第三章 函数概念与性质 强化训练 2026-2027学年 高中数学高一上学期人教A版 必修第一册

**基本信息** 第三章函数单元复习卷，45分钟100分，覆盖分段函数、幂函数、函数模型等核心知识，通过基础巩固（如单选1分段函数求值）、能力提升（如多选8闭函数新定义）、创新应用（如解答15函数性质与实际问题）梯度设计，融合数学眼光（观察阶梯电价模型）、思维（推理函数单调性）与语言（表达函数关系），适配单元学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|6/30|分段函数求值、幂函数定义、函数模型|如第3题以药品降价为情境，考察二次函数模型构建| |多选|2/12|幂函数性质、新定义闭函数|第8题通过闭函数定义，考察逻辑推理与函数性质综合应用| |填空|4/20|奇函数性质、函数解析式、阶梯电价|第12题阶梯电价问题，体现数学语言表达现实数量关系| |解答|3/38|分段函数图象与性质、函数奇偶性与单调性、函数最值应用|第15题结合函数单调性求最值，关联实际情境中参数取值，考察数学思维的严谨性|

第三章 强化训练 (时间：45分钟　分值：100分) 一、单项选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1. 已知函数f(x)＝若f(a)＝10，则a的值是(　 　) A. －3或5 B. 3或－3 C. －3 D. 3或－3或5 2. 已知函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数，且为偶函数，则实数m等于(　 　) A. 2或－1 B. －1 C. 4 D. 2 3. 有关部门决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为x.已知该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y关于x的函数关系式为(　 　) A. y＝m(1－x)2 B. y＝m(1＋x)2 C. y＝2m(1－x) D. y＝2m(1＋x) 4. (2024·台州八校高一期中)已知f(x)＝x2＋3x＋1，x∈[－2，1]，则f(x)的值域为(　 　) A. [－1，5] B. C. D. 5. (2024·浙东北联盟高一联考)函数f(x)＝的大致图象为(　 　) A.　　　 B. C.　　　 D. 6. 若f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，又f(－2)＝1，则不等式f(x－1)＜1的解集为(　 　) A. {x|－1＜x＜3} B. {x|x＜－1，或x＞3} C. {x|x＜－1，或0＜x＜3} D. {x|x＞1，或－3＜x＜0} 二、多项选择题(本大题共2小题，每小题6分，共12分) 7. 若幂函数f(x)＝xα的图象经过点，则(　 　) A. f(x)在定义域内是减函数 B. f(x)的图象过点(1，1) C. f(x)是奇函数 D. f(x)的定义域是R 8. 对于定义域为D的函数y＝f(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内是增函数或减函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y＝f(x)(x∈D)称为闭函数.下列结论中，正确的是(　 　) A. 函数y＝x是闭函数 B. 函数y＝x2＋1是闭函数 C. 函数y＝－x2(x≤0)是闭函数 D. 函数f(x)＝(x＞－1)是闭函数 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 9. 已知f(x)＝是奇函数，则f(－3)＝　 　，f(g(－3))＝　 　.  10. 若函数f(x)满足f＝x，则f(x)的解析式为　 　.  11. 函数f(x)＝在上的最大值是　 　.  12. 为了引导居民节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，按月用电量计算，将居民家庭的月用电量划分为三个阶梯，电价按阶梯递增.第一阶梯，月用电量不超过240千瓦时的部分，电价为0.5元/千瓦时；第二阶梯，月用电量超过240千瓦时但不超过400千瓦时的部分，电价为0.6元/千瓦时；第三阶梯，月用电量超过400千瓦时的部分，电价为0.8元/千瓦时.若该城市某户居民某月交纳的电费为360元，则此户居民该月的用电量为　 　千瓦时.  四、解答题(本题共3小题，共38分) 13. (10分)已知函数f(x)＝x－[x]，x∈[－1，2)，其中[x]表示不超过x的最大整数，例[－3.05]＝－4，[2.1]＝2. (1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式； (2)作出函数f(x)的图象； (3)根据图象写出函数f(x)的值域和单调区间. 14. (13分)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0). (1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性. 15. (15分)已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，]上单调递减，在(，＋∞)上单调递增. (1)若函数h(x)＝x＋，当x∈[1，3]时，求h(x)的最值； (2)已知f(x)＝，x∈[0，1]，求函数f(x)的值域； (3)对于(2)中的函数f(x)和函数g(x)＝kx－2，x∈[1，2]，若对于任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[1，2]，使得g(x2)＝f(x1)，求实数k的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 强化训练 (时间：45分钟　分值：100分) 一、单项选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1. 已知函数f(x)＝若f(a)＝10，则a的值是(　A　) A. －3或5 B. 3或－3 C. －3 D. 3或－3或5 【解析】若a≤0，则f(a)＝a2＋1＝10，解得a＝－3(a＝3舍去)；若a＞0，则f(a)＝2a＝10，解得a＝5.综上可得，a＝5，或a＝－3. 2. 已知函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数，且为偶函数，则实数m等于(　D　) A. 2或－1 B. －1 C. 4 D. 2 【解析】由幂函数的定义知m2－m－1＝1，解得m＝－1，或m＝2.又f(x)为偶函数，∴指数m2－2m－2为偶数，故只有m＝2满足. 3. 有关部门决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为x.已知该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y关于x的函数关系式为(　A　) A. y＝m(1－x)2 B. y＝m(1＋x)2 C. y＝2m(1－x) D. y＝2m(1＋x) 【解析】第一次降价后价格为m(1－x)元，第二次降价后价格y与x的关系式为y＝m(1－x)(1－x)＝m(1－x)2. 4. (2024·台州八校高一期中)已知f(x)＝x2＋3x＋1，x∈[－2，1]，则f(x)的值域为(　C　) A. [－1，5] B. C. D. 【解析】函数f(x)＝x2＋3x＋1在上单调递减，在上单调递增，∴当x＝－时，函数f(x)取得最小值－，当x＝1时，函数f(x)取得最大值5，∴f(x)的值域为. 5. (2024·浙东北联盟高一联考)函数f(x)＝的大致图象为(　C　) A.　　　 B. C.　　　 D. 【解析】f(x)＝|x的定义域为R，又f(－x)＝|－x＝|x＝f(x)，故f(x)＝|x为偶函数，当x≥0时，f(x)＝，结合幂函数的图象可知，C正确. 6. 若f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，又f(－2)＝1，则不等式f(x－1)＜1的解集为(　A　) A. {x|－1＜x＜3} B. {x|x＜－1，或x＞3} C. {x|x＜－1，或0＜x＜3} D. {x|x＞1，或－3＜x＜0} 【解析】由于函数y＝f(x)为偶函数，则f(2)＝f(－2)＝1，且函数y＝f(x)在[0，＋∞)上单调递增，由f(x－1)＜1，可得f(|x－1|)＜f(2)，∴|x－1|＜2，即－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3.因此，不等式f(x－1)＜1的解集为{x|－1＜x＜3}. 二、多项选择题(本大题共2小题，每小题6分，共12分) 7. 若幂函数f(x)＝xα的图象经过点，则(　BC　) A. f(x)在定义域内是减函数 B. f(x)的图象过点(1，1) C. f(x)是奇函数 D. f(x)的定义域是R 【解析】∵幂函数f(x)＝xα的图象经过点，∴3α＝，解得α＝－1，∴f(x)＝，∴f(x)＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，A错误；当x＝1时，f(1)＝1，∴函数f(x)的图象过点(1，1)，B正确；∵f(x)＝的定义域关于原点对称，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，C正确；函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，D错误. 8. 对于定义域为D的函数y＝f(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内是增函数或减函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y＝f(x)(x∈D)称为闭函数.下列结论中，正确的是(　AC　) A. 函数y＝x是闭函数 B. 函数y＝x2＋1是闭函数 C. 函数y＝－x2(x≤0)是闭函数 D. 函数f(x)＝(x＞－1)是闭函数 【解析】对于A，∵y＝x是R上的增函数，且在R上任意子区间都满足新定义，∴A正确；对于B，若函数是闭函数，则可设x∈[a，b]，y∈[a，b]，假设函数是增函数，则显然无解，若是减函数，则解得a＝b，又a＜b，∴不存在区间满足新定义，B错误；对于C，函数是开口向下的二次函数，且在(－∞，0]上是增函数，令f(x)＝－x2，若是闭函数，则一定有即解得满足新定义的闭区间是[－1，0]，此时a＝－1， b＝0，C正确；对于D，函数在(－1，＋∞)上是增函数，若满足新定义则有即解得a＝b，又a＜b，∴不存在区间满足新定义， D错误. 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 9. 已知f(x)＝是奇函数，则f(－3)＝　－6　，f(g(－3))＝　 －33　.  【解析】∵函数f(x)是奇函数，∴f(－3)＝g(－3)＝－f(3)＝－6，∴f(g(－3))＝f(－6)＝－f(6)＝－33.　 10. 若函数f(x)满足f＝x，则f(x)的解析式为　f(x)＝(x≠1)　.  【解析】令＝t，则x＝，t≠1，∴f(t)＝，t≠1，∴f(x)＝(x≠1). 11. 函数f(x)＝在上的最大值是　2　.  【解析】当1≤x≤4时，f(x)＝，由1≤x≤4，得≤≤1，∴当时，f(x)取得最大值；当≤x＜1时，f(x)＝，由≤x＜1，得1＜≤2，∴当＝2时，f(x)取得最大值f＝2.综上，f(x)在上的最大值是2. 12. 为了引导居民节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，按月用电量计算，将居民家庭的月用电量划分为三个阶梯，电价按阶梯递增.第一阶梯，月用电量不超过240千瓦时的部分，电价为0.5元/千瓦时；第二阶梯，月用电量超过240千瓦时但不超过400千瓦时的部分，电价为0.6元/千瓦时；第三阶梯，月用电量超过400千瓦时的部分，电价为0.8元/千瓦时.若该城市某户居民某月交纳的电费为360元，则此户居民该月的用电量为　580　千瓦时.  【解析】设此户居民该月的用电量为x千瓦时，电费为y元，则y＝由题知y＝360.当0≤x≤240时，由 0.5x＝360，解得x＝720，不满足题意；当240＜x≤400时，由0.6(x－240)＋120＝360，解得x＝640，不满足题意；当x＞400时，由0.8(x－400)＋216＝360，解得x＝580，满足题意，故此户居民该月的用电量为580千瓦时. 四、解答题(本题共3小题，共38分) 13. (10分)已知函数f(x)＝x－[x]，x∈[－1，2)，其中[x]表示不超过x的最大整数，例[－3.05]＝－4，[2.1]＝2. (1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式； (2)作出函数f(x)的图象； (3)根据图象写出函数f(x)的值域和单调区间. 解：(1)当－1≤x＜0时，[x]＝－1，∴f(x)＝x＋1；当0≤x＜1时，[x]＝0， ∴f(x)＝x； 当1≤x＜2时，[x]＝1，∴f(x)＝x－1.综上， f(x)＝ (2)f(x)的图象如图所示： (3)由图象可得f(x)的值域为[0，1)，单调递增区间为[－1，0)，[0，1)，[1，2)，无单调递减区间. 14. (13分)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0). (1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性. 解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2，f(－x)＝f(x)，函数f(x)是偶函数；当a≠0时， f(x)＝x2＋(x≠0)，而f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，∴f(－1)≠ －f(1)，f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)若f(1)＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，这时f(x)＝x2＋. 设∀x1，x2∈[2，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝＝(x1＋x2)(x1－x2)＋＝(x1－x2)，由于x1≥2，x2≥2，且x1＜x2， ∴x1－x2＜0，x1＋x2＞，∴f(x1)＜f(x2)，故f(x)在[2，＋∞)上单调递增. 15. (15分)已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，]上单调递减，在(，＋∞)上单调递增. (1)若函数h(x)＝x＋，当x∈[1，3]时，求h(x)的最值； (2)已知f(x)＝，x∈[0，1]，求函数f(x)的值域； (3)对于(2)中的函数f(x)和函数g(x)＝kx－2，x∈[1，2]，若对于任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[1，2]，使得g(x2)＝f(x1)，求实数k的值. 解：(1)由题意知，函数h(x)在(0，2]上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，由 x∈[1，3]，可得函数h(x)＝x＋在区间[1，2]上单调递减，在区间(2，3]上单调递增.∵h(1)＝1＋4＝5，h(2)＝2＋2＝4，h(3)＝3＋，∴当x∈[1，3]时，h(x)的最小值为4，最大值为5. (2)f(x)＝＝2x＋1＋－8，令t＝2x＋1，x∈[0，1]，则y＝t＋－8，t∈[1，3].易知y＝2x＋1是R上的增函数，根据函数y＝t＋的性质可得，当1≤t≤2，即0≤x≤时，函数f(x)单调递减，当2＜t≤3，即＜x≤1时，函数f(x)单调递增，∵f(0)＝－3，f＝－4，f(1)＝－，∴函数f(x)的值域为[－4，－3]. (3)g(x)＝kx－2，x∈[1，2].当k＞0时，g(x)在区间[1，2]上单调递增，∴g(x2)∈[k－2，2k－2]，∵对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[1，2]，使得f(x1)＝g(x2)，∴函数f(x)的值域为函数g(x)值域的子集，由(2)知函数f(x)的值域为[－4，－3]，∴无解；当k＜0时，g(x)在区间[1，2]上单调递减，∴g(x2)∈[2k－2，k－2]， ∴解得k＝－1；当k＝0时，g(x)＝－2，不符合题意. 综上，k＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $