，． ，，， ，， 即的最小值为．∴周长的最小值为． （3）过点P作于点H，如图3． ，于点H，∴． 点P为的中点，即，点H为的中点，即米． 在上取点N，使得米，连接． ，四边形为平行四边形，，． 作点N关于的对称点，连接交于点，连接交于点G，如图3． 则垂直平分，，即， 当点D、F、三点共线，即点F在点处时，取得最小值，最小值为的长．， 过点作交的延长线于点M，如图3． ∴∴．∴，∴米，∴米． 点P、H分别为的中点，为的中位线，米， 米，米，米， 即的值存在最小值，最小值为米． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、造桥 特殊平行四边形最值模型，是以矩形、菱形、正方形为固定载体，结合三大经典几何最值（将军饮马、遛马、造桥）衍生的综合题型。核心本质：依托特殊平行四边形的对称性、边长相等、垂直平行等特殊性质，通过轴对称翻折、平移变换，将折线、折线段和差、带固定间距的路径，转化为直线段，利用“两点之间，线段最短”“垂线段最短”公理求解最值，是几何变换与图形性质的综合应用。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 2 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 6 模型3.将军饮马（多线段和的最小值） 9 模型4.将军遛马模型 12 模型6.将军造桥（过桥）模型 16 易错点与方法总结 21 模型运用 22 A组（基础题） 22 B组（能力提升题） 28 C组（综合压轴题） 33 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 1）几何公理：两点之间线段最短、垂线段最短； 2）变换性质：轴对称对应边相等、对应角相等；平移不改变线段长度与角度； 3）特殊平行四边形核心性质：正方形四边相等、四角90°、对角线垂直平分且相等；菱形四边相等、对角线垂直平分；矩形四角直角、对角线相等平分； 4）基础能力：勾股定理计算、线段转化、图形对称找点、动点轨迹分析。 本模型综合性极强，高频联动考点：矩形/菱形/正方形边角性质、对角线性质、轴对称变换、平移变换、勾股定理、最短路径、动点问题、几何定值最值。中考命题趋势：弱化单一模型考查，强化“特殊平行四边形性质+最值模型嵌套”，多以动点压轴、线段和差最值、周长最值形式出题，侧重考查几何转化思想。 模型1. 将军饮马模型（双线段和的最小值） 【模型提炼与证明】 条件：如图（1）（2），A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）：点A、B在直线m两侧： 模型（2）：点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，，，平分，是对角线上的一个动点，点是边上的一个动点，则的最小值是 ． 【典例2】（25-26八年级上·广东潮州·期末）如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为 ． 【典例3】（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图所示，在边长为的菱形中，，点为中点，点是上一动点，则的最小值为 ． 【典例4】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，正方形的边长为4，在上，且，是上一动点．则周长的最小值为（    ） A． B． C．7 D．6 模型2. 将军饮马模型（双线段差的最大值） 【模型提炼与证明】 条件：如图（3）（4），A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（3）：点A、B在直线m同侧： 模型（4）：点A、B在直线m异侧： 图（3） 图（4） 模型（3）：如图（3），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（4）：如图（4），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 【模型运用】 【典例1】（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为________．    【典例2】（24-25·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________． 【典例3】（24-25八年级下·山东聊城·期中）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且为对角线上一点，则的最大值为 ．    模型3. 将军饮马模型（多线段和的最小值） 【模型提炼与证明】 条件：如图（1）（2）（3），A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 模型（1）两个点在直线外侧；模型（2）内外侧各一点；模型（3）两个点在内侧 图（1） 图（2） 图（3） 模型（1）（两点都在直线外侧型） 如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）（直线内外侧各一点型） 如图（2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（3）（两点都在直线内侧型） 如图（3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 条件：如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 模型（4）：如图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 【模型运用】 【典例1】（2025·四川成都·校考一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），则四边形的周长取最小值是 【典例2】（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别是和上的两个动点，M为的中点，则的最小值是 ． 【典例3】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在▱中，，，，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连接、、． （1）点到直线的距离是 ；（2）周长的最小值是 ． 模型4.将军遛马模型 【模型提炼与证明】 模型（1）：将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1）； 点A、B在直线m同侧 （图2）； 图1 图2 将军遛马模型（异侧型）：如图1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 将军遛马模型（同侧型）：如图2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 【模型运用】 【典例1】（2025·四川宜宾·二模）如图，在正方形中，，点是边的中点，点、是边上的两个动点且，连结、，则的最小值为 ． 【典例2】（2025·广东深圳·二模）如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边上，且．当时，的最小值为 ． 【典例3】（2025·河北邯郸·三模）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 【典例4】（24-25九年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在正方形中，，点、是对角线上的两个动点，且，连接、，则的最小值是 ． 模型5.将军过桥（造桥）模型 【模型提炼与证明】 将军造桥（过桥）模型：已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 证明：如图2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 【模型运用】 【典例1】（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．    【典例2】（25-26八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 【典例3】（2025·西安·校考一模）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、． 模型常见易错点 1）混淆将军饮马和、遛马差最值逻辑； 2）对称找点错误，未利用特殊平行四边形对称轴； 3）遛马模型忽略动点边界限制； 4）造桥模型忘记平移消定长； 5）特殊图形性质误用； 6）最值求解后未验证动点位置。 解题方法总结 1）将军饮马（和最小）步骤 步骤1：定轨迹：确定动点在矩形/菱形/正方形的边、对角线上运动； 步骤2：找对称：利用特殊图形对称轴，翻折其中一个定点； 步骤3：化直：连接对称点与另一定点，线段长即为最小值； 步骤4：计算：结合勾股定理、图形边长性质求解； 步骤5：规范作答最值及动点位置。 2）遛马模型（差最大）步骤 步骤1：列关系：根据三边关系得 ； 步骤2：定条件：判断动点能否与A、B三点共线； 步骤3：判边界：共线点在轨迹内，最大值为AB；超出则取端点最值； 步骤4：计算作答。 3）造桥模型（定距路径最小）步骤 步骤1：判题型：双平行线+定长动线段平移路径； 步骤2：做平移：将定点沿垂直平行线方向平移定长距离； 步骤3：连线段：平移点与另一定点连线，为最短可变路径； 步骤4：求和：最短总路径=连线长度+定长线段； 步骤5：规范求解。 1．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，正方形中，，点为线段上一点，且，点为上的任意一点，则的最小值为（　　） A．5 B． C．7 D．4 2．（25-26八年级下·广东东莞·期中）在菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽滁州·三模）如图，在矩形中，，点E，F，G，H分别在边，，，上，且，，则的最小值（  ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，，点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在矩形中，为的中点，若为边上的两个动点，且，则线段的最小值为 ． 6．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形ABCD的边长是5，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 ． 7．（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在矩形中，对角线上一动点E，连接，过点E作于点F，，求的最小值为 ．    8．（2025·辽宁锦州·三模）如图，矩形中，，，点E、F分别是、上的动点，，则的最小值是 ． 9．（2025·陕西榆林·二模）如图，在菱形中，，，连接，点为上的动点，连接并延长至点，使得，连接，则周长的最小值为 ． 10．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 11．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，在正方形中，边长，点为边的中点，连接对角线，在上截取线段，使，连接，，则的最小值为 ． 12．（2025·陕西·校考二模）如图，在菱形中，为边中点，而点在边上，为对角线所在直线上一动点，已知，，且，则的最大值为 ． 13．（2025·陕西·模拟预测）如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为________ 14．（2025·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是______． 15.（24-25九年级下·山东泰安·期中）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为 16．（2025·校考一模）如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连接AH，CG．若，，，则的最小值为______． 17．（24-25·江苏淮安·八年级校考期中）如图，矩形中，，矩形的对角线相交于点O，点E，F为边上两个动点，且，则的最小值为_________． 18．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在矩形中，，，把边沿对角线平移，点，分别对应点、．给出下列结论： ①顺次连接点，，，的图形一定是平行四边形；②点到它关于直线的对称点的距离为48； ③的最大值为15；④的最小值为36．其中正确结论的序号是 ． 19．（2025·陕西榆林·二模）【问题提出】（1）如图1，在四边形中，，，，点E为的中点，点F为BC上一点，连接EF，，则的长为________； 【问题探究】（2）如图2，菱形的边长为8，且，E是的中点，F为对角线上一动点，连接，求周长的最小值； 【问题解决】（3）某校为了开展劳动教育，开辟出一块四边形空地，其平面示意图如图3中四边形所示，经测量，米，米，，并沿着对角线修建一条隔墙（厚度不计）将该空地分成和两个区域，其中区域为幼苗培育区，区域为作物观察区，的中点P处有一扇门，现计划在上取点E、F（点E在点F左侧），并沿修建一面结果记录墙（厚度不计），根据规划要求，米，且与的长度之和最小，请问的值是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $