2026-2027学年北师大版九年级数学上册预习手册20《第5章二次函数第2节二次函数的图像（三）y=a（x-h）2的图像和性质》预习讲义

本讲义聚焦二次函数y=a(x-h)²的图像和性质这一核心知识点，在已学y=ax²基础上，通过描点法画图对比，梳理左右平移变换关系，掌握开口方向、对称轴、顶点坐标等性质，构建从基础抛物线到平移变换的知识支架。 资料以中考真题为例题，通过对比画图培养几何直观（数学眼光），分析平移规律发展推理意识（数学思维），分层练习覆盖选择、填空、解答题，课中辅助教师教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺，提升应用能力。

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册20 《第5章二次函数第2节二次函数的图像（三）y=a（x-h）2的图像和性质》预习讲义 一．学习目标 ( 1.会使用描点法画出二次函数 y=a(x-h) 2 的图像，对比基础抛物线 y=ax 2 ，理解左右平移的变换关系。 2.掌握抛物线 y=a(x-h) 2 的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值。 3.理解参数h对图像水平平移的影响，熟记 “ 左加右减 ” 的平移法则，能实现平移前后解析式的互相转化。 4.能够利用二次函数y=a(x ‑ h) 2 的性质比较函数值大小、求解自变量取值，解决简单图像问题。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.y=a(x-h) 2 的图像特征与函数性质； 2.抛物线左右平移规律：左加右减（只作用于括号内的x）。 （二） 难点 1.区分左右平移（括号内改变x）和上下平移（括号外改变常数项），避免混淆； 2.逆向平移问题：由平移后的解析式反推原抛物线； 3.利用对称轴，比较抛物线上不同点的函数值大小。 ) 三．知识梳理 （一）函数 y = a(x - h)2 的图象和性质 1.画二次函数y=2x2,y=2(x-1)2和y=2(x+1)2的图象. (1)列出下表. (2)在下图中画出y=2x2,y=2(x-1)2 , y=2(x+1)2的图象. 【想一想】：y=2(x-1)2 的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? y=2(x+1)2的呢? 2.二次函数y=a（x-h)2 的图像和性质 的符号 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小﹔ 当时随的增大而增大 当时随的增大而增大， 当时随的增大而减小 最值 当时，有最小值 当时，有最大值 （二）函数 y = a(x - h)2 与y=ax2的关系 1.抛物线 y = 2(x + 1)2，y = 2(x - 1)2 与抛物线 y = 2x2 的关系 观察y=2x2,y=2(x-1)2 , y=2(x+1)2的图象，你有什么发现？ 2.函数 y = a(x - h)2 与y=ax2的图像关系 二次函数y=a(x-h)2的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到. 四．经典例题 例1.（2024-2025云岩区期末）抛物线y=5(x-4)2的顶点坐标为（ ） A.(4,0) B.(-4,0) C.(0,4) D.(0,-4) 例2.（2026南明区一模·改编）抛物线y=-2(x+3)2可由抛物线y=-2x2怎样平移得到（ ） A.向左平移3个单位 B.向右平移3个单位 C.向上平移3个单位 D.向下平移3个单位 例3.（2025花溪区期末）对于二次函数y=-4(x-1)2，下列说法正确的是（ ） A.开口向上 B.对称轴为直线x=-1 C.函数有最大值0 D.当x>1时，y随x增大而增大 例4.（2026观山湖区二模·改编）已知点A(-3,y1)，B(2,y2)在抛物线y=3(x-1)2上，则y1、y2的大小关系是（） A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1=y2 D.无法判断 例5.（2024-2025清镇市期末）抛物线y=-6(x+7)2的对称轴是________。 例6.（2026乌当区一模）抛物线y=a(x-2)2经过点(0,8)，则a=________。 例7.（2025修文县期末）将抛物线y=(x+1)2向右平移4个单位，得到新抛物线解析式为___。 例8.（2026开阳县二模）二次函数y=5(x-6)2，当x=时，y取得最小值____。 例9.（2024-2025南明区期末）已知二次函数y=-3(x+2)2。 (1)写出抛物线开口方向、顶点坐标、对称轴； (2)求抛物线与x轴的交点坐标。 例10.（2026花溪区三模）抛物线y=a(x-3)2经过点(5,8)。 (1)求a的值； (2)写出该抛物线的增减性； (3)若点Q(m,18)在此抛物线上，求m的值。 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024-2025观山湖区期末）抛物线y=-7(x-5)2的开口方向是（ ） A.向上 B.向下 C.向左 D.向右 2.（2026云岩区一模）抛物线y=4(x+2)2是由y=4x2如何平移得到（ ） A.向左平移2个单位 B.向右平移2个单位 C.向上平移2个单位 D.向下平移2个单位 3.（2025花溪区期末）二次函数y=2(x-7)2的最小值是（ ） A.2 B.7 C.0 D.-7 4.（2026清镇市二模）已知C(-4,y1)，D(-1,y2)在抛物线y=-(x+2)2上，则（ ） A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1=y2 D.不能确定 5.（2025乌当区期末）抛物线y=a(x+1)2经过(0,-3)，则a=（ ） A.3 B.-3 C. D.- 6.（2026息烽县一模）下列关于y=-5(x-4)2的结论错误的是（ ） A.对称轴是直线x=4 B.顶点(4,0) C.当x>4时，y随x增大而增大 D.最大值为0 7．在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋1与y＝－(x－1)2的图象大致是(　　) 8．平行于x轴的直线与抛物线y＝a(x－2)2的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点坐标为(　　) A．(1，2) B．(1，－2) C．(5，2) D．(－1，4 （二）填空题 9.（2024-2025南明区期末）抛物线y=-(x-8)2顶点坐标：________。 10.（2026修文县一模）抛物线y=-2x2向左平移6个单位后的解析式：________。 11.（2025开阳县期末）二次函数y=6(x+3)2，当x________时，y随x增大而减小。 12.（2026云岩区二模）抛物线y=a(x-1)2，若它经过点(2,5)，则a=________。 13.（2025花溪区期末）抛物线y=(x+5)2与x轴交点坐标为________。 14.（2026观山湖区三模）已知二次函数y=-4(x-h)^2有最大值0，则h可以为任意实数，该函数顶点纵坐标为________。 15.将二次函数的图象向右平移3个单位得到一个新函数的图象，请写出一个自变量x的取值范围，使得在所写的取值范围内，上述两个函数中，恰好其中一个函数的图象从左往右上升，而另一个函数的图象从左往右下降，写出的x的取值范围是__________． 16.抛物线y＝﹣（x+2）2关于y轴对称的抛物线的表达式为 　　　　　　． （三）解答题 17. 已知抛物线y＝(x－2)2. (1)画出此函数的图象； (2)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明该函数图象与二次函数y＝x2的图象之间的关系. 18. 已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝2x2都相同，顶点与y＝－(x＋2)2相同． (1)求抛物线的解析式； (2)当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减小？ 19. 二次函数y＝a(x＋h)2(a≠0)的图象，是由抛物线y＝x2向右平移得到的且经过(1,2)． (1)求平移得到的二次函数的解析式； (2)写出得到的抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，并指出当x为何值时，y随x的增大而减小？ 20．如图已知二次函数图象的顶点坐标为C(1，0)，直线y＝x＋m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为(3，4)，点B在y轴上． (1)求m的值及此二次函数的表达式； (2)P为线段AB上的一个动点(点P与点A，B不重合)，过点P作x轴的垂线与二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数表达式(写出自变量的取值范围)． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026花溪区二模）对于抛物线y=-6(x+5)2，下列说法正确的是（ ） A.开口向上 B.对称轴为直线x=5 C.顶点(-5,0) D.有最小值0 2.（2024-2025云岩区期末）抛物线y=(x-6)^2由y=x^2如何平移得到（ ） A.向上平移6个单位 B.向下平移6个单位 C.向左平移6个单位 D.向右平移6个单位 3．对于二次函数的图象，下列说法错误的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而增大 D．与轴有两个交点 4.（2025清镇市期末）抛物线y=-2(x-h)2与x轴交于(4,0)，则该抛物线解析式为（ ） A.y=-2(x-4)2 B.y=-2(x+4)2 C.y=-2(x-2)2 D.y=-2(x+2)2 5.（2026开阳县一模）二次函数y=7(x-3)2，当x<3时，y随x增大而（ ） A.增大 B.减小 C.不变 D.先增后减 6.（2025乌当区期末）抛物线y=-(x-7)2与x轴交点只有1个，该交点坐标为（ ） A.(7,0) B.(-7,0) C.(0,7) D.(0,-7) 7.（2026修文县二模）将抛物线y=-3x2先向左平移5个单位，得到新抛物线解析式为（） A.y=-3(x+5)2 B.y=-3(x-5)2 C.y=-3x2+5 D.y=-3x2-5 8．如图，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，且与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB＝3，则点M到直线l的距离是（　　） A． B． C． D． 9.二次函数的图象如图，则下列正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 10．对于任何实数h，抛物线y＝－x2与抛物线y＝－(x－h)2的相同点是(　　) A．形状与开口方向相同 B．对称轴相同 C．顶点相同 D．都有最低点 （二）填空题 11.（2024-2025花溪区期末）抛物线y=-9(x-12)2的顶点坐标为________。 12.（2026云岩区三模）抛物线y=8(x-h)2有最小值0，则h为任意实数，最小值为______。 13.（2025观山湖区期末）抛物线y=2(x+6)2与y轴交点坐标为________。 14.（2026息烽县二模）将抛物线y=x2向右平移8个单位，解析式为________。 15.（2025清镇市期末）已知A(4,m)在抛物线y=-(x-2)2上，则m=________。 16.（2026乌当区三模）二次函数y=-5(x-1)2，当x________时，y随x增大而增大。 17.（2025开阳县期末）抛物线y=a(x+4)2经过(2,36)，则a=________。 18.（2026南明区一模）对于抛物线y=(x+9)2，y≥0时，x的取值范围是________。 19．若抛物线与抛物线的形状相同，则的值为 ． 20.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B.过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上（P不与B、C重合），连接PC，PD，则△PCD面积的最大值是_____. （三）解答题 21.在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝x2，y＝(x＋2)2，y＝(x－2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标. 22.（2026花溪区三模）抛物线y=-2(x-k)2经过点M(-1,-8)。 (1)求k的值； (2)写出抛物线的最值和增减性； (3)当-3≤x≤2时，求y的取值范围。 23.（2024-2025云岩区期末）已知抛物线y=(x-2)2。 (1)求抛物线与x轴、y轴的交点坐标； (2)若点C(t,9)在抛物线上，求t的值。 24.（2026观山湖区二模，3小问）抛物线y=a(x-h)2，当x=3时，y=0；当x=1时，y=4。 (1)求抛物线解析式； (2)说明抛物线由y=ax2如何平移得到； (3)当y<0时，判断x是否存在取值。 25.把抛物线y＝a(x－4)2向左平移6个单位长度后得到抛物线y＝－3(x－h)2.若抛物线y＝a(x－4)2的顶点是A，且与y轴交于点B，抛物线y＝－3(x－h)2的顶点是M，求： (1)a，h的值； (2)S△MAB的值. 26．把函数y＝x2的图像向右平移4个单位长度． (1)请直接写出平移后所得的抛物线相应的函数表达式； (2)若(1)中所求得的抛物线的顶点为C，并与直线y＝x分别交于A，B两点(点A在点B的左侧)，求△ABC的面积． 27.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A，C在x轴上，点B的坐标为(3，m)(m＞0)，线段AB与y轴相交于点D，以P(1，0)为顶点的二次函数的图像经过点B，D. (1) 用含m的代数式表示点A，D的坐标； (2)求这个二次函数的表达式． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册20 《第5章二次函数第2节二次函数的图像（三）y=a（x-h）2的图像和性质》预习讲义 一．学习目标 ( 1.会使用描点法画出二次函数 y=a(x-h) 2 的图像，对比基础抛物线 y=ax 2 ，理解左右平移的变换关系。 2.掌握抛物线 y=a(x-h) 2 的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值。 3.理解参数h对图像水平平移的影响，熟记 “ 左加右减 ” 的平移法则，能实现平移前后解析式的互相转化。 4.能够利用二次函数y=a(x ‑ h) 2 的性质比较函数值大小、求解自变量取值，解决简单图像问题。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.y=a(x-h) 2 的图像特征与函数性质； 2.抛物线左右平移规律：左加右减（只作用于括号内的x）。 （二） 难点 1.区分左右平移（括号内改变x）和上下平移（括号外改变常数项），避免混淆； 2.逆向平移问题：由平移后的解析式反推原抛物线； 3.利用对称轴，比较抛物线上不同点的函数值大小。 ) 三．知识梳理 （一）函数 y = a(x - h)2 的图象和性质 1.画二次函数y=2x2,y=2(x-1)2和y=2(x+1)2的图象. (1)列出下表. (2)在下图中画出y=2x2,y=2(x-1)2 , y=2(x+1)2的图象. 【想一想】：y=2(x-1)2 的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? y=2(x+1)2的呢? 【解析】（1）对于 y=2(x-1)2，这里 a=2,h=1，开口方向：a=2>0，开口向上；对称轴：直线 x=h，即直线x=1；顶点坐标：(1,0)。 （2）对于 y=2(x+1)2，改写为 y=2[x-(-1)]2，这里 a=2,h=-1，开口方向：a=2>0，开口向上；对称轴：直线 x=-1；顶点坐标：(-1,0) 2.二次函数y=a（x-h)2 的图像和性质 的符号 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小﹔ 当时随的增大而增大 当时随的增大而增大， 当时随的增大而减小 最值 当时，有最小值 当时，有最大值 （二）函数 y = a(x - h)2 与y=ax2的关系 1.抛物线 y = 2(x + 1)2，y = 2(x - 1)2 与抛物线 y = 2x2 的关系 观察y=2x2,y=2(x-1)2 , y=2(x+1)2的图象，你有什么发现？ 【解析】（1）形状、大小、开口方向都相同，只是位置不同. （2）y=2(x-1)2 , y=2(x+1)2两个抛物线的图象都由 y=2x2 的图象平移得到： ①y=2(x-1))2：y=2x)2向右平移1个单位； ②y=2(x+1))2：y=2x)2向左平移1个单位。 2.函数 y = a(x - h)2 与y=ax2的图像关系 二次函数y=a(x-h)2的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到. 四．经典例题 例1.（2024-2025云岩区期末）抛物线y=5(x-4)2的顶点坐标为（ ） A.(4,0) B.(-4,0) C.(0,4) D.(0,-4) 【答案】：A 【解析】：顶点式y=a(x-h)2的顶点坐标为(h,0)，本题h=4，因此顶点坐标(4,0)。 例2.（2026南明区一模·改编）抛物线y=-2(x+3)2可由抛物线y=-2x2怎样平移得到（ ） A.向左平移3个单位 B.向右平移3个单位 C.向上平移3个单位 D.向下平移3个单位 【答案】：A 【解析】：平移口诀“左加右减（括号内）”，y=-2x^2变为y=-2(x+3)^2，x加上3，图像向左平移3个单位。 例3.（2025花溪区期末）对于二次函数y=-4(x-1)2，下列说法正确的是（ ） A.开口向上 B.对称轴为直线x=-1 C.函数有最大值0 D.当x>1时，y随x增大而增大 【答案】：C 【解析】：a=-4<0，开口向下；对称轴为直线x=1；顶点(1,0)，函数最大值为0；x>1时，y随x增大而减小。只有C选项正确。 例4.（2026观山湖区二模·改编）已知点A(-3,y1)，B(2,y2)在抛物线y=3(x-1)2上，则y1、y2的大小关系是（） A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1=y2 D.无法判断 【答案】：A 【解析】：对称轴为直线x=1，开口向上；点A到对称轴距离|-3-1|=4，点B到对称轴距离|2-1|=1；开口向上时，点距离对称轴越远，函数值越大，故y1>y2。 例5.（2024-2025清镇市期末）抛物线y=-6(x+7)2的对称轴是________。 【答案】：直线x=-7 【解析】：y=a(x-h)2对称轴为直线x=h；y=-6(x+7)2=-6[x-(-7)]2，h=-7，对称轴为直线x=-7。 例6.（2026乌当区一模）抛物线y=a(x-2)2经过点(0,8)，则a=________。 【答案】：2 【解析】：将(0,8)代入解析式，8=a(0-2)2，4a=8，解得a=2。 例7.（2025修文县期末）将抛物线y=(x+1)2向右平移4个单位，得到新抛物线解析式为_____。 【答案】：y=(x-3)2 【解析】：右平移4个单位，括号内x减去4，y=(x+1-4)2=(x-3)2。 例8.（2026开阳县二模）二次函数y=5(x-6)2，当x=时，y取得最小值____。 【答案】：6；0 【解析】：a=5>0，开口向上，在对称轴x=6（顶点处）取得最小值，顶点纵坐标为0。 例9.（2024-2025南明区期末）已知二次函数y=-3(x+2)2。 (1)写出抛物线开口方向、顶点坐标、对称轴； (2)求抛物线与x轴的交点坐标。 解：(1)a=-3<0，开口向下；顶点(-2,0)；对称轴：直线x=-2。 (2)抛物线顶点在x轴上，因此抛物线与x轴交点即为顶点，交点坐标为(-2,0)。 例10.（2026花溪区三模）抛物线y=a(x-3)2经过点(5,8)。 (1)求a的值； (2)写出该抛物线的增减性； (3)若点Q(m,18)在此抛物线上，求m的值。 解：(1)把(5,8)代入解析式：8=a(5-3)2，4a=8，解得a=2。 (2)解析式为y=2(x-3)2，a=2>0，对称轴直线x=3； 当x<3时，y随x增大而减小；当x>3时，y随x增大而增大。 (3)把y=18代入y=2(x-3)2，18=2(m-3)2，(m-3)2=9，m-3=±3，解得m1=6，m2=0。 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024-2025观山湖区期末）抛物线y=-7(x-5)2的开口方向是（ ） A.向上 B.向下 C.向左 D.向右 【答案】：B 【解析】：a=-7<0，二次函数开口向下。 2.（2026云岩区一模）抛物线y=4(x+2)2是由y=4x2如何平移得到（ ） A.向左平移2个单位 B.向右平移2个单位 C.向上平移2个单位 D.向下平移2个单位 【答案】：A 【解析】：括号内x+2，根据“左加右减”，图像向左平移2个单位。 3.（2025花溪区期末）二次函数y=2(x-7)2的最小值是（ ） A.2 B.7 C.0 D.-7 【答案】：C 【解析】：a=2>0，开口向上，顶点纵坐标为0，函数最小值为0。 4.（2026清镇市二模）已知C(-4,y1)，D(-1,y2)在抛物线y=-(x+2)2上，则（ ） A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1=y2 D.不能确定 【答案】：B 【解析】：对称轴为直线x=-2，开口向下；C到对称轴距离|-4-(-2)|=2，D到对称轴距离|-1-(-2)|=1；开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，y1<y2。 5.（2025乌当区期末）抛物线y=a(x+1)2经过(0,-3)，则a=（ ） A.3 B.-3 C. D.- 【答案】：B 【解析】：将(0,-3)代入解析式，-3=a(0+1)2，解得a=-3。 6.（2026息烽县一模）下列关于y=-5(x-4)2的结论错误的是（ ） A.对称轴是直线x=4 B.顶点(4,0) C.当x>4时，y随x增大而增大 D.最大值为0 【答案】：C 【解析】：a=-5<0，开口向下；x>4时，y随x增大而减小，C选项错误。 7．在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋1与y＝－(x－1)2的图象大致是(　　) 【答案】D 【解析】分析一次函数 y=-x+1：斜率k=-1<0，y‑轴截距为1，直线经过一、二、四象限。 分析二次函数 y=-(x-1)2：a=-<0，抛物线开口向下；顶点式y=a(x-h)2，顶点(1,0)。 顶点在(1,0)，在x轴正半轴。对照选项：只有D满足：直线过(0,1)，抛物线开口向下，顶点(1,0)。 8．平行于x轴的直线与抛物线y＝a(x－2)2的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点坐标为(　　) A．(1，2) B．(1，－2) C．(5，2) D．(－1，4 【答案】C 【解析】抛物线y=a(x-2)2，对称轴为直线x=2。平行于x轴的直线和抛物线的两个交点关于对称轴对称。已知一个交点(-1,2)，设另一个交点横坐标为x。由对称轴公式：=2 → x=5。纵坐标不变，还是2，另一个交点(5,2)，选C。 （二）填空题 9.（2024-2025南明区期末）抛物线y=-(x-8)2顶点坐标：________。 【答案】：(8,0) 【解析】：y=a(x-h)2顶点坐标(h,0)，h=8。 10.（2026修文县一模）抛物线y=-2x2向左平移6个单位后的解析式：________。 【答案】：y=-2(x+6)2 【解析】：左平移6个单位，括号内x加6。 11.（2025开阳县期末）二次函数y=6(x+3)2，当x________时，y随x增大而减小。 【答案】：<-3 【解析】：开口向上，对称轴x=-3；对称轴左侧（x<-3），y随x增大而减小。 12.（2026云岩区二模）抛物线y=a(x-1)2，若它经过点(2,5)，则a=________。 【答案】：5 【解析】：代入(2,5)，5=a(2-1)2，解得a=5。 13.（2025花溪区期末）抛物线y=(x+5)2与x轴交点坐标为________。 【答案】：(-5,0) 【解析】：顶点在x轴上，交点即为顶点坐标。 14.（2026观山湖区三模）已知二次函数y=-4(x-h)^2有最大值0，则h可以为任意实数，该函数顶点纵坐标为________。 【答案】：0 【解析】：y=a(x-h)2顶点纵坐标固定为0。 15.将二次函数的图象向右平移3个单位得到一个新函数的图象，请写出一个自变量x的取值范围，使得在所写的取值范围内，上述两个函数中，恰好其中一个函数的图象从左往右上升，而另一个函数的图象从左往右下降，写出的x的取值范围是__________． 【答案】0<x<3（答案不唯一，只要区间在0和3之间都可以，如1<x<2也可）； 【解析】抛物线y=x2向右平移3个单位，解析式为：y=(x-3)2。y=x2：对称轴x=0；当x>0时，y随x增大而上升；x<0时下降。y=(x-3)2：对称轴x=3；当x>3时，y随x增大而上升；x<3时下降。要满足：在这个区间内，一个上升，另一个下降。取两个对称轴中间部分：0<x<3。 验证：在0<x<3中：y=x^2递增（上升）；y=(x-3)2递减（下降），符合题意。 16.抛物线y＝﹣（x+2）2关于y轴对称的抛物线的表达式为 　　　　　　． 【答案】y=-(x-2)2 【解析】抛物线y=-(x+2)2顶点为(-2,0)。关于y轴对称，横坐标取相反数，纵坐标不变，新顶点(2,0)，a不变。所以新抛物线表达式：y=-(x-2)2。 （三）解答题 17. 已知抛物线y＝(x－2)2. (1)画出此函数的图象； (2)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明该函数图象与二次函数y＝x2的图象之间的关系. 解：(1)略； (2)开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为(2,0)；　 (3)该函数图象与函数y＝x2图象形状相同，把抛物线y＝x2向右平移2个单位得到抛物线y＝(x－2)2. 18. 已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝2x2都相同，顶点与y＝－(x＋2)2相同． (1)求抛物线的解析式； (2)当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减小？ 解：(1)设所求抛物线为y＝a(x－h)2.∵抛物线开口方向和大小与y＝2x2相同，∴a＝2，∴所求抛物线为y＝2(x－h)2.又∵抛物线的顶点与y＝－(x＋2)2相同，∴顶点为(－2,0)，∴h＝－2，∴y＝2(x＋2)2；　 (2)当x＞－2时，y随x的增大而增大；当x＜－2时，y随x的增大而减小． 19. 二次函数y＝a(x＋h)2(a≠0)的图象，是由抛物线y＝x2向右平移得到的且经过(1,2)． (1)求平移得到的二次函数的解析式； (2)写出得到的抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，并指出当x为何值时，y随x的增大而减小？ 解：(1)∵y＝a(x＋h)2是由抛物线y＝x2向右平移得到的．∴a＝，h＜0，∵y＝a(x＋h)2经过(1,2)，∴2＝(1＋h)2，解得：h1＝1(不合题意，舍去)，h2＝－3，∴此二次函数的解析式为：y＝(x－3)2； (2)∵a＝＞0，∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝3，顶点坐标为(3,0)，当x＜3时，y随x的增大而减小 20．如图已知二次函数图象的顶点坐标为C(1，0)，直线y＝x＋m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为(3，4)，点B在y轴上． (1)求m的值及此二次函数的表达式； (2)P为线段AB上的一个动点(点P与点A，B不重合)，过点P作x轴的垂线与二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数表达式(写出自变量的取值范围)． 解：(1)∵点A(3，4)在直线y＝x＋m上，∴4＝3＋m，∴m＝1.设二次函数的表达式为y＝a(x－1)2.∵点A(3，4)在二次函数y＝a(x－1)2的图象上，∴4＝a×(3－1)2，∴a＝1，∴所求二次函数的表达式为y＝(x－1)2，即y＝x2－2x＋1. (2)设P，E两点的纵坐标分别为yP和yE.则PE＝h＝yP－yE＝(x＋1)－(x2－2x＋1)＝－x2＋3x，即h＝－x2＋3x(0＜x＜3)． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026花溪区二模）对于抛物线y=-6(x+5)2，下列说法正确的是（ ） A.开口向上 B.对称轴为直线x=5 C.顶点(-5,0) D.有最小值0 【答案】：C 【解析】：a=-6<0，开口向下；对称轴为直线x=-5；顶点(-5,0)；函数有最大值0，C正确。 2.（2024-2025云岩区期末）抛物线y=(x-6)^2由y=x^2如何平移得到（ ） A.向上平移6个单位 B.向下平移6个单位 C.向左平移6个单位 D.向右平移6个单位 【答案】：D 【解析】：括号内x-6，依据“左加右减”，图像向右平移6个单位。 3．对于二次函数的图象，下列说法错误的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而增大 D．与轴有两个交点 【答案】D 【解析】A.开口向下，A正确；B.对称轴是直线，B正确；C.当时，随的增大而增大，C正确；D.该函数图象的顶点为，在 x 轴上，所以图象与 x 轴只有一个交点，D不正确．故选：D． 4.（2025清镇市期末）抛物线y=-2(x-h)2与x轴交于(4,0)，则该抛物线解析式为（ ） A.y=-2(x-4)2 B.y=-2(x+4)2 C.y=-2(x-2)2 D.y=-2(x+2)2 【答案】：A 【解析】：抛物线y=-2(x-h)2与x轴交点即顶点，h=4，解析式y=-2(x-4)2。 5.（2026开阳县一模）二次函数y=7(x-3)2，当x<3时，y随x增大而（ ） A.增大 B.减小 C.不变 D.先增后减 【答案】：B 【解析】：开口向上，对称轴x=3；x<3在对称轴左侧，y随x增大而减小。 6.（2025乌当区期末）抛物线y=-(x-7)2与x轴交点只有1个，该交点坐标为（ ） A.(7,0) B.(-7,0) C.(0,7) D.(0,-7) 【答案】：A 【解析】：y=a(x-h)2顶点(h,0)，顶点在x轴上，为唯一交点。 7.（2026修文县二模）将抛物线y=-3x2先向左平移5个单位，得到新抛物线解析式为（） A.y=-3(x+5)2 B.y=-3(x-5)2 C.y=-3x2+5 D.y=-3x2-5 【答案】：A 【解析】：左平移5个单位，括号内x加5。 8．如图，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，且与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB＝3，则点M到直线l的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】：B 【解析】抛物线y=(x-h)2顶点M(h,0)，顶点在x轴上。设点A的横坐标为h-，点B横坐标为h+（因为AB=3，抛物线左右对称）。把x=h+代入解析式：y=(h+-h)2=()2= 直线l的纵坐标为，M(h,0)到直线l的距离就是。答案：B 9.二次函数的图象如图，则下列正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】：C 【解析】观察图像：抛物线开口向下，故a<0；顶点在y轴右侧，顶点横坐标h>0。 所以a<0,h>0，对应选项C。 10．对于任何实数h，抛物线y＝－x2与抛物线y＝－(x－h)2的相同点是(　　) A．形状与开口方向相同 B．对称轴相同 C．顶点相同 D．都有最低点 【答案】：A 【解析】抛物线y=-x2和y=-(x-h)2：a=-1不变，形状、开口方向完全相同；对称轴、顶点随h改变；开口向下，有最高点，没有最低点。选A。 （二）填空题 11.（2024-2025花溪区期末）抛物线y=-9(x-12)2的顶点坐标为________。 【答案】：(12,0) 【解析】：y=a(x-h)2顶点坐标(h,0)，h=12。 12.（2026云岩区三模）抛物线y=8(x-h)2有最小值0，则h为任意实数，最小值为______。 【答案】：0 【解析】：a>0，开口向上，顶点纵坐标为0，最小值为0。 13.（2025观山湖区期末）抛物线y=2(x+6)2与y轴交点坐标为________。 【答案】：(0,72) 【解析】：令x=0，y=2(0+6)2=72，交点(0,72)。 14.（2026息烽县二模）将抛物线y=x2向右平移8个单位，解析式为________。 【答案】：y=(x-8)2 【解析】：右平移8个单位，括号内x减去8。 15.（2025清镇市期末）已知A(4,m)在抛物线y=-(x-2)2上，则m=________。 【答案】：-4 【解析】：代入x=4，m=-(4-2)2=-4。 16.（2026乌当区三模）二次函数y=-5(x-1)2，当x________时，y随x增大而增大。 【答案】：<1 【解析】：开口向下，对称轴x=1；x<1时，y随x增大而增大。 17.（2025开阳县期末）抛物线y=a(x+4)2经过(2,36)，则a=________。 【答案】：1 【解析】：代入(2,36)，36=a(2+4)2，36a=36，a=1。 18.（2026南明区一模）对于抛物线y=(x+9)2，y≥0时，x的取值范围是________。 【答案】：全体实数 【解析】：平方数恒大于等于0，对于所有x，(x+9)2≥0恒成立。 19．若抛物线与抛物线的形状相同，则的值为 ． 【答案】 【解析】∵抛物线与抛物线的形状相同，∴二次项系数的绝对值相等， ∴,∴．故答案为：． 20.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B.过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上（P不与B、C重合），连接PC，PD，则△PCD面积的最大值是_____. 【答案】4 【答案】∵抛物线y＝(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（2，0），B（0，4）， ∵抛物线y＝(x－2)2的对称轴为x＝2，BC∥x轴，AD∥y轴，∴直线AD就是抛物线y＝(x－2)2的对称轴，∴B、C关于直线BD对称，∴BD＝DC＝2，∵顶点A到直线BC的距离最大，∴点P与A重合时，△PCD面积最大，最大值为：DC×AD＝×2×4＝4，故答案为：4. （三）解答题 21.在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝x2，y＝(x＋2)2，y＝(x－2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标. 解：图象如图 抛物线y＝x2的对称轴是直线x＝0，顶点坐标为(0，0). 抛物线y＝(x＋2)2的对称轴是直线x＝－2，顶点坐标为(－2，0). 抛物线y＝(x－2)2的对称轴是直线x＝2，顶点坐标为(2，0). 22.（2026花溪区三模）抛物线y=-2(x-k)2经过点M(-1,-8)。 (1)求k的值； (2)写出抛物线的最值和增减性； (3)当-3≤x≤2时，求y的取值范围。 解：(1)把M(-1,-8)代入解析式：-8=-2(-1-k)2，(-1-k)2=4，-1-k=±2，解得k=1或k=-3。 (2)分两种解析式：①k=1时，y=-2(x-1)2；a=-2<0，开口向下；顶点(1,0)，最大值为0； 当x<1时，y随x增大而增大；当x>1时，y随x增大而减小。 ②k=-3时，y=-2(x+3)2；a=-2<0，开口向下；顶点(-3,0)，最大值为0；当x<-3时，y随x增大而增大；当x>-3时，y随x增大而减小。 (3)以k=1，y=-2(x-1)2为例：开口向下，顶点(1,0)；x=-3时，y=-2(-3-1)2=-32；x=2时，y=-2(2-1)2=-2；在-3≤x≤2内，最大值为0，最小值为‑32；∴y取值范围：-32≤y≤0。 23.（2024-2025云岩区期末）已知抛物线y=(x-2)2。 (1)求抛物线与x轴、y轴的交点坐标； (2)若点C(t,9)在抛物线上，求t的值。 解：(1)与x轴交点：顶点(2,0)；与y轴交点：令x=0，y=(0-2)^2=1，交点(0,1)。 (2)把y=9代入解析式：9=(t-2)2，(t-2)2=36，t-2=±6，解得t=8或t=-4。 24.（2026观山湖区二模，3小问）抛物线y=a(x-h)2，当x=3时，y=0；当x=1时，y=4。 (1)求抛物线解析式； (2)说明抛物线由y=ax2如何平移得到； (3)当y<0时，判断x是否存在取值。 解：(1)当x=3，y=0，可得顶点(3,0)，h=3；把(1,4)代入y=a(x-3)2，4=a(1-3)2，4a=4，a=1；解析式：y=(x-3)2。 (2)y=(x-3)2可由抛物线y=x2向右平移3个单位得到。 (3)y=(x-3)2开口向上，y≥0；因此不存在x使得y<0。 25.把抛物线y＝a(x－4)2向左平移6个单位长度后得到抛物线y＝－3(x－h)2.若抛物线y＝a(x－4)2的顶点是A，且与y轴交于点B，抛物线y＝－3(x－h)2的顶点是M，求： (1)a，h的值； (2)S△MAB的值. 解：(1)∵抛物线y＝a(x－4)2向左平移6个单位长度后得到抛物线y＝－3(x－h)2， ∴a＝－3，4－6＝h，解得h＝－2. (2)∵抛物线y＝a(x－4)2即y＝－3(x－4)2的顶点是A，且与y轴交于点B， ∴A(4，0)，B(0，－48). ∵抛物线y＝－3(x－h)2即y＝－3(x＋2)2的顶点是M，∴M(－2，0). ∴S△MAB＝×|4－(－2)|×|－48|＝144. 26．把函数y＝x2的图像向右平移4个单位长度． (1)请直接写出平移后所得的抛物线相应的函数表达式； (2)若(1)中所求得的抛物线的顶点为C，并与直线y＝x分别交于A，B两点(点A在点B的左侧)，求△ABC的面积． 解：(1)y＝(x－4)2.(2)如图，抛物线y＝(x－4)2的顶点为C(4，0)． 由解得或∴A，B两点的坐标分别为(2，2)，(8，8)．分别过点A，B作AG⊥x轴于点G，BH⊥x轴于点H，则AG＝2，GC＝2，BH＝8，CH＝4，∴S△ABC＝×(2＋8)×6－×2×2－×4×8＝12. 27.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A，C在x轴上，点B的坐标为(3，m)(m＞0)，线段AB与y轴相交于点D，以P(1，0)为顶点的二次函数的图像经过点B，D. (1) 用含m的代数式表示点A，D的坐标； (2)求这个二次函数的表达式． 解：(1)由B(3，m)可知OC＝3，BC＝m.∵AC＝BC＝m，∴OA＝m－3，∴点A的坐标是(3－m，0)．由题意易知∠ODA＝∠OAD＝45°，∴OD＝OA＝m－3，∴点D的坐标是(0，m－3)． (2)∵二次函数图像的顶点为P(1，0)，且过点B，D，∴可设该二次函数的表达式为y＝a(x－1)2.将B，D的坐标代入表达式，得解得 ∴二次函数的表达式为y＝(x－1)2. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $