2027届高三物理一轮复习讲义：第十讲 圆周运动及其临界

该高中物理讲义围绕圆周运动及其临界高考核心考点，按运动规律、向心力来源、生活应用、临界问题的逻辑层次展开，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建知识体系，突破难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义采用分层练习设计，结合自行车传动、转手绢等生活实例，通过对比绳杆模型临界速度等教学活动，培养学生科学思维与模型建构能力。设置选择、计算等多样化题型，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供有力支持。

日拱一卒，功不唐捐 圆周运动及其临界 一、 圆周运动的规律 (一)描述圆周运动的物理量 t内，做圆周运动的质点通过的弧长是s,则用比值s/t来描述圆周运动的快慢，这个比值称为圆周运动的 线速度.公式：y=氵，单位：米秒.线速度是物体做圆周运动的瞬时速度.线速度是矢量，它既 有大小，也有方向 (1)方向：质点在圆周某点的线速度方向沿圆周上该点的切线方向· (2)物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢； △时间内由A运动到B,半径OA在这段时间内转过的角度为△0，则△与△t的比值描述了物体绕圆心 转动的快慢，这个比值叫做角速度，角速度用o表示：w=△0/△trd/s.角速度的物理意义：描述质 点转过圆心角的快慢.角速度也是矢量，不过中学物理不讨论角速度方向问题； T表示； n表示，单位r/s,以及r/min,转速n越大表明物体运动得越快； x以、T、f具有如下的换算关系： .T=3 w= T ,=2πf, 2π ·U=wr= =2mf; .N 5.公式小结 2nr 。= =2πrf=wr; T =2mf=u. 6.a= △v 推出做匀速圆周运动的物体的加速度的表达式吗？ △t 1 日拱一卒，功不唐捐 (1)向心加速度：圆周运动的速度方向一直改变，所以是变速运动，具有加速度，并且是指向圆心的， 这个加速度叫做向心加速度.物理意义：描述线速度方向改变的快慢 (2)向心加速度方向：总是沿半径指向圆心，每时每刻在不断地变化，匀速圆周运动是一种变加速曲线 运动 2 (3)向心加速度大小：am= 4π2r ,其中为圆的半径.向心加速度的方向与速 度方向垂直.向心加速度是描述速度方向变化快慢的物理量； 7.向心力：做匀速圆周运动的物体受到的合外力总是指向圆心，这个力叫做向心力. (1)向心力方向：总是沿半径指向圆心，方向时刻在改变，与线速度方向垂直.因此向心力是变力· 向心力大小：F含=ma (2)向心力的作用效果：产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小； 8.两种转动方式 (1)同轴转动：同一圆盘上无滑动各点角速度和周期相同（例妆如地球上的不同位置）： （2)皮带转动：同一传送带上不打滑各点线速度相同. 1.骑自行车是一项投入成本低、锻炼收益高的体育运动。如图所示，自行车的大齿轮与小齿轮通过链条连 接。大齿轮半径R1=9cm,小齿轮半径R2=3cm,P为大齿轮边缘上的一点，Q为小齿轮边缘上的一点。 骑行时（链条不打滑)，下列说法正确的是() A.P点与Q点的周期之比为3：1 B.P点与Q点的周期之比为1：3 C.P点的线速度小于Q点的线速度 D.P点的线速度大于Q点的线速度 【答案】A 【详解】AB.自行车的大齿轮与小齿轮通过链条连接，属于皮带传动模型（链条不打滑），因此两轮边缘上 点的线速度大小相等，即vp=Q,根据周期公式T=可知，在线速度相等的情况下，周期T与半径R成 正比，因为大齿轮半径R1=9Cm,小齿轮半径R2=3cm,所以P点与Q点的周期之比为Tp:To=R1:R2= 9:3=3:1,故A正确，B错误： CD.大齿轮边缘的P点与小齿轮边缘的Q点属于同链传动，两边缘各点的线速度大小相等，即P点的线速度 2 日拱一卒，功不唐捐 等于Q点的线速度，故CD错误。 故选A。 2.如图所示的皮带传动装置中，ab、c分别为轮边缘上的三点。已知Ra:R。:Rc=1:2:3。假设在传动过 程中皮带不打滑，则在传动过程中，b、c的角速度之比为() b A.3:1 B.1:3 C.2:1 D.1:2 【答案】D 【详解】a、c两点同轴转动，所以a、c两点的角速度相等，即wa=ωc 在传动过程中皮带不打滑，则a、b两点的线速度大小相等，根据v=wr,可得w。:wa=R。:R。=1:2 则b、c的角速度之比为ωb:w。=wb:wa=1:2 故选D。 3.如图所示，手持固定装置给转盘上的蛋糕抹奶油，转盘转动可视为做匀速圆周运动，给侧壁抹上3圈奶 油后改变转速，相同时间内能抹4圈。蛋糕上A点始终随转盘一起转动，则在这一过程中，关于A点，下列 说法正确的是( A.角速度大小变为原来的 B。向心加速度大小变为原来的 C.线速度大小变为原来的 D.周期变为原来的 【答案】D 【详解】A.设相同时间为6，由u= t 得=四 W2 n2 则ω2=201=01，故A错误： 4 n 心 日拱一卒，功不唐捐 B.向心加速度a,=rw2 暖=器等普 所以a2=岁a4,故B错误： C.由v=rw 得2=2=2=4 101n13 则2=1，故C错误， D.由T=2红 则72=T1,故D正确： 故选D。 4.（多选)如图，A、B两点分别位于大、小轮的边缘上，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动， 接触面上没有滑动。C在AO1上，且AC距离是CO1距离的两倍。则A、B、C三点的角速度、线速度关系 正确的是() A.ω4：wB=2:1B.vA:Vc=3:1 C.ω8：ωc=2:1D.VB:Vc=1:3 【答案】BC 【详解】A.大轮与小轮它们之间靠摩擦力传动，故两轮边缘的线速度大小相等，则有v4=vg:根据v=ωR 可知，0A:0B=RB:R4=1:2,故A错误； BD.A点和C点属于同轴转动，同轴转动同一轮上各点角速度相同，则有ωA=ωc:据v=ωR可知，vA:Vc= R4:Rc=3:1 则有vg:vc=V4:vc=3:1,故B正确，D错误； C.由于wA=ωc,则有ωB:ωc=wB:①A=2:1,故C正确。 故选BC。 5.(多选)自行车部分结构如图所示，A是大齿轮边缘上一点，B是小齿轮边缘上一点，大齿轮和小齿轮由 链条连接，C是后轮边缘上一点。把自行车后轮支撑起来，转动脚踏板，使大齿轮和后轮匀速转动，下列说 日拱一卒，功不唐捐 法正确的是() 大齿轮 小齿轮 后轮 A.A、B两点的线速度大小相等 B.B、C两点的线速度大小相等 C.A点的周期大于C点的周期 D.B点的周期小于C点的周期 【答案】AC 【详解】A.大齿轮和小齿轮由链条连接，不打滑时，边缘线速度大小相等，即vA=Vg,故A正确： D.小齿轮和后轮同轴转动，因此角速度相等wg=wc,根据T-”,角速度相等则周期相等TB=Tc,故D 错误： B.因ωB=wc,根据v=wr,且后轮半径rc>TB(小齿轮半径) 因此vc>Vg,故B错误： C.由DA=vB,大齿轮半径rA>TB,根据D=wr 可得A<①B;又ωB=①C,故①A<①c 周期T-匹，角速度越小周期越大，因此TA>Tc,故C正确。 故选AC。 6.(多选)春晚上转手绢的机器人让人印象深刻，手绢上有P、Q两点，圆心为O,手绢做匀速圆周运动， 则() A.P点的线速度小于Q点的线速度B.P点的角速度小于Q点的角速度 C.P点的向心加速度大于Q点的向心加速度D.P点所受合外力方向总是指向O 【答案】AD 【详解】B.P、Q两点同轴转动，所以P、Q两点的角速度相等，故B错误； A.根据v=wr,由于TP<TQ,可知P点的线速度小于Q点的线速度，故A正确： 日拱一卒，功不唐捐 C.根据a=ωr,由于rp<TQ,可知P点的向心加速度小于Q点的向心加速度，故C错误： D.手绢做匀速圆周运动，则P点做匀速圆周运动，所受合力提供向心力，则P点所受合外力方向总是指向 O,故D正确。 故选AD。 二、分析向心力的来源 向心力的来源：可由重力、弹力、摩擦力等提供，总之是物体所受的合外力提供了物体做匀速圆周运 动所需的向心力· 注意：不要认为做匀速圆周运动的物体除了受到另外物体的作用，还要受到一个向心力的作用.向心 力是按效果命名的力，任何一个力或几个力的合力只要它的作用效果是使物体产生向心加速度，它就是物 (一)单一力提供向心力 F会=Fn=man,方向沿水平方向指向圆心. ①绳间张力 【物体在绳子牵引下在光滑圆盘上做匀速圆周运动 -绳子拉力提供向心力】 R 光滑 Fmo=T=moi'r ②摩擦力 【物体随粗糙圆盘做均速圆周运动一摩擦力提供 向心力】 相糙： 1Fo=/。=mer≤mg 6 日拱一卒，功不唐捐 ③支持力 【物体随内壁粗糙圆筒做匀速圆周运动一支持力 提供向心力】 NF (二)合外力提供向心力 F含=Fn=man,方向沿水平方向指向圆心. ①圆锥摆 【物体在悬点固定轻绳牵引下在水平面做匀速圆周 运动】 ②类圆锥摆 【物体在悬点不固定轻绳牵引下在水平面做匀速圆 周运动】 r=R+lsine 7 日拱一卒，功不唐捐 ③斜支持力 【物体在光滑圆锥内壁做水平面匀速圆周运动】 光滑 mg 7.如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动，下列说法正确的是（) A.物体受到4个力的作用，分别是重力、弹力、摩擦力和向心力 B.物体受到3个力的作用，分别是重力、弹力和摩擦力 C.当圆筒的角速度ω增大以后，物体会相对于圆筒发生滑动 D.当圆筒的角速度ω增大以后，弹力增大，摩擦力增大 【答案】B 【详解】AB.物体做匀速圆周运动，合力指向圆心，对物体受力分析，受重力、向上的静摩擦力、指向圆 心的支持力，不受向心力，向心力是效果力，如图所示 故A错误，B正确； CD.其中重力G与静摩擦力∫平衡，与物体的角速度无关，支持力N提供向心力，所以当圆筒的角速度增 日拱一卒，功不唐捐 大以后，向心力变大，物体所受弹力N增大，故CD错误。 故选B。 8.如图所示，一圆柱形容器绕其竖直轴线匀速转动，内部有A、B两个物体，均与容器的接触面始终保持 相对静止。当转速增大后（A、B与容器接触面仍相对静止)，下列说法正确的是() B A.两物体受到的摩擦力都增大 B.两物体受到的摩擦力大小都不变 C.物体A受到的摩擦力增大，物体B受到的摩擦力大小不变 D.物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大 【答案】D 【详解】对A,竖直方向根据受力平衡可得fA=mAg 对B,水平方向根据牛顿第二定律可得fB=mor 当转速增大后，即角速度增大后，可知物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大。 故选D。 9.如图所示，餐桌中心有一个圆盘，可绕其中心轴转动，现在圆盘上放相同的茶杯，茶杯可看作质点。当 茶杯和圆盘一起匀速转动时，则下列说法正确的是() A.每个茶杯均受重力、支持力、摩擦力、向心力四个力作用 B.茶杯受到圆盘的滑动摩擦力提供向心力 C.圆盘转轴附近的茶杯所受合外力大于圆盘边缘附近的茶杯 D.若缓慢增大圆盘转速，圆盘边缘附近的茶杯先滑动 【答案】D 【详解】A.合力充当向心力，茶杯受重力、支持力、静摩擦力三个力作用，A错误： B:茶杯相对圆盘静止，茶杯受到圆盘的摩擦力是静摩擦力，沿半径指向圆心，充当向心力，B错误： 日拱一卒，功不唐捐 C.根据F合=Fn=wr可知圆盘转轴附近的茶杯所受合外力小于圆盘边缘附近的茶杯，故C错误： D.根据牛顿第二定律μmg=mw2r 解得ω= g 若缓慢增大圆盘转速，离中心轴远的茶杯先滑动，D正确。 故选D。 10.(多选)如图，主动轮大圆盘与从动轮小圆盘通过皮带（不打滑）连接，大圆盘与小圆盘的半径之比为 2：1,材料相同的可以视为质点的两物体质量之比为4：=4：1，两个物体距离转动轴的距离相等。现 在让圆盘匀速转动起来，下列说法中正确的是() A B A.物体A与物体B相对圆盘滑动之前的角速度之比为1：2 B.物体A与物体B相对圆盘滑动之前的摩擦力之比为1：4 C.物体A与物体B相对圆盘滑动之前的向心加速度之比为4：1 D.如果增加主动轮的转速，则B物体先相对圆盘滑动 【答案】AD 【详解】A.皮带不打滑，两圆盘边缘线速度相等，即1=2 由v=wR,得arR=0,,已知R:R=21,因此器=是-要 即wA:wB=1:2,故A正确； B.物体随圆盘转动，摩擦力提供向心力f=mω2r,两物体到转轴距离r相等，mA:mB=4:1,因此2-m经 fB mBwBr 签=克故B错误： C向心加速度0=a,因北兰-辛-号- ,故C错误： D.物体刚好相对滑动时，最大静摩擦力提供向心力umg=mwT 得临界角速度ω临=】 r 两物体材料相同（μ相同），T相同，因此临界角速度ω临相同。由于实际转动中ωB=2ωA,增加主动轮转速 10 日拱一卒，功不唐捐 时，ωA增大，ωB同步增大，ωB先达到临界角速度，因此B物体先相对滑动，故D正确。 故选AD。 11.(多选)如图所示，半球形陶罐固定在绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心0的对称轴00 重合。转台以一定角速度匀速转动，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，改变转台角速度，再次稳定 后，小物块与0点的连线与00之间的夹角变大，不计摩擦。下列说法正确的是() ( 陶罐 A.转台角速度变小 B.物块做圆周运动的加速度大小变大 C.陶罐对小物块的作用力变大 D.小物块所受合力始终指向O点 【答案】BC 【详解】A.由a=o2r且r=Rsin0 得gtan0=w2Rsin0 解得ω= 9 Rcose 当0变大时，cos8变小，则角速度w变大，故A错误； BC,对小物块受力分析，受重力g和陶罐的支持力N,竖直方向平衡有Ncos6=mg 水平方向合力提供向心力有Nsin0=ma 解得a=gtane,N-"g cose 当6变大时，tan6变大，cos8变小，则加速度a变大，支持力N变大，故BC正确： D,小物块做匀速圆周运动，合力提供向心力，方向指向圆周运动的圆心（转轴上），不是指向球心O,故D 错误： 故选BC。 12.(多选)近些年短视频催生了许多网红游乐项目，某地开发了一种“八卦坑项目，如图主要设计成倒置 的圆锥深坑，游客能在坑壁上奔跑而不掉落，合理的调整速度才能顺利出来。某次体重相同的游客A与B 分别在不同高度尝试时，其重心轨迹几乎为水平面内的圆周，忽略静摩擦力对向心力的影响，简化示意图 如下，下列说法合理的是() 11 日拱一卒，功不唐捐 游客A 游客B A.游客A和游客B的向心加速度一定大小相等 B.游客A和游客B的向心力一定大小相等 C.游客A和游客B的线速度一定大小相等 D,游客在游玩时应该不断地减慢奔跑速度，才能逐步攀升逃离成功 【答案】AB 【详解】A.设游客受到的支持力与竖直方向的夹角为6，根据牛顿第二定律有ngtan0=ma 解得a=gtan0 由几何关系可知，两个游客受到的支持力与竖直方向的夹角相等，所以游客A和游客B的向心加速度一定 大小相等，故A正确； B.结合上述的分析，根据牛顿第二定律有F向=mgtan0 由于两个游客的质量相等，所以游客A和游客B的向心力大小相等，故B正确： C.根据向心力的表达式结合上述分析可知mgtane0=m号 解得v=√gRtan0 由于两个游客做圆周运动的半径不同，所以游客A和游客B的线速度大小不相等，故C错误： D.结合上述分析以及题意可知，越往上，则游客做圆周运动的半径越大，所以游客的线速度应该变大，即 游客在游玩时应该不断地增加奔跑速度，才能逐步攀升逃离成功，故D项错误。 故选AB。 13.如图所示，三个相同的小球A、B、C通过轻绳悬挂在O点，绕过O点的竖直轴在水平面内做圆周运动。 己知绳AO、BO与竖直方向的夹角相等，B、C在同一水平面内运动，下列说法正确的是() 12 日拱一卒，功不唐捐 ∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠ OB A.A、B向心力大小相等 B.A、B线速度大小相等 C.B、C向心力大小相等 D.B、C线速度大小相等 【答案】A 【详解】A.对小球受力分析，受重力和绳子拉力，合力提供向心力，有Fn=mgtan8 己知A、B两球质量m相同，绳与竖直方向夹角日相等，故A、B向心力大小相等，故A正确： B.由Fa=m月 得=区 m 已知A、B向心力Fn相等，质量m相等，由图可知B的转动半径TB大于A的转动半径T4,所以vB> VA,故B错误： c.B、C在同一水平面内运动，设悬点到圆心的高度为h,由mgtan8=m(htan)得。=、层因为 h相同，所以B、C的角速度w相等。向心力Fn=mw2r,由于Tc>rB,所以C的向心力大于B的 向心力，故C错误； D.由V=ωr,因为wB=wc,Tc>TB,所以Vc>VB,故D错误。 故选A。 14.如图所示，把一个可视为质点的小球放在内壁光滑的玻璃漏斗中，先后两次晃动漏斗，可以使小球沿 漏斗内壁分别在不同水平面内沿轨迹1和轨迹2做匀速圆周运动。在两次做匀速圆周运动的过程中，下列 说法正确的是( A.小球受到重力、支持力和向心力的作用 B.小球所受合力沿漏斗内壁斜向下 13 日拱一卒，功不唐捐 C.小球在轨迹1、2上的向心加速度大小a1=a2 D.小球在轨迹1、2上的线速度大小v1<2 【答案】C 【详解】A.向心力是效果力，由重力与支持力的合力提供，不能说小球受到向心力作用，故A错误： B.小球所受合力提供向心力，方向水平指向圆心（轴线），并非沿漏斗内壁斜向下，故B错误： C,设漏斗壁与竖直方向夹角为0，由竖直方向Ncos0=mg,水平方向Nsin6=ma,得a=gtan0,与 半径无关，故a1=a2,C正确： D.由Nin0=m二结合N=品得2=gra0,v心，图中轨迹1半径大于轨迹2，>，故 D错误。 故选C。 三、生活中的圆周运动 (一)火车转弯问题 mg 外软 内轨 结构特点： 火车的车轮有凸出的轮缘，且火车在轨道上运行时，有凸出轮缘的一边在两轨道的内侧.若内外轨 是相平的，外轨对轮缘的水平弹力提供火车转弯的向心力，而火车质量大，铁轨和车轮极易受损 为保护铁轨和车轮，需将转弯处设置倾角，让支持力和重力的合力充当向心力，此时铁轨和车轮之 间不存在弹力 此时的合外力 F含=F▣=mgtan0. mv? =mgtan0,可解得u=grtan日， 即当速度为v时，铁轨和车轮之间不存在弹力. 14 日拱一卒，功不唐捐 (二)拱形桥问题 汽车过拱桥时，一般向心力都是支持力和重力的合力来提供. 个FN G (1)凸形桥：F=G二E=m -iFN=G- mw;以，v<G (2)凹形桥：E=E-G= mv2 ;所以，Fx>G. T (三)离心现象 P不足以提供物体做匀速圆周运动的向心力时，即F<m产时，物体将做离心运动。 F=0 F<mrw2 F=mro 维持匀速园周运动所需要的向心力为：R=m只： 如果F含=F,则物体做匀速圆周运动，半径不变； 如果F含>Fn,则物体做离心运动，半径变小； 如果0<F舍<Fn,则物体做离心运动，半径变大；如果F含=0，则物体做匀速直线运动。 15 日拱一卒，功不唐捐 15.下列对物理必修2教材中出现的四幅图分析正确的是() 7777 图1 图2 图3 图4 A.图1：小球在水平面做匀速圆周运动时，向心力是细线拉力 B.图2：物体随水平圆盘一起做匀速圆周运动时，受到重力、支持力、摩擦力和向心力四个力 C.图3：汽车过拱桥最高点时，处于失重状态，速度越大，对桥面的压力越小 D.图4：若轿车转弯时速度过大，可能因向心运动造成交通事故 【答案】c 【详解】A.小球受重力和细线的拉力作用，细线拉力竖直向上的分力与重力平衡，水平分力提供向心力， 故A错误； B.向心力是效果力，匀速圆周运动中向心力由合外力提供，物体受到重力、支持力和摩擦力三个力作用， 故B错误； C.汽车过凸形桥最高点时，加速度向下，处于失重状态，速度越大，所需要的向心力越大，对桥面的压力 越小，故C正确： D,汽车在水平路面转弯时，受到重力、支持力、摩擦力三个力的作用，摩擦力提供向心力，速度过大，可 能导致汽车做离心运动，容易造成交通事故，故D错误。 故选C。 16.如图是有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是( 车轮 外轨 内轨 丙 A.如图甲，汽车通过拱桥的最高点处于超重状态 B.如图乙所示是圆锥摆，减小6，改变绳长但保持圆锥高度不变，则圆锥摆的角速度不变 C.如图丙，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动，则在A位置小球 所受筒壁的支持力大于在B位置时的支持力 D.如图丁，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对轮缘会有挤压作用 【答案】B 16 日拱一卒，功不唐捐 【详解】A.汽车在最高点，对汽车受力分析，根据牛顿第二定律可得mg-F=受 解得RN=mg-晋<mg 因此，汽车处于失重状态，故A错误： B.如图乙所示的圆锥摆，由重力和拉力的合力提供向心力，则有mgtan8=mw2,Lsin8 解得ω= 可见，减小6，但保持圆锥的高h不变：则圆锥摆的角速度不变，故B正确： C.设圆锥的顶角的一半为a,对小球受力分析，竖直方向，根据平衡条件可得FNsina=mg解得FN=四 sina 因此，A位置小球所受筒壁的支持力等于在B位置时的支持力，故C错误： D.火车拐弯时超过规定速度行驶时，由于支持力和重力的合力不够提供向心力，会对外轨产生挤压，即外 轨对轮缘会有挤压作用，故D错误。 故选B。 17.如图所示，在某路段汽车拐弯时，司机内侧的路面比外侧的路面低一些。汽车的运动可看作是半径为 的圆周运动。设内、外路面高度差为h,路基的水平宽度为d,路面的宽度为L,己知重力加速度为g。要使 车轮受沿斜坡方向的摩擦力为零，则汽车转弯时() d A.速度等于，h d B.速度等于 gRh L C.加速度等于兴 D.加速度等于光 【答案】A 【详解】由题意可知，要使车轮与路面之间的横向摩擦力（即垂直于前进方向）等于零，由受力分析得 mgtane=m 根据几何关系有tam0-月 联立可得v= gRh d 由a=f 得a= d 17 日拱一卒，功不唐捐 故选A。 18.在修筑铁路时，为了消除轮缘与铁轨间的挤压，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，设计适当的倾 斜轨道，即两个轨道存在一定的高度差。如图所示，火车轨道在某转弯处其轨道平面倾角为日，转弯半径为 ”,在该转弯处规定行驶的速度为V,下列说法正确的是() A.火车运动的圆周平面为图中的a B.适当增大内、外轨高度差可以对火车进行有效安全的提速 C.在该转弯处规定行驶的速度ⅴ的大小与轨道平面倾角的正切值成正比 D.当火车通过该转弯处的速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压 【答案】B 【详解】A.火车运动的圆周平面为水平面，即图中的b,A错误： Bc.分析转弯时火车的受力，由牛顿第二定律，有mgtane6=m号 得v=√grtan0,适当增大内、外轨高度差，即a增大，则v增大，B正确，C错误： D.当火车通过该转弯处的速率大于时，火车所受的合外力不能满足转弯所需要的向心力，火车有向外滑 的趋势，故外轨将受到轮缘的挤压，D错误。 故选B。 19.(多选)如图所示的四幅图表示的是有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是() 0 R A.图a中汽车通过凹形桥的最低点时处于超重状态 B.图b中火车转弯超过规定速度行驶时会挤压内轨 C.图c中两小球用长度不等的细线拴在同一点并在同一水平面内做匀速圆周运动，它们的角速度不同 D.图d中汽车在水平路面以相同速率转弯，在内车道比外车道更易发生侧滑 【答案】AD 【详解】A.当汽车通过最低点时，根据牛顿第二定律，有FN一mg=m兰 18 日拱一卒，功不唐捐 可得FN=mg+m烂>mg 所以汽车通过凹形桥的最低点时处于超重状态，故A正确： B.火车转弯时，外轨高于内轨，重力和支持力的合力恰好提供规定速度的向心力。当速度超过规定速度时， 需要的向心力更大，合力不足以提供向心力，火车做离心运动，会挤压外轨，故B错误； c.设悬挂点到圆周平面的竖直高度为h,摆线偏角为d,圆周半径r=htan日 对圆锥摆中小球受力分析，由合力提供向心力有mgtan0=mw2r 可得w-月 两球竖直高度h相同，因此角速度相同，故c错误： D.汽车水平路面转弯，由静摩擦力提供向心力，则f=m 入 速率v相同时，内车道转弯半径r更小，需要的静摩擦力更大，更易超过最大静摩擦力发生侧滑，故D正确。 故选AD 20.(多选)一质量为2.0×10kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104N, 当汽车经过半径为80m的弯道时，下列判断正确的是() A.汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力 B.汽车转弯的速度为20m/s时所需的向心力为1.4×104N C.汽车转弯的速度为20m5时汽车不会发生侧滑 D.汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0m/s2 【答案】cD 【详解】A.汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和牵引力，其中摩擦力提供向心力，故A错误： B.汽车转弯的速度为20m5时，根据向心力公式得F=m二=2.0×103×0N=1.0×10WN,故B错误： 80 C.根据B选项可知，汽车转弯的速度为20m/s时，向心力小于最大静摩擦力，所以汽车不会侧滑，故C正 确： D.汽车能安全转弯的向心加速度不超过a=L=1=7.0m/s2,故D正确。 m2.0×103kg 故选CD。 19 日拱一卒，功不唐捐 四、圆周运动临界问题 临界问题的分析方法：首先明确物理过程，正确对研究对像进行受力分析，然后确定向心力，根据向心力 公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找出临界值. (一)水平方向圆周运动 在圆周运动中，临界问题一般指的是：由于圆周运动的线（角）速度的改变，导致向心力的改变，从而引 起提供向心力的某个外力达到临界值.常见的有： ①静摩擦力达到最大值：f静=μN ②绳的拉力达到最大值（断裂） ③恰好离开某接触面：弹力N=0 (二)竖直方向圆周运动 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道 球与杆连接、球在光滑管道中运 的"过山车”等 动等 图示 杆 圆轨道 光滑 管 受力特征 除重力外，物体受到的弹力方 除重力外，物体受到的弹力方 向：向下或等于零 向：向下、等于零或向上 受力示意图 力学方程 mg土Ex三m元 mg土Ev三m元 临界特征 FN=0 v=0 2 mg=m- min F向=0 R Umin =vgR FN =mg 过最高点的条件 在最高点的速度v≥1gE u≥0 20 日拱一卒，功不唐捐 21.甲图是质量为m的小球，在竖直平面内绕O点做半径为R的圆周运动(OA为轻绳)；乙图是质量为 的小球，在竖直平面内绕O点做半径为R的圆周运动(0B为轻质杆)：丙图是质量为m的小球，在半径 为R的竖直光滑圆轨道内侧做圆周运动；丁图是质量为的小球在竖直放置的半径为R的光滑圆形管道内 做圆周运动。则下列说法正确的是() 甲 乙 丙 A.甲图中，小球通过最高点的最小速度是0 B.乙图中，若小球通过最高点的速度增大，则在最高点杆对小球的弹力也增大 C.丙图中，小球在水平线αb以上沿轨道做圆周运动时，轨道对小球一定有作用力 D.丁图中，小球在水平线ab以下管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 【答案】D 【详解】A.甲图为轻绳模型，小球通过最高点时，绳子只能提供拉力，拉力F?≥0 当F,=0时速度最小，由牛顿第二定律得mg=m片 解得最小速度v=√gR,故A错误： B。乙图为轻杆模型，在最高点，若D<Vg巩，杆对球表现为支持力，由牛顿第二定律可得mg-F=m后 整理得Fw=mg-m云此时速度增大，弹力减小。 若v>VgR。杆对球表现为拉力，由牛顿第二定律可得mg+FT=m R 整理得，=m号-mg,此时速度增大，弹力增大，赦B错误： C.丙图为光滑圆轨道内侧模型，与绳模型类似。在最高点，当v=√R时，由mg=m号可知轨道对小球无 作用力，故C错误： D.丁图为光滑圆形管道模型，小球在水平线b以下管道中运动时，向心力指向圆心。重力在半径方向的分 量背离圆心，必须由外侧管壁提供指向圆心的弹力来提供向心力并平衡重力的分量，即FN一mgcos日=m 2 (为半径与竖直向下方向的夹角)，所以外侧管壁对小球一定有作用力，故D正确。 故选D。 22.如图所示，长度L=0.5m的轻质细杆0A的A端固定一质量m=1.0kg可视为质点的小球，小球以0点为 21 日拱一卒，功不唐捐 圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时速率为2.0m/s,取g=10m/s2,则此时小球对细杆0A的作用 力为() m A.2.0N的压力B.2.0N的拉力 C.8.0N的压力 D.8.0N的拉力 【答案】A 【详解】小球运动到最高点时受到重力与轻杆的弹力，设杆子的弹力方向向下为正，根据合力提供向心力 得mg+Fm=空 解得FN=-2.0N 负号说明方向竖直向上，则由牛顿第三定律可知球对细杆的作用力为压力，大小为2N。 故选A。 23.如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R,小球半径为r,则下列说 法正确的是() 6 A.小球通过最高点时的最小速度vmn=√g(R+T) B.小球通过最高点时的最小速度vmi血=√gR C.小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力 D.小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 【答案】C 【详解】AB.在最高点，由于外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于0时，内管对小 球产生弹力，大小为mg,故最小速度为0。故AB错误； 22 日拱一卒，功不唐捐 C.小球在水平线b以下管道运动，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小 球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力。故C正确： D,小球在水平线b以上管道运动，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，当速度非常大时， 外侧管壁有作用力与重力合力提供向心力，内侧管壁没有作用力。当速度比较小时，重力与内侧管壁的作 用力的合力提供向心力，外管没有作用力。故D错误。 故选C。 24.(多选)装有水的小桶用细绳拉着，绕固定点在竖直面内做圆周运动，经过最高点时桶口向下。已知水 的质量是0.5kg,绳长40cm,桶可以视为质点，重力加速度g取10m/s2。某次小桶经过圆周最高点，则() A.要使水不从桶口流出，桶的最小速度是4m/s B.当水恰好不从桶口流出时，水对桶底的压力大小是ON C.如果小桶的速度为4m/s,则水对桶底的压力大小是20N D.如果小桶的速度为4m/s,则水对桶底的压力大小是15N 【答案】BD 【详解】A。小桶经过圆周最高点，要使水不从桶口流出，则有mg≤m片 解得v≥√gL=2m/s 可知桶的最小速度是2m/s,故A错误： B.当水恰好不从桶口流出时，此时水的重力刚好提供向心力，则水对桶底的压力大小是ON,故B正确： 加果小桶的速度为4m5,以水为对象，根据牛顿第三定律可得mg+N三i 2 解得N=m气-mg=15N 根据牛顿第三定律可知，水对桶底的压力大小是15N,故C错误，D正确。 故选BD。 25,小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在 竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞离水平距离后落地，如图所示。己 知握绳的手离地面高度为d,手与球之间的绳长为d,重力加速度为g。忽略手的运动半径和空气阻力。 23 日拱一卒，功不唐捐 /777777777777777777777777777777 d (1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2 (2)问绳能承受的最大拉力多大？ (3)绳能承受的最大拉力与第(2)小题结果相同的情况下，改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍在球运动 到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？ 【答案】(1W2ga,g网 2 2号mg a明g9d 【详解】(1)绳断后小球做平抛运动，在竖直方向小球最低点离地高度h=d-d=是 由自由落体公式可得h=9 解得t= V2g 水平方向做匀速直线运动，则d=v1t 绳断时球的速度p1==√2gd 球落地时竖直方向速度大小Vy=gt= 2 球落地时的速度大小v2= /片+= 2 (2)小球在最低点时，拉力与重力的合力提供向心力，圆周运动半径1=号 由牛顿第二定律可得F-mg=m号 解得绳能承受的最大拉力F=mg+m,延=亏mg 2gd11. 4 2 (3)设改变后绳长为l,同理可得最低点满足F-mg=m一 又F=号mg 解得v= 8gl 3 24 日拱一卒，功不唐捐 绳断后平抛，下落高度h'=d-1 平抛时间t= 2(d-) 水平距离x==厚-言V可 当=射时，取得最大值，代入得最大水平距离=言、厚=。 26.如图所示，一可视为质点的物体质量为m=1kg,在左侧平台上水平抛出，恰能无碰撞地沿圆弧切线从 A点进入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑，A、B为圆弧两端点，其连线水平，O为轨道的最低点。已知 圆弧半径为R=1.0m,对应圆心角为6=106°平台与AB连线的高度差为h=0.8m.(重力加速度g=10m/s2, sin53°=0.8，c0os53°=0.6)求： (1)物体平抛的初速度： (2)已知物体运动到圆弧轨道最低点O时速度为v=V33m/s,求物体在O点对轨道的压力大小。 【答案】(1)vo=3m/s (2)43N 【详解】(1)由于物体无碰撞进入圆弧轨道，即物体落到4点时速度方向沿A点切线方向，则有a-头 物体做平抛运动时竖直方向做自由落体运动，有v?=2gh 联立解得vo=3m/s (2)物体在最低点0时，据牛顿第二定律，有Fu-mg=m号 代入数据解得FwN=43N 由牛顿第三定律可知，物体对轨道的压力为43N。 27.为激发学生参与体育活动的兴趣，某学校计划修建滑板训练的场地，设计了如图所示的路面，其中AB 是倾角为53的斜面，凹圆弧BCD和凸圆弧DEF的半径均为R,D、F等高，B、E等高，整个路面不计摩擦且 各段之间平滑连接。为确保学生安全，防止学生在凸圆弧DEF轨道最高点E处脱离轨道，学校规定了通过E 点的最大速度vm学生连同滑板可视为质点，质量为m。不计空气阻力。己知重力加速度为g,取si37°=0.6， c0s37°=0.8。 25 日拱一卒，功不唐捐 B 53 37° E 9 0 37°37° (1)若学生踩着滑板在斜面B处由静止滑下，求学生和滑板经过最低点C处对轨道的压力F的大小。 (2)试求解学生到达E点的最大速度vm,以及该学校设计的斜面最大高度h。 【答案】(12mg 2um=√gR,h=R 【详解】(1)从B处到C点动能定理有mg(R-Rcos53)=三mw2 在C点牛顿第二定律有FN-mg,=m号 解得Fw=mg 根据牛顿第三定律，学生和滑板对轨道的压力大小FN=mg (2)在E处恰好不脱离轨道，即支持力FNe=0 由重力完全提供向心力有mg=m号 解得vm=√gR 从A处到E点动能定理有mgh=mw品-0 解得h=R 2 26 日拱一卒，功不唐捐 五、本节总结 线速度：V=wr=2TrT 向心加速度：a=v2r=w2r 向心力：F=mv2r=mw2r 核心公式汇总 圆锥摆：w=√(g/h)=V(gtane/,r) 火车转弯：vo=V(gtan) 绳模型最高点：v_min=V(gR) 杆模型最高点：v_min=0 传动模型（线速度、角速度、周期关系） 向心力来源（受力分析） 同一知识点多题反复考察设计 圆推摆模型 火车转弯 竖直圆周运动临界 确定传动类型（同轴/皮带/摩擦） 传动问题解题步骤 找出相等关系（同轴：ω相等；皮带：V相等） 用v=ωr推导其他比例 解题方法总结 明确研究对象和运动平面 受力分析（重力、弹力、摩擦力） 向心力分析步骤 确定向心力来源（某个力或合力） 沿半径方向列牛顿第二定律方程 27日拱一卒，功不唐捐 圆周运动及其临界 一、 圆周运动的规律 (一)描述圆周运动的物理量 内，做圆周运动的质点通过的弧长是s,则用比值s/t来描述圆周运动的快慢，这个比值称为圆周运动的 线速度，公式：，单位：·线速度是物体做圆周运动的瞬时速度.线速度是一，它既 有，也有一· (1)方向：质点在圆周某点的线速度方向沿圆周上该点的 (2)物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢； △时间内由A运动到B,半径OA在这段时间内转过的角度为△0，则△0与△的比值描述了物体绕圆心 转动的快慢，这个比值叫做角速度.角速度用ω表示： rad/s.角速度的物理意义：描述质 点转过圆心角的快慢，角速度也是矢量，不过中学物理不讨论角速度方向问题； T表示； n表示，单位r/s,以及r/min,转速n越大表明物体运动得越快； u、w、T、具有如下的换算关系： .T=f' 1 2π ·w= =2πf ”V=wT= 2 Tr=2nfi .N B 0≤ "M 5.公式小结 2πT ·v= =2mrf =wr i .w-t 2π = T =2时= 6.a= v 推出做匀速圆周运动的物体的加速度的表达式吗？ △t 1 日拱一卒，功不唐捐 (1)向心加速度：圆周运动的速度方向一直改变，所以是变速运动，具有加速度，并且是指向圆心的， 这个加速度叫做向心加速度.物理意义：描述线速度 改变的快慢 (2)向心加速度方向：总是沿半径指向圆心，每时每刻在不断地变化，匀速圆周运动是一种变加速曲线 运动 (3)向心加速度大小： ,其中为圆的半径.向心加速度的方向与速 度方向垂直，向心加速度是描述速度方向变化快慢的物理量； 7,向心力：做匀速圆周运动的物体受到的合外力总是指向圆心，这个力叫做向心力， (1)向心力方向：总是 ,方向时刻在改变，与线速度方向垂直.因此向心力是 向心力大小：F台=ma (2)向心力的作用效果：产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小； 8.两种转动方式 （1)同轴转动：同一圆盘上无滑动各点 和 同（例如地球上的不同位置）； (2)皮带转动：同一传送带上不打滑各点 相同. 1.骑自行车是一项投入成本低、锻炼收益高的体育运动。如图所示，自行车的大齿轮与小齿轮通过链条连 接。大齿轮半径R1=9cm,小齿轮半径R2=3cm,P为大齿轮边缘上的一点，Q为小齿轮边缘上的一点。 骑行时（链条不打滑），下列说法正确的是() A.P点与Q点的周期之比为3：1 B.P点与Q点的周期之比为1：3 C.P点的线速度小于Q点的线速度 D.P点的线速度大于Q点的线速度 2.如图所示的皮带传动装置中，a、b、c分别为轮边缘上的三点。已知Ra:Rb:Rc=1:2:3。假设在传动过 日拱一卒，功不唐捐 程中皮带不打滑，则在传动过程中，b、c的角速度之比为() b C A.3:1 B.1:3 C.2:1 D.1:2 3.如图所示，手持固定装置给转盘上的蛋糕抹奶油，转盘转动可视为做匀速圆周运动，给侧壁抹上3圈奶 油后改变转速，相同时间内能抹4圈。蛋糕上A点始终随转盘一起转动，则在这一过程中，关于A点，下列 说法正确的是() A.角速度大小变为原来的 B.向心加速度大小变为原来的 C.线速度大小变为原来的 D.周期变为原来的 4.(多选)如图，A、B两点分别位于大、小轮的边缘上，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动， 接触面上没有滑动。C在AO1上，且AC距离是CO,距离的两倍。则A、B、C三点的角速度、线速度关系 正确的是() B A A.ωA:ωB=2:1B.V4:Vc=3:1 C.WB:@c=2:1 D.VB:vc=1:3 5.（多选)自行车部分结构如图所示，A是大齿轮边缘上一点，B是小齿轮边缘上一点，大齿轮和小齿轮由 链条连接，C是后轮边缘上一点。把自行车后轮支撑起来，转动脚踏板，使大齿轮和后轮匀速转动，下列说 法正确的是() 3 日拱一卒，功不唐捐 大齿轮 小齿轮 后轮 A.A、B两点的线速度大小相等 B.B、C两点的线速度大小相等 C.A点的周期大于C点的周期 D.B点的周期小于C点的周期 6.(多选)春晚上转手绢的机器人让人印象深刻，手绢上有P、Q两点，圆心为O,手绢做匀速圆周运动， 则() A.P点的线速度小于O点的线速度 B.P点的角速度小于Q点的角速度 C.P点的向心加速度大于Q点的向心加速度D.P点所受合外力方向总是指向O 日拱一卒，功不唐捐 二、分析向心力的来源 向心力的来源：可由重力、弹力、摩擦力等提供.总之是物体所受的合外力提供了物体做匀速圆周运 动所需的向心力 注意：不要认为做匀速圆周运动的物体除了受到另外物体的作用，还要受到一个向心力的作用.向心 力是按效果命名的力，任何一个力或几个力的合力只要它的作用效果是使物体产生向心加速度，它就是物 (一)单一力提供向心力 F会=Fn=man,方向沿水平方向指向圆心. ①绳间张力 【物体在绳子牵引下在光滑圆盘上做匀速圆周运动 -绳子拉力提供向心力】 R 月 光滑 Fmo=T=mov'r ②摩擦力 【物体随粗糙圆盘做匀速圆周运动一摩擦力提供 向心力】 R IF6=f=mr≤m则 ③支持力 【物体随内壁粗糙圆筒做匀速圆周运动一支持力 提供向心力】 中=Fad=mor'r 5 日拱一卒，功不唐捐 (二)合外力提供向心力 F含=Fn=mam,方向沿水平方向指向圆心. ①圆锥摆 【物体在悬点固定轻绳牵引下在水平面做匀速圆周 运动】 mo r mg ②类圆锥摆 【物体在悬点不固定轻绳牵引下在水平面做匀速圆 周运动】 0 r=R+Isine ③斜支持力 【物体在光滑圆锥内壁做水平面匀速圆周运动】 光滑 mo'r Ncos0 tane 0 7.如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动，下列说法正确的是() 6 日拱一卒，功不唐捐 A.物体受到4个力的作用，分别是重力、弹力、摩擦力和向心力 B.物体受到3个力的作用，分别是重力、弹力和摩擦力 C.当圆筒的角速度ω增大以后，物体会相对于圆筒发生滑动 D.当圆筒的角速度ω增大以后，弹力增大，摩擦力增大 8.如图所示，一圆柱形容器绕其竖直轴线匀速转动，内部有A、B两个物体，均与容器的接触面始终保持 相对静止。当转速增大后(A、B与容器接触面仍相对静止)，下列说法正确的是() B A.两物体受到的摩擦力都增大 B.两物体受到的摩擦力大小都不变 C.物体A受到的摩擦力增大，物体B受到的摩擦力大小不变 D.物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大 9.如图所示，餐桌中心有一个圆盘，可绕其中心轴转动，现在圆盘上放相同的茶杯，茶杯可看作质点。当 茶杯和圆盘一起匀速转动时，则下列说法正确的是() A.每个茶杯均受重力、支持力、摩擦力、向心力四个力作用 B.茶杯受到圆盘的滑动摩擦力提供向心力 C.圆盘转轴附近的茶杯所受合外力大于圆盘边缘附近的茶杯 D.若缓慢增大圆盘转速，圆盘边缘附近的茶杯先滑动 10.(多选)如图，主动轮大圆盘与从动轮小圆盘通过皮带（不打滑）连接，大圆盘与小圆盘的半径之比为 日拱一卒，功不唐捐 2:1,材料相同的可以视为质点的两物体质量之比为4：=4：1，两个物体距离转动轴的距离相等。现 在让圆盘匀速转动起来，下列说法中正确的是() A B A.物体A与物体B相对圆盘滑动之前的角速度之比为1：2 B.物体A与物体B相对圆盘滑动之前的摩擦力之比为1：4 C.物体A与物体B相对圆盘滑动之前的向心加速度之比为4：1 D.如果增加主动轮的转速，则B物体先相对圆盘滑动 11.(多选)如图所示，半球形陶罐固定在绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心0的对称轴00' 重合。转台以一定角速度匀速转动，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，改变转台角速度，再次稳定 后，小物块与0点的连线与00之间的夹角变大，不计摩擦。下列说法正确的是() ( 陶罐 转台 A.转台角速度变小 B.物块做圆周运动的加速度大小变大 C.陶罐对小物块的作用力变大 D.小物块所受合力始终指向O点 12.(多选)近些年短视频催生了许多网红游乐项目，某地开发了一种“八卦坑项目，如图主要设计成倒置 的圆锥深坑，游客能在坑壁上奔跑而不掉落，合理的调整速度才能顺利出来。某次体重相同的游客A与B 分别在不同高度尝试时，其重心轨迹几乎为水平面内的圆周，忽略静摩擦力对向心力的影响，简化示意图 如下，下列说法合理的是() 8 日拱一卒，功不唐捐 游客A 游客B A.游客A和游客B的向心加速度一定大小相等 B.游客A和游客B的向心力一定大小相等 C.游客A和游客B的线速度一定大小相等 D.游客在游玩时应该不断地减慢奔跑速度，才能逐步攀升逃离成功 13.如图所示，三个相同的小球A、B、C通过轻绳悬挂在0点，绕过0点的竖直轴在水平面内做圆周运动。 已知绳AO、BO与竖直方向的夹角相等，B、C在同一水平面内运动，下列说法正确的是() OB A.A、B向心力大小相等 B.A、B线速度大小相等 C.B、C向心力大小相等 D.B、C线速度大小相等 14.如图所示，把一个可视为质点的小球放在内壁光滑的玻璃漏斗中，先后两次晃动漏斗，可以使小球沿 漏斗内壁分别在不同水平面内沿轨迹1和轨迹2做匀速圆周运动。在两次做匀速圆周运动的过程中，下列 说法正确的是( ) A.小球受到重力、支持力和向心力的作用 B.小球所受合力沿漏斗内壁斜向下 C.小球在轨迹1、2上的向心加速度大小a1=a2 日拱一卒，功不唐捐 D.小球在轨迹1、2上的线速度大小v1<v2 三、生活中的圆周运动 （一）火车转湾问题 F F mg 外轨 内轨 结构特点： 火车的车轮有凸出的轮缘，且火车在轨道上运行时，有凸出轮缘的一边在两轨道的内侧.若内外轨 是相平的，外轨对轮缘的水平弹力提供火车转弯的向心力，而火车质量大，铁轨和车轮极易受损 为保护铁轨和车轮，需将转弯处设置倾角，让支持力和重力的合力充当向心力，此时铁轨和车轮之 间不存在弹力 此时的合外力 (二)拱形桥问题 汽车过拱桥时，一般向心力都是 和 的合力来提供， 个FN （1)凸形桥： （2)凹形桥： 10 日拱一卒，功不唐捐 (三)离心现象 F不足以提供物体做匀速园周运动的向心力时，即F<m二时，物体将做离心运动。 F=00 F F<mrω F=mro 2.23 维持匀速圆周运动所需要的向心力为：R,=m尺 如果F含=F,则物体做匀速圆周运动，半径不变； 如果F台>F,则物体做离心运动，半径变小； 如果0<F含<Fm,则物体做离心运动，半径变大；如果F含=0，则物体做匀速直线运动。 15.下列对物理必修2教材中出现的四幅图分析正确的是（) 77777 图1 图2 图3 图4 A.图1：小球在水平面做匀速圆周运动时，向心力是细线拉力 B.图2：物体随水平圆盘一起做匀速圆周运动时，受到重力、支持力、摩擦力和向心力四个力 C.图3：汽车过拱桥最高点时，处于失重状态，速度越大，对桥面的压力越小 D.图4：若轿车转弯时速度过大，可能因向心运动造成交通事故 16.如图是有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是() 车轮 外轨 车轮 内轨 甲 丙 A.如图甲，汽车通过拱桥的最高点处于超重状态 B.如图乙所示是圆锥摆，减小，改变绳长但保持圆锥高度不变，则圆锥摆的角速度不变 C.如图丙，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动，则在A位置小球 11 日拱一卒，功不唐捐 所受筒壁的支持力大于在B位置时的支持力 D.如图丁，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对轮缘会有挤压作用 17.如图所示，在某路段汽车拐弯时，司机内侧的路面比外侧的路面低一些。汽车的运动可看作是半径为R 的圆周运动。设内、外路面高度差为h,路基的水平宽度为d,路面的宽度为L,已知重力加速度为g。要使 车轮受沿斜坡方向的摩擦力为零，则汽车转弯时() 9 d A速度等于受 B.速度等于，R NL C.加速度等于 D.加速度等于光 18.在修筑铁路时，为了消除轮缘与铁轨间的挤压，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，设计适当的倾 斜轨道，即两个轨道存在一定的高度差。如图所示，火车轨道在某转弯处其轨道平面倾角为0，转弯半径为 ”,在该转弯处规定行驶的速度为v,下列说法正确的是() b A.火车运动的圆周平面为图中的α B.适当增大内、外轨高度差可以对火车进行有效安全的提速 C.在该转弯处规定行驶的速度ⅴ的大小与轨道平面倾角的正切值成正比 D.当火车通过该转弯处的速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压 19.(多选)如图所示的四幅图表示的是有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是() a A.图a中汽车通过凹形桥的最低点时处于超重状态 B.图b中火车转弯超过规定速度行驶时会挤压内轨 C.图c中两小球用长度不等的细线拴在同一点并在同一水平面内做匀速圆周运动，它们的角速度不同 12 日拱一卒，功不唐捐 D.图d中汽车在水平路面以相同速率转弯，在内车道比外车道更易发生侧滑 20.（多选)一质量为2.0×10kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104N, 当汽车经过半径为80m的弯道时，下列判断正确的是() A.汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力 B.汽车转弯的速度为20m/s时所需的向心力为1.4×104N C.汽车转弯的速度为20m/s时汽车不会发生侧滑 D.汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0m/s2 四、圆周运动临界问题 临界问题的分析方法：首先明确物理过程，正确对研究对象进行受力分析，然后确定向心力，根据向心力 公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找出临界值， (一)水平方向圆周运动 在圆周运动中，临界问题一般指的是：由于圆周运动的线（角）速度的改变，导致向心力的改变，从而引 起提供向心力的某个外力达到临界值.常见的有： ①静摩擦力达到最大值：f静=N. ②绳的拉力达到最大值（断裂） ③恰好离开某接面：弹力N=0, (二)竖直方向圆周运动 13 日拱一卒，功不唐捐 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道 球与杆连接、球在光滑管道中运 的"过山车”等 动等 图示 圆轨道 光滑 管道 受力特征 除重力外，物体受到的弹力方 除重力外，物体受到的弹力方 向： 向： 受力示意图 力学方程 临界特征 过最高点的条件 在最高点的速度 21.甲图是质量为m的小球，在竖直平面内绕O点做半径为R的圆周运动(OA为轻绳)：乙图是质量为 m的小球，在竖直平面内绕O点做半径为R的圆周运动(OB为轻质杆)：丙图是质量为的小球，在半径 为R的竖直光滑圆轨道内侧做圆周运动：丁图是质量为的小球在竖直放置的半径为R的光滑圆形管道内 做圆周运动。则下列说法正确的是() 甲 乙 丙 A.甲图中，小球通过最高点的最小速度是0 B.乙图中，若小球通过最高点的速度增大，则在最高点杆对小球的弹力也增大 14 日拱一卒，功不唐捐 C.丙图中，小球在水平线ab以上沿轨道做圆周运动时，轨道对小球一定有作用力 D.丁图中，小球在水平线ab以下管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 22.如图所示，长度L=0.5m的轻质细杆0A的A端固定一质量m=1.0kg可视为质点的小球，小球以0点为 圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时速率为2.0m/s,取g=10m/s2,则此时小球对细杆0A的作用 力为() m A A.2.0N的压力B.2.0N的拉力 C.8.0N的压力 D.8.0N的拉力 23.如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为，小球半径为，则下列说 法正确的是() R b A.小球通过最高点时的最小速度vmi血=√g(R+r) B.小球通过最高点时的最小速度vmim=√gR C.小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力 D.小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 24.(多选)装有水的小桶用细绳拉着，绕固定点在竖直面内做圆周运动，经过最高点时桶口向下。已知水 的质量是0.5kg,绳长40cm,桶可以视为质点，重力加速度g取10m/s2。某次小桶经过圆周最高点，则() 15 日拱一卒，功不唐捐 A.要使水不从桶口流出，桶的最小速度是4m/s B.当水恰好不从桶口流出时，水对桶底的压力大小是ON C.如果小桶的速度为4m/s,则水对桶底的压力大小是20N D.如果小桶的速度为4m/s,则水对桶底的压力大小是15N 25.小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在 竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞离水平距离后落地，如图所示。已 知握绳的手离地面高度为d,手与球之间的绳长为d,重力加速度为g。忽略手的运动半径和空气阻力。 777777777777777777777777777777 d (1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2。 (2)问绳能承受的最大拉力多大？ (3)绳能承受的最大拉力与第(2)小题结果相同的情况下，改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍在球运动 到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？ 26.如图所示，一可视为质点的物体质量为m=1kg,在左侧平台上水平抛出，恰能无碰撞地沿圆弧切线从 A点进入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑，A、B为圆弧两端点，其连线水平，O为轨道的最低点。已知 圆弧半径为R=1.0m,对应圆心角为6=106°平台与AB连线的高度差为h=0.8m.(重力加速度g=10m/s2, sin53°=0.8，c0s53°=0.6)求： B (1)物体平抛的初速度； (2)己知物体运动到圆弧轨道最低点O时速度为v=V33m/s,求物体在O点对轨道的压力大小。 27.为激发学生参与体育活动的兴趣，某学校计划修建滑板训练的场地，设计了如图所示的路面，其中AB 是倾角为53的斜面，凹圆弧BCD和凸圆弧DEF的半径均为R,D、F等高，B、E等高，整个路面不计摩擦且 各段之间平滑连接。为确保学生安全，防止学生在凸圆弧DEF轨道最高点E处脱离轨道，学校规定了通过E 点的最大速度vm学生连同滑板可视为质点，质量为m。不计空气阻力。已知重力加速度为g,取si37°=0.6， 16 日拱一卒，功不唐捐 c0s37°=0.8。 A h - 53o 379 E D 37°1 379 (1)若学生踩着滑板在斜面B处由静止滑下，求学生和滑板经过最低点C处对轨道的压力F的大小。 (2)试求解学生到达E点的最大速度vm,以及该学校设计的斜面最大高度h。 17 日拱一卒，功不唐捐 五、本节总结 线速度：V=wr=2TrT 向心加速度：a=v2r=w2r 向心力：F=mv2r=mwr 核心公式汇总 圆锥摆：w=(gh)=V(gtan6/r) 火车转弯：vo=V(grtane) 绳模型最高点：vmin=V(gR) 杆模型最高点：vmin=0 传动模型（线速度、角速度、周期关系） 向心力来源（受力分析） 同一知识点多题反复考察设计 圆推摆模型 火车转弯 竖直圆周运动临界 确定传动类型（同轴/皮带/摩擦） 传动问题解题步骤 找出相等关系（同轴：ω相等；皮带：V相等） 用v=ωr推导其他比例 解题方法总结 明确研究对象和运动平面 受力分析（重力、弹力、摩擦力） 向心力分析步骤 确定向心力来源（某个力或合力）】 沿半径方向列件顿第二定律方程 18 日拱一卒，功不唐捐 圆周运动及其临界 1、 圆周运动的规律 1．骑自行车是一项投入成本低、锻炼收益高的体育运动。如图所示，自行车的大齿轮与小齿轮通过链条连接。大齿轮半径，小齿轮半径，为大齿轮边缘上的一点，为小齿轮边缘上的一点。骑行时（链条不打滑），下列说法正确的是（　　） A．点与点的周期之比为3∶1 B．点与点的周期之比为1∶3 C．点的线速度小于点的线速度 D．点的线速度大于点的线速度 2．如图所示的皮带传动装置中，a、b、c分别为轮边缘上的三点。已知。假设在传动过程中皮带不打滑，则在传动过程中，b、c的角速度之比为（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，手持固定装置给转盘上的蛋糕抹奶油，转盘转动可视为做匀速圆周运动，给侧壁抹上3圈奶油后改变转速，相同时间内能抹4圈。蛋糕上点始终随转盘一起转动，则在这一过程中，关于点，下列说法正确的是（     ） A．角速度大小变为原来的 B．向心加速度大小变为原来的 C．线速度大小变为原来的 D．周期变为原来的 4．（多选）如图，A、B两点分别位于大、小轮的边缘上，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面上没有滑动。C在AO1上，且AC距离是CO1距离的两倍。则A、B、C三点的角速度、线速度关系正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（多选）自行车部分结构如图所示，是大齿轮边缘上一点，是小齿轮边缘上一点，大齿轮和小齿轮由链条连接，是后轮边缘上一点。把自行车后轮支撑起来，转动脚踏板，使大齿轮和后轮匀速转动，下列说法正确的是（    ） A．、两点的线速度大小相等 B．、两点的线速度大小相等 C．点的周期大于点的周期 D．点的周期小于点的周期 6．（多选）春晚上转手绢的机器人让人印象深刻，手绢上有P、Q两点，圆心为O，手绢做匀速圆周运动，则（     ） A．P点的线速度小于Q点的线速度 B．P点的角速度小于Q点的角速度 C．P点的向心加速度大于Q点的向心加速度 D．P点所受合外力方向总是指向O 2、 分析向心力的来源 7．如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动，下列说法正确的是（　　） A．物体受到4个力的作用，分别是重力、弹力、摩擦力和向心力 B．物体受到3个力的作用，分别是重力、弹力和摩擦力 C．当圆筒的角速度增大以后，物体会相对于圆筒发生滑动 D．当圆筒的角速度增大以后，弹力增大，摩擦力增大 8．如图所示，一圆柱形容器绕其竖直轴线匀速转动，内部有A、B两个物体，均与容器的接触面始终保持相对静止。当转速增大后（A、B与容器接触面仍相对静止），下列说法正确的是（     ） A．两物体受到的摩擦力都增大 B．两物体受到的摩擦力大小都不变 C．物体A受到的摩擦力增大，物体B受到的摩擦力大小不变 D．物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大 9．如图所示，餐桌中心有一个圆盘，可绕其中心轴转动，现在圆盘上放相同的茶杯，茶杯可看作质点。当茶杯和圆盘一起匀速转动时，则下列说法正确的是（     ） A．每个茶杯均受重力、支持力、摩擦力、向心力四个力作用 B．茶杯受到圆盘的滑动摩擦力提供向心力 C．圆盘转轴附近的茶杯所受合外力大于圆盘边缘附近的茶杯 D．若缓慢增大圆盘转速，圆盘边缘附近的茶杯先滑动 10．（多选）如图，主动轮大圆盘与从动轮小圆盘通过皮带（不打滑）连接，大圆盘与小圆盘的半径之比为2∶1，材料相同的可以视为质点的两物体质量之比为mA∶mB=4∶1，两个物体距离转动轴的距离相等。现在让圆盘匀速转动起来，下列说法中正确的是（     ） A．物体A与物体B相对圆盘滑动之前的角速度之比为1∶2 B．物体A与物体B相对圆盘滑动之前的摩擦力之比为1∶4 C．物体A与物体B相对圆盘滑动之前的向心加速度之比为4∶1 D．如果增加主动轮的转速，则B物体先相对圆盘滑动 11．（多选）如图所示，半球形陶罐固定在绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心的对称轴重合。转台以一定角速度匀速转动，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，改变转台角速度，再次稳定后，小物块与点的连线与之间的夹角变大，不计摩擦。下列说法正确的是（     ） A．转台角速度变小 B．物块做圆周运动的加速度大小变大 C．陶罐对小物块的作用力变大 D．小物块所受合力始终指向点 12．（多选）近些年短视频催生了许多网红游乐项目，某地开发了一种“八卦坑项目，如图主要设计成倒置的圆锥深坑，游客能在坑壁上奔跑而不掉落，合理的调整速度才能顺利出来。某次体重相同的游客A与B分别在不同高度尝试时，其重心轨迹几乎为水平面内的圆周，忽略静摩擦力对向心力的影响，简化示意图如下，下列说法合理的是（　　） A．游客A和游客B的向心加速度一定大小相等 B．游客A和游客B的向心力一定大小相等 C．游客A和游客B的线速度一定大小相等 D．游客在游玩时应该不断地减慢奔跑速度，才能逐步攀升逃离成功 13．如图所示，三个相同的小球A、B、C通过轻绳悬挂在点，绕过点的竖直轴在水平面内做圆周运动。已知绳AO、BO与竖直方向的夹角相等，B、C在同一水平面内运动，下列说法正确的是（     ） A．A、B向心力大小相等 B．A、B线速度大小相等 C．B、C向心力大小相等 D．B、C线速度大小相等 14．如图所示，把一个可视为质点的小球放在内壁光滑的玻璃漏斗中，先后两次晃动漏斗，可以使小球沿漏斗内壁分别在不同水平面内沿轨迹1和轨迹2做匀速圆周运动。在两次做匀速圆周运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球受到重力、支持力和向心力的作用 B．小球所受合力沿漏斗内壁斜向下 C．小球在轨迹1、2上的向心加速度大小 D．小球在轨迹1、2上的线速度大小 3、 生活中的圆周运动 （一）火车转弯问题 （二）拱形桥问题 （三）离心现象 15．下列对物理必修2教材中出现的四幅图分析正确的是（     ） A．图1：小球在水平面做匀速圆周运动时，向心力是细线拉力 B．图2：物体随水平圆盘一起做匀速圆周运动时，受到重力、支持力、摩擦力和向心力四个力 C．图3：汽车过拱桥最高点时，处于失重状态，速度越大，对桥面的压力越小 D．图4：若轿车转弯时速度过大，可能因向心运动造成交通事故 16．如图是有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（     ） A．如图甲，汽车通过拱桥的最高点处于超重状态 B．如图乙所示是圆锥摆，减小，改变绳长但保持圆锥高度不变，则圆锥摆的角速度不变 C．如图丙，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的、位置先后分别做匀速圆周运动，则在位置小球所受筒壁的支持力大于在位置时的支持力 D．如图丁，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对轮缘会有挤压作用 17．如图所示，在某路段汽车拐弯时，司机内侧的路面比外侧的路面低一些。汽车的运动可看作是半径为的圆周运动。设内、外路面高度差为，路基的水平宽度为，路面的宽度为，已知重力加速度为。要使车轮受沿斜坡方向的摩擦力为零，则汽车转弯时（     ） A．速度等于 B．速度等于 C．加速度等于 D．加速度等于 18．在修筑铁路时，为了消除轮缘与铁轨间的挤压，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，设计适当的倾斜轨道，即两个轨道存在一定的高度差。如图所示，火车轨道在某转弯处其轨道平面倾角为θ，转弯半径为r，在该转弯处规定行驶的速度为v，下列说法正确的是（     ） A．火车运动的圆周平面为图中的a B．适当增大内、外轨高度差可以对火车进行有效安全的提速 C．在该转弯处规定行驶的速度v的大小与轨道平面倾角θ的正切值成正比 D．当火车通过该转弯处的速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压 19．（多选）如图所示的四幅图表示的是有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（　　） A．图a中汽车通过凹形桥的最低点时处于超重状态 B．图b中火车转弯超过规定速度行驶时会挤压内轨 C．图c中两小球用长度不等的细线拴在同一点并在同一水平面内做匀速圆周运动，它们的角速度不同 D．图d中汽车在水平路面以相同速率转弯，在内车道比外车道更易发生侧滑 20．（多选）一质量为2.0×103kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104N，当汽车经过半径为80m的弯道时，下列判断正确的是（     ） A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力 B．汽车转弯的速度为20m/s时所需的向心力为1.4×104N C．汽车转弯的速度为20m/s时汽车不会发生侧滑 D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0m/s2 4、 圆周运动临界问题 21．甲图是质量为m的小球，在竖直平面内绕O点做半径为R的圆周运动（为轻绳） ；乙图是质量为m的小球，在竖直平面内绕O点做半径为R的圆周运动（为轻质杆）；丙图是质量为m的小球，在半径为R的竖直光滑圆轨道内侧做圆周运动；丁图是质量为m的小球在竖直放置的半径为R的光滑圆形管道内做圆周运动。则下列说法正确的是（     ） A．甲图中，小球通过最高点的最小速度是0 B．乙图中，若小球通过最高点的速度增大，则在最高点杆对小球的弹力也增大 C．丙图中，小球在水平线以上沿轨道做圆周运动时，轨道对小球一定有作用力 D．丁图中，小球在水平线以下管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 22．如图所示，长度的轻质细杆的端固定一质量可视为质点的小球，小球以点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时速率为，取，则此时小球对细杆的作用力为（     ） A．的压力 B．的拉力 C．的压力 D．的拉力 23．如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为，小球半径为，则下列说法正确的是（     ） A．小球通过最高点时的最小速度 B．小球通过最高点时的最小速度 C．小球在水平线以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力 D．小球在水平线以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 24．（多选）装有水的小桶用细绳拉着，绕固定点在竖直面内做圆周运动，经过最高点时桶口向下。已知水的质量是0.5kg，绳长40cm，桶可以视为质点，重力加速度g取10m/s2。某次小桶经过圆周最高点，则（     ） A．要使水不从桶口流出，桶的最小速度是4m/s B．当水恰好不从桶口流出时，水对桶底的压力大小是0N C．如果小桶的速度为4m/s，则水对桶底的压力大小是20N D．如果小桶的速度为4m/s，则水对桶底的压力大小是15N 25．小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞离水平距离后落地，如图所示。已知握绳的手离地面高度为，手与球之间的绳长为，重力加速度为。忽略手的运动半径和空气阻力。 (1)求绳断时球的速度大小和球落地时的速度大小。 (2)问绳能承受的最大拉力多大？ (3)绳能承受的最大拉力与第（2）小题结果相同的情况下，改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？ 26．如图所示，一可视为质点的物体质量为，在左侧平台上水平抛出，恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点进入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑，A、B为圆弧两端点，其连线水平，O为轨道的最低点。已知圆弧半径为，对应圆心角为平台与AB连线的高度差为。（重力加速度，，）求： (1)物体平抛的初速度； (2)已知物体运动到圆弧轨道最低点O时速度为，求物体在O点对轨道的压力大小。 27．为激发学生参与体育活动的兴趣，某学校计划修建滑板训练的场地，设计了如图所示的路面，其中是倾角为的斜面，凹圆弧和凸圆弧的半径均为，、等高，、等高，整个路面不计摩擦且各段之间平滑连接。为确保学生安全，防止学生在凸圆弧轨道最高点处脱离轨道，学校规定了通过点的最大速度。学生连同滑板可视为质点，质量为。不计空气阻力。已知重力加速度为，取，。 (1)若学生踩着滑板在斜面处由静止滑下，求学生和滑板经过最低点处对轨道的压力的大小。 (2)试求解学生到达点的最大速度，以及该学校设计的斜面最大高度。 5、 本节总结 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 日拱一卒，功不唐捐 圆周运动及其临界 1、 圆周运动的规律 1．骑自行车是一项投入成本低、锻炼收益高的体育运动。如图所示，自行车的大齿轮与小齿轮通过链条连接。大齿轮半径，小齿轮半径，为大齿轮边缘上的一点，为小齿轮边缘上的一点。骑行时（链条不打滑），下列说法正确的是（　　） A．点与点的周期之比为3∶1 B．点与点的周期之比为1∶3 C．点的线速度小于点的线速度 D．点的线速度大于点的线速度 【答案】A 【详解】AB．自行车的大齿轮与小齿轮通过链条连接，属于皮带传动模型（链条不打滑），因此两轮边缘上点的线速度大小相等，即，根据周期公式可知，在线速度相等的情况下，周期与半径成正比，因为大齿轮半径，小齿轮半径，所以点与点的周期之比为，故A正确，B错误； CD．大齿轮边缘的点与小齿轮边缘的点属于同链传动，两边缘各点的线速度大小相等，即点的线速度等于点的线速度，故CD错误。 故选A。 2．如图所示的皮带传动装置中，a、b、c分别为轮边缘上的三点。已知。假设在传动过程中皮带不打滑，则在传动过程中，b、c的角速度之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】a、c两点同轴转动，所以a、c两点的角速度相等，即 在传动过程中皮带不打滑，则a、b两点的线速度大小相等，根据，可得 则b、c的角速度之比为 故选D。 3．如图所示，手持固定装置给转盘上的蛋糕抹奶油，转盘转动可视为做匀速圆周运动，给侧壁抹上3圈奶油后改变转速，相同时间内能抹4圈。蛋糕上点始终随转盘一起转动，则在这一过程中，关于点，下列说法正确的是（     ） A．角速度大小变为原来的 B．向心加速度大小变为原来的 C．线速度大小变为原来的 D．周期变为原来的 【答案】D 【详解】A．设相同时间为t，由 得 则，故A错误； B．向心加速度 则 所以，故B错误； C．由 得 则，故C错误； D．由 有 则，故D正确； 故选D。 4．（多选）如图，A、B两点分别位于大、小轮的边缘上，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面上没有滑动。C在AO1上，且AC距离是CO1距离的两倍。则A、B、C三点的角速度、线速度关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】A．大轮与小轮它们之间靠摩擦力传动，故两轮边缘的线速度大小相等，则有；根据可知，，故A错误； BD．A点和C点属于同轴转动，同轴转动同一轮上各点角速度相同，则有；据可知， 则有，故B正确，D错误； C．由于，则有，故C正确。 故选BC。 5．（多选）自行车部分结构如图所示，是大齿轮边缘上一点，是小齿轮边缘上一点，大齿轮和小齿轮由链条连接，是后轮边缘上一点。把自行车后轮支撑起来，转动脚踏板，使大齿轮和后轮匀速转动，下列说法正确的是（    ） A．、两点的线速度大小相等 B．、两点的线速度大小相等 C．点的周期大于点的周期 D．点的周期小于点的周期 【答案】AC 【详解】A．大齿轮和小齿轮由链条连接，不打滑时，边缘线速度大小相等，即，故A正确； D．小齿轮和后轮同轴转动，因此角速度相等，根据，角速度相等则周期相等，故D错误； B．因，根据，且后轮半径（小齿轮半径） 因此，故B错误； C．由，大齿轮半径，根据 可得；又，故 周期，角速度越小周期越大，因此，故C正确。 故选 AC。 6．（多选）春晚上转手绢的机器人让人印象深刻，手绢上有P、Q两点，圆心为O，手绢做匀速圆周运动，则（     ） A．P点的线速度小于Q点的线速度 B．P点的角速度小于Q点的角速度 C．P点的向心加速度大于Q点的向心加速度 D．P点所受合外力方向总是指向O 【答案】AD 【详解】B．P、Q两点同轴转动，所以P、Q两点的角速度相等，故B错误； A．根据，由于，可知P点的线速度小于Q点的线速度，故A正确； C．根据，由于，可知P点的向心加速度小于Q点的向心加速度，故C错误； D．手绢做匀速圆周运动，则P点做匀速圆周运动，所受合力提供向心力，则P点所受合外力方向总是指向O，故D正确。 故选AD。 2、 分析向心力的来源 7．如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动，下列说法正确的是（　　） A．物体受到4个力的作用，分别是重力、弹力、摩擦力和向心力 B．物体受到3个力的作用，分别是重力、弹力和摩擦力 C．当圆筒的角速度增大以后，物体会相对于圆筒发生滑动 D．当圆筒的角速度增大以后，弹力增大，摩擦力增大 【答案】B 【详解】AB．物体做匀速圆周运动，合力指向圆心，对物体受力分析，受重力、向上的静摩擦力、指向圆心的支持力，不受向心力，向心力是效果力，如图所示 故A错误，B正确； CD．其中重力G与静摩擦力f平衡，与物体的角速度无关，支持力N提供向心力，所以当圆筒的角速度增大以后，向心力变大，物体所受弹力N增大，故CD错误。 故选B。 8．如图所示，一圆柱形容器绕其竖直轴线匀速转动，内部有A、B两个物体，均与容器的接触面始终保持相对静止。当转速增大后（A、B与容器接触面仍相对静止），下列说法正确的是（     ） A．两物体受到的摩擦力都增大 B．两物体受到的摩擦力大小都不变 C．物体A受到的摩擦力增大，物体B受到的摩擦力大小不变 D．物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大 【答案】D 【详解】对A，竖直方向根据受力平衡可得 对B，水平方向根据牛顿第二定律可得 当转速增大后，即角速度增大后，可知物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大。 故选D。 9．如图所示，餐桌中心有一个圆盘，可绕其中心轴转动，现在圆盘上放相同的茶杯，茶杯可看作质点。当茶杯和圆盘一起匀速转动时，则下列说法正确的是（     ） A．每个茶杯均受重力、支持力、摩擦力、向心力四个力作用 B．茶杯受到圆盘的滑动摩擦力提供向心力 C．圆盘转轴附近的茶杯所受合外力大于圆盘边缘附近的茶杯 D．若缓慢增大圆盘转速，圆盘边缘附近的茶杯先滑动 【答案】D 【详解】A．合力充当向心力，茶杯受重力、支持力、静摩擦力三个力作用，A错误； B．茶杯相对圆盘静止，茶杯受到圆盘的摩擦力是静摩擦力，沿半径指向圆心，充当向心力，B错误； C．根据可知圆盘转轴附近的茶杯所受合外力小于圆盘边缘附近的茶杯，故C错误； D．根据牛顿第二定律 解得 若缓慢增大圆盘转速，离中心轴远的茶杯先滑动，D正确。 故选D。 10．（多选）如图，主动轮大圆盘与从动轮小圆盘通过皮带（不打滑）连接，大圆盘与小圆盘的半径之比为2∶1，材料相同的可以视为质点的两物体质量之比为mA∶mB=4∶1，两个物体距离转动轴的距离相等。现在让圆盘匀速转动起来，下列说法中正确的是（     ） A．物体A与物体B相对圆盘滑动之前的角速度之比为1∶2 B．物体A与物体B相对圆盘滑动之前的摩擦力之比为1∶4 C．物体A与物体B相对圆盘滑动之前的向心加速度之比为4∶1 D．如果增加主动轮的转速，则B物体先相对圆盘滑动 【答案】AD 【详解】A．皮带不打滑，两圆盘边缘线速度相等，即 由，得，已知，因此 即，故A正确； B．物体随圆盘转动，摩擦力提供向心力，两物体到转轴距离相等，，因此，故B错误； C．向心加速度，因此，故C错误； D．物体刚好相对滑动时，最大静摩擦力提供向心力 得临界角速度 两物体材料相同（相同），相同，因此临界角速度相同。由于实际转动中，增加主动轮转速时，增大，同步增大，先达到临界角速度，因此B物体先相对滑动，故D正确。 故选AD。 11．（多选）如图所示，半球形陶罐固定在绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心的对称轴重合。转台以一定角速度匀速转动，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，改变转台角速度，再次稳定后，小物块与点的连线与之间的夹角变大，不计摩擦。下列说法正确的是（     ） A．转台角速度变小 B．物块做圆周运动的加速度大小变大 C．陶罐对小物块的作用力变大 D．小物块所受合力始终指向点 【答案】BC 【详解】A．由且 得 解得 当变大时，变小，则角速度变大，故A错误； BC．对小物块受力分析，受重力mg和陶罐的支持力N，竖直方向平衡有 水平方向合力提供向心力有 解得， 当变大时，变大，变小，则加速度a变大，支持力N变大，故BC正确； D．小物块做匀速圆周运动，合力提供向心力，方向指向圆周运动的圆心（转轴上），不是指向球心O，故D错误； 故选BC。 12．（多选）近些年短视频催生了许多网红游乐项目，某地开发了一种“八卦坑项目，如图主要设计成倒置的圆锥深坑，游客能在坑壁上奔跑而不掉落，合理的调整速度才能顺利出来。某次体重相同的游客A与B分别在不同高度尝试时，其重心轨迹几乎为水平面内的圆周，忽略静摩擦力对向心力的影响，简化示意图如下，下列说法合理的是（　　） A．游客A和游客B的向心加速度一定大小相等 B．游客A和游客B的向心力一定大小相等 C．游客A和游客B的线速度一定大小相等 D．游客在游玩时应该不断地减慢奔跑速度，才能逐步攀升逃离成功 【答案】AB 【详解】A．设游客受到的支持力与竖直方向的夹角为，根据牛顿第二定律有 解得 由几何关系可知，两个游客受到的支持力与竖直方向的夹角相等，所以游客A和游客B的向心加速度一定大小相等，故A正确； B．结合上述的分析，根据牛顿第二定律有 由于两个游客的质量相等，所以游客A和游客B的向心力大小相等，故B正确； C．根据向心力的表达式结合上述分析可知 解得 由于两个游客做圆周运动的半径不同，所以游客A和游客B的线速度大小不相等，故C错误； D．结合上述分析以及题意可知，越往上，则游客做圆周运动的半径越大，所以游客的线速度应该变大，即游客在游玩时应该不断地增加奔跑速度，才能逐步攀升逃离成功，故D项错误。 故选AB。 13．如图所示，三个相同的小球A、B、C通过轻绳悬挂在点，绕过点的竖直轴在水平面内做圆周运动。已知绳AO、BO与竖直方向的夹角相等，B、C在同一水平面内运动，下列说法正确的是（     ） A．A、B向心力大小相等 B．A、B线速度大小相等 C．B、C向心力大小相等 D．B、C线速度大小相等 【答案】A 【详解】A．对小球受力分析，受重力和绳子拉力，合力提供向心力，有 已知 、 两球质量 相同，绳与竖直方向夹角 相等，故 、 向心力大小相等，故A正确； B．由 得 已知 、 向心力 相等，质量 相等，由图可知 的转动半径 大于 的转动半径 ，所以 ，故B错误； C．、 在同一水平面内运动，设悬点到圆心的高度为 ，由 得 。因为 相同，所以 、 的角速度 相等。向心力 ，由于 ，所以 的向心力大于 的向心力，故C错误； D．由 ，因为 ，，所以 ，故D错误。 故选A。 14．如图所示，把一个可视为质点的小球放在内壁光滑的玻璃漏斗中，先后两次晃动漏斗，可以使小球沿漏斗内壁分别在不同水平面内沿轨迹1和轨迹2做匀速圆周运动。在两次做匀速圆周运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球受到重力、支持力和向心力的作用 B．小球所受合力沿漏斗内壁斜向下 C．小球在轨迹1、2上的向心加速度大小 D．小球在轨迹1、2上的线速度大小 【答案】C 【详解】A．向心力是效果力，由重力与支持力的合力提供，不能说小球受到向心力作用，故A错误； B．小球所受合力提供向心力，方向水平指向圆心（轴线），并非沿漏斗内壁斜向下，故B错误； C．设漏斗壁与竖直方向夹角为 ，由竖直方向 ，水平方向 ，得 ，与半径无关，故 ，C正确； D．由 ，结合 ，得 ，。图中轨迹1半径大于轨迹2，，故D错误。 故选C。 3、 生活中的圆周运动 （一）火车转弯问题 （二）拱形桥问题 （三）离心现象 15．下列对物理必修2教材中出现的四幅图分析正确的是（     ） A．图1：小球在水平面做匀速圆周运动时，向心力是细线拉力 B．图2：物体随水平圆盘一起做匀速圆周运动时，受到重力、支持力、摩擦力和向心力四个力 C．图3：汽车过拱桥最高点时，处于失重状态，速度越大，对桥面的压力越小 D．图4：若轿车转弯时速度过大，可能因向心运动造成交通事故 【答案】C 【详解】A．小球受重力和细线的拉力作用，细线拉力竖直向上的分力与重力平衡，水平分力提供向心力，故A错误； B．向心力是效果力，匀速圆周运动中向心力由合外力提供，物体受到重力、支持力和摩擦力三个力作用，故B错误； C．汽车过凸形桥最高点时，加速度向下，处于失重状态，速度越大，所需要的向心力越大，对桥面的压力越小，故C正确； D．汽车在水平路面转弯时，受到重力、支持力、摩擦力三个力的作用，摩擦力提供向心力，速度过大，可能导致汽车做离心运动，容易造成交通事故，故D错误。 故选 C。 16．如图是有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（     ） A．如图甲，汽车通过拱桥的最高点处于超重状态 B．如图乙所示是圆锥摆，减小，改变绳长但保持圆锥高度不变，则圆锥摆的角速度不变 C．如图丙，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的、位置先后分别做匀速圆周运动，则在位置小球所受筒壁的支持力大于在位置时的支持力 D．如图丁，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对轮缘会有挤压作用 【答案】B 【详解】A．汽车在最高点，对汽车受力分析，根据牛顿第二定律可得 解得 因此，汽车处于失重状态，故A错误； B．如图乙所示的圆锥摆，由重力和拉力的合力提供向心力，则有 解得 可见，减小，但保持圆锥的高不变；则圆锥摆的角速度不变，故B正确； C．设圆锥的顶角的一半为，对小球受力分析，竖直方向，根据平衡条件可得解得 因此，位置小球所受筒壁的支持力等于在位置时的支持力，故C错误； D．火车拐弯时超过规定速度行驶时，由于支持力和重力的合力不够提供向心力，会对外轨产生挤压，即外轨对轮缘会有挤压作用，故D错误。 故选B。 17．如图所示，在某路段汽车拐弯时，司机内侧的路面比外侧的路面低一些。汽车的运动可看作是半径为的圆周运动。设内、外路面高度差为，路基的水平宽度为，路面的宽度为，已知重力加速度为。要使车轮受沿斜坡方向的摩擦力为零，则汽车转弯时（     ） A．速度等于 B．速度等于 C．加速度等于 D．加速度等于 【答案】A 【详解】由题意可知，要使车轮与路面之间的横向摩擦力（即垂直于前进方向）等于零，由受力分析得 根据几何关系有 联立可得 由 得 故选A。 18．在修筑铁路时，为了消除轮缘与铁轨间的挤压，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，设计适当的倾斜轨道，即两个轨道存在一定的高度差。如图所示，火车轨道在某转弯处其轨道平面倾角为θ，转弯半径为r，在该转弯处规定行驶的速度为v，下列说法正确的是（     ） A．火车运动的圆周平面为图中的a B．适当增大内、外轨高度差可以对火车进行有效安全的提速 C．在该转弯处规定行驶的速度v的大小与轨道平面倾角θ的正切值成正比 D．当火车通过该转弯处的速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压 【答案】B 【详解】A．火车运动的圆周平面为水平面，即图中的，A错误； BC．分析转弯时火车的受力，由牛顿第二定律，有 得，适当增大内、外轨高度差，即增大，则增大，B正确，C错误； D．当火车通过该转弯处的速率大于时，火车所受的合外力不能满足转弯所需要的向心力，火车有向外滑的趋势，故外轨将受到轮缘的挤压，D错误。 故选B。 19．（多选）如图所示的四幅图表示的是有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（　　） A．图a中汽车通过凹形桥的最低点时处于超重状态 B．图b中火车转弯超过规定速度行驶时会挤压内轨 C．图c中两小球用长度不等的细线拴在同一点并在同一水平面内做匀速圆周运动，它们的角速度不同 D．图d中汽车在水平路面以相同速率转弯，在内车道比外车道更易发生侧滑 【答案】AD 【详解】A．当汽车通过最低点时，根据牛顿第二定律，有 可得 所以汽车通过凹形桥的最低点时处于超重状态，故A正确； B．火车转弯时，外轨高于内轨，重力和支持力的合力恰好提供规定速度的向心力。当速度超过规定速度时，需要的向心力更大，合力不足以提供向心力，火车做离心运动，会挤压外轨，故B错误； C．设悬挂点到圆周平面的竖直高度为，摆线偏角为，圆周半径 对圆锥摆中小球受力分析，由合力提供向心力有 可得 两球竖直高度相同，因此角速度相同，故C错误； D．汽车水平路面转弯，由静摩擦力提供向心力，则 速率相同时，内车道转弯半径更小，需要的静摩擦力更大，更易超过最大静摩擦力发生侧滑，故D正确。 故选AD。 20．（多选）一质量为2.0×103kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104N，当汽车经过半径为80m的弯道时，下列判断正确的是（     ） A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力 B．汽车转弯的速度为20m/s时所需的向心力为1.4×104N C．汽车转弯的速度为20m/s时汽车不会发生侧滑 D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0m/s2 【答案】CD 【详解】A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和牵引力，其中摩擦力提供向心力，故A错误； B．汽车转弯的速度为20m/s时，根据向心力公式得，故B错误； C．根据B选项可知，汽车转弯的速度为20m/s时，向心力小于最大静摩擦力，所以汽车不会侧滑，故C正确； D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过，故D正确。 故选CD。 4、 圆周运动临界问题 21．甲图是质量为m的小球，在竖直平面内绕O点做半径为R的圆周运动（为轻绳） ；乙图是质量为m的小球，在竖直平面内绕O点做半径为R的圆周运动（为轻质杆）；丙图是质量为m的小球，在半径为R的竖直光滑圆轨道内侧做圆周运动；丁图是质量为m的小球在竖直放置的半径为R的光滑圆形管道内做圆周运动。则下列说法正确的是（     ） A．甲图中，小球通过最高点的最小速度是0 B．乙图中，若小球通过最高点的速度增大，则在最高点杆对小球的弹力也增大 C．丙图中，小球在水平线以上沿轨道做圆周运动时，轨道对小球一定有作用力 D．丁图中，小球在水平线以下管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 【答案】D 【详解】A．甲图为轻绳模型，小球通过最高点时，绳子只能提供拉力，拉力 当时速度最小，由牛顿第二定律得 解得最小速度，故A错误； B．乙图为轻杆模型，在最高点，若，杆对球表现为支持力，由牛顿第二定律可得 整理得，此时速度增大，弹力减小。 若，杆对球表现为拉力，由牛顿第二定律可得 整理得，此时速度增大，弹力增大，故B错误； C．丙图为光滑圆轨道内侧模型，与绳模型类似。在最高点，当时，由可知轨道对小球无作用力，故C错误； D．丁图为光滑圆形管道模型，小球在水平线以下管道中运动时，向心力指向圆心。重力在半径方向的分量背离圆心，必须由外侧管壁提供指向圆心的弹力来提供向心力并平衡重力的分量，即（为半径与竖直向下方向的夹角），所以外侧管壁对小球一定有作用力，故D正确。 故选D。 22．如图所示，长度的轻质细杆的端固定一质量可视为质点的小球，小球以点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时速率为，取，则此时小球对细杆的作用力为（     ） A．的压力 B．的拉力 C．的压力 D．的拉力 【答案】A 【详解】小球运动到最高点时受到重力与轻杆的弹力，设杆子的弹力方向向下为正，根据合力提供向心力得 解得 负号说明方向竖直向上，则由牛顿第三定律可知球对细杆的作用力为压力，大小为。 故选A。 23．如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为，小球半径为，则下列说法正确的是（     ） A．小球通过最高点时的最小速度 B．小球通过最高点时的最小速度 C．小球在水平线以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力 D．小球在水平线以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 【答案】C 【详解】AB．在最高点，由于外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于时，内管对小球产生弹力，大小为，故最小速度为故AB错误； C．小球在水平线ab以下管道运动，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力。故C正确； D．小球在水平线ab以上管道运动，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，当速度非常大时，外侧管壁有作用力与重力合力提供向心力，内侧管壁没有作用力。当速度比较小时，重力与内侧管壁的作用力的合力提供向心力，外管没有作用力。故D错误。 故选C。 24．（多选）装有水的小桶用细绳拉着，绕固定点在竖直面内做圆周运动，经过最高点时桶口向下。已知水的质量是0.5kg，绳长40cm，桶可以视为质点，重力加速度g取10m/s2。某次小桶经过圆周最高点，则（     ） A．要使水不从桶口流出，桶的最小速度是4m/s B．当水恰好不从桶口流出时，水对桶底的压力大小是0N C．如果小桶的速度为4m/s，则水对桶底的压力大小是20N D．如果小桶的速度为4m/s，则水对桶底的压力大小是15N 【答案】BD 【详解】A．小桶经过圆周最高点，要使水不从桶口流出，则有 解得 可知桶的最小速度是，故A错误； B．当水恰好不从桶口流出时，此时水的重力刚好提供向心力，则水对桶底的压力大小是0N，故B正确； CD．如果小桶的速度为4m/s，以水为对象，根据牛顿第二定律可得 解得 根据牛顿第三定律可知，水对桶底的压力大小是15N，故C错误，D正确。 故选BD。 25．小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞离水平距离后落地，如图所示。已知握绳的手离地面高度为，手与球之间的绳长为，重力加速度为。忽略手的运动半径和空气阻力。 (1)求绳断时球的速度大小和球落地时的速度大小。 (2)问绳能承受的最大拉力多大？ (3)绳能承受的最大拉力与第（2）小题结果相同的情况下，改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？ 【答案】(1)， (2) (3)， 【详解】（1）绳断后小球做平抛运动，在竖直方向小球最低点离地高度 由自由落体公式可得 解得 水平方向做匀速直线运动，则 绳断时球的速度 球落地时竖直方向速度大小 球落地时的速度大小 （2）小球在最低点时，拉力与重力的合力提供向心力，圆周运动半径 由牛顿第二定律可得 解得绳能承受的最大拉力 （3）设改变后绳长为，同理可得最低点满足 又 解得 绳断后平抛，下落高度 平抛时间 水平距离 当时，取得最大值，代入得最大水平距离 26．如图所示，一可视为质点的物体质量为，在左侧平台上水平抛出，恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点进入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑，A、B为圆弧两端点，其连线水平，O为轨道的最低点。已知圆弧半径为，对应圆心角为平台与AB连线的高度差为。（重力加速度，，）求： (1)物体平抛的初速度； (2)已知物体运动到圆弧轨道最低点O时速度为，求物体在O点对轨道的压力大小。 【答案】(1) (2)43N 【详解】（1）由于物体无碰撞进入圆弧轨道，即物体落到A点时速度方向沿A点切线方向，则有 物体做平抛运动时竖直方向做自由落体运动，有 联立解得 （2）物体在最低点O时，据牛顿第二定律，有 代入数据解得 由牛顿第三定律可知，物体对轨道的压力为43 N。 27．为激发学生参与体育活动的兴趣，某学校计划修建滑板训练的场地，设计了如图所示的路面，其中是倾角为的斜面，凹圆弧和凸圆弧的半径均为，、等高，、等高，整个路面不计摩擦且各段之间平滑连接。为确保学生安全，防止学生在凸圆弧轨道最高点处脱离轨道，学校规定了通过点的最大速度。学生连同滑板可视为质点，质量为。不计空气阻力。已知重力加速度为，取，。 (1)若学生踩着滑板在斜面处由静止滑下，求学生和滑板经过最低点处对轨道的压力的大小。 (2)试求解学生到达点的最大速度，以及该学校设计的斜面最大高度。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）从处到点动能定理有   在点牛顿第二定律有 解得 根据牛顿第三定律，学生和滑板对轨道的压力大小 （2）在处恰好不脱离轨道，即支持力 由重力完全提供向心力有 解得 从处到点动能定理有   解得 5、 本节总结 1 学科网（北京）股份有限公司 $