精品解析：四川省遂宁市大英县2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题

2026年上期学业水平抽样监测 七年级数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分． 总分150分．考试时间120分钟． 第I卷（选择题，满分54分） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用黑色签字笔涂写在机读卡上； 2．1-18小题选出答案后，用2B铅笔把机读卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上； 3．考试结束后，将第I卷的机读卡和第II卷的答题卡一并交回． 一、选择题（每小题有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项是正确的，每小题3分，共54分） 1. 下列方程是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 人工智能AI改变着我们的生活．下图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 把方程去分母后，正确的是( )． A. B. C. D. 4. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 某校新建的科技馆准备用正多边形地砖铺设地面，下列组合中能铺满地面的是（　　） A. 正方形和正六边形 B. 正三角形和正六边形 C. 正五边形和正八边形 D. 正方形和正十边形 6. 今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了x钱，乙带了y钱．根据题意，列出的二元一次方程组为 （ ） A. B. C. D. 7. 王老师有两根小棒(如图)，如果要把其中的一根剪成两段，那么下而剪法中，根小捧一定能围成三角形的是( ) A. 小棒正中间剪一刀 B. 小棒正中间剪一刀 C. 小棒任意剪一刀 D. 小棒任意剪一刀 8. 如图，已知，按照下列步骤进行尺规作图： ①以点B为圆心、任意长为半径作弧，与角的两边分别交于M、N两点； ②分别以点M和N为圆心、大于线段一半的长为半径作弧，在内，两弧相交于点D； ③作射线． 然后过点D作的垂线，交于点E．若，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于的方程的解是非负数，则的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 10. 梯形面积公式为，已知上底，高，面积，则其下底的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 8 11. 如图：已知与关于直线成轴对称，，则（ ） A. B. C. D. 12. 若三元一次方程组的解使，则的值为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 13. 如图所示，则的度数为（ ） A. B. C. D. 14. 如图是某个投稿作品，将边长相等的正五边形徽章和正六边形模具按如图所示的位置摆放．连接并延长至点．则（ ） A. B. C. D. 15. 下列说法中，正确的个数有（ ） ①若一个多边形的外角和等于，则这个多边形的边数为4； ②三角形的一个外角大于任意一个内角； ③对角线共有5条的多边形是五边形； ④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 16. 已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（ ） A. B. C. D. 17. 如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形地砖，周围用正三角形和正方形地砖密铺，从里向外共10层（不包括中央的正六边形地砖）．每一层的外边界都围成一个多边形，若中央的正六边形地砖的边长为，则第10层边界所围成的多边形的周长是（ ） A. 33 B. 34 C. 35 D. 36 18. 若关于的方程组的解满足，且关于的不等式组有整数解且最多3个整数解，则满足条件的所有整数的值之和为（ ） A. 12 B. 6 C. D. 第II卷（非选择题，满分96分） 注意事项； 1．用钢笔或签字笔在第II卷答题卡上作答，不能答在此试卷上． 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，需要你在答题卡上作答． 3．答题前将答题卡密封线内的项目填写清楚． 二、填空题（每小题4分，6个小题，共24分） 19. 在方程中，用含的代数式表示，_____． 20. 方程的解是________． 21. 等腰三角形的周长是，一条边的长是，则它的腰长是________． 22. 若不等式组的解集为，则的值为________． 23. △ABC是等边三角形，点O是三条中线的交点，△ABC以点O为旋转中心，则至少旋转____________度后能与原来图形重合． 24. 【提出问题】设的面积为1，如图1，将边分别2等分，求？ 【问题解决】连结，设，则，由题意得：，即：． 【方法运用】如图2，若分别是边和上距离点最近的6等分点，与相交于点，则四边形的面积为________． 三、解答题：（本大题共6个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤） 25. 解方程（组）或不等式（组） （1）解方程： （2）解方程组： （3）解不等式： 26. 解不等式组，并将不等式组的解集表示在如图所示的数轴上． 27. 如图，在的正方形网格中，每个格子的边长均为1个单位长度，的顶点都在格点上，将先向右平移2格，再向下平移3格，得到． （1）请在网格图中画出平移后的； （2）若与关于点成中心对称．请在网格图中画出； （3）若在格点上存在点，且点异于点，使得，这样的点一共有_____个． 28. 点C为BD上一点，△ABC≌△CDE，AB=1，DE=2，∠B=110°． （1）求BD的长； （2）求∠ACE的度数． 29. 我市蔬菜现代农业园区响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有有机蔬菜的市场价值，经调查发现：甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元． （1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购进甲种蔬菜千克（为正整数），有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，超市何时获得的利润最大，最大利润是多少？ 30. 定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为．所以称方程为不等式组，的“相伴方程”． （1）下列方程是不等式组的“相伴方程”的是_______；（填序号） ①；②；③ （2）若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； （3）若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，则m的取值范围是________（直接写答案）． 31. 在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： （1）【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点，若，则________； （2）【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，求的度数． （3）如图3，在中，的角平分线交于点P，将沿折叠使得点A与点P重合，若，则________； （4）【拓展提升】如图4，在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上期学业水平抽样监测 七年级数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分． 总分150分．考试时间120分钟． 第I卷（选择题，满分54分） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用黑色签字笔涂写在机读卡上； 2．1-18小题选出答案后，用2B铅笔把机读卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上； 3．考试结束后，将第I卷的机读卡和第II卷的答题卡一并交回． 一、选择题（每小题有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项是正确的，每小题3分，共54分） 1. 下列方程是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，难度较小．根据一元一次方程的定义“含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程”作答即可． 【详解】解：A、是代数式，不满足一元一次方程的定义，该选项不符合题意； B、有两个未知数，不是一元一次方程，该选项不符合题意； C、是一元一次方程，该选项符合题意； D、不是整式方程，不是一元一次方程，该选项不符合题意； 故选：C． 2. 人工智能AI改变着我们的生活．下图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、C、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 3. 把方程去分母后，正确的是( )． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：方程两边都乘以6得：3x-2（x-1）=6， 故选D． 点睛：解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1． 4. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 5. 某校新建的科技馆准备用正多边形地砖铺设地面，下列组合中能铺满地面的是（　　） A. 正方形和正六边形 B. 正三角形和正六边形 C. 正五边形和正八边形 D. 正方形和正十边形 【答案】B 【解析】 【分析】正多边形的组合能否铺满地面，看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°进行判定即可． 【详解】解：A、正方形和正六边形内角分别为90°、120°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满； B、正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，显然能构成360°的周角，故能铺满； C、正五边形和正八边形内角分别为108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满． D、正方形和正十边形内角分别为90°、144°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满． 故选B． 【点睛】本题主要考查了平面几何图形镶嵌，解题的关键是明确围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 6. 今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了x钱，乙带了y钱．根据题意，列出的二元一次方程组为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50钱”，列出一个关于x和y的二元一次方程；根据“如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱50钱”，列出一个关于x和y的二元一次方程，从而得到答案． 【详解】解：根据题意得：， 故选：A． 7. 王老师有两根小棒(如图)，如果要把其中的一根剪成两段，那么下而剪法中，根小捧一定能围成三角形的是( ) A. 小棒正中间剪一刀 B. 小棒正中间剪一刀 C. 小棒任意剪一刀 D. 小棒任意剪一刀 【答案】B 【解析】 【分析】任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此解答． 【详解】解：根据分析可知，小棒正中间剪一刀时，最小的两边之和， 故3根小棒一定能围成三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系的应用，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 8. 如图，已知，按照下列步骤进行尺规作图： ①以点B为圆心、任意长为半径作弧，与角的两边分别交于M、N两点； ②分别以点M和N为圆心、大于线段一半的长为半径作弧，在内，两弧相交于点D； ③作射线． 然后过点D作的垂线，交于点E．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查作图，由作图可知，射线是的角平分线，则，再根据，然后由求解即可． 【详解】解：由作图可知，射线是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 9. 已知关于的方程的解是非负数，则的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】将看作已知数，先解出方程中的表达式，再根据解是非负数的条件列出关于的不等式，求解不等式得到的取值范围，即可得到的最小值． 【详解】解：解方程，得， ∵方程的解是非负数， ∴， 解得， ∴的最小值为． 10. 梯形面积公式为，已知上底，高，面积，则其下底的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】将已知量代入公式，解一元一次方程即可求出下底的长度． 【详解】解：将已知值代入公式得 ， 解得． 11. 如图：已知与关于直线成轴对称，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称的性质得出，，利用三角形内角和求出的度数，再根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：与关于直线成轴对称， ∴, ，， 在中，， ， 是的外角， ． 12. 若三元一次方程组的解使，则的值为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解给定的三元一次方程组，得到的值，再代入即可求出的值． 【详解】解：， 得 ， ， 得， 得 得， 把代入得， 整理得， 解得． 13. 如图所示，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，设与相交于点G，根据三角形内角和定理和对顶角相等得到，利用四边形内角和为从而得出结果． 【详解】解：如图所示，连接，设与相交于点G， ∵，， ∴， ∴ ． 14. 如图是某个投稿作品，将边长相等的正五边形徽章和正六边形模具按如图所示的位置摆放．连接并延长至点．则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形和正六边形的内角度数，利用周角性质求出  的度数，再根据等腰三角形性质求出 ，最后利用平角定义求解． 【详解】解： 正五边形  和正六边形  的边长相等，  ，，， ． ， 点在同一直线上， ． 15. 下列说法中，正确的个数有（ ） ①若一个多边形的外角和等于，则这个多边形的边数为4； ②三角形的一个外角大于任意一个内角； ③对角线共有5条的多边形是五边形； ④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】解：①任意多边形的外角和都为，与边数无关，故①错误； ②三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角，钝角三角形中钝角的外角是锐角，小于该钝角，故②错误； ③边形对角线条数为，当时，，故对角线共有5条的多边形是五边形，③正确； ④∵边形内角和为， ∴边数增加1变为边形后，内角和为， ， 边数每增加一条，内角和增加，故④正确； 综上，正确的说法共2个． 16. 已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两个方程结构的一致性，将第二个方程中的整体看作第一个方程中的，结合已知第一个方程的解即可求解． 【详解】解：观察关于的方程，其结构与已知关于的方程完全一致， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， 解得． 17. 如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形地砖，周围用正三角形和正方形地砖密铺，从里向外共10层（不包括中央的正六边形地砖）．每一层的外边界都围成一个多边形，若中央的正六边形地砖的边长为，则第10层边界所围成的多边形的周长是（ ） A. 33 B. 34 C. 35 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】观察图形，分析每层外边界边数的变化规律，得出第层边数的通项公式，代入计算周长． 【详解】解：由图可知，正方形、正三角形和正六边形的边长相等，均为，  第层外边界共有条边，即条边， 第层外边界共有条边，即条边 ，  ，  第层外边界共有条边， 当时，第层边界所围成的多边形边数为 ，  第层边界所围成的多边形的周长为． 18. 若关于的方程组的解满足，且关于的不等式组有整数解且最多3个整数解，则满足条件的所有整数的值之和为（ ） A. 12 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过方程组变形得到与的关系，结合不等式得到的初步范围，再解不等式组，根据整数解的条件确定的最终范围，最后计算所有符合条件的整数的和即可． 【详解】解：对于方程组， ，得， 化简得， ， ， 解得， 对于不等式组， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组有整数解且最多3个整数解，满足的最大整数是2， ∴不等式组的整数解最多为，最少为2， ， 解得， 结合，得， ∴符合条件的整数为， ∴其和为， 第II卷（非选择题，满分96分） 注意事项； 1．用钢笔或签字笔在第II卷答题卡上作答，不能答在此试卷上． 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，需要你在答题卡上作答． 3．答题前将答题卡密封线内的项目填写清楚． 二、填空题（每小题4分，6个小题，共24分） 19. 在方程中，用含的代数式表示，_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代入消元法解方程．将当作已知数，先移项，然后系数化为1，即可用含的代数式表示． 【详解】解：方程， 移项得：， 系数化1得：， 故答案为：． 20. 方程的解是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ， ， ． 21. 等腰三角形的周长是，一条边的长是，则它的腰长是________． 【答案】或##5或8 【解析】 【分析】分类讨论已知边长为腰长或底边长两种情况，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可求解． 【详解】解：当的边为等腰三角形的腰时，底边的长为，此时三边长为， ，，满足三角形三边关系，符合要求． 当的边为等腰三角形的底边时，腰长为，此时三边长为， ，，满足三角形三边关系，符合要求． 综上可知，它的腰长是或． 22. 若不等式组的解集为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再结合已知的不等式组解集得到关于的方程，求解即可得到的值. 【详解】解：， 解，得， 解，得， 不等式组的解集为， ， ． 23. △ABC是等边三角形，点O是三条中线的交点，△ABC以点O为旋转中心，则至少旋转____________度后能与原来图形重合． 【答案】120 【解析】 【详解】解：连接OA、OB、OC， ∵△ABC是等边三角形，点O是三条中线的交点， 易知OA=OB=OC，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°， 可知旋转角至少是120°， 故答案为：120°． 24. 【提出问题】设的面积为1，如图1，将边分别2等分，求？ 【问题解决】连结，设，则，由题意得：，即：． 【方法运用】如图2，若分别是边和上距离点最近的6等分点，与相交于点，则四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设，，则，，根据，列出方程组，求解即可． 【详解】解：连接， 设，， ∵分别是边和上距离点最近的6等分点， ∴，， ，， ∵，， ∴，解得， ∴， ∴． 三、解答题：（本大题共6个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤） 25. 解方程（组）或不等式（组） （1）解方程： （2）解方程组： （3）解不等式： 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：， 去括号得， 移项合并同类项得； 【小问2详解】 解：， 整理②得， 得， 得， 解得， 把代入③得：， 解得， ∴原方程组的解为； 【小问3详解】 解： 两边同乘去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为得． 26. 解不等式组，并将不等式组的解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】 解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为． 不等式组的解集在数轴上表示如图： 【解析】 【分析】先分别求解各个不等式的解集，求出公共部分得到不等式组的解集，并在数轴上表示解集即可． 【详解】略 27. 如图，在的正方形网格中，每个格子的边长均为1个单位长度，的顶点都在格点上，将先向右平移2格，再向下平移3格，得到． （1）请在网格图中画出平移后的； （2）若与关于点成中心对称．请在网格图中画出； （3）若在格点上存在点，且点异于点，使得，这样的点一共有_____个． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3）3 【解析】 【分析】此题主要考查了平移变换以及平行线的性质和三角形的高，利用平行线的性质得出P点位置是解题关键． （1）分别将点A、B、C向向右平移2格，再向下平移3格，得到点、、，然后顺次连接； （2）找出、关于的中心对称点、（中心对称点连线过对称中心，且被对称中心平分），连接、、得； （3）利用平行线的性质过点A作出BC的平行线进而得出符合题意的点． 【小问1详解】 解：如图 【小问2详解】 解：如图 【小问3详解】 解：如图所示： 中为底，根据，可知点到的距离与到距离相等的格线与格点的交点（除）有3个， 所以点共3个． 故答案为：3． 28. 点C为BD上一点，△ABC≌△CDE，AB=1，DE=2，∠B=110°． （1）求BD的长； （2）求∠ACE的度数． 【答案】（1）BD的长为3； （2）∠ACE的度数为110°． 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形的性质得到CD=AB=1，BC=DE=2，据此即可求得BD的长； （2）利用全等三角形的性质得到∠ECD=∠A，再利用三角形的外角性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵△ABC≌△CDE，AB=1，DE=2， ∴CD=AB=1，BC=DE=2， ∴BD=BC+CD=2+1=3； 【小问2详解】 解：∵△ABC≌△CDE， ∴∠ECD=∠A， ∵∠ACD=∠ACE+∠ECD=∠A+∠B， ∴∠ACE=∠B=110°． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等． 29. 我市蔬菜现代农业园区响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有有机蔬菜的市场价值，经调查发现：甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元． （1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购进甲种蔬菜千克（为正整数），有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，超市何时获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）， （2）共有3种购买方案：方案1：购进甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购进甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购进甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克． （3）购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜时利润最大，最大利润是520元． 【解析】 【分析】（1）根据两种购进情况的总费用，列出二元一次方程组，求解得到的值； （2）设购进甲种蔬菜千克，可得乙种蔬菜重量为千克，根据投入资金的范围列出一元一次不等式组，结合为正整数得到所有购买方案； （3）分别计算每种方案的总利润，比较后得到最大利润，用到总价=单价×数量，总利润=单位利润×重量的基本关系． 【小问1详解】 解：依题意得  ， 解得 ， 答：的值为10，的值为14； 【小问2详解】 解：购进甲种蔬菜千克，则购进乙种蔬菜千克． 依题意得， 解不等式，得， 解不等式，得， 因此不等式组的解集为， 为正整数， ， 因此共有3种购买方案：方案1：购进甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购进甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购进甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克． 答：共有3种购买方案，具体方案如上； 【小问3详解】 解：甲种蔬菜每千克利润为（元），乙种蔬菜每千克利润为（元）， 方案1利润：（元）， 方案2利润：（元）， 方案3利润：（元）， ， 购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜时利润最大，最大利润为520元． 答：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜时获得最大利润，最大利润是520元． 30. 定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为．所以称方程为不等式组，的“相伴方程”． （1）下列方程是不等式组的“相伴方程”的是_______；（填序号） ①；②；③ （2）若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； （3）若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，则m的取值范围是________（直接写答案）． 【答案】（1）①② （2）3＜k≤4； （3）2＜m≤3 【解析】 【分析】（1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可； （2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出＜≤3，再去解不等式组的解集即可； （3）分别求出方程的解，分为两种情况：①当m＜2时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当m＞2时，求出不等式组的解集，再判断即可． 【小问1详解】 解：解不等式组得-1＜x＜2， 解方程x-1=0得：x=1； 解方程2x+1=0得：x=-； 解方程-2x-2=0得：x=-1， ∵-1＜1＜2，-1＜-＜2，-1=-1， ∴①②是不等式组的“相伴方程”， 故答案为：①②； 【小问2详解】 解：解不等式组得：＜x≤3， 解方程2x-k=2得：x=， ∵关于x的方程2x-k=2是不等式组的“相伴方程”， ∴＜≤3， 解得：3＜k≤4， 即k的取值范围是3＜k≤4； 【小问3详解】 解：解方程2x+4=0得x=-2， 解方程得x=-1， ∵方程2x+4=0，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，m≠2， 所以分为两种情况： ①当m＜2时，不等式组为， 此时不等式组的解集是x＞1，不符合题意，舍去； ②当m＞2时，不等式组的解集是m-5≤x＜1， 所以根据题意得， 解得：2＜m≤3， 所以m的取值范围是2＜m≤3， 故答案为：2＜m≤3． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键． 31. 在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： （1）【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点，若，则________； （2）【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，求的度数． （3）如图3，在中，的角平分线交于点P，将沿折叠使得点A与点P重合，若，则________； （4）【拓展提升】如图4，在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系． 【答案】（1） （2） （3） （4）F在E左侧；F在中间；F在D右侧 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，则； （3）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （4）分点F在点E左侧，点F在D、E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴； 【小问3详解】 解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与（1）同理可得， 故答案为：； 【小问4详解】 解：当点F在点E左侧时，如图4-1所示， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 当F在D、E之间时，如图4-2所示： 同理可得，， ∴； 当点F在D点右侧时，如图4-3所示： 同理可得； 综上所述，F在E左侧；F在ED中间；F在D右侧． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，轴对称的性质，熟知相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $