专题1.3 有理数的乘法与除法（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制六年级上册

本讲义聚焦有理数乘法与除法核心知识点，构建“法则-运算律-倒数-除法-混合运算”递进学习支架，系统梳理乘法法则（同号得正、异号得负及绝对值相乘）、交换律等运算律、倒数定义及除法法则，衔接前后知识形成完整体系。 资料以“知识点+典例+变式+练习”分层设计，通过多个有理数相乘符号判断等题型培养推理意识，乘法分配律简便计算提升运算能力，课中辅助教师突破乘除混合运算难点，课后综合练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题1.3 有理数的乘法与除法 教学目标 1. 掌握有理数乘法法则，能准确进行两个及多个有理数相乘运算。 2. 会运用乘法交换律、结合律、分配律简便计算。 3. 理解倒数定义，会求非 0 有理数的倒数。 4. 理解有理数除法的两个法则，掌握倒数概念（0 没有倒数）。熟练进行有理数除法、乘除混合运算。 教学重难点 1.重点 有理数的乘法、除法运算。 2.难点 乘除混合运算。 知识点01 有理数的乘法 1. 有理数的乘法法则 ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 ②任何数与0相乘，积为0. 2. 乘法运算律 ①乘法交换律 ②乘法结合律 ③乘法分配律 3. 几个有理数相乘 几个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积的符号为负；当负因数的个数是偶数时，积的符号为正。 当有一个因数为0时，积为0. 【即学即练】 1.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点02 有理数的除法 1. 倒数 若两个有理数的乘积为1，就称这两个有理数互为倒数。 ① ② 0没有倒数 ③ 倒数是它本身的数有 2. 除法法则 两数相除，除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。 () 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 零除以任何一个不为零的数都得零。 3. 乘除混合运算 ①统一除法为乘法 ② 先确定符号再求值 ③从左往右按顺序计算，能用简便方法尽量简便计算。 【即学即练】 1. 计算： (1)． (2)． 题型01 两个有理数相乘 【典例1】计算：（整数的乘法） (1)； (2)； (3)； (4)； 【典例2】计算：（分数、小数的乘法） (1)； (2)． 【变式1】计算： (1)． (2)． (3)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式4】 （1）已知，．若异号，求的值； （2）计算： 题型02 多个有理数相乘 【典例1】下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【典例2】计算： (1) (2) 【变式1】如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数（　　） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定也异号 D．一定同号 【变式2】绝对值不大于的所有整数的积是______ 【变式3】在五个数，，，，中任取三个数相乘，其中最小的积等于 __． 【变式4】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型03 乘法交换律、结合律 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 【变式2】计算：______． 【变式3】计算： 计算： (1)； (2)； 【变式4】计算： (1)； (2)． 题型04 乘法分配律 【典例1】计算： (1)； (2) 【变式1】．在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．下列各式运用运算律不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．计算： 【变式4】用运算律简便计算： (1)． (2)． 题型05 求一个数的倒数 【典例1】．计算下列各题，你发现什么规律？ (1)； (2)； (3)； 【典例2】．写出下列各数的倒数： (1)． (2)． (3)． 【变式1】下列说法中，正确的是（    ） A．除以一个数等于乘以这个数的倒数 B．非负整数是指正数和0 C．任意有理数都有倒数 D．任意有理数都有相反数 【变式2】下列说法中，错误的是（　　） A．0没有倒数 B．绝对值和倒数都是它本身的数是1 C．0乘以任何数都得0 D．0除以任何数都得0 【变式3】的倒数是_______，________的倒数是．若、互为倒数，则________． 【变式4】 小明在做除法运算（）÷（　　）时，将除法变成乘法时，除数没有变成其倒数，算出结果为，求正确的结果． 题型06 有理数的除法 【典例1】．计算： (1)； (2)； (3)； 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2】计算： (1)． (2)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4】计算 (1)； (2)． 题型07 分数的化简 【典例1】．化简： (1)； (2)； (3)． 【典例1】．化简下列分数： (1)； (2)； (3)； 题型08 乘除混合运算 【典例1】．计算： (1)； (2)． 【变式1】在计算时，小李的解题过程如下： 解：原式 ． 小李解法是否正确，若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 【变式2】计算： (1)． (2). (3)． 【变式3】计算 (1)； (2)； (3)； 1．2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 2．如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 3．计算的结果等于（     ） A．0 B．1 C． D． 4．计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．计算：________． 6．计算： __________． 7．计算：_____． 8．按运算步骤：输入乘加，若输入，则输出结果为______． 9．若，则内的数字是________． 10．定义新运算，则______________． 11．的倒数是______，______，的相反数是______． 12．下列有理数的运算中正确的有___________（填序号） ①   ②   ③    ④ 13．若，则“”表示的数是______． 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．计算下列各题： (1)； (2)； (3)． (4)． 1．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式运用运算律不正确的是（     ） A． B． C． D． 3．有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．下列结论：①两数之积为正，这两数同为正；②三数相乘，积为负，这三个数都是负数；③两数之积为负，这两数为异号；④几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 5．数轴上三点对应的数为，满足，下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 6．小溪在计算时，除号变乘号时，忘记把改成它的倒数，结果是54，则的正确结果是______． 7．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 8．对于有理数，，定义运算：，则______． 9．把四个数字分成横着两行、竖着两列，左右各画一根竖线包住，横着的一组数叫一行，从上往下是第一行、第二行；竖着的一组数叫一列，从左往右是第一列、第二列.这个整体就叫二阶行列式．例如我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如，请你计算的值为______． 10．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 11．用简便方法进行计算： (1)； (2)； (3)． 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 有理数的乘法与除法 教学目标 1. 掌握有理数乘法法则，能准确进行两个及多个有理数相乘运算。 2. 会运用乘法交换律、结合律、分配律简便计算。 3. 理解倒数定义，会求非 0 有理数的倒数。 4. 理解有理数除法的两个法则，掌握倒数概念（0 没有倒数）。熟练进行有理数除法、乘除混合运算。 教学重难点 1.重点 有理数的乘法、除法运算。 2.难点 乘除混合运算。 知识点01 有理数的乘法 1. 有理数的乘法法则 ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 ②任何数与0相乘，积为0. 2. 乘法运算律 ①乘法交换律 ②乘法结合律 ③乘法分配律 3. 几个有理数相乘 几个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积的符号为负；当负因数的个数是偶数时，积的符号为正。 当有一个因数为0时，积为0. 【即学即练】 1.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解： =1.25（确定积的符号） =（把绝对值相乘） （2）解： =（确定积的符号） （交换律、结合律） ； （3）解： （分配律） ； （4）解： （分配律的逆用） ． 知识点02 有理数的除法 1. 倒数 若两个有理数的乘积为1，就称这两个有理数互为倒数。 ① ② 0没有倒数 ③ 倒数是它本身的数有 2. 除法法则 两数相除，除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。 () 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 零除以任何一个不为零的数都得零。 3. 乘除混合运算 ①统一除法为乘法 ② 先确定符号再求值 ③从左往右按顺序计算，能用简便方法尽量简便计算。 【即学即练】 1. 计算： (1)． (2)． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 题型01 两个有理数相乘 【典例1】计算：（整数的乘法） (1)； (2)； (3)； (4)； 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； 【典例2】计算：（分数、小数的乘法） (1)； (2)． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式1】计算： (1)． (2)． (3)． 【详解】（1）解： ； （2）； （3） ． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． 【详解】 （1）原式； （2）原式； （3）原式． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 【详解】 （1）解： （2）解： （3）解：计算： (1)； (2)； (3)． 【详解】 （1）解： （2）解： （3）解：= 【变式4】 （1）已知，．若异号，求的值； （2）计算： 【详解】解：（1）∵， ∴ ∵异号， ∴或， ∴或； ∴即：的值为； （2） 题型02 多个有理数相乘 【典例1】下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数乘法的符号法则，同号为正，异号为负，积的符号由负因数的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负因数，积的符号为正，不符合题意； B、有3个负因数，积的符号为负，符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有4个负因数，积的符号为正，不符合题意． 【典例2】计算： (1) (2) 【答案】(1)35 (2)6 【分析】（1）先确定积的符号，再计算积的绝对值； （2）先确定积的符号，再计算积的绝对值． 【详解】（1） （2） 【变式1】如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数（　　） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定也异号 D．一定同号 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法法则可得另外两个数的积为正数，由此即可得． 【详解】解：∵四个数的积为负数，其中有两个数异号（这两个数的积为负数）， ∴另外两个数的积一定为正数， ∴另外两个数一定同号． 【变式2】绝对值不大于的所有整数的积是______ 【答案】0 【分析】本题考查了绝对值定义和性质，有理数的乘法法则，正确理解绝对值的几何意义是解题的关键． 先求出所有的整数，再根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：绝对值不大于的所有整数是， 则积为． 故答案为：0 【变式3】在五个数，，，，中任取三个数相乘，其中最小的积等于 __． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘法运算．根据题意可知将最小的负数和最大的两个正数相乘结果即为本题答案． 【详解】解：要使得积最小，则必为负数，则所取三个数中有一个或三个负数， ∵， ∴当所取三个数中有一个负数，可取最小的负数是，最大的两个正数是和， 此时积为． 当所取三个数中有三个负数，即取， 此时积为． ∵， ∴最小的积等于 ． 故答案为：． 【变式4】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)1； (2)； (3)； (4) 【分析】（1）先确定积的符号，再计算积的绝对值； （2）先确定积的符号，再计算积的绝对值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型03 乘法交换律、结合律 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 【答案】D 【详解】解：原式变形为， 是将三个数相乘的运算顺序从“先算前两个数相乘”变为“先算后两个数相乘”， 符合乘法结合律的特征，故该变形的依据是乘法结合律． 【变式2】计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算法则，关键是交换因数的位置，利用乘法结合律进行解答． 利用有理数乘法运算法则进行计算． 【详解】解：＝＝1， 故答案为：1． 【变式3】计算： 计算： (1)； (2)； 【详解】（1） ； （2） ； 【变式4】计算： (1)； (2)． 【详解】 （1） ； （2） ． 题型04 乘法分配律 【典例1】计算： (1)； (2) （1）解： ； （2）解： 【变式1】．在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 又 原式可变形为 ． 【变式2】．下列各式运用运算律不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律的定义． 结合乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律及除法无分配律的特性，逐一判断各选项运算律的运用是否正确即可． 【详解】解：选项A运用乘法交换律，运算律运用正确； 选项B运用乘法结合律，运算律运用正确； 选项C中，除法无分配律，运算律运用错误； 选项D运用乘法分配律，运算律运用正确； 故选：C． 【变式3】．计算： 【详解】解：原式 ． 【变式4】用运算律简便计算： (1)． (2)． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 题型05 求一个数的倒数 【典例1】．计算下列各题，你发现什么规律？ (1)； (2)； (3)； 【详解】（1）解：； （2）解：=； （3）解：=1； 规律：三道题的运算结果都是“1”，说明每道题中两个因数互为倒数。 【典例2】．写出下列各数的倒数： (1)． (2)． (3)． 【详解】（1）解：因为0.5=，所以的倒数是2； （2）解：因为=，所以的倒数是； （3）解：因为=，所以的倒数是． 【变式1】下列说法中，正确的是（    ） A．除以一个数等于乘以这个数的倒数 B．非负整数是指正数和0 C．任意有理数都有倒数 D．任意有理数都有相反数 【答案】D 【分析】本题考查有理数的除法法则、非负整数的定义、倒数的定义以及相反数的定义，解题的关键在于准确理解这些概念和法则，逐一分析每个选项. 【详解】解：A、除以一个数（0除外）就等于乘以这个数的倒数，原说法错误，不符合题意； B、非负整数是指正整数和0，原说法错误，不符合题意； C、0是有理数但没有倒数，原说法错误，不符合题意； D、任意有理数都有相反数，说法正确，符合题意， 故选：D 【变式2】下列说法中，错误的是（　　） A．0没有倒数 B．绝对值和倒数都是它本身的数是1 C．0乘以任何数都得0 D．0除以任何数都得0 【答案】D 【分析】直接利用倒数的定义、乘除法则分别分析得出答案． 【详解】A、0没有倒数，正确，不合题意； B、绝对值和倒数都是它本身的数是1，正确，不合题意； C、0乘以任何数都得0，正确，不合题意； D、0除以除0外的任何数都得0，故此选项错误，符合题意． 故选：D． 【变式3】的倒数是_______，________的倒数是．若、互为倒数，则________． 【答案】 【分析】本题考查了倒数，有理数的除法运算，熟练掌握倒数，有理数的除法运算是解题的关键． 根据倒数的定义求解，由、互为倒数，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，的倒数是； 的倒数是， ∴的倒数是； ∵、互为倒数， ∴， ∴， 故答案为：，，． 【变式4】 小明在做除法运算（）÷（　　）时，将除法变成乘法时，除数没有变成其倒数，算出结果为，求正确的结果． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的除法法则，关键是利用乘除法的关系求出原来的除数． 根据乘除法的互逆关系求出原来的除数，再根据有理数除法法则计算原除法算式的结果． 【详解】解：原来的除数为：， 正确的结果为：． 题型06 有理数的除法 【典例1】．计算： (1)； (2)； (3)； 【分析】除以一个数等于乘以它的倒数； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)． 【分析】除以一个数等于乘以它的倒数；0除以一个不为0的数还是0. 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式2】计算： (1)． (2)． 【分析】带分数化成假分数；注意简便计算。 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】带分数化成假分数；注意简便计算。 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 【变式4】计算 (1)； (2)． 【分析】小数、分数的乘除通常把小数化为分数。 【详解】（1）解： ； （2）解：． 题型07 分数的化简 【典例1】．化简： (1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了有理数的除法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 方法一：先把除法化为乘法，再结合乘法法则进行计算，即可作答． 方法二：利用分数的基本性质，分子分母同时乘以或除以一个不为0的数，分数的值不变。 【详解】（1）解法一：； 解法二： （2）解：； （3）解：． 【典例1】．化简下列分数： (1)； (2)； (3)； 【分析】本题考查了有理数的除法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 方法一：先把除法化为乘法，再结合乘法法则进行计算，即可作答． 方法二：利用分数的基本性质，分子分母同时乘以或除以一个不为0的数，分数的值不变。 【详解】（1）解：； 解法二： （2）解：； 解法二： （3）解：； （4）解：； 题型08 乘除混合运算 【典例1】．计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： （除法统一为乘法） （先确定符号，再把绝对值相乘） ； （2）解： （除法统一为乘法，同时确定符号） 【变式1】在计算时，小李的解题过程如下： 解：原式 ． 小李解法是否正确，若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 【详解】解：小李的解法不正确．错误原因：有理数的乘除混合运算属于同级运算，应按照从左到右的顺序依次计算，小李错误运用除法结合律改变了运算顺序，导致结果错误； 正确解答： 原式 ． 【变式2】计算： (1)． (2). (3)． 【详解】（1）解：原式 （除法统一为乘法） （先确定符号，再把绝对值相乘） ； （2）解：原式 （先算小括号内的） ； （3）解：原式（除法统一为乘法） （先确定符号，再把绝对值相乘） ； 【变式3】计算 (1)； (2)； (3)； 【详解】（1）解： （从左往右依次计算） ； （2）解： ； （3）解： （除法改成乘法） （逆运算乘法分配律） ； 1．2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. 2．如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据数轴上点的位置判断两个数的符号，再利用有理数除法法则判断商的符号即可． 【详解】解：∵有理数，在数轴上对应的点分别在原点的两侧， ∴和一个是正数，一个是负数，即，异号， 又∵有理数除法法则为：两数相除，同号得正，异号得负， ∴这两个数相除所得的商一定是负数． 3．计算的结果等于（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘法的运算法则，只需利用0乘任何数都得0的性质计算即可． 【详解】解：． 4．计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据乘法分配律求解即可． 【详解】解：． 5．计算：________． 【答案】6 【详解】解： ． 6．计算： __________． 【答案】 【详解】解： ． 7．计算：_____． 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】解： ． 8．按运算步骤：输入乘加，若输入，则输出结果为______． 【答案】1 【详解】解：根据题意得，． 9．若，则内的数字是________． 【答案】 【详解】解：根据乘除互为逆运算可得，内的数字是． 10．定义新运算，则______________． 【答案】 【分析】根据题中新定义的运算规则，结合有理数混合运算法则计算即可求出值． 【详解】解： ． 11．的倒数是______，______，的相反数是______． 【答案】 / 【分析】本题考查倒数、绝对值、相反数的定义，根据对应概念计算即可． 【详解】根据倒数的定义，乘积为的两个数互为倒数，可得 的倒数是； 根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可得 ； 根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，可得 的相反数是． 12．下列有理数的运算中正确的有___________（填序号） ①   ②   ③    ④ 【答案】② 【详解】解：对四个式子逐一计算判断：①，，故①错误； ②，结果正确，故②正确； ③，，故③错误； ④，，故④错误； 综上正确的有②． 13．若，则“”表示的数是______． 【答案】 【分析】利用有理数除法运算结合倒数的定义求解． 【详解】解：由 得 ； 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查有理数的除法运算．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；符号法则：同号得正，异号得负．对于连续除法，从左到右依次计算或统一转换为乘法后计算． （1）根据除法法则计算即可； （2）根据除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （3）根据除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （4）根据除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ， （3）解： ； （4）解： ． 16．计算下列各题： (1)； (2)； (3)． (4)． 【分析】本题考查了有理数四则运算，掌握其运算方法是解题关键． （1）原式化为假分数再计算即可得到结果； （2）原式利用乘法分配律计算即可得到结果； （3）原式利用乘法分配律计算即可得到结果； （4）原式化为假分数再利用乘法分配律，计算即可得到结果． 【详解】 （1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式， ， ， ． （4）解：原式 ． 1．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数乘法的运算法则，几个非0的有理数的乘法，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、原式有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、原式有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、原式有一个因数为0，故积为0，不符合题意； D、原式有3个负号，积的符号为负，符合题意． 2．下列各式运用运算律不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法运算律进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，应用乘法交换律正确，故该选项不符合题意； B、，应用乘法结合律正确，故该选项不符合题意； C、，应用乘法结合律正确，故该选项不符合题意； D、，该等式应用乘法分配律错误，漏乘，故该选项符合题意． 3．有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据数轴上点的位置确定、的正负号及绝对值的大小关系，结合有理数的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知：，且， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； ，故④错误． 综上所述，一定成立的有①②③，共3个． 4．下列结论：①两数之积为正，这两数同为正；②三数相乘，积为负，这三个数都是负数；③两数之积为负，这两数为异号；④几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【分析】根据有理数的乘法法则逐一判断即可． 【详解】解：①两数之积为正，这两数同为正或同为负，原说法错误； ②三数相乘，积为负，这三个数都是负数或一个数是负数，两个数是正数，原说法错误； ③两数之积为负，这两数为异号，原说法正确； ④几个数相乘，若因数中没有0，则积的符号由负因数的个数决定，若因数中有0，则积为0，原说法错误； ∴说法正确的只有③，共1个． 5．数轴上三点对应的数为，满足，下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知的大小关系，判断各因式的正负，再利用同号得正，异号得负判断乘积的符号，即可选出正确选项. 【详解】解：∵， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，， 逐个分析选项： 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C成立； 选项D：，D错误. 6．小溪在计算时，除号变乘号时，忘记把改成它的倒数，结果是54，则的正确结果是______． 【答案】 【分析】先根据错误的计算过程列出关于的等式，求出的值，再代入正确的算式，根据有理数除法法则计算即可得到结果． 【详解】根据题意，可得错误的计算算式为：， 解得 ， 将代入正确算式， 得． 7．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【答案】④ 【分析】根据数轴上点的位置确定的取值范围及正负性，再结合有理数的运算法则及绝对值的意义逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， 对于①，∵在原点左侧，，故①错误 对于②，∵，，∴，根据有理数加法法则，∴，故②错误 对于③，∵，∴，故③错误 对于④，∵，，根据有理数乘法法则，∴，故④正确 综上所述，结论正确的是④ 8．对于有理数，，定义运算：，则______． 【答案】 【分析】根据，可以求得所求式子的值． 【详解】∵， ∴ ． 9．把四个数字分成横着两行、竖着两列，左右各画一根竖线包住，横着的一组数叫一行，从上往下是第一行、第二行；竖着的一组数叫一列，从左往右是第一列、第二列.这个整体就叫二阶行列式．例如我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如，请你计算的值为______． 【答案】16 【分析】根据题干所给的运算法则，结合有理数的四则混合运算法则，计算即可得出结果． 【详解】解：∵把称作二阶行列式，规定它的运算法则为， ∴． 10．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先算乘法，除以转化为乘4，算出结果； （2）式子含乘数0，任何数乘0都得0，结果直接为0； （3）除法转乘法，提取公因数，括号内化简后相乘； （4）带分数化为假分数，约分后相乘得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 11．用简便方法进行计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)10 (2) (3)8 (4) (5) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $