精品解析：湖南岳阳市岳阳县第一中学2025-2026学年高二（2027届新高三）第一次适应性测试数学试卷

2027届新高三第一次适应性测试 数学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知（是虚数单位），则复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中，的系数为. A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 3. 棱长为2的正方体的内切球的球心为，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 设向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知双曲线（，）的右焦点为，点，是双曲线上关于原点对称的两点，点在第一象限，且以为直径的圆经过点，直线交双曲线于另一点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在数列中，已知，则等于（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 11 8. 直线与圆的位置关系是（    ） A. 相交 B. 相切 C. 相交或相切 D. 相离 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 从中随机不放回地抽取两个不同的数，记它们的乘积为M，则下列结论正确的是（ ） A. M是偶数的概率大于 B. M是3的倍数的概率为 C. M是完全平方数的概率大于 D. M各数字之和的奇偶性与相同 10. 如图，在正方体中，棱长为2，点为四边形内部（不含边界）的一个动点，平面平面，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 当时，二面角的正切值为2 C. 四面体的外接球体积为 D. 若，则的取值范围是 11. 已知数列满足，，，数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列为单调递增的等差数列 D. 满足不等式的正整数n的最小值为63 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线：是曲线的切线，则______． 13. 已知，则等于______. 14. 一个综艺节目中，3名主持人与33位参与者随机站成一个圆圈，则参与者连续站在一起的人数不超过13人的概率是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前n项和． 16. 如图，在三棱柱中，直线平面，E是棱上一点，，，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 在中，三边，，所对的角分别为， ，，已知，. （1）若，求； （2）若边上的中线长为，求的长. 18. 已知椭圆的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．. （1）求的方程. （2）不过点的直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为． （i）证明：直线过定点；并求定点坐标. （ii）求面积的最大值． 19. 已知函数，． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）当，时，恒有成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届新高三第一次适应性测试 数学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知（是虚数单位），则复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的四则运算求出复数，再由共轭复数的定义求. 【详解】已知，由题意得， 所以. 故选：B. 2. 的展开式中，的系数为. A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】将展开式中所有包含的项，再相加，得到的系数 【详解】的通项为，所以的展开式中含的项为，和，因为，所以的系数为30，选择B 【点睛】求二项式展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求，解出k，得到系数 3. 棱长为2的正方体的内切球的球心为，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的对称性得到内切球的球心为正方体的中心，然后求体积即可. 【详解】正方体的内切球的球心为，由对称性可知为正方体的中心，球半径为1， 即球的体积为. 故选：B. 4. 设向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 利用向量坐标的线性运算以及向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】，， 因为，所以，得． 故选：C 5. 已知双曲线（，）的右焦点为，点，是双曲线上关于原点对称的两点，点在第一象限，且以为直径的圆经过点，直线交双曲线于另一点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义，结合勾股定理列出方程求出离心率. 【详解】如图，设双曲线的左焦点为，，连接，，， 则，，，， 依题意，，由双曲线的对称性知四边形为矩形， 在中，由，得， 化简得，即，，在中，由， 得，化简得，所以双曲线的离心率. 故选：A 6. 已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由正弦函数的周期性求出的大致范围，再根据正弦函数的递增区间求出的具体范围. 【详解】令，因为，所以 因为函数在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增，且，即． 因为， 所以函数在上单调递增，等价于或， 解不等式得或，所以的取值范围是． 7. 在数列中，已知，则等于（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】根据递推关系式，依次求解. 【详解】由条件可知，，，. 8. 直线与圆的位置关系是（    ） A. 相交 B. 相切 C. 相交或相切 D. 相离 【答案】C 【解析】 【分析】联立直线方程和圆的方程，消元后得到一元二次方程，根据方程解的个数得到直线与圆的交点个数，从而得到直线与圆的位置关系. 【详解】联立，消元得， ∴， ∴或， 由可得，解得， 故当时，方程组存在唯一解，此时直线与圆相切， 当时，方程组存在两个不同解，此时直线与圆相交， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 从中随机不放回地抽取两个不同的数，记它们的乘积为M，则下列结论正确的是（ ） A. M是偶数的概率大于 B. M是3的倍数的概率为 C. M是完全平方数的概率大于 D. M各数字之和的奇偶性与相同 【答案】AC 【解析】 【分析】首先计算出全部的抽取结果数，对于A，利用奇数奇数奇数分析对立事件M是奇数的概率；对于B，利用两个不是的倍数的数的乘积不是的倍数分析对立事件M不是3的倍数的概率；对于C，两个不相等的数的乘积若是完全平方数，则除去它们各自包含的完全平方数因子后，剩下的无平方因子部分必须相同，分析形如的数的个数，得到P(M是完全平方数)大于；对于D，举反例即可. 【详解】从中随机不放回地抽取两个不同的数，共有种结果. 对于A，考虑为奇数的情况，只有当两个数均为奇数时乘积才是奇数， 而中有个奇数，所以P(M是奇数)， 从而P(M是偶数)，A正确； 对于B，考虑不是的倍数的情况，只有当两个数均不是的倍数时 乘积才不是的倍数，而中的倍数有个， 不是的倍数有个，所以P(M不是3的倍数)， 从而P(M是3的倍数)，B错误； 对于C，若两个数符合的形式， 则它们的乘积为完全平方数，其中的因子不包含完全平方数， 当时，满足的最大整数为，所以有种结果； 当时，满足的最大整数为，所以有种结果； 当时，满足的最大整数为，所以有种结果； 当时，满足的最大整数为，所以有种结果； 当时，满足的最大整数为，所以有种结果， 可得P(M是完全平方数)，C正确； 对于D，假设，则为偶数，而， 各数字之和为为奇数，两者的奇偶性不相同，D错误. 10. 如图，在正方体中，棱长为2，点为四边形内部（不含边界）的一个动点，平面平面，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 当时，二面角的正切值为2 C. 四面体的外接球体积为 D. 若，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量法分析A选项，选项B结合面面垂直性质定理，动点轨迹方程，以及二面角的求解方法分析求解，选项C找出外接球的球心，利用已知条件求出半径，利用球体体积公式计算即可，选项D根据动点的轨迹方程以及向量的坐标关系式和圆的参数方程、三角函数性质求解即可. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图空间直角坐标系， ，设， 对于A，由， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故A正确； 对于B，过作垂足为，如图所示： 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，又，故，又， ，平面，所以平面，平面， 故，所以的轨迹是以为直径，中点为圆心的圆在正方形内的部分， 所以在平面上的轨迹方程为， 而，故此时的轨迹方程为， 联立得，， 因为平面，平面，所以， 根据二面角定义可知是二面角的平面角， 则，故B正确； 对于C，由直角三角形外心为中点，设外接球心为， 由球心到各点距离相等得，即，解得， 所以半径，体积，故C错误； 对于D，因为，， 所以的坐标中，故， 因为的轨迹方程为， 设， 得， 由得，故， 所以，故D正确. 11. 已知数列满足，，，数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列为单调递增的等差数列 D. 满足不等式的正整数n的最小值为63 【答案】ABD 【解析】 【分析】由和递推公式→→，→A选项正确，B选项正确； →→为单调递增的等差数列→C选项不正确； →→→D选项正确 【详解】因为，所以，所以， 则，解得， ，所以，，所以A选项正确，B选项正确； 因为，所以， 所以，又， 所以， 所以为单调递增的等差数列， 则数列不是单调递增的等差数列，所以C选项不正确； ， 则， ， 解得，又， 所以正整数n的最小值为63，所以D选项正确． 故选：ABD． 【点睛】数列问题，常常需要由递推公式求出通项公式，方法有累加法，累乘法，构造法等，要根据数列特征选择不同的方法. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线：是曲线的切线，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】设切点坐标为，由导数的几何意义表示斜率，由切点在曲线上得出方程组，解得，即可求解. 【详解】由已知设切点坐标为， 因为，则， 所以，解得或 ， 所以或. 故答案为：或. 13. 已知，则等于______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据两角和差的正切公式求得，再由二倍角公式实现弦化切的目标，得到. 【详解】由题意得， 所以. 故答案为：. 14. 一个综艺节目中，3名主持人与33位参与者随机站成一个圆圈，则参与者连续站在一起的人数不超过13人的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】记3名主持人分别为甲、乙、丙，将主持人甲作为参照物，考虑剩下的35人从甲开始顺时针排列的顺序，则3名主持人与33位参与者随机站成一个圆圈有种站法，再分析主持人乙、丙将33位参与者分隔成3组的人数情况，从而得到参与者连续站在一起的人数不超过13人的站法种数，即可得到结果. 【详解】记3名主持人分别为甲、乙、丙， 3名主持人与33位参与者随机站成一个圆圈， 将主持人甲作为参照物，只需考虑剩下的35人从甲开始顺时针排列的顺序， 则3名主持人与33位参与者随机站成一个圆圈有种站法， 参与者连续站在一起的人数不超过13人， 则主持人乙、丙将33位参与者分隔成3组，按照顺时针方向记为第一、二、三组， 由， 考虑的情况，第一、二、三组人数有、，三种分组方法， 考虑，第一、二、三组人数有种分组方法， 考虑，第一、二、三组人数有1种分组方法， 同理可知，共有种分组方法， 则参与者连续站在一起的人数不超过13人共有种站法， 可得参与者连续站在一起的人数不超过13人的概率是 故答案为 【点睛】关键点点睛：将主持人甲作为参照物，只需考虑剩下的35人从甲开始顺时针排列的顺序，参与者连续站在一起的人数不超过13人，则主持人乙、丙将33位参与者分隔成3组，分析出分组方法即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差中项的性质，可证为等差数列，根据等差数列的求和公式，可得首项和公差d的值，代入公式，即可得答案. （2）由错位相减法求和即可. 【小问1详解】 因为，所以数列为等差数列， 设数列的公差为d，且，则，解得， 又，所以，即， 则，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以， 则， 两式相减可得：， 即， 化简可得：. 16. 如图，在三棱柱中，直线平面，E是棱上一点，，，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）应用余弦定理得出，应用勾股定理得出，应用线面垂直判定定理得出所以平面，进而得出线线垂直； （2）方法1：建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再应用线面角正弦公式计算求解；方法2：应用线面角定义得出即为直线与平面所成角，结合边长计算求解. 【小问1详解】 连接，由且得，结合，， 可得， 即，于是，即，. 因为，所以. 又因为平面，平面，所以， 又平面 ，所以平面. 因为平面，所以. 【小问2详解】 方法1：以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系. ，，，，， ，，， 设平面的一个法向量， ，即，令，则， 记直线与平面所成角为， 则. 因此直线与平面所成角的正弦值为. 方法2：由棱柱性质可知平面平面， 故直线与平面所成角等于直线与平面所成角. 取线段中点H，连接，， 因为，所以， 又因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 所以即为直线与平面所成角，即为直线与平面所成角. 在中，，，， 即直线与平面所成角的正弦值为. 17. 在中，三边，，所对的角分别为， ，，已知，. （1）若，求； （2）若边上的中线长为，求的长. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理把等式中的边化成角，利用三角恒等变换得到，再利用正弦定理，求得； （2）设边上的中线为，利用向量加法法则得，对式子两边平方转化成代数运算，求得，再利用余弦定理可得的长． 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得， 所以. 所以.又因为，所以. 因为，所以. 又因为，所以，所以. （2）设边上的中线为，则， 所以， 即，. 解得或（舍去）. 又，， 所以 故. 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、面积公式在解三角形中的运用，解决本题的关键点是在解题过程中，利用向量关系并两边平方，可求出，结合余弦定理得出的长，考查学生计算能力，属于中档题． 18. 已知椭圆的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．. （1）求的方程. （2）不过点的直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为． （i）证明：直线过定点；并求定点坐标. （ii）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率及三角形面积，列出方程组求解即得. （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得；（ii）由（i）的信息，借助三角形面积建立函数关系，再求出最大值即可. 【小问1详解】 令椭圆的半焦距为c，由离心率为，得， 解得， 由三角形面积为，得，则，， 故的方程是. 【小问2详解】 （i）由（1）知，点， 当斜率为0时，直线方程为， 此时设，，， 则，，得到， 因为直线与的斜率之积恒为，所以， 因为在椭圆上，所以， 联立方程组，该方程组无解，则该情况与题意不符，排除， 当斜率不为0时，讨论如下， 如图，设直线的方程为，设， 由，消去x得， 则， 直线与的斜率分别为，， 于是 ，整理得，解得或， 当时，直线过点，不符合题意，因此， 直线恒过定点. （ii）由（i）知，， 则， 因此的面积 ， 当且仅当，即时取等号， 故面积的最大值为. 19. 已知函数，． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）当，时，恒有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出、，由直线的点斜式方程可得答案； （2）求出，分讨论可得答案； （3）转化为恒成立，令，分、讨论，利用导数可得答案. 【小问1详解】 当时，， ， 所以，， 所以函数在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 ，， 令，因为，所以，解得， 若，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 若，则， 因为，所以， 所以，单调递增； 综上，时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 时，的单调递增区间为，无单调递减区间 【小问3详解】 当，时，，令， 则，原不等式可化为恒成立， 令， ，令， ，当时，， 所以在上单调递增，所以， 当时，，在上单调递增， 所以，解得，或舍去； 当时，存在，使得，即， ，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 令，则，解得，或， 即，或，因为，所以舍去， 由得， 令，则， 当时，，所以单调递减， 所以. 综上所述，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $