安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

**基本信息** 以生活实践与数学探究为载体，覆盖高二核心知识，梯度设计凸显数学思维与应用能力，如环保统计、景区抽奖等情境融合统计概率，泰勒展开式深化逻辑推理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|二项式定理、导数极值、二项分布|基础概念与简单应用结合，如第3题二项分布期望方差计算| |多选|3/18|椭圆性质、集合概率、函数奇偶性|多维度考查综合辨析，如第11题结合导数奇偶性与周期性| |填空|3/15|涂色问题、百分位数与方差、圆的切线|情境简洁，注重知识迁移，如第14题动直线过定点| |解答|5/77|统计分析、双曲线定点、概率期望、二项式证明、泰勒展开|分层设计，如17题景区抽奖融合分布列与收入决策，19题泰勒展开式证明不等式发展逻辑推理|

高二数学期末试卷 (120分钟 150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若的展开式中系数最大的项只有第4项，则它的展开式中常数项为 A. B. C. D. 2.若定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足=，则f(x)的极值点为 A.2 B.1 C.0 D. 3.已知随机变量X~B(n，p)，若E(X)=3D(X)=2，则p= A. B. C. D. 4.若平面α的一个法向量为n=(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a=(1，2，-2)，则l与α所成角的正弦值为 A. B. C. D. 5.已知点P在抛物线M：y2=8x上，过点P作圆C：(x-2)2+y2=4的切线，若切线长为2，则点P到M的准线的距离为 A.4 B.6 C.5 D.4 6.某不透明的盒子中有5个红色小球和4个黑色小球(小球的形状、大小均相同)，小明从中随机取出1个小球丢掉(未看被丢掉小球的颜色).现从剩下8个小球中取出2个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为 A. B. C. D. 7.高二(3)班从6名同学a，b，c，d，e，f中选取4人参加校运会的4×100米接力赛，每人只能跑一棒，其中第一棒只能从a，b中选一人跑，且a，b不相邻，第四棒不能由d跑，则不同的选取方法有 A.88种 B.78种 C.66种 D.58种 8.记Tn为数列{an}的前n项积，已知+=1，则T18= A.11 B.18 C.19 D.37 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知椭圆C：+=1(0<m<8)的离心率为，焦点为F1，F2，则 A.C的短轴长为2 B.C上存在点P，使得PF1⊥PF2 C.若点P在椭圆C上，则·的取值范围为(-4，2) D.C与曲线+=4重合 10.已知集合U={1，2，3，4，5}，M1={a，b}，M2={c，d}，且M1≠M2，M1⊆U，M2⊆U，设事件A为“a+b=5”，事件B为“a+b+c+d=10”，则下列结论正确的是 A.P(A)= B.P(B)= C.P(AB)= D.P(A|B)= 11.已知函数f(x)与其导函数f'(x)的定义域均为R，且f(x)-x与f'(1-2x)均为偶函数，则 A.f(1)=0 B.-1(x≠0)为奇函数 C.f'(x)-1是奇函数 D.4是函数f'(x)的周期 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.给图中的三个区域涂色，有四种颜色可供选择，要求相邻区域涂不同的颜色，共有　　　　种涂色方法.  13.已知一组数据1，2，2，5，5，6的第30百分位数为m，随机变量X的分布列为 X m 5 14 P 0.3 0.6 0.1 则D(X)=　　　　.  14.已知圆C：x2+y2=4，点P为直线x-2y=8上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过的定点坐标为　　　　.  四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)某环保网站为增强网站的吸引力，举行环保知识阅读有奖比赛，即所有的题目均可从网站上阅读获取答案，通过网民的申请发放10000份网络试卷，从中随机抽取50份试卷，将其成绩整理后制成频率分布直方图，如图所示. (1)求a的值，并估计此次有奖比赛成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值表示)； (2)若80分以上(含80分)有奖的男性有2人，80分以下的男性有24人，补全下面列联表，并根据小概率值α=0.1的独立性检验，分析“有奖”是否与“性别”有关. 单位：人 性别 成绩 成绩 合计 性别 80分以上(含80分) 80分以下 合计 女性 男性 2 24 合计 50 附：临界值表及参考公式： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 χ2=，n=a+b+c+d. 16.(15分)已知双曲线E：mx2-ny2=1经过点A(2，0)，B(4，-). (1)求E的方程； (2)设直线l：y=kx+b(k≠0)经过E的右焦点，且与E交于不同的两点M，N，点N关于x轴的对称点为P，证明：直线PM过定点. 17.(15分)某景区举行五一游网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从5个减免红包中随机抽取2个，5个红包的金额分别为0元、10元、10元、30元、50元.已知该景区门票每张120元，全部实行网上购票. (1)记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为X，求X的分布列与期望. (2)已知每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，，举行此抽奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加40%.假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由： ①举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了? ②举行抽奖活动后该景区在五一期间的总收入是增加了，还是减少了? 18.(17分)已知(1+x)(2+x)2n-1=a0+a1x+…+akxk+…+a2nx2n，n∈N*. (1)当n=4时，求a1+a2+…+a2n的值. (2)当k≥1时，证明：2kak=(2n+k)·22n-k. (3)设2k·(2n-k)ak=22n-1·(2n+k)bk，求b0+3b1+5b2+7b3+…+(4n-1)b2n-1. 19.(17分)对于函数f(x)，规定f'(x)=[f(x)]'，f(2)(x)=[f'(x)]'，…，f(n)(x)=[f(n-1)(x)]'，f(n)(x)叫作函数f(x)的n阶导数.若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a，b]上具有n阶导数，且在开区间(a，b)上具有(n+1)阶导数，则对闭区间[a，b]上任意一点x，f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+(x-x0)2+…+(x-x0)n+R(n)(x)，该公式称为函数f(x)在x=x0处的n阶泰勒展开式，R(n)(x)是此泰勒展开式的n阶余项.已知函数f(x)=ln(x+1). (1)写出函数f(x)在x=1处的2阶泰勒展开式(R(n)(x)用R(2)(x)表示即可). (2)设函数f(x)在x=0处的3阶余项为g(x)，求证：对任意的x∈(-1，1)，g(x)≤0. (3)求证：…<(n∈N*). 参考答案 1.A　解析：的展开式中系数最大的项也是二项式系数最大的项，∴n=6，则常数项为. 2.B　解析：由已知可得f(x)的导函数为f'(x)=，令f'(x)=0，则x=1. 3.A　解析：∵X~B(n，p)，∴E(X)=np，D(X)=np(1-p)，∴1-p=，p=. 4.C　解析：设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ===. 5.A　解析：设切点为Q，则|CQ|=2，|PQ|=2，则|PC|===4.根据抛物线上的点P到准线x=-2的距离等于点P到焦点的距离，可知点P到M的准线的距离为4. 6.D　解析：用事件A表示“丢掉一个小球后任取两个小球均为红球”，事件B1表示“丢掉的小球为红球”，事件B2表示“丢掉的小球为黑球”，则P(B1)=，P(B2)=，P(A|B1)==，P(A|B2)==，由全概率公式可得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=×+×=，所以P(B1|A)===. 7.B　解析：在不考虑a，b是否相邻的情况下，第一棒的选取方法有2种，第四棒的选取方法有4种，剩下两棒的选取方法有种，此时共有8=96种选取方法.若a，b相邻，则a，b只能是第一、二棒，有2种选取方法，第四棒的选取方法有3种，第三棒的选取方法有3种，共有18种选取方法.故符合条件的选取方法共有96-18=78种. 8.C　解析：当n=1时，T1=2，且Tn=a1a2a3…an，则an=(n≥2)，代入+=1， 化简得Tn-Tn-1=1，则Tn=n+1，故T18=19. 9.ABD　解析：由题意可得=，解得m=2，则C的短轴长为2=2，A正确；若P为短轴上的端点，O为坐标原点，则tan∠F1PO==，∠F1PO=，∠F1PF2=>，所以C上存在点P，使得PF1⊥PF2，B正确；设P(x，y)(-2≤x≤2)，F1(-，0)，F2(，0)，则·=(--x，-y)·(-x，-y)=x2-6+y2=x2-6+2-=-4∈[-4，2]，C不正确；设P(x，y)为椭圆C上任意一点，因为|PF1|+|PF2|=2a=4，所以+=4，D正确. 10.BC　解析：易得5=a+b=1+4=2+3，由元素的无序性知P(A)==，故A不正确；对于B，由题意知可能的情况有 ∴P(B)==，故B正确；P(AB)==，故C正确；P(A|B)==，故D不正确. 11.BCD　解析：因为f'(1-2x)为偶函数，所以f'(1+2x)=f'(1-2x)，即f'(1+x)=f'(1-x)，所以f'(x)的图象关于直线x=1对称，则原函数f(x)的图象关于点(1，t)(t∈R)对称，所以A错误；因为f(x)-x为偶函数，所以f(x)-x=f(-x)+x，即f(x)-f(-x)=2x，所以当x≠0时，-1=-，即-1为奇函数，所以B正确；因为f(x)-x为偶函数，即f(-x)-(-x)=f(x)-x，所以-f'(-x)+1=f'(x)-1，f'(x)-1是奇函数，所以f'(-x)+f'(x)=2，又f'(-x)=f'(x+2)，所以f'(x+2)+f'(x)=2，同理可得f'(x+4)+f'(x+2)=2，故f'(x)的周期为4，所以C，D正确. 12.36解析：从左边第一个区域开始涂色，第一个区域有4种方法，第二个区域有3种方法，第三个区域有3种方法，共4×3×3=36种涂色方法. 13.10.8解析：∵6×30%=1.8，∴m=2，∴E(X)=2×0.3+5×0.6+14×0.1=5， ∴D(X)=(2-5)2×0.3+(5-5)2×0.6+(14-5)2×0.1=10.8. 14.　解析：设动点P(8+2t，t)，则以线段PC为直径的圆Q的方程为(x-8-2t)x+(y-t)y=0，故圆Q与圆C的公共弦方程为(-8-2t)x-ty+4=0，此即为直线AB，故该直线过定点. 15.解析：(1)10×(a+0.026+0.016+2×0.010+0.006)=1，解得a=0.032， 此次有奖比赛成绩的平均数约为45×0.10+55×0.16+65×0.26+75×0.32+85×0.10+95×0.06=68.4分. (2)由频率分布直方图可得80分以上(含80分)的人数为50×(0.10+0.06)=8，填写列联表如下： 性别 成绩 成绩 合计 性别 80分以上(含80分) 80分以下 合计 女性 6 18 24 男性 2 24 26 合计 8 42 50 零假设为H0：有奖与性别之间无关联.根据列联表中数据， 经计算得到χ2=≈2.782 >2.706 =x0.1. 根据小概率值α=0.1的独立性检验，推断H0不成立，即认为“有奖”与“性别”有关，此推断犯错误的概率不大于0.1. 16.解析：(1)由题意可得解得所以E的方程为-y2=1. (2)由(1)知E的右焦点为(3，0)，则l：y=k(x-3)， 联立消去y得，(1-8k2)x2+48k2x-72k2-8=0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则1-8k2≠0，Δ>0，即k2≠， 故x1+x2=，x1x2=. 因为点N关于x轴的对称点为P，所以P(x2，-y2)， 则直线PM的方程为y-y1=(x-x1). 根据对称性可知，直线PM经过的定点必在x轴上， 令y=0，得x=-y1+x1====. 当k≠0且k2≠时，x===， 所以直线PM过定点. 17.解析：(1)由题意得X的取值可以是10，20，30，40，50，60，80. P(X=10)==，P(X=20)==，P(X=30)==，P(X=40)==， P(X=50)==，P(X=60)==，P(X=80)==， 所以X的分布列为 X 10 20 30 40 50 60 80 P E(X)=10×+20×+30×+40×+50×+60×+80×=40. (2)①假设不举行抽奖活动，该景区在五一期间的客流量为n人，则门票收入为120n元，举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入为n(1+40%)(120-40)=112n<120n， 所以举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入减少了. ②每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，， 则期望值为30×+40×+60×=， 不举行抽奖活动，该景区在五一期间的总收入为n=n， 举行抽奖活动后，该景区在五一期间的总收入为n(1+40%)=n>n， 所以举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入增加了. 18.解析：(1)当n=4时，已知等式化为(1+x)(2+x)7=a0+a1x+…+a8x8， 令x=1，则a0+a1+…+a8=2×37.令x=0，则a0=27， ∴a1+a2+…+a2n=a1+a2+…+a8=2×37-27=4 246. (2)证明：由题意得ak=·22n-k+·22n-k-1=22n-k-1·=22n-k-1·=22n-k-1··，∴2kak=(2n+k)·22n-k. (3)由(2)知ak=22n-k-1·=22n-k-1··. ∵2k·(2n-k)ak=22n-1·(2n+k)bk，∴bk=.当k=0时，(2k+1)bk=b0=； 当k≥1时，(2k+1)bk=2k·+=2k·+=2(2n-1)+， ∴b0+3b1+5b2+7b3+…+(4n-1)b2n-1=2(2n-1)(++…+)+(++…+)=2(2n-1)·22n-2+22n-1=n·22n. 19.解析：(1)由f(x)=ln(x+1)，得f'(x)=，f(2)(x)=-， 所以f(1)=ln 2，f'(1)=，f(2)(1)=-，所以函数f(x)在x=1处的2阶泰勒展开式为f(x)=ln 2+(x-1)-(x-1)2+R(2)(x). (2)证明：由(1)得f(0)=0，f'(0)=1，f(2)(0)=-1，f(3)(0)=2. 所以函数f(x)在x=0处的3阶泰勒展开式为f(x)=x-x2+x3+R(3)(x)， 所以g(x)=R(3)(x)=ln(x+1)-x+x2-x3. g'(x)=-1+x-x2=-，令g'(x)=0，得x=0. 当x∈(-1，0)时，g'(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(0，1)时，g'(x)<0，g(x)单调递减. 所以g(x)≤g(0)=0，即对任意的x∈(-1，1)，g(x)≤0. (3)证明：由(2)知，当x∈(0，1)时，g(x)=ln(x+1)-x+x2-x3<0，即ln(x+1)<x-x2+x3， 因为∈(0，1)(n∈N*)，所以ln<-·+·. ln+ln+ln+…+ln<++…+-+=-×+×=+·--·. 因为+·--·<+·-=+=+×<(n∈N*)， 所以ln+ln+ln+…+ln<， 即ln<， 所以…<(n∈N*). ( 第 9 页 共 10 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $