精品解析：北京市一零一中学2025-2026学年度第二学期期末考试七年级数学试卷

北京一零一中2025－2026学年度第二学期期末考试 初一数学 一、选择题：共30分，每题3分． 1. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列调查中，最适合抽样调查的是（ ） A. 调查某班足球队员的身高 B. 调查旅客随身携带的违禁物品 C. 飞机起飞前各零部件的检查 D. 调查全国中小学生对我国《神舟》载人飞船的关注度 4. 如图，，和的对应边分别是和，则下列与相等的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，为第四象限内的一点，轴于点，轴于点，且，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，是真命题的是（　　） A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 互补的两个角是邻补角 C. 在同一平面内，如果，，那么 D. 在同一平面内，如果，，那么A，B，C 三点在同一条直线上 7. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”．如图，的值接近黄金比，则黄金比（ ） （参考数据：，，，） A. 在0.1到0.3之间 B. 在0.3到0.5之间 C. 在0.5到0.7之间 D. 在0.7到0.9之间 8. 关于x，y的方程组满足不等式，则m的范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图1是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图2是其示意图．已知调整前、后的灯杆，调整前臂杆之间的夹角，调整后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化的角度（    ）． A. B. C. D. 10. “低空经济”作为新质生产力的代表，已被写入《政府工作报告》．如图，这是某研究院经调查、研究得出的关于低空经济市场规模的统计图．根据统计图中的信息，下列推断错误的是（ ） A. 2021至2026年中国低空经济市场规模逐年上升 B. 2026年中国低空经济市场规模将突破万亿元 C. 从2024年开始中国低空经济市场规模增长率变小 D. 2023年中国低空经济市场规模增量最多 二、填空题：共18分，每题3分． 11. 的平方根是________；的立方根是________． 12. 如图，计划把河水引到水池A中，先作，垂足为B，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是______． 13. 如图，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的度数为________． 14. 若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，、两点均在第四象限，其中点，点，若，，则的值为________． 16. 如图，在中，，的角平分线，交于点，过点作交于点，交的延长线于点．则的度数为________；若，且，则________． 三、解答题：共52分，17、19、21每题4分，18、20、22、23每题5分，24题6分，25、26题7分． 17. 计算： 18. 解不等式组： 19. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的平分线交于D；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，求点D到边的距离． 20. 如图，点、、、在直线上（、之间不能直接测量），点、在异侧，测得，，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 21. 如图，的三个顶点的坐标为，，． （1）若平移后得到，其中点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为． ①请在坐标系中画出， ②写出、的坐标： ________，________； （2）直接写出的面积为________． 22. 年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展．某公司计划购买A、B两种机器人共个．已知A种机器人每个万元，B种机器人每个万元，若购买两种机器人的总费用少于万元，且购进的A种机器人数量不多于B种机器人数量的一半，则该公司应该购进多少个A种机器人？ 23. 2026年中央电视台春节联欢晚会首次启用了虚拟主持人和全息投影技术，大大增强了节目的互动性．为了解七年级学生对今年春晚节目类型的喜爱情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，要求每位学生从以下四个类型中选择一个最喜爱的（单选）：A．歌舞类，B．语言类（小品、相声），C．魔术杂技类，D．互动类．调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）： 请你根据以上信息解决下列问题： （1）本次调查的样本容量为________，A类所对应的扇形圆心角的度数是________； （2）将条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）； （3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级最喜爱“互动类”节目的学生人数． 24. 若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组是中点包含． （1）已知关于的不等式组：，以及不等式组：，不等式组对于不等式组________（填“是”或“不是”）是中点包含． （2）已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组是中点包含，求的取值范围． （3）关于的不等式组：（）和不等式组：，若不等式组对于不等式组是中点包含，且所有符合要求的整数之和最大，直接写出的取值范围． 25. 如图，在中，，点在边上，连接，点是边上一点，且，连接交于点．延长到，使得，连接，是的中线． （1）依题意补全图形； （2）若，． ①证明：； ②用等式表示与的数量关系，并证明． 26. 在平面直角坐标系中，对于点，和图形，将图形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，得到图形，若点在图形上，则称点为图形关于点的“移动关联点”．如图，点，，点在线段上． （1）若，，，其中点________是线段关于点的“移动关联点”，点________是线段关于点的“移动关联点”； （2）若点为关于点的“移动关联点”，则点的横坐标的取值范围是________； （3）已知正方形，点，点，点，点． ①当时，若点为正方形关于点的“移动关联点”，则点的横坐标的取值范围是________； ②已知点，，若线段上任意一点，都是正方形关于点的“移动关联点”，则的取值范围是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京一零一中2025－2026学年度第二学期期末考试 初一数学 一、选择题：共30分，每题3分． 1. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式两边加、减、乘（或除以）同一个数（或式子）时不等号方向的变化规律，进而判断出各式是否成立． 【详解】解：， 不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，可得，故不成立； ， 不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，可得，故不成立； ， 不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，故不成立； ， 不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，可得，故一定成立． 故选：． 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、∵，满足任意两边之和大于第三边，∴能组成三角形； B、∵，不满足三边关系，∴不能组成三角形； C、∵，不满足三边关系，∴不能组成三角形； D、∵，不满足三边关系，∴不能组成三角形． 3. 下列调查中，最适合抽样调查的是（ ） A. 调查某班足球队员的身高 B. 调查旅客随身携带的违禁物品 C. 飞机起飞前各零部件的检查 D. 调查全国中小学生对我国《神舟》载人飞船的关注度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查普查与抽样调查的选择，需根据调查的范围和要求选择合适的调查方式，当调查对象数量多，范围广，不需要对每个个体结果精准统计时，适合采用抽样调查． 【详解】∵ 普查适合调查对象数量少，要求结果绝对精准，必须逐一检查的调查， 抽样调查适合调查对象数量大，范围广，无需全面调查的情况； ∴ A选项中，调查某班足球队员身高，调查对象数量少，适合普查，不符合要求； B选项中，调查旅客随身携带违禁物品，必须逐一检查，适合普查，不符合要求； C选项中，飞机起飞前零部件检查，关乎飞行安全，要求绝对精准，适合普查，不符合要求； D选项中，调查全国中小学生的关注度，调查对象数量大，范围广，适合抽样调查，符合要求． 4. 如图，，和的对应边分别是和，则下列与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形全等的性质和平行线的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴, ∴, ∴, ∴． 5. 如图，在平面直角坐标系中，为第四象限内的一点，轴于点，轴于点，且，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点的坐标，根据点到坐标轴的距离，以及第四象限内点的坐标特点，即可求解． 【详解】解：为第四象限内的一点， 的横坐标为正，纵坐标为负， ，， 点的坐标为， 故选A． 6. 下列命题中，是真命题的是（　　） A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 互补的两个角是邻补角 C. 在同一平面内，如果，，那么 D. 在同一平面内，如果，，那么A，B，C 三点在同一条直线上 【答案】D 【解析】 【分析】根据相关知识，判断解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握知识是解题的关键． 【详解】解：A. 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，错误，不符合题意； B. 互补的两个角不一定是邻补角，错误，不符合题意； C. 在同一平面内，如果，，那么，错误，不符合题意； D. 在同一平面内，如果，，那么A，B，C 三点在同一条直线上，正确，符合题意； 故选：D． 7. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”．如图，的值接近黄金比，则黄金比（ ） （参考数据：，，，） A. 在0.1到0.3之间 B. 在0.3到0.5之间 C. 在0.5到0.7之间 D. 在0.7到0.9之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，不等式的性质，正确判断的范围是求解本题的关键． 根据参考数据知，得，得，即得． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：C． 8. 关于x，y的方程组满足不等式，则m的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用加减消元法，整体思想得到关于的表达式，代入不等式即可求解的范围． 【详解】解：， ∴得， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 9. 如图1是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图2是其示意图．已知调整前、后的灯杆，调整前臂杆之间的夹角，调整后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化的角度（    ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：如图，设与的交点为， ∵，， ∴， ∵是的外角， ∴． 10. “低空经济”作为新质生产力的代表，已被写入《政府工作报告》．如图，这是某研究院经调查、研究得出的关于低空经济市场规模的统计图．根据统计图中的信息，下列推断错误的是（ ） A. 2021至2026年中国低空经济市场规模逐年上升 B. 2026年中国低空经济市场规模将突破万亿元 C. 从2024年开始中国低空经济市场规模增长率变小 D. 2023年中国低空经济市场规模增量最多 【答案】D 【解析】 【分析】根据条形统计图给出的中国低空经济市场规模总量和折线统计图提供的增长率计算出数值，根据数据进行判断． 【详解】解：A选项：由条形统计图可知，从至年中国低空经济市场规模逐年上升，且年增长率为正数，故年规模继续上升，  至年中国低空经济市场规模逐年上升， 故A选项正确； B选项：由条形统计图可知，年中国低空经济市场规模为亿元， 由折线统计图可知，年中国低空经济市场的增长率为 ，  年中国低空经济市场规模为 亿元，  ，  年中国低空经济市场规模将突破万亿元， 故B选项正确； C选项：由折线统计图可知，年增长率为 ，年增长率为，之后逐年下降，   从年开始中国低空经济市场规模增长率变小， 故C选项正确； D选项：由条形统计图计算各年增量， 年增量为 亿元， 年增量为 亿元， 年增量为 亿元，   ，  年中国低空经济市场规模增量不是最多，故D选项错误． 二、填空题：共18分，每题3分． 11. 的平方根是________；的立方根是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据正数的平方根有两个，且互为相反数，负数的立方根是负数，即可求解． 【详解】解：， 的平方根是； ， 的立方根是． 12. 如图，计划把河水引到水池A中，先作，垂足为B，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是______． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题主要考查点到直线的距离．把看作直线，是的垂线，由此即可求解． 【详解】解：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 13. 如图，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的度数为________． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、垂直的定义，解题的关键是熟知三角形的内角和定理．先由得到，再结合求得，最后结合求得的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为： 14. 若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解方程，可得x的值，根据方程的解是非负数，可得不等式，根据解不等式，可得答案． 【详解】解：， 解得：， ∵解为非负数， ∴， 解得：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，、两点均在第四象限，其中点，点，若，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】添加辅助线，过点作轴于，过点作，交的延长线于，构造全等三角形，得到，由此求解即可． 【详解】解：过点作轴于，过点作，交的延长线于，如图， 则有， ∵， ∴， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即的值为2． 16. 如图，在中，，的角平分线，交于点，过点作交于点，交的延长线于点．则的度数为________；若，且，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①根据角平分线的定义以及三角形的内角和即可求解；②延长，过点作交延长线与点,证明，根据线段的比例关系可知，根据面积构造方程即可知的长度，进而即可求解． 【详解】解：①∵是的平分线， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ②延长，过点作交延长线与点, ∵, ∴, ∵， ∴ ∴ 在和中， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴, ∴, 解得：, ∴． 三、解答题：共52分，17、19、21每题4分，18、20、22、23每题5分，24题6分，25、26题7分． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值意义，算术平方根定义，乘方运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再表示出解集即可． 【详解】解：解第一个不等式，得 解第二个不等式，得 ∴不等式组的解集是． 19. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的平分线交于D；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，求点D到边的距离． 【答案】（1）见解析 （2）点D 到边的距离为5 【解析】 【分析】本题考查作图——基本作图，角平分线的性质，解题的关键是理解题意正确作图，熟练掌握角平分线的性质定理． （1）根据作平分线的方法作出图形即可； （2）利用角平分线的性质定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，角平分线为所求， 【小问2详解】 解：过点D 作于点H ， ∵平分，，， ∴， ∴点D 到边的距离为5． 20. 如图，点、、、在直线上（、之间不能直接测量），点、在异侧，测得，，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ． （2）． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平行线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）先由平行线性质得到，再结合题中所给条件，，即可通过“角边角”证明全等； （2）根据全等三角形的性质得，再推得，即可由得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，， ． 21. 如图，的三个顶点的坐标为，，． （1）若平移后得到，其中点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为． ①请在坐标系中画出， ②写出、的坐标： ________，________； （2）直接写出的面积为________． 【答案】（1）①如图，即为所求， ②， （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用割补法求解三角形的面积即可． 【小问1详解】 ①略 ②根据点,可知，三角形先向上平移3个单位，再向右平移4个单位， 可得，； 【小问2详解】 解：的面积为：． 22. 年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展．某公司计划购买A、B两种机器人共个．已知A种机器人每个万元，B种机器人每个万元，若购买两种机器人的总费用少于万元，且购进的A种机器人数量不多于B种机器人数量的一半，则该公司应该购进多少个A种机器人？ 【答案】个 【解析】 【分析】设出未知数，列出一元一次不等式组，求解x的取值范围，再由是正整数，求解即可． 【详解】解：设购进A种机器人个，则购进B种机器人个， 由题意得， 由，可得， 由，可得， ， 由于是正整数，则， 答：购进A种机器人个． 23. 2026年中央电视台春节联欢晚会首次启用了虚拟主持人和全息投影技术，大大增强了节目的互动性．为了解七年级学生对今年春晚节目类型的喜爱情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，要求每位学生从以下四个类型中选择一个最喜爱的（单选）：A．歌舞类，B．语言类（小品、相声），C．魔术杂技类，D．互动类．调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）： 请你根据以上信息解决下列问题： （1）本次调查的样本容量为________，A类所对应的扇形圆心角的度数是________； （2）将条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）； （3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级最喜爱“互动类”节目的学生人数． 【答案】（1）100， （2） 补全条形图为： （3）280人 【解析】 【分析】（1）将B类的人数除以其百分比，即可求出样本容量．用乘以A类所占的比例，即可求出对应的扇形圆心角． （2）将样本容量减去A、B、C类的人数，得到D类的人数，即可补全条形统计图； （3）将学生总数800乘以样本中最喜爱“互动类”节目的比例，即可解答． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量为， A类所对应的扇形圆心角的度数是． 【小问2详解】 解：D类的人数为， 【小问3详解】 解：（人） 估计该校七年级最喜爱“互动类”节目的学生人数为280人． 24. 若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组是中点包含． （1）已知关于的不等式组：，以及不等式组：，不等式组对于不等式组________（填“是”或“不是”）是中点包含． （2）已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组是中点包含，求的取值范围． （3）关于的不等式组：（）和不等式组：，若不等式组对于不等式组是中点包含，且所有符合要求的整数之和最大，直接写出的取值范围． 【答案】（1）是； （2）； （3）． 【解析】 【分析】求出不等式组的解集，再根据解集中点值的定义求出的解集中点值即可，然后根据定义即可求解； 求出不等式组和的解集，又不等式组对于不等式组中点包含，进而得到的取值范围； 解不等式组得，则不等式组的解集中点值为，解不等式组得，根据不等式组对于不等式组中点包含，所以，解得，又所有符合要求的整数之和最大，进而得到的取值范围． 【小问1详解】 解：由不等式组：，得， ∴的解集中点值是， 又∵不等式组：， ∴不等式组对于不等式组是中点包含， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为， 解不等式组得，， ∵不等式组对于不等式组是中点包含， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：解不等式组得， ∴不等式组的解集中点值为， 解不等式组得，， ∵不等式组对于不等式组是中点包含， ∴， 解得， ∵所有符合要求的整数之和最大， ∴可取或可取， ∴． 25. 如图，在中，，点在边上，连接，点是边上一点，且，连接交于点．延长到，使得，连接，是的中线． （1）依题意补全图形； （2）若，． ①证明：； ②用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1）补全图形如下： （2）①证明：， ． ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ； ②关系：； 证明：延长到，使得，连接， 是的中线， ． 在和中， ， ， ，， ， ． ， ， ， ． 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）按照题意进行画图即可； （2）①证明，根据全等三角形的性质即可求解；                                            ②延长到，使得，连接，证明，通过平行线的性质以及角度的和差关系可知，进而证明即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 在平面直角坐标系中，对于点，和图形，将图形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，得到图形，若点在图形上，则称点为图形关于点的“移动关联点”．如图，点，，点在线段上． （1）若，，，其中点________是线段关于点的“移动关联点”，点________是线段关于点的“移动关联点”； （2）若点为关于点的“移动关联点”，则点的横坐标的取值范围是________； （3）已知正方形，点，点，点，点． ①当时，若点为正方形关于点的“移动关联点”，则点的横坐标的取值范围是________； ②已知点，，若线段上任意一点，都是正方形关于点的“移动关联点”，则的取值范围是________． 【答案】（1）， （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）点，，将线段沿射线方向平移，平移距离为线段的长，原线段端点平移后为、，将线段沿射线方向平移，平移距离为线段的长，原线段端点平移后为、，根据以上结论即可解题． （2）原中，平移后的横坐标，，，故，即． （3）①时，原正方形中横坐标，纵坐标，满足 ，得，由此得， ，，故，，最后把所得范围合并即得的范围． ② 线段：，，由题意得线段整体在平移后的正方形内，平移后正方形的范围为，得，解得，平移后正方形的横坐标范围为，最后根据即得的范围． 【小问1详解】 解：点，，将线段沿射线方向平移，平移距离为线段的长，原线段端点平移后为、，只有在平移后的线段上，故第一个空为． 点，，将线段沿射线方向平移，平移距离为线段的长，原线段端点平移后为、，满足，，在平移后的线段上，故第二个空为． 【小问2详解】 解：点在线段上，设，， 中任意点横坐标，平移后的横坐标， 最小为，最小为，故， 最大为，最大为，故， ∴． 【小问3详解】 解：①当时，正方形顶点：， 原正方形中横坐标，纵坐标， 设，，， 由平移规律： ， ∴， ， ∴， 又∵， ∴， 即，，， ∴，， ∴． ② 线段：，， ∵线段上任意一点，都是正方形关于点的“移动关联点”， ∴线段整体在平移后的正方形内， 原正方形纵坐标， 平移后正方形的范围为，即， 要使完全包含在的范围内， ∴ ， 解得，即 平移后正方形的横坐标范围为， 的必须在这个范围内，代入， ， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $