精品解析：安徽合肥市六校联考2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

2026年春季学期期末考试高一年级数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 已知，移项得：  ， 因此虚部为. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程求得，得到的坐标，结合向量模的坐标运算公式，即可求解. 【详解】由向量，因为，可得，解得， 所以，则，所以． 3. 如图，用斜二测画法作出四边形的直观图为四边形，若轴，轴，且，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由直观图的定义和性质得到四边形为边长为的正方形即可求解. 【详解】由题可得轴且，轴且， 所以四边形为边长为的正方形， 所以四边形的面积为． 4. 已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由，可得，故A正确； 对于B，垂直于同一条直线的两个平面平行，故B正确； 对于C，根据面面垂直的性质定理可知C正确； 对于D，若，则或与相交，故D错误． 5. 已知，与的夹角为，是与向量方向相同的单位向量，则在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，， 则， ， 则在向量上的投影向量为. 6. 已知某随机试验中，事件，，发生的概率分别是，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与是互斥事件，且是对立事件 B. 一定是必然事件 C. D. 的概率一定等于0.5 【答案】C 【解析】 【分析】结合概率运算公式和互斥事件、对立事件、必然事件的概念，求解即可. 【详解】选项A：若与是互斥事件，则，若是对立事件，则（样本空间）， 题干中未说明事件，，之间的关系，无法确定与是否互斥、对立，故A错误. 选项B：若事件，，互斥，则， 若事件，，存在包含关系，则概率会小于1，因此不一定是必然事件，故B错误. 选项C：. 又，所以． 该结果满足，故C正确. 选项D：. 只有当事件，互斥时，，此时， 因此的概率不一定等于0.5，故D错误. 7. 记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】应用正弦定理得出，再应用余弦定理计算得出两角和余弦值即可得出角的范围判断形状. 【详解】因为，由正弦定理得，又，故， 由余弦定理得，故， 得，所以， 得， 所以，或，，所以为钝角三角形. 8. 在中，，若对任意，恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，根据向量坐标的数量积运算，及恒成立条件得到，进而根据二次函数的性质即可求出的最小值． 【详解】以为原点，以所在的直线为轴，建立如下图所示的平面直角坐标系， 设，，，， 则，，，， 则，对任意恒成立， 又对任意恒成立，则， 则， 所以的最小值为． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数的运算以及复数的几何意义求解即可. 【详解】已知复数，，则. ，， 在复平面内对应的点. 10. 若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（ ） A. 数据的平均数为13 B. 数据的方差为12 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得，，利用平均数的性质可得A；利用方差的性质计算可得B：由即可得C；结合方差与平均数计算即可得D. 【详解】依题意，，， 对A：，故A正确: 对B：依题意，， 所以数据的方差为： ，故B错误； 对C：，故C正确; 对D：由 ，解得，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（    ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线与直线所成角的余弦值为 C. 的最小值为 D. 点在正方体表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据体积桥可确定A正确；作出异面直线所成角，结合余弦定理可求得B正确；将与沿直线展开到同一平面内，根据可求得C错误；过作出平面的平行平面截正方体所得的截面，根据线面垂直关系可确定点轨迹即为正六边形，知D正确. 【详解】对于A，连接， 四边形为正方形，， 平面，平面，， 平面，，平面， 点到平面的距离， 又， ，即三棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，延长至点，使得，连接， ，，又， 四边形为平行四边形，， 异面直线与所成角即为（或其补角）， ，，， ， 直线与直线所成角的余弦值为，B正确； 对于C，将与沿直线展开到同一平面内，如下图所示， （当且仅当为线段与交点时取等号），； ，，； ，为等边三角形，， ， ， 的最小值为，C错误； 对于D，，，，平面， 平面，又平面，； 同理可证得：， ，平面，平面； 取中点，连接， ，平面，平面，平面， ，平面，平面，平面， ，平面，平面平面， 作出平面截正方体所得的截面，其中分别为的中点，则截面平面； 平面，平面， 则当平面时，， 点的轨迹即为正六边形，点的轨迹长度为，D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 样本数据7，8，10，11，23，24，30，35的第40百分位数为_______. 【答案】 11 【解析】 【详解】因为，所以第40百分位数为第4个数据11. 13. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为的正方形，且，已知四棱锥的表面积是，则它的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断四棱锥是正四棱锥，由表面积求出斜高，由勾股定理求得棱锥的高，再利用棱锥的体积公式可得结果. 【详解】 四边形是边长为的正方形，且， 是正四棱锥， 设中点为，与交与，则平面， 连接，则是四棱锥的高， 因为四棱锥的表面积是， ， 即，， ，故答案为. 【点睛】本题主要考查正棱锥的性质与应用，考查了锥体的表面积与体积，属于中档题. 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体锥体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解. 14. 在中，在边所在直线上，且满足，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦，余弦定理及二倍角公式化简整理，最后解直角三角形即可． 【详解】 如图，由余弦定理得， 所以，因为，所以， 在中，由正弦定理得，得，则，， 在中，由余弦定理得， ​因此得，所以，， 所以， 在中，， 所以． 四、解答题（本大题有5个小题，共77分） 15. 已知平面向量与的夹角为，且． （1）求的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意，由平面向量模长公式以及数量积运算，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由平面向量垂直，代入计算，即可得到结果； 【小问1详解】 ． ． 【小问2详解】 ， ，， 解得． 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． （1）求证：平面． （2）求证：平面． （3）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理及线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明即可. （3）根据线线平行及线面角的定义，在三角形中求解即可. 【小问1详解】 证明：因为底面是正方形，，为对角线，所以为中点， 又点是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 证明：因为平面，，平面， 所以，，且为直角三角形. 因为底面是正方形，所以. 又，平面，，所以平面， 因为平面，所以. 在中，，点是的中点，所以. 又，平面，，所以平面. 【小问3详解】 正方形中，， 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 又平面，所以即为直线与平面所成角，也即直线与平面所成角. 在中，，点是的中点，所以，， 所以. 故直线与平面所成角为. 17. 为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值； （2）估计这种植物果实重量的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率． 【答案】（1） （2） 平均数为 ，中位数为 （3） 【解析】 【分析】（1）由频率之和为1即可求出； （2）由频率分布直方图结合平均数和中位数求法即可求出； （3）列出任取2个的所有基本事件，即可求出概率. 【小问1详解】 由图知，组距，由，得． 【小问2详解】 各组中点值和相应的频率依次为： 中点值 30 35 40 45 50 频率 0.1 0.2 0.375 0.25 0.075 所以， 果实重量在的频率为， 果实重量在的频率为， 果实重量在的频率为， 所以中位数满足关系， 由，解得． 【小问3详解】 由已知，果实重量在和内的分别有4个和3个， 分别记为和， 从中任取2个的取法有： ， ， ，共21种取法， 其中都是优质果实的取法有，共3种取法， 所以抽到的都是优质果实的概率． 18. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长； （3）若，，为的平分线，求的长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，将条件转化为，再对该式变形，得出，即可求出角； （2）根据三角形的面积公式求出，再根据余弦定理，求出即可； （3）根据，利用面积公式即可求出的长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，可得， 整理得， 所以，即， 又因为，可得，所以， 因为，可得，所以，即， 又因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知：且的面积为， 可得，可得， 因为，由余弦定理知， 可得，可得， 解得， 所以的周长为. 【小问3详解】 因为为的平分线且，可得， 由， 可得， 又因为，可得， 整理得，所以. 19. 如图，在四棱锥中，，，，，，设，其中. （1）求证：平面平面； （2）若，求二面角的余弦的取值范围； （3）当时，求三棱锥的外接球体积的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直去证明面面垂直即可； （2）找到二面角的平面角，由余弦定理可求解； （3）由于是不规则四面体的外接球，转化为过三角形外接圆圆心作该面的垂线必过球心，来研究外接球半径即可. 【小问1详解】 （1）因为，所以，则 且平面平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 由，知二面角的平面角即为. 在中，,，则由余弦定理得 ， 在中，由且，结合，可得， 故， 所以，所以， 所以的范围是， 即二面角的余弦的取值范围是. 【小问3详解】 设和的外接圆圆心分别为和， 则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点， 在中，因为，由余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径. 在中，由余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径. 过点作于，连接，设，显然四边形为矩形， 所以.所以， 即， 所以， 故当时，取得最小值，即， 此时三棱锥外接球的体积最小值为，此时 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期期末考试高一年级数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，用斜二测画法作出四边形的直观图为四边形，若轴，轴，且，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知，与的夹角为，是与向量方向相同的单位向量，则在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知某随机试验中，事件，，发生的概率分别是，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与是互斥事件，且是对立事件 B. 一定是必然事件 C. D. 的概率一定等于0.5 7. 记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或直角三角形 8. 在中，，若对任意，恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限 10. 若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（ ） A. 数据的平均数为13 B. 数据的方差为12 C. D. 11. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（    ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线与直线所成角的余弦值为 C. 的最小值为 D. 点在正方体表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 样本数据7，8，10，11，23，24，30，35的第40百分位数为_______. 13. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为的正方形，且，已知四棱锥的表面积是，则它的体积为________． 14. 在中，在边所在直线上，且满足，，则______. 四、解答题（本大题有5个小题，共77分） 15. 已知平面向量与的夹角为，且． （1）求的值； （2）若，求实数的值． 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． （1）求证：平面． （2）求证：平面． （3）求直线与平面所成角的大小． 17. 为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值； （2）估计这种植物果实重量的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率． 18. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长； （3）若，，为的平分线，求的长. 19. 如图，在四棱锥中，，，，，，设，其中. （1）求证：平面平面； （2）若，求二面角的余弦的取值范围； （3）当时，求三棱锥的外接球体积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $