25.2.1第1课时 直接开平方法 课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“直接开平方法解一元二次方程”，通过复习平方根概念（如x²=a的解法）建立旧知联系，逐步过渡到x²=p和(x+a)²=p的形式，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以“探究-概括-应用”为主线，通过x²=-1无实根的推理培养推理意识，跟踪练习的避坑指南强化符号意识，课堂练习分层设计提升运算能力。帮助学生循序渐进掌握降次转化思想，为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

第二十五章　一元二次方程 25.2.1　降次——解一元二次方程 第1课时　直接开平方法 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 知识关联 问题1.如果 x2=a,则x叫做a的 . 平方根 问题2.如果 x2=a(a ≥0),则x= . 问题3.如果 x2=64 ,则x= . ±8 问题4.任何数都可以作为被开方数吗？ 负数不可以作为被开方数. 助力教学 (authorId_373264932) - 与解一元一次方程类似,解一元二次方程也是把它逐步转化为“x=m”的形式.与一元一次方程不同,一元二次方程是二次的,因此解一元二次方程需要“降次”,即把二次方程转化为一次方程.本节我们研究如何通过“降次”解一元二次方程. 板书:直接开平方法解方程. 【探究1】 解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程 【操作尝试】 探究与应用 (3)x2+1=0. 解:整理,得x2=-1,∵负数没有平方根,∴原方程无实数根. 问题1:解下列方程: (1)x2=4; (2)9x2-6=3; 解:根据平方根的意义,得x1=2,x2=-2. 解:移项,并将二次项系数化为1,得x2=1. 根据平方根的意义,得x1=1,x2=-1. 助力教学 (authorId_373264932) - 设置问题2,通过对一些复杂问题的探究,帮助学生体会换元思想及类比的学习方法,同时更加深入而准确地理解直接开平方法适用的一元二次方程. 【探究1】 解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程 探究与应用 【概括新知】 一般地,对于一元二次方程ax2+c=0,先将它变形为x2=p的形式,再利用直接开平方法求解,其中,当p>0时,方程有两个不等的实数根x1= ,x2= ;当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=0;当p<0时,方程无实数根. 【理解应用】 探究与应用 例1 解下列方程: (1)x2-900=0;　(2)2x2-8=0;　(3)4x2-3=0. 方法点拨:通过移项把方程化为x2=p的形式,然后直接开平方求解即可. 解:(1)移项,得x2=900. 直接开平方,得x=±30,即x1=30,x2=-30. 解:(2)移项,并将系数化为1,得x2=4. 由此可得x=±2,即x1=2,x2=-2. 解:(3)移项,并将二次项系数化为1,得x2= . 由此可得x=± ,即x1= ,x2=- . 方程 的根为( ) C A., B., C., D.无实数根 【解析】 原方程可化为，, . 避坑指南 将原方程化为后，由，得，避免直接对负数 开方，错选A.开方后的结果为，而不是 ，不要错选B. 【跟踪练习 6 【尝试交流】 探究与应用 方程(3x+1)2=2呢?试一试. 【探究2】 解形如(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程 问题2:(1) 由方程x2=25得x=±5，因此想到： 由（x+3）2=25 ， 得 即 一元二次方程x2=25与(x+3)2=25有何区别和联系? 类比方程x2=25的求解方法,你能解方程(x+3)2=25吗? x+3= ±5 ， x+3= 5 ，x+3= -5 【探究2】解形如(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程 【尝试交流】 探究与应用 (2)对于(nx+m)2=p型的方程，你能说说它的基本解法吗? 【概括新知】 运用直接开平方法可以解形如x2=p或(nx+m)2=p的一元二次方程，其实质是利用开平方运算把一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程。我们把这种思想称为“降次转化思想”. 开平方 降次转化 二次变一次 【理解应用】 探究与应用 例2 解下列方程: (1) (x+2)2－9 = 0 ； (2)3(x+1)2－27 = 0. 解：移项，得 (x+2)2=9. 直接开平方，得 x+2=±3. ∴x1=1, x2=－5. 即x1=2，x2=-4. 解：移项，得3(x+1)2=27. 系数化为1，得(x+1)2=9. 直接开平方，得 x+1=±3. [2026广元朝天区期中]将一元二次方程 转化为两个一元一 次方程，其中一个一元一次方程是 ，则另一个一元一次方程是 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 方程，直接开平方，得 ，所以另一个 一元一次方程为 . 【跟踪练习】 10 【探究2】解形如(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程 【概括新知】 探究与应用 直接开平方法解一元二次方程的“三步法” 开方 求解 变形 将方程化为含未知数的完全平方式＝非负常数的形式； 利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程； 解一元一次方程，得出方程的根． 助力教学 (authorId_373264932) - 让学生进一步明确二次根式有意义的条件,以及在不同情况下如何确定二次根式有意义的条件. 【探究2】有理数的概念及分类 探究与应用 【拓展提升】 A 例3　已知x1、x2是一元二次方程3(x-1)2=15的两个解，且x1<x2， 下列说法正确的是 ( ) A.x1小于-1，x2大于3 　 B.x1小于-2，x2大于3 C.x1、x2在-1和3之间 　　D.x1、x2都小于3 【小结】 课堂小结与检测 直接开平方法 概念 步骤 基本思路 利用平方根的定义求方程的根的方法 关键要把方程化成 x2=p(p ≥0)或(x+n)2=p (p ≥0). 一元二次方程 两个一元一次方程 降次 直接开平方法 1．下列方程中能用直接开平方法解的是 （ ） A．9x2－16＝0 B．9x2＋16＝0 C．4x2＝－4x D．－y2＝2 A 课堂练习 2．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是 (　 　) A．x－6＝－4 B．x－6＝4 C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4 D 3.若一元二次方程(x-2)2=9可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x-2=3,则另一个一元一次方程是 (　　) A.x-2=3 B.x-2=-3 C.x+2=3 D.x+2=-3 B 4.解一元二次方程(x-1)2=9的步骤如下: (x-1)2=36.① x-1=±6.② x=±7,③ 即x1=7,x2=-7.④ 其中开始出现错误的步骤是 (　　) A.① B.② C.③ D.④ C 5.已知关于x的方程x2=p. (1)当p>0时,方程有　　　 　　的实数根;  (2)当p=0时,方程有　　　　　的实数根;  (3)当p<0时,方程　　　　　　.  两个不相等 两个相等 无实数根 6．填空： (1)方程x2＝3的根是 ； (2)方程x2－4＝0的两根为 ； (3)方程3x2－1＝5的解是 ； (4)方程7x2＝343的解是 . x1＝，x2＝－ x1＝2，x2＝－2 x1＝，x2＝－ x1＝7，x2＝－7 7．若方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是m－4与3m－8，则＝ . 8．对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{(x－1)2，x2}＝1，则x＝ . 1 x＝2或－1 【解析】分情况：①当(x－1)2＝1时；②当x2＝1时；进而可得答案． 9．解下列方程： (1)(2y＋)2－6＝0； (2)9(x－1)2＝16(x＋2)2. 解：原方程可化为(2y＋)2＝18， 根据平方根的意义，得 2y＋＝3 或2y＋＝－3， 因此，原方程的根为y1＝，y2＝－2. 解：x1＝－11，x2＝－. （3） ； 解：移项,得 . 两边直接开平方,得 , 或 , , ． （4） . 解：原方程可化为 . 两边直接开平方,得 , 或 , , . 22 10．若关于x的方程(x－1)2＝4m－1有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若方程有一个根为2，求方程的另外一个根． 解：(1)m≥. (2)把x＝2代入方程(x－1)2＝4m－1，得 (2－1)2＝4m－1，解得m＝， ∴方程化为(x－1)2＝1，∴x1＝2，x2＝0， ∴方程的另一个根为0. 11.已知三角形的两边长分别是4和6,第三边的长是方程(x-3)2=4的一个根,求此三角形的周长. 解:(x-3)2=4,x-3=±2, 解得x1=5,x2=1. 当x=5时,4+5>6,能构成三角形,三角形的三边长分别为4,5,6,其周长为4+5+6=15;当x=1时,6-4=2>1, ∴长度为1,4,6的三条线段不能构成三角形,舍去. 综上可知,此三角形的周长为15. 12.　　　　 在解一元二次方程时,发现有这样一种解法: 如,解方程:x(x+8)=4. 解:原方程可变形为[(x+4)-4][(x+4)+4]=4, (x+4)2-42=4,(x+4)2=20. 开平方并整理,得x1=-4+2,x2=-4-2. 我们称这种解法为“平均数法”. (1)下面是小明用“平均数法”解方程(x+2)(x+8)=40的过程: 解:原方程可变形为[(x+a)-b][(x+a)+b]=40, (x+a)2-b2=40, (x+a)2=40+b2. 开平方并整理,得x1=c,x2=d. 上述解题过程中的a,b,c,d(b>0,c>d)所表示的数分别是　　　　, 　　　　,　　　　,　　　　.  5 2 3 -12 (2)请用“平均数法”解方程: (x-2)(x+6)=4. 解: (2)原方程可变形为[(x+2)-4][(x+2)+4]=4, (x+2)2-42=4, (x+2)2=20. 开平方并整理,得x1=-2+2,x2=-2-2. $