6.7角的和差培优测试 2026-2027学年 浙教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦角的和差与角平分线，通过基础计算、综合推理、动态探究三层设计，构建从概念理解到创新应用的知识巩固路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|角的和差计算、角平分线概念|选择题10题考查锐角和分类，填空题11题基础角加减| |能力提升|角平分线综合应用、分类讨论|选择题6题角平分线多步推理，解答题18题新定义“倍角”应用| |综合拓展|动态旋转、运动角问题|解答题24题运动中角平分线探究，培养空间观念与创新意识|

6.7角的和差 培优测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1．如图，AM、CM平分∠BAD和∠BCD，若∠B=34°，∠D=42°，则∠M=（　　） A．34° B．38° C．40° D．42° 2．在下图所示的4X4方格中，记∠ABD=α，∠DEF=β，∠CGH=γ，则（　　） A．β≤a<γ B．β<y<a C．a<x<β D．a<β≤γ 3．如图，从A点发出的光线，经平面镜反射后得到反射光线，，m，n为法线，设，，，那么之间的数量关系是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）.下列结论：①；②；③；④.其中正确结论的个数有（　　）. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．将一副三角板按如图所示的不同方式摆放，则图中∠a与∠β一定相等的是（　　） A． B． C． D． 6．OB是∠AOC内部一条射线，OM是∠AOB平分线，ON是∠AOC平分线，OP是∠NOA平分线，OQ是∠MOA平分线，则∠POQ∶∠BOC＝（　　） A．1∶2 B．1∶3 C．2∶5 D．1∶4 7．如图，点O在直线 上，过O作射线 ， ，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边 与 重合，边 在直线 的下方．若三角板绕点O按每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线 恰好平分锐角 ，则t的值为（　　） A．5 B．4 C．5或23 D．4或22 8．如图，点 为线段 外一点，点 ， ， ， 为 上任意四点，连接 ， ， ， ，下列结论错误的是（　　） A．以 为顶点的角共有15个 B．若 ， ，则 C．若 为 中点， 为 中点，则 D．若 平分 ， 平分 ， ，则 9．已知O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD=3∠DOE，∠COE= 则∠BOE的度数是（　　） A． B． C． D． 10．（新人教版数学七年级上册4.3.2 角的比较与运算课时练习）两个锐角的和（　　）． A．必定是锐角; B．必定是钝角; C．必定是直角; D．可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角 二、填空题（每题4分，共24分） 11．在同一平面内，若∠AOB=75°，∠AOC=27°，则∠BOC=　 　 12．如图，在同一平面内，∠AOB=90°，∠AOC=25°，∠COD=50°，∠BOD>15°，则∠BOD的度数为　 　 13．已知，如图1，过作射线、，如图2，过作射线、，使，，，，则　 　． 14．如图，∠AOB=40°，自点O引射线OC，若∠AOC：∠COB=2∶3，则OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为　 　 15．如图1， 为直线 上一点，作射线 ，使 ，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点 处，一条直角边 在射线 上.将图1中的三角尺绕点 以每秒10°的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中，第 秒时， 所在直线恰好平分 ，则 的值为　 　. 16．小方同学设计了一个“魔法棒转不停”程序，如图所示，点 ， 在直线 上，第一步， 绕点 顺时针旋转 度 至 ；第二步， 绕点 顺时针旋转 度至 ；第三步， 绕点 顺时针旋转 度至 ， 以此类推，在旋转过程中若碰到直线 则立即绕点 反方向旋转.当 时，则 等于　 　度. 三、解答题（共8题，共66分） 17．如图，已知，为锐角，平分，射线在内部. （1）图中共有多少个小于平角的角？ （2）若，，求的度数. （3）若，，请通过计算判断与的关系. 18．新定义：若α的度数是β的度数的n倍，则α叫做β的n倍角. （1）若，请直接写出的3倍角的度数； （2）如图①，若，请直接写出图中的所有2倍角； （3）如图②，若是的3倍角，是的4倍角，且，求的度数. 19．如图，已知∠A3OA2-∠A2OA1=∠A4OA3-∠A3OA2=∠A5OA4-∠A4OA3=……=∠A8OA7-∠A7OA6=∠A1OA8-∠A8OA7=4° 求∠A2OA3的度数． 20．如图1，OC平分∠AOB，OD是∠BOC内部从点O出发的一条射线，OE平分∠AOD． （1）[基础尝试] 如图2，若∠AOB=120°，∠COD=10°，求∠DOE的度数； （2）[画图探究] 设∠COE=x°，用x的代数式表示∠BOD的度数； （3）[拓展运用] 若∠COE与∠BOD互余，∠AOB与∠COD互补，求∠AOB的度数． 21． 阅读材料并回答问题： 数学课上，老师提出了如下问题： 已知点在直线上，，在同一平面内，过点作射线，满足当时，如图1所示，求的度数． 甲同学：以下是我的解答过程部分空缺 解：如图2，点在直线上， ． ， ▲ ， 平分． ▲ ，， ▲ 乙同学：“我认为还有一种情况．” 请完成以下问题： （1）请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整． （2）判断乙同学的说法是否正确，若正确，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由． （3）将题目中“”的条件改成“”，其余条件不变，当在到之间变化时，如图.所示，为何值时，成立？请直接写出此时的值． 22．如图1，∠AOB=α，∠COD=β，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线． （1）若∠AOB=50°，∠COD=30°，当∠COD绕着点O逆时针旋转至射线OB与OC重合时（如图2），则∠MON的大小为　 　； （2）在（1）的条件下，继续绕着点O逆时针旋转∠COD，当∠BOC=10°时（如图3），求∠MON的大小并说明理由； （3）在∠COD绕点O逆时针旋转过程中，∠MON=　 　．（用含α，β的式子表示）． 23．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1∶2的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若∠BOC＝2∠AOC，则OC是∠AOB的一条三分线． （1）已知：如图①，OC是∠AOB的一条三分线，且∠BOC＞∠AOC，若∠AOB＝60°，求∠AOC的度数； （2）已知：∠AOB＝90°，如图②，若OC，OD是∠AOB的两条三分线． ①求∠COD的度数； ②现以O为中心，将∠COD顺时针旋转n度得到∠C′OD′，当OA恰好是∠C′OD′的三分线时，求n的值． 24．【问题背景】∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）． （1）【问题思考】如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝　 　． （2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D． ①若∠BAO＝70°，则∠D＝ ▲ °． ②随着点A、B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由； （3）【问题拓展】在图②的基础上，如果∠MON＝a，其余条件不变，随着点A、B的运动（如图③），∠D＝　 　.（用含a的代数式表示） 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】角的运算；角平分线的概念 【解析】【解答】利用三角形的内角和可得：∠B+∠BAM=∠M+∠BCM， ∴∠BAM-∠BCM=∠M-∠B； ∵∠MAD+∠M=∠MCD+∠D， ∴∠MAD-∠MCD=∠D-∠M， ∵AM、CM平分∠BAD和∠BCD， ∴∠BAM=∠MAD=∠BAD，∠BCM=∠MCD=∠BCD， ∴∠M-∠B=∠D-∠M， ∴∠M=（∠B+∠D）=×（34°+42°）=38°， 故答案为：B. 【分析】先利用“8字形”可得∠BAM-∠BCM=∠M-∠B，∠MAD-∠MCD=∠D-∠M，再结合角平分线的定义可得∠BAM=∠MAD=∠BAD，∠BCM=∠MCD=∠BCD，再利用等量代换可得∠M-∠B=∠D-∠M，再将数据代入求出∠M=（∠B+∠D）=×（34°+42°）=38°即可. 2．【答案】B 【知识点】角的概念及表示；角的运算 【解析】【解答】解：由图知：∠CGH=γ=45°+45°=90°， 如图，连接BM、EH， ∵∠ABD=α＞∠ABM，∠ABM=45°+45°=90°， ∴∠ABD=α＞90°， ∵∠DEF=β＜∠DEH，∠DEH=45°+45°=90°， ∴∠DEF=β＜90°， ∴β＜γ＜α， 故答案为：B． 【分析】连接BM、EH，由图知：∠CGH=γ=45°+45°=90°，∠ABD=α＞∠ABM，∠DEF=β＜∠DEH，最后比较大小即可得出结论． 3．【答案】B 【知识点】角的运算 【解析】【解答】解：由题意可得：，， ∵， 即 ∴ ∴ 故答案为：B． 【分析】根据，可得，再求出即可。 4．【答案】B 【知识点】角的运算 【解析】【解答】解：∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC=∠BOD， 而∠COE=∠BOE， ∴∠AOE=∠DOE，所以①正确； ∠AOD+∠COB=∠AOD+∠AOC+90°=90°+90°=180°，所以②正确； ∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD， 而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确； ∵E、O、F三点共线 ∴∠BOE+∠BOF=180°， ∵∠COE=∠BOE， ∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正确. 所以，正确的结论有3个. 故答案为：B. 【分析】根据同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD，由已知条件可知∠COE=∠BOE，然后根据等式的性质可判断①；∠AOD+∠COB=∠AOD+∠AOC+90°，据此判断②；∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，据此判断③；由平角的概念可得∠BOE+∠BOF=180°，结合∠COE=∠BOE可判断④. 5．【答案】A 【知识点】角的运算 【解析】【解答】解：A、由图形得：∠β＝45°，∠α＝90°−45°＝45°，∴∠α＝∠β，故符合题意； B、由图形得：∠α＋∠β＝60°，∴∠α不一定等于∠β，故不合题意； C、由图形得：∠α＝90°−60°＝30°，∠β＝90°−45°＝45°，∴∠α≠∠β，故不合题意； D、由图形得：∠α＋∠β＝90°，不合题意． 故答案为：A. 【分析】A、由图形可得∠β＝45°，且∠α+∠β=90°，即可做出判断； B、由图形可分别求出∠α与∠β的关系数，即可做出判断； C、由图形可分别求出∠α与∠β的度数，即可做出判断； D、由图形可得两角互余，不合题意． 6．【答案】D 【知识点】角的运算；角平分线的概念 【解析】【解答】解：∵OM是∠AOB平分线，OQ是∠MOA平分线， ∴∠AOQ= ∠AOM= ∠AOB， ∵ON是∠AOC平分线，OP是∠NOA平分线， ∴∠AOP= ∠AON= ∠AOC= （∠AOB+∠BOC）， ∴∠POQ=∠AOP-∠AOQ = （∠AOB+∠BOC）- ∠AOB， = ∠BOC， ∴∠POQ：∠BOC=1：4. 故答案为：D. 【分析】根据角平分线的概念可得∠AOQ=∠AOM=∠AOB，∠AOP=∠AON=∠AOC= (∠AOB+∠BOC)，则∠POQ=∠AOP-∠AOQ=∠BOC，据此求解. 7．【答案】C 【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：∵ ， ∴ ， ①如图， 当 的反向延长线恰好平分锐角 时， ∴ ， 此时，三角板旋转的角度为 ， ∴ ； ②如图， 当 在 的内部时， ∴∠CON= ∠AOC=40°， ∴三角板旋转的角度为90°+100°+40°=230°， ∴ ； ∴t的值为：5或23． 故答案为： C ． 【分析】先求出 ，再分类讨论，进行计算求解即可。 8．【答案】B 【知识点】角的概念及表示；角的运算；线段的和、差、倍、分的简单计算 【解析】【解答】解：以O为顶点的角有 个， 所以A选项不符合题意； ， ， ，即 ， 所以B选项符合题意； 由中点定义可得： ， ， ， ， ， 所以C选项不符合题意； 由角平分线的定义可得： ， ， ， ， ， ， ， 所以D选项不符合题意， 所以错误的只有B， 故答案为：B. 【分析】A，根据以O为顶点射线有6条，形成角的个数为求解即可； B，根据线段的关系判断即可； C，根据中点的概念及线段的和差即可判断结论； D，根据角平分线的概念及角的关系可得出结论。 9．【答案】C 【知识点】角的运算；角平分线的概念 【解析】【解答】解：设∠DOE=x，则∠BOD=3x， ∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-3x. ∵OC平分∠AOD， ∴∠COD= ∠AOD= （180°-3x）=90°- x. ∵∠COE=∠COD+∠DOE=90°- x+x=90°- ， 由题意可得，90°- =m， 解得x=180°-2m，即∠DOE=180°-2m， ∴∠BOE=360°-4m， 故答案为：C. 【分析】设∠DOE=x，则∠BOD=3x，利用邻补角的定义，表示出∠AOD的度数，利用角平分线的定义表示出∠COD的度数，然后根据∠COE=m，建立方程即可求出∠BOE的度数. 10．【答案】D 【知识点】角的运算；角的大小比较 【解析】【解答】当α=10°，β=20°时，α＋β=30°， 即两锐角的和为锐角． 当α=30°， β=60°时， α＋β=90°， 即两锐角的和为直角． 当α=60°，β=70°时，α＋β=130°，即两锐角的和为钝角．综上所述，两锐角的和可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角．故选D． 【分析】在0度到90度之间的叫锐角，可以用赋值法讨论． 11．【答案】102或48° 【知识点】角的运算 【解析】【解答】解：①当∠AOC在∠AOB外部时，如图： ∵ ∴ ②当∠AOC在∠AOB内部时，如图： ∵ ∴ 综上所述，的度数为：或， 故答案为：或. 【分析】由题意知需分两种情况讨论：①当∠AOC在∠AOB外部时，②当∠AOC在∠AOB内部时，分别按照角的运算，计算即可. 12．【答案】65°或 115°或165° 【知识点】角的运算 【解析】【解答】解：①当OC在∠AOB的外部，OD在∠AOB的内部时，如图： ∵ ∴ ∵ ∴ ②当OC在∠AOB的外部，OD在∠AOB的外部时，如图： ∵ ∴ ③当OC在∠AOB的内部，OD在∠AOB的外部时，如图： ∵ ∴ ∴ 综上所述，的度数为：65°或 115°或165°， 故答案为：65°或 115°或165°. 【分析】由题意知需分三种情况：①：当OC在∠AOB的外部，OD在∠AOB的内部时，②：当OC在∠AOB的外部，OD在∠AOB的外部时，③：当OC在∠AOB的内部，OD在∠AOB的外部时，分别根据角的运算计算即可. 13．【答案】100° 【知识点】角的运算 【解析】【解答】解：由图1得，∠AOB=∠AOD-∠BOD=120°+α-β， 由图2得，∠AOB=∠AOF-∠BOF=80°+β-α， 所以120°+α-β=80°+β-α， 化简得：20°+α=β. 代入∠AOB=120°+α-β中去， 得∠AOB=120°+α-， 得到∠AOB=100°， 故填：100°. 【分析】先寻找两个图形中的角度的等量关系，即用不同的代数式表示出∠AOB，化简得到α和β之间的数量关系，然后代入合并同类型，消去未知数即可. 14．【答案】4°或100° 【知识点】角的大小比较；角平分线的概念 【解析】【解答】解：当OC在∠AOB的内部时，如图，OD为∠AOB的角平分线， ∴∠AOD=∠AOB=×40°=20°， ∵ ∠AOC：∠COB=2∶3， ∴设∠AOC=2x°，∠BOC=3x°， ∵ ∠AOC+∠COB=∠AOB=40°， ∴5x=40， ∴x=8 ∴∠AOC=2x=16°， ∴∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°； 当OC在∠AOB外部时，如图，OD为∠AOB的角平分线， ∴∠AOD=∠AOB=×40°=20°， ∵ ∠AOC：∠COB=2∶3， ∴设∠AOC=2y°，∠BOC=3y°， ∵ ∠BOC-∠AOC=∠AOB=40°， ∴y=40， ∴∠AOC=2y=80°， ∴∠COD=∠AOD+∠AOC=20°+80°=100°. 故答案为：4°或100°. 【分析】分类讨论：当OC在∠AOB的内部时，如图，OD为∠AOB的角平分线，由角平分线的定义可得∠AOD=∠AOB=×40°=20°，由题意设∠AOC=2x°，∠BOC=3x°，由∠AOC+∠COB=∠AOB建立方程求出x的值，从而得出∠AOC的度数，进而根据∠COD=∠AOD-∠AOC算出答案；当OC在∠AOB外部时，由题意设∠AOC=2y°，∠BOC=3y°，由∠AOC+∠COB=∠AOB建立方程求出y的值，从而得出∠AOC的度数，进而根据∠COD=∠AOD+∠AOC算出答案，综上即可得出答案. 15．【答案】12或30 【知识点】角的运算；角平分线的概念 【解析】【解答】解：∵∠AOC=120°， ∵OP所在直线恰好平分∠AOC， ∴∠AOP=180°- ∠AOC=120°（此时OP在 角平分线的反向延长线上），或∠AOP=180°+120°=300°（此时OP在 角平分线上）， ∴10t=120或10t=300， ∴t=12或30， 故答案为：12或30. 【分析】根据角的平分线定义，结合平角的定义分两种情况讨论，即OP在 角平分线的反向延长线上和OP在 角平分线上，分别求出∠AOP的大小，再列出方程求解即可. 16．【答案】 或 或 【知识点】角的运算 【解析】【解答】解：根据题意，可对射线 进行讨论分析： ① 未反弹时，如图： ∵ ， ∴ ， ∴ 此时 满足题意； ② 反弹后落在 之间，如图： ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 此时 ，不符合题意，舍去； ③ 反弹后落在 之间，如图： ∴ ， ， ∴ ， ∴ 此时 ，成立； ④ 反弹后落在 之间，如图： ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，成立； ∵ ， ∴ ， ∴射线 不可能反弹； 综上所述， 等于 或 或 . 故答案为： 或 或 . 【分析】利用旋转的性质及角度的变化规律，可对射线 进行讨论分析：① 未反弹时，② 反弹后落在 之间，③ 反弹后落在 之间，④ 反弹后落在 之间，利用角的和差分求出结论并检验即可. 17．【答案】（1）解：以为始边的角有：， 以为始边的角有：， 以为始边的角有：， 以为始边的角有：， ∴图中共有个小于平角的角， （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴ （3）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 【知识点】角的概念及表示；角的大小比较；角平分线的概念 【解析】【分析】（1）根据角的定义并按一定的顺序数出图形中角的个数即可； （2）根据角平分线的定义得∠AON=25°，进而根据∠AOM=∠MON-∠AON计算即可； （3）由角平分线定义得∠AON=，由∠AOM=∠MON-∠AON用含x的式子表示出∠AOM，根据角的和差，由∠BOM=∠AOB-∠AOM用含x的式子表示出∠BOM，再根据∠BOC=∠AOB+∠AOC表示出∠BOC，即可得出结论. 18．【答案】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴图中的所有2倍角有：，； （3）解：∵是的3倍角，是的4倍角， ∴设，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【知识点】角的运算；角的大小比较；一元一次方程的实际应用-几何问题 【解析】【分析】（1）根据角的运算可求解； （2）由题意并结合图形可求解； （3）由题意并结合图形可求解. 19．【答案】解：设∠A2OA1=x°， ∵∠A3OA2-∠A2OA1=4°， ∠A4OA3-∠A3OA2=4°， ∠A5OA4-∠A4OA3=4°， ∠A6OA5-∠A5OA4=4°， ∠A7OA6-∠A6OA5=4°， ∠A8OA7-∠A7OA6=4°， ∠A1OA8-∠A8OA7=4°， ∴∠A3OA2=4°+x°， ∠A4OA3=4°+4°+x°=4°×2+x°， ∠A5OA4=4°+4°×2+x°=4°×3+x°， ∠A6OA5=4°+4°×3+x°=4°×4+x°， ∠A7OA6=4°+4°×4+x°=4°×5+x°， ∠A8OA7=4°+4°×5+x°=4°×6+x°， ∠A1OA8=4°+4°×6+x°=4°×7+x°， 又∵∠A1OA2+∠A2OA3+∠A3OA4+∠A4OA5+∠A5OA6+∠A6OA7+∠A7OA8+∠A8OA1=360°， ∴x°+4°+x°+4°×2+x°+4°×3+x°+4°×4+x°+4°×5+x°+4°×6+x°+4°×7+x°=360°， 8x°+4°×（1+2+3+4+5+6+7）=360°， 8x°+4°×=360°， x°+14°=45°， ∴x°=31°. ∴∠A3OA2=4°+x°=4°+31°=35° 【知识点】角的运算 【解析】【分析】设∠A2OA1=x°，根据题意可以表示出∠A3OA2，∠A4OA3，∠A5OA4，∠A6OA5，∠A7OA6，∠A8OA7，∠A1OA8；又由于这些角的和是周角，从而列出方程，解之求出x值，从而可得∠A3OA2度数. 20．【答案】（1）解：∵∠AOB=120°，OC平分∠AOB， ∴∠AOC=∠COB=60°， ∵∠COD=10°， ∴∠AOD=60°+10°=70°， ∵OE平分∠AOD， ∴∠DOE=35°； （2）解：设∠COD=a， ∵∠COE=x°， ∴∠EOD=x°+a， ∵OE平分∠AOD， ∴∠AOD=2∠COD=2(x°+a) =2x°+2a， ∴∠AOC=2x°+a， ∵OC平分∠AOB， ∴∠BOC=∠AOC=2x°+a， ∴∠BOD=∠BOC-∠COD=2x° ； （3）解：由上题得∠BOD=2x° ∵∠COE与∠BOD互余， ∴x+2x=90° ，解得x=30 ． ∵∠AOB与∠COD互补， ∴4x+2a+a=180° 4×30°+3a=180° a= 20° ∴∠AOB=160° 【知识点】角的大小比较；角平分线的概念 【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得∠AOC=∠COB=60°，进而根据∠AOD=∠AOC+∠COD算出∠AOD的度数，最后再根据角平分线的定义即可求出∠DOE的度数； （2）设∠COD=a，则∠EOD=∠COE+∠COD=x°+a，由角平分线的定义得∠AOD=2∠COD=2(x°+a) =2x°+2a，∠AOC=2x°+a，再由角平分线的定义得∠BOC=∠AOC=2x°+a，最后根据∠BOD=∠BOC-∠COD代入即可得出答案； （3）根据和为90°的两个角互为余角建立方程可求出x，根据和为180°的两个角互为补角建立方程，求出a，从而即可求出∠AOB的度数. 21．【答案】（1）解：如图2，点在直线上， ． ， 140 ， 平分． 70 ，， 160 （2）解：乙同学的说法正确，理由如下， 当在外部时，如图所示， 点在直线上 ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，或． （3）解：的值为120°或144° 【知识点】角的大小比较；角平分线的概念 【解析】【解答】解：（3）如图3中，当在的上方时， 由题意，， 解得， 当在的下方时，则有， 解得． 综上所述，的值为120°或144°． 【分析】（1）根据平角的定义求出∠AOC的度数，根据∠AOC=2∠AOD算出∠COD的度数，进而根据∠DOE=∠COD+∠COE算出答案； （2）乙同学说法正确，理由如下： 当OD在∠AOC外部时，根据平角的定义求出∠AOC的度数，根据∠AOC=2∠AOD算出∠AOD的度数，再根据角的和差算出∠BOE的度数，最后根据∠DOE=∠AOB-∠AOD-∠BOE算出答案； （3）分当OD在AB的上方时与当OD在AB下方时两种情况，根据∠COD=∠BOE列出方程，求解即可得出答案. 22．【答案】（1）40° （2）解：如图3， ∵∠BOD=∠BOC+∠COD=10°+30°=40°，ON平分∠BOD， ∴∠BON= ∠BOD= ×40°=20°． ∵∠AOC=∠BOC+∠AOB=10°+50°=60°，OM平分∠AOC， ∴∠COM= ∠AOC= ×60°=30°． ∴∠BOM=∠COM﹣∠BOC=30°﹣10°=20°． ∴∠MON=∠MOB+∠BON=20°+20°=40° （3） 或180°﹣ 【知识点】角的运算；角平分线的概念 【解析】【解答】解：⑴如图2，∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线， ∴∠BOM= ∠AOB，∠BON= ∠BOD， ∴∠MON= （∠AOB+∠BOD）． 又∵∠AOB=50°，∠COD=30°， ∴∠MON= （∠AOB+∠BOD）= ×（50°+30°）=40°． 故答案是：40°； ⑶∵OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，∠AOB=α，∠COD=β， ∴∠MON= α+ β= （α+β）； 同理，当∠AOB是钝角时，∠MON=180°- （α+β）； 故答案是： 或180°﹣ ． 【分析】（1）当OB与OC两边重合时，∠AOD=∠AOB+∠DOB，由OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线得∠MOC=∠AOC，∠NOB=∠BOD，∠MON=∠MOC+∠NOB=∠AOC+∠BOD=∠AOD. （2）当∠COD继续逆时针旋转时，由OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线得∠MOB=∠AOC，∠NOC=∠BOD，由图可知∠AOC=∠AOB+∠BOC、∠BOD=∠COD+∠BOC，根据∠MON=∠MOC+∠NOB-∠BOC=∠AOC+∠BOD-∠BOC即可求得∠NOM的度数。 （3）此题为开放题，要分两种情况进行讨论，一种情况是：当∠COD的一边在∠AOB的内部时，∠MON的度数为∠AOB与∠COD度数和的一半；另一种情况是：当∠AOB为钝角且∠COD的两边都不在∠AOB内部时，∠MON的度数为180º减去∠AOB与∠COD度数和的一半。 23．【答案】（1）解：∵OC是∠AOB的一条三分线，且∠BOC＞∠AOC，∴∠AOC＝ ∠AOB＝ ×60°＝20° （2）解：①∵∠AOB＝90°，OC，OD是∠AOB的两条三分线， ∴∠BOC＝∠AOD＝ ∠AOB＝ ×90°＝30°， ∴∠COD＝∠AOB－∠BOC－∠AOD＝90°－30°－30°＝30°. ②分两种情况：当OA是∠C′OD′的三分线，且∠AOD′＞∠AOC′时，如图①， ∠AOC′＝ ∠C′OD′＝10°， ∴∠DOC′＝∠AOD－∠AOC′＝30°－10°＝20°， ∴∠DOD′＝∠DOC′＋∠C′OD′＝20°＋30°＝50°； 当OA是∠C′OD′的三分线，且∠AOD′＜∠AOC′时，如图②， ∠AOC′＝20°， ∴∠DOC′＝∠AOD－∠AOC′＝30°－20°＝10°， ∴∠DOD′＝∠DOC′＋∠C′OD′＝10°＋30°＝40°. 综上所述，n＝40或50. 【知识点】角的运算 【解析】【分析】（1）根据OC是∠AOB的一条三分线，计算出∠AOC的度数。 （2）根据OC、OD是∠AOB的两条三分线，求出∠COD的度数；当OA是∠C′OD′的三分线，考虑∠AOD′＜∠AOC′和∠AOD′＞∠AOC′的情况。 24．【答案】（1）135° （2）解：①45 ②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化， 设∠BAD=， ∵AD平分∠BAO， ∴∠BAO=， ∵∠AOB=90°， ∴∠ABN=180°-∠ABO=∠AOB+∠BAO=， ∵BC平分∠ABN， ∴∠ABC=， ∵∠ABC=180°-∠ABD=∠D+∠BAD， ∴∠D=∠ABC-∠BAD=； （3） 【知识点】角的运算；角平分线的概念 【解析】【解答】解：（1） ， ∴∠OAB+∠OBA=90°， ∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线， ∴∠BAE=，∠ABE=， ∴∠BAE+∠ABE==45°， ∴∠AEB=135°； 故答案为：135°； （2）①∵∠AOB=90°，∠BAO=， ∴∠ABO=， ∴∠ABN=， ∵BC是∠ABN的平分线， ∴∠OBD=∠CBN=， ∵AD平分∠BAO， ∴∠DAB=， ∴∠D=180°-∠ABD-∠BAD =， 故答案为：； （3）设 而 ∵∠BAO与的平分线交于点 而 故答案为： 【分析】（1）利用角平分线的定义及角的运算求解即可； （2）①利用角的运算求解即可； ②根据角平分线的定义可得∠ABC=，再结合∠ABC=180°-∠ABD=∠D+∠BAD，求出∠D=∠ABC-∠BAD=即可； （3）设 而 再利用角的运算和等量代换可得。 1 学科网（北京）股份有限公司 $