2025-2026学年高二下学期暑期数学夯实专项作业专题三：随机变量及其分布列

**基本信息** 以随机试验为基础，通过命题透视-思维建模-知识精练三级体系，系统构建随机变量分布的概念理解、规律刻画与计算应用能力，培养数学思维与数据观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |命题透视|选择9/多选5|依托随机试验考察分布特征|从随机现象抽象随机变量，建立分布与实际问题的联系| |思维建模|填空3/解答3|划定取值区间刻画变量规律|通过区间界定实现从具体到抽象的规律提炼，培养逻辑推理| |知识精练|全题型覆盖|熟记常见分布计算期望方差|以分布类型为核心，串联期望方差计算，形成概念-计算-应用的完整链条|

专题三： 随机变量及其分布 高二暑期数学夯实专项作业 专题三： 随机变量及其分布 · 命题透视：依托随机试验，考察分布特征 · 思维建模：划定取值区间，刻画变量规律 · 知识精练：熟记常见分布，计算期望方差 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知随机变量的分布为，且，则（ ）． A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 2．若随机变量，已知，则为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3.已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为（   ） A．32 B．64 C． D． 4.已知，则（    ） A． B． C． D． 5．某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 6.已知随机变量X服从正态分布，若，则的最大值为（     ） A． B． C．1 D．2 7．已知随机变量，且，则当时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 8.已知数据、、、的平均数，方差为．设，数据、、、的方差为，数据、、、、、、、的方差为，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 9．设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为（     ） A． B． C．0 D． 二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 10.一个袋子中有 4 个红球和 2 个白球，采用不放回方式依次摸取 2 个球. 设事件 为“第一次摸到红球”，事件 为“第二次摸到红球”，则（   ） A． B． C． D．与相互独立 11.下列命题中，真命题的是（    ） A．数据，，，，，，，的第百分位数是； B．若回归方程为，则变量与成负相关 C．若随机变量服从正态分布，，则 D．在线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 12．已知，当时，可以认为，如果，当，可以认为.某校高中有学生人，近视人数有人.从中随机抽取人，记这人中近视人数为随机变量；若从中有放回的一个一个的抽查人，这人中近视人数为随机变量.则（    ） 附：若随机变量ξ服从正态分布，则，，． A． B． C．随机变量的取值在之间的概率大于0.6826 D． 13. 甲参加游戏获得的积分的分布列为 4 5 6 7 8 0.1 0.3 0.3 且，则（　　） A． B． C． D． 14．下列结论正确的是（   ） A．随机变量服从二项分布，，则 B．数据，，，…，的平均数为2，则，，，…，的平均数为6 C．在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为10. D．随机变量服从正态分布，且，则 三、填空题： 15．某AI公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，则在这次团建中，该公司的平均成绩为__________分，方差为__________． 16.某中学为了更好地弘扬优秀传统文化，举办了一个诗词擂台赛活动:活动形式为两人进行擂台比拼，采用三局两胜制，每局通过抽签决定答题者，若答对则获得1分并继续答题，若答错则对方获得1分并由对方回答下一道题，每局3题，且得分多者获胜，现有甲乙两人参加擂台对抗赛，根据以往比赛经验，甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，则甲在这场比赛中获胜的概率为 . 17．箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________． 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下： 成绩分组 人数 40 60 60 32 8 以频率估计概率，完成下列问题： (1)求数学成绩低于120分的概率； (2)从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率； (3)每组数据取左端、中间、右端，比较、、的大小关系． 19.某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图： (1)求第一四分位数和中位数； (2)设为首次故障时间小于365天的概率估计值． （ⅰ）求； （ⅱ）已知该工厂向某用户销售了100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件数，若，求和． 20．设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次，当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数． (1)当，时，求的分布列； (2)设，均为自然数． （i）当时，求； （ii）当时，证明：． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $专题三： 随机变量及其分布 高二暑期数学夯实专项作业 专题三： 随机变量及其分布【解析】 · 命题透视：依托随机试验，考察分布特征 · 思维建模：划定取值区间，刻画变量规律 · 知识精练：熟记常见分布，计算期望方差 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知随机变量的分布为，且，则（ ）． A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】B 【分析】根据分布列性质及数学期望公式计算求解. 【解析】因为随机变量的分布为，且， 所以，且， 解得. 故选：B. 2．若随机变量，已知，则为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【解析】若随机变量服从二项分布，则其期望公式为， 而因为，所以，解得， 该随机变量的方差为， 因为，所以. 故选：D. 3.已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为（   ） A．32 B．64 C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，解得， 设， 则当时，， 故选：A. 4.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，再结合得，最后计算即可. 【解析】因为 所以，， 所以， 因为，即， 所以， 故选：D. 5．某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【解析】由题意可得，，， 对于A，表示向下的面同时有数字1和2，即面4，所以，故A错误； 对于B，的情况只有面4，故， 又，满足，故B正确； 对于C，表示同时有数字1、2和3，即面4，所以，故C错误； 对于D，表示向下的面有数字2或3，包含面2、面3、面4，共3个面， 故，表示向下的面有数字1，且有数字2或3，即面4， 故，所以， 不满足独立事件定义，故D错误． 故选：B. 6.已知随机变量X服从正态分布，若，则的最大值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由正态分布以及二次函数的性质求解即可. 【解析】由随机变量X服从正态分布，所以， 又因为，所以， 由对称性可知，即，所以， 当时，可得，等号成立时. 故选：A. 7．已知随机变量，且，则当时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解析】由随机变量，且，得，解得， 由，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 故选：D 8.已知数据、、、的平均数，方差为．设，数据、、、的方差为，数据、、、、、、、的方差为，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方差的性质可判断A选项；求得，代入代数式可判断B选项；利用方差公式可判断CD选项. 【解析】对于A选项，根据方差的性质可得，A对； 对于B选项，根据平均数的性质可得， 所以，B对； 对于C选项，由平均数的性质可知， 数据、、、的平均数为， 所以数据、、、、、、、的平均数为， ，所以， ，C错； 对于D选项， ，D对. 故选：C. 9．设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为（     ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】由题意可知.解法一：根据古典概型求相应的概率，进而可得期望； 解法二：可得，，根据对称性运算求解； 【解析】由题意可知：， 且随机变量的取值为，，，，，，0，1，2，3，4，5，6. 解法一：依题意，可得， ， ，， ，， 所以； 解法二：根据对称性可知：，，，，， 又，， 所以； 故选：A. 二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 10.一个袋子中有 4 个红球和 2 个白球，采用不放回方式依次摸取 2 个球. 设事件 为“第一次摸到红球”，事件 为“第二次摸到红球”，则（   ） A． B． C． D．与相互独立 【答案】BC 【分析】根据古典概型、条件概率和独立事件的定义计算判断即可. 【解析】由题意可得，，所以A错误； ，所以B正确； ，所以，所以C正确； 由于，所以， 所以与不相互独立，所以D错误. 故选：BC. 11.下列命题中，真命题的是（    ） A．数据，，，，，，，的第百分位数是； B．若回归方程为，则变量与成负相关 C．若随机变量服从正态分布，，则 D．在线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 【答案】AB 【解析】对于A：将，，，，，，，排序为，，，，，，，， ，所以第百分位数是第个数，即为，故A正确， 对于B，回归方程为， 又，变量与成负相关，故B正确， 对于C，随机变量服从正态分布，， ， 故，故C错误， 对于D，线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越大，说明模型的拟合效果越好， 故D错误． 故选：AB． 12．已知，当时，可以认为，如果，当，可以认为.某校高中有学生人，近视人数有人.从中随机抽取人，记这人中近视人数为随机变量；若从中有放回的一个一个的抽查人，这人中近视人数为随机变量.则（    ） 附：若随机变量ξ服从正态分布，则，，． A． B． C．随机变量的取值在之间的概率大于0.6826 D． 【答案】BCD 【分析】由题意符合超几何分布的特征，先确定参数，再验证是否小于，判断能否近似为二项分布；由题意符合二项分布的特征，先确定参数，再验证和是否均大于，判断能否近似为正态分布，计算对应正态分布的参数和；对于涉及概率计算的选项，先确定正态分布的和，再将所求区间转化为的形式，结合所给正态分布的概率取值规则计算对应概率；计算期望时，根据超几何分布和二项分布的期望公式分别计算和，验证对应选项的正确性即可. 【解析】由题意X服从超几何分布， 选项A：题目规定只有时，才可近似认为服从二项分布， 本题，不满足条件，因此A错误； 选项D：超几何分布的期望公式为， 代入得，因此D正确； 由题意Y服从二项分布， 选项B：计算得，，满足题目条件， 可近似认为，因此B正确； 选项C：由，得： ，， 即区间， ， 所以，故C正确. 故选：BCD． 13. 甲参加游戏获得的积分的分布列为 4 5 6 7 8 0.1 0.3 0.3 且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】依题意得，， ， 则，A项正确， ，故B项正确； ，故C项错误； ，故D项正确． 故选：ABD 14．下列结论正确的是（   ） A．随机变量服从二项分布，，则 B．数据，，，…，的平均数为2，则，，，…，的平均数为6 C．在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为10. D．随机变量服从正态分布，且，则 【答案】ACD 【解析】对于A选项，，.故A选项正确； 对于B选项，因为，，，，…，的平均数为，故B选项错误； 对于C选项，已知各项系数和为，则令，得：，解得：. 由的展开式中第项为，当时，得：， 即项的系数为.故C选项正确. 对于D选项，服从正态分布，，所以， 故D选项正确. 故选：ACD 三、填空题： 15．某AI公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，则在这次团建中，该公司的平均成绩为__________分，方差为__________． 【答案】 115 140 【分析】根据分组数据平均数，方差计算公式可得答案. 【解析】因为公司有男性30人，女性10人， 男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95， 所以该公司的平均成绩为：； 该公司成绩的方差为：. 故答案：115 140 16.某中学为了更好地弘扬优秀传统文化，举办了一个诗词擂台赛活动:活动形式为两人进行擂台比拼，采用三局两胜制，每局通过抽签决定答题者，若答对则获得1分并继续答题，若答错则对方获得1分并由对方回答下一道题，每局3题，且得分多者获胜，现有甲乙两人参加擂台对抗赛，根据以往比赛经验，甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，则甲在这场比赛中获胜的概率为 . 【答案】 【解析】由题意，每局第一个答题是甲或乙，概率均为，且每局不可能出现平局， 设事件表示某一局甲获胜，则甲得分有两种情况：3分或2分， 若甲第一个答题， 甲得3分：3题甲都答对，故其概率为， 甲得2分：3题对错依次为甲对甲对甲错、甲对甲错乙错、甲错乙错甲对， 故其概率为， 若乙第一个答题， 甲得3分：3题对错依次为乙错甲对甲对，故其概率为， 甲得2分：3题对错依次为乙对乙错甲对、乙错甲对甲错、乙错甲错乙错， 故其概率为， 综上，一局比拼，甲获胜的概率为， 所以甲在这场比赛中获胜的概率为. 故答案为： 17．箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________． 【答案】 【分析】第一空：计算出每次取到不是黄球的概率，即可得出三次都没取到黄球的概率；第二空：计算出至少取到一次红球的概率，借助条件概率即可得出结论. 【详解】由题意， 第一空： 箱子里总共有6个球，其中黄球2个，非黄球共4个。 设事件表示没取到黄球，事件表示三次都没取到黄球， 有放回抽取，每次取到非黄球的概率为， 三次都没取到黄球的概率：. 第二空： 设事件表示至少取到一次红球，事件表示三次都取到白球， ， ∵三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率：， ， ∴， ∴在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是. 故答案： 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下： 成绩分组 人数 40 60 60 32 8 以频率估计概率，完成下列问题： (1)求数学成绩低于120分的概率； (2)从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率； (3)每组数据取左端、中间、右端，比较、、的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求样本中数学成绩低于分的频率，再由频率估计概率； （2）先分别求事件成绩不低于分的概率和事件成绩小于分的概率，再由独立事件概率乘法公式求结论； （3）根据方差公式分别求，比较大小可得结论. 【解析】（1）由已知样本中数学成绩低于分的频率为， 所以数学成绩低于分的概率为， （2）从学校随机抽取一人，该学生成绩不低于分的概率为， 小于分的概率为， 所以从学校随机抽取人，人不低于且人小于的概率为， （3）每组数据取左端的值记为，， 每组数据取中间的值记为，， 每组数据取右端的值记为，， 由已知，，，，， 所以， 由已知，，，，， 所以， ，，，，， 所以， ， 所以. 19.某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图： (1)求第一四分位数和中位数； (2)设为首次故障时间小于365天的概率估计值． （ⅰ）求； （ⅱ）已知该工厂向某用户销售了100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件数，若，求和． 【答案】(1)第一四分位数为 ，中位数为 ； (2)（ⅰ）；（ⅱ），． 【分析】（1）根据百分位数的定义，先确定其大致位置，然后列方程求解； （2）根据直方图，先求出小于365天的频率，作为概率的估计值，然后利用二项分布的期望和方差求解. 【解析】（1）由直方图可知，的频率为， 的频率为， 故第一四分位数在上，设为，则，解得； 的频率为， 的频率为， 故中位数在上，设为，则，解得. 故第一四分位数为370，中位数为381； （2）由直方图可知，小于365天的频率为，故， 根据二项分布的期望和方差公式， ， 20．设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次，当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数． (1)当，时，求的分布列； (2)设，均为自然数． （i）当时，求； （ii）当时，证明：． 【答案】(1)的分布列如下图所示： 1 2 3 4 (2)（i） （ii）略. 【分析】（1）求出的可能取值，计算出不同取值下的概率，即可得出分布列. (2)（i）等价于前次投篮全部未中，利用各次投篮的独立性，可求出. （ii）利用条件概率公式，结合 (i) 的结论与事件的包含关系即可证明结论. 【解析】（1）由题意， 整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次， 当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， ∴的可能取值为1，2，3，4， 当时，表示第一次就投进球，， 当时，表示第2次投进球，第1次没有投进，， 当时，表示第3次投进球，前两次没有投进，， 当时，表示在第次停止，此事件等价于前次投篮均未投中，， 作出的分布列如下图所示： 1 2 3 4 （2）（i）由题意及（1）得， 整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次， 当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， 当时，表示前次均未投中， ∴. （ii）证明如下： 即. 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $