精品解析：安徽省阜阳市临泉县2024-2025学年高二下学期7月期末教学质量统测数学试题

高二年级教学质量统测 数学 考生注意∶ 1.本试卷共150分、考试时间120分钟． 2.请将各题答案填写在答题卡上． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题∶本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知数列满足，若，则（ ） A. 28 B. 13 C. 18 D. 20 2. 已知曲线在处的切线方程为，则（ ） A B. C. 1 D. 2 3. 已知集合，则集合A中所有元素的和为（ ） A. 100 B. 99 C. 120 D. 119 4. 已知函数的部分图象如图所示，且为其导函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 若数列是公比为的等比数列，且，则的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 6. 若不等式有解，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，数列满足，则数列的前n项和的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若曲线在处切线与曲线在处的切线平行，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题∶本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的导函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 是函数的极大值点 B. 是函数的极小值点 C. D. 10. 若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互素，欧拉函数φ(k)(k∈N*)的函数值等于所有不超过正整数k，且与k互素的正整数的个数，例如∶φ(2)=1，φ(3)=2，φ(6)=2，φ(8)=4．下列说法正确的是（ ） A. φ(4)=φ(6) B. φ(4)=φ(8) C. 数列{φ(n)}为递增数列 D. 数列{nφ(2n)}的前n项和 11. 已知函数有两个零点，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则实数的取值范围为 B. 若，则实数的取值范围为 C. 若，则实数的取值范围为 D. 若，则实数的取值范围为 三、填空题∶本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设等差数列的前n项和为，若也是等差数列，，则____. 13. 若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为____. 14. 已知数列{an}的通项公式为，前n项积为，则的最大值为____． 四、解答题∶本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在处的切线方程为． （1）求a的值； （2）当时，求函数的单调区间． 16. 已知公差的等差数列的前n项的和为，且，成等比数列. （1）求数列通项公式; （2）若数列满足，求数列的前n项的和. 17. 已知函数在上有两个不同极值点． （1）求m的取值范围； （2）求证：． 18. 实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．处理生活垃圾的主要方式有填埋方式和环保方式．去年某地产生的生活垃圾为100万吨，其中80万吨垃圾以填埋的方式处理，20万吨垃圾以环保的方式处理，预计每年生活垃圾的总量依次递增10%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加10万吨．已知用填埋的方式处理生活垃圾的成本为100元/吨，用环保的方式处理生活垃圾的成本为500元/吨． （1）为了确定处理生活垃圾的预算，请写出今年起该地通过填埋方式处理的垃圾总量关于年数n的表达式； （2）求从今年起，该地6年内处理生活垃圾的预算总和．(参考数据∶1.16≈1.77) 19. 已知函数． （1）若恒成立，求a的取值范围； （2）讨论函数的零点个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级教学质量统测 数学 考生注意∶ 1.本试卷共150分、考试时间120分钟． 2.请将各题答案填写在答题卡上． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题∶本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列满足，若，则（ ） A. 28 B. 13 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知可得为等差数列且，结合求参数值. 【详解】由题设，数列是公差为1的等差数列，则， 由. 故选：C 2. 已知曲线在处的切线方程为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求导，可得切点坐标为，切线斜率，结合题意列式求解即可. 【详解】因为，， 当时，则， 即切点坐标为，切线斜率， 由题意可得：，解得. 故选：A. 3. 已知集合，则集合A中所有元素的和为（ ） A. 100 B. 99 C. 120 D. 119 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知列举出集合中的元素，应用等差数列前n项和公式求元素和. 【详解】由， 所以集合A中所有元素的和为. 故选：A 4. 已知函数的部分图象如图所示，且为其导函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象判断区间单调性及增长率变化情况，进而判断的符号及大小情况，即可得. 【详解】由图知，在上单调递减，且递减速度逐渐变慢，在上单调递增，且递增速度逐渐变快， 在上，则，在上，则， 所以. 故选：D 5. 若数列是公比为的等比数列，且，则的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列定义推导关系，再由得到关系，最后通过化简变形和基本不等式求解即可. 【详解】因为数列是公比为的等比数列，则， 即，所以. 又因为，，则. . （当且仅当，即时等号成立.） 则的最小值为. 故选：D. 6. 若不等式有解，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，求导研究其单调性，进而求其最小值，使即可. 【详解】令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因不等式有解，则，得， 则实数m的取值范围为. 故选：C 7. 已知，数列满足，则数列的前n项和的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得时，，当时，，然后可得时，，当时，，据此可得答案. 【详解】， 令， 则在上单调递增，在上单调递减. 注意到，，. 则当时，，当时，. 注意到， 因在上单调递增，在上单调递减， 又注意到，则当时，. 令. 从而时，，当时，. 设的前n项和为，则的最大值为. 故选：C 8. 已知函数，若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行可得，进而得，利用基本不等式求解，进而根据，构造函数，即可利用导数求解函数的单调性求解. 【详解】由可得， 由题意可得，即， 化简得，进而， 由可得，即，由于，故， ， 令， 记，则， 则在单调递增，所以， 因此， 故选：D 二、选择题∶本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的导函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 是函数的极大值点 B. 是函数的极小值点 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A、B，由导函数的图象及极值点的定义可判断其正误；对于C、D，由于极值是局部性质，极大值不一定比极小值大，故无法比较的大小，由此可得出答案. 【详解】由导函数的图象可知，在的左侧，；在的右侧，， 由极值点的定义可知是函数的极大值点， 同理可知是函数的极小值点，故A，B均正确； 由函数极值的定义可知，是极大值，是极小值， 而极值是局部的最大最小值，无法比较的大小，故C，D均错误； 故选：AB. 10. 若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互素，欧拉函数φ(k)(k∈N*)的函数值等于所有不超过正整数k，且与k互素的正整数的个数，例如∶φ(2)=1，φ(3)=2，φ(6)=2，φ(8)=4．下列说法正确的是（ ） A. φ(4)=φ(6) B. φ(4)=φ(8) C. 数列{φ(n)}递增数列 D. 数列{nφ(2n)}的前n项和 【答案】AD 【解析】 【分析】根据欧拉函数φ(k)(k∈N*)的函数值的定义，可判断选项A，B，由递增数列定义可判断选项C，欧拉函数φ(k)(k∈N*)的函数值的定义，结合错位相减法求数列前项和，即可判断选项D. 【详解】根据欧拉函数φ(k)(k∈N*)的函数值的定义，可知，所以A正确； 又φ(8)=4，所以B错误； 因为，所以不是递增数列，所以C错误； 与互素的正整数有，共有个，所以，， 所以，， 两式相减可得， 所以，所以D正确. 故选：AD 11. 已知函数有两个零点，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则实数的取值范围为 B. 若，则实数的取值范围为 C. 若，则实数的取值范围为 D. 若，则实数的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】函数有两个零点，所以有两个根，即与图象有两个交点，作出函数图象，根据交点个数，找出函数过原点的切线，再根据斜率关系解题即可. 【详解】函数有两个零点，所以有两个根，即与图象有两个交点，如图 又因为， 当时，若与图象有两个交点，则需，，，则， 所以时，实数的取值范围为; 当时，与图象只有一个交点，不符合题意； 当时，若与图象有两个交点，则需，，，则， 所以时，实数的取值范围为. 故选：AD 三、填空题∶本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设等差数列的前n项和为，若也是等差数列，，则____. 【答案】11 【解析】 【分析】设的公差为，有，根据已知有且，结合求基本量，进而写出的通项公式，即可求项. 【详解】设的公差为，则， 又是等差数列，，所以，则，且， 所以，可得，故， 所以，则. 故答案：11 13. 若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为____. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用给定的单调区间及单调性列出恒成立的不等式求解. 【详解】函数，求导得， 由函数在上单调递减，得，， 而函数在上单调递增，则恒成立，因此， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 14. 已知数列{an}的通项公式为，前n项积为，则的最大值为____． 【答案】## 【解析】 【分析】由通项公式判断的符号以及与1的大小关系，从而最大值. 【详解】因为, 所以,,,,,,, .当时,, 所以,的最大值为. 故答案为： 四、解答题∶本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在处的切线方程为． （1）求a的值； （2）当时，求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为和 【解析】 【分析】（1）由题可得，据此可得答案； （2）由（1）可得，在范围内解不等式可得单调区间. 【小问1详解】 ，因在处的切线方程为， 则； 【小问2详解】 由（1），， 因，， ， 则的单调递增区间为，单调递减区间为和. 16. 已知公差的等差数列的前n项的和为，且，成等比数列. （1）求数列的通项公式; （2）若数列满足，求数列的前n项的和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合等比中项可得，即可得公差和通项公式； （2）由题意可得，利用裂项相消法运算求解. 【小问1详解】 因为成等比数列，则， 且，则，即，解得或（舍去）， 所以. 【小问2详解】 设数列的前n项的和为， 因为，则， 所以. 17. 已知函数在上有两个不同的极值点． （1）求m的取值范围； （2）求证：． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，问题化为在上有两个不同的零点，结合对勾函数的性质求左侧值域，即可得参数范围； （2）应用韦达定理得，结合（1）所得范围，应用导数证明不等式. 小问1详解】 因为，所以， 由题意，在上有两个不同零点， 所以在上有两个不同的零点， 由在上单调递减，在上单调递增， 其中区间上的值域为，区间上的值域为， 所以，则. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以 令，则，且，故， 所以在上单调递减，则，所以得证. 18. 实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．处理生活垃圾的主要方式有填埋方式和环保方式．去年某地产生的生活垃圾为100万吨，其中80万吨垃圾以填埋的方式处理，20万吨垃圾以环保的方式处理，预计每年生活垃圾的总量依次递增10%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加10万吨．已知用填埋的方式处理生活垃圾的成本为100元/吨，用环保的方式处理生活垃圾的成本为500元/吨． （1）为了确定处理生活垃圾的预算，请写出今年起该地通过填埋方式处理的垃圾总量关于年数n的表达式； （2）求从今年起，该地6年内处理生活垃圾的预算总和．(参考数据∶1.16≈1.77) 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得从今年起每年用填埋的方式处理的垃圾总量，为每年生活垃圾的总量与每年用环保的方式处理的垃圾总量的差，又注意到从今年起每年生活垃圾的总量构成等比数列，今年起每年用环保的方式处理的垃圾总量构成等差数列，据此可得答案； （2）由（1）结合题目数据，参考数据可得答案. 【小问1详解】 由题可得从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成公比为1.1的等比数列， 今年起每年用环保的方式处理的垃圾总量(单位:万吨)构成公差为10的等差数列， 今年起每年用填埋的方式处理的垃圾总量(单位:万吨)构成数列，满足. 则，，. 【小问2详解】 设6年内处理生活垃圾的预算之和为W，数列的前n项和为， 数列的前n项和为， 则， 所以（元） 19. 已知函数． （1）若恒成立，求a的取值范围； （2）讨论函数零点个数． 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）由题可得，其中，然后利用导数求得在上的最小值可得答案； （2），注意到时，在上单调递增，然后由零点存在性定理可得零点情况；当时，通过研究函数可得单调性，然后通过讨论与大小关系可判断零点情况. 【小问1详解】 由题可得恒成立，因， 则恒成立，即. 令，则. ，. 则在上单调递减，在上单调递增， 则，从而； 【小问2详解】 由题，其中， 则. 当时，恒成立， 在上单调递增. 注意到，，，， 则此时在上只有一个零点； 当时，令，其中， 则， 因，则，则在上单调递减. 注意到，，，则， 使， 则，解得，. 则在上单调递增，在上单调递减. 对于函数， ，则在上单调递减， 其中，故， 若，则， 故，此时， 此时只有一个零点； 当，由得， 由以上分析可得，又在上单调递增， 则， 又，，，，则此时有两个零点； ，由， 由以上分析可得，则， 因，则， ， 令，， 在上单调递增， 注意到，则，则此时没有零点； 综上可得：当或时，只有一个零点； 当时，有2个零点； 当时，没有零点 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $