北京市海淀区2025-2026学年高二下学期期末考试数学样题

高二年级样题 数学 2026.07 本样题共6页，共两部分，19道题，满分100分。考试时长90分钟。试题答案一律填涂或 书写在答题卡上，在样题上作答无效。考试结束后，请将答题卡交回。 第一部分（选择题共40分) 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项。 (1)已知{an}是等差数列，a1=1,a+4=a5,则a4= (A)13 (B)9 (C)7 (D)-5 (2)已知函数f(x)=XCOSx,其导函数为f(x),则f(5)= (A)-受 (B)-1 (c)0 (D) (3)从-2，-1,0,1,2,3中任取两个不同的数，组成有序数对(x,y).在平面直角坐标系 中，以（x,y)为坐标的点位于第一象限的个数为 (A)15 (B)10 (C)6 (D)3 (4)已知{a}是等比数列，其前n项和为Sn,若a4=8a1,S,=a6-1,则a2= (A)号 (B)1 (C)2 (D)4 高二年级样题（数学）第1页（共6页) (5)已知函数f(x)的定义域为区间(a,b),其导函数f'(x)的图象如图所示，f'(x)的3个零点 分别是x1,x2,x.下列结论中正确的是 (A)f(x)在区间(a,x,)上单调递增 (B)f(x)在x=x,处取得极大值 (C)f(x)有3个极值点 (D)f(x2)<f(x) (6)目前某城市无人机配送已实现常态化运营.随机抽取2000份无人机配送的订单，其中药品订 单有500份，在这批药品订单中有150份是在10分钟内送达的应急订单.用频率估计概率. 在一份订单是药品订单的条件下，它是在10分钟内送达的应急订单的概率是 (a)0 (B)40 (c)4 (D)品 (7)已知函数f(x)存在单调递减区间，则其导函数f'(x)可能为 (A)f'(x)=(x-1)2 (B)f'(x)=2 (C)f'(x)=e-3x (D)f(x)=xIn(1+x) x+2, x≤0， (8)已知函数f(x)= 恰有一个极值点，则a的取值范围是 a2-3x+2,x>0 (A)(-0,0)》 (B)(-o,0] (C)(0,+o) (D)[0,+o) (9)设{an}是各项均不为0的无穷等差数列，公差为d.记Tn=aa2…an（n=1,2,…),则 “d≥0”是“Tn有最小值”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (10)已知函数f(x)=e-,g(x)=x2+ax-a(a∈R).下列结论中正确的是 (A)3a∈R,使得对任意实数x,f(x)-g(x)>0恒成立 (B)3a∈R,使得方程f(x)-g(x)=0恰有3个不同的实数根 (C)Va∈R,函数h(x)=f(x)g(x)存在最小值 (D)a∈R,函数h(x)=f(x)g(x)在(-o,-号)上单调递减 高二年级样题（数学)第2页（共6页) 第二部分（非选择题共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。 (11)在(1-x)6的展开式中，x2的系数是 .（用数字作答) (12)某学校科技活动室有2台跑步机器人，2台扫地机器人，工作人员随机选取2台机器人做 功能测试，设所选取的2台机器人中扫地机器人的台数为X,则随机变量X的数学期望的值 为 (13)已知无穷等比数列{an}的前n项和为Sn,且{a}是递减数列，{Sn}是递增数列.写出满足 条件的一个数列{an}的通项公式an=一· (14)已知函数f(x)=sinx+ax(a∈R).当a=1时，f(x)的单调递增区间为 ；若 f(x)至少有2个零点，则a的取值范围是 （15)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,a2=m,aSn=an+Sn-1（n=2,3,…),给出 下列四个结论： ①当m=-4时，{Sn}为递减数列； ②存在实数m,{Sn}不是等比数列； ③当-3<m<-2时，S2h+2>S2k(k=1,2,…)； ④当m>0时，M>0,3n。∈N°，当n>n。时，都有an>M. 其中正确结论的序号是 高二年级样题（数学)第3页（共6页) 三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题9分) 已知函数f(x)=x3-3x+1. (I)求f(x)的单调区间； (Ⅱ)求f(x)在区间[-1,4]上的最值. (17)(本小题10分)》 某学校组织生物小组开展航天育种实践活动，选取辣椒、番茄、大豆三类作物作为研究对 象，为此购买了一批种子.生物小组为了研究这批种子的发芽情况，从每类作物的种子中各选取 100粒太空种子和100粒普通种子进行对比试验，统计结果如下： 发芽的太空种子数 发芽的普通种子数 辣椒 90 83 番茄 88 82 大豆 91 85 假设每粒种子是否发芽相互独立用频率估计概率. (I)估计这批太空辣椒种子发芽的概率； (Ⅱ)某同学从这批太空辣椒种子中，再随机选取3粒种子进行发芽实验，记发芽的种子数为x, 求X的分布列和数学期望； (Ⅲ)某同学设计了每类作物种子的混合方案如下： 方案①：将太空辣椒种子与普通辣椒种子按1：2的比例混合； 方案②：将太空番茄种子与普通番茄种子按1：3的比例混合； 方案③：将太空大豆种子与普通大豆种子按2：3的比例混合， 上述方案中满足混合后种子发芽的概率估计值不低于85%的是 .(直接写出序号) 高二年级样题（数学)第4页（共6页) (18)(本小题11分) 已知函数f(x)=血(1+x) 1+x (I)求曲线y=f(x)在（0，f(0)》处的切线方程； (Ⅱ)设实数k使得(x)≤x对x∈[0，+o)恒成立，求k的最小值； (Ⅲ)求证：对任意的x∈[0，+o),都有f(f(x)≤f(x) (19)(本小题满分10分) 已知集合M≤N,且M中的元素个数n大于等于5.若集合M中存在四个不同的元 素a,b,c,d,使得a+b=c+d,则称集合M是“关联的”，并称集合{a,b,c,d}是 集合M的“关联子集”；若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独立的”. (I)分别判断集合{2,4,6,8,10}与1,2,3,5,8}是“关联的”还是“独立的”？若是“关联 的”，写出其所有的“关联子集”； (Ⅱ)已知集合M={a1,a2,43,a4,5}是“关联的”，且任取集合{a,a}sM,总存在M的 “关联子集”A,使得{4,4}二A.若4<a2<4<a4<a,,求证：4，a2,43,44,4s 是等差数列； (）若集合M是“独立的，求证：存在x∈M,使得x>-n+9 4 海淀区2026年高二年级学业水平调研 数学参考答案 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） (1)C (2)A (3)C (4)C (5)D (6)D (7)C (8)B (9)B (10)B 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） (11)15 (12)1 13)( (答案不唯一) (14)(0,+∞)，(-1,1) (15)②④ 三、解答题（共4小题，共40分） (16)(共9分) 解：（I)由题意可得f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1), 解方程f'(x)=0,可得x=-1或x=1, 当x变化时，在各区间上的正负情况，以及f(x)的单调性如下表所示. (-0,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+0) f'(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 1 所以函数f(x)单调递增区间为(-o,-1]和[1，+∞)，单调递减区间为[-1,1]. …6分 (Ⅱ)由(I)知，f(x)在[-1，]上单调递减，f(x)在l,4]上单调递增且f(x)在x=1 处取得极小值f)--1. 又因为f(-1)=3,f(4)=53, 所以当x=1时，f(x)取得最小值-1；当x=4时，fx)取得最大值53. …9分 高二数学参考答案第1页（共6页) (17)(共10分) 解：(I)根据题中数据，试验一共选取了100粒太空辣椒种子，其中发芽的种子数为90 90 粒，因此估计这批太空辣椒种子发芽的概率为 =0.9. 100 …2分 (Ⅱ)由(I)可得，这批太空辣椒种子发芽的概率为0.9，随机选取3粒新种子进 行发芽实验，发芽的种子数X的取值范围是{0,1,2,3}. P(X=0)=C×(0.9)°×(0.1)3=0.001， P(X=1)=C×(0.9)×(0.1)2=0.027, P(X=2)=C×(0.9)2×(0.1)=0.243, P(X=3)=C×(0.9)3×(0.1)°=0.729， 因此X的分布列如下表所示. X 0 1 P 0.001 0.027 0.243 0.729 所以E(X)=0×0.001+1×0.027+2×0.243+3×0.729=2.7. 或X~B(3,0.9),E(X)=3×0.9=2.7. …8分 (I)①③. …10分 (18)(共11分) 解：（1)函数定义域为（←l,+o,)=1-1+ 1+x)2 f0)=0,f0=1-l-, 12 切线方程为y=x. …4分 (Ⅱ)方法一： 对任意的x∈[0，+o),都有f(x)≤，也就是对任意的x∈[0，+o), 高二数学参考答案第2页（共6页) 都有 n1+田≤，即对任意的x∈[0，+o),都有h(1+x)≤1+w. 1+x ①当k≤0时，因为对任意的x∈(0，+o),n(1+x)>0,x(1+x)≤0. 即n(1+x)>ax(1+x),不满足题意。 设g(x)=n(1+x)-x(1+x)=n(1+x)-r2-x, 则g'm=2r2-3c-k+1 1+x ②当0<k<1时， 设h(x)=-2x2-3-k+1. 令h(x)=0,判别式△=k2+8k>0, 故=0有两个实数，设为，名，则5=处0。 故不妨设x1<0<x2. 故对任意的x∈(0，x2),都有h(x)>0,所以g'(x)>0, 则g(x)在区间(0,2)上是增函数，所以g(x2)>g(0)=0. 故0<k<1时不满足题意. ③当k≥1时， 对任意的x∈[0，+0)，有-2x2≤0，-3r≤0，-k+1≤0， 所以-22-3-k+1≤0，故g'(x)≤0，则g(x)在[0，+o)上单调递减 因此对任意的x∈[0，+∞)，g(x)≤g(O)=0,故满足题意. 综上，k的最小值为1. …9分 高二数学参考答案第3页（共6页) (Ⅱ)方法二： ①当k≤0时，对任意的xe(0,+o),n(1)>0,1+x>0,则n1+w0 1+x 且≤0，则f(x)>,不满足题意. 令gW)=n1+0-在，则gm=1-n1+0-1+x 1+x 1+x)2 ②当k≥1时，对任意的x∈[0，+o),有-k1+x)2≤-1，-n(1+x)≤0， 则1-n1+x)-k1+x)2≤0. 所以g(x)≤0，当且仅当x=0时，g(x)=0. 所以g(x)在[0，+o)单调递减，g(x)≤g(O)=0, 即当x∈[0，+o)时，g(x)≤0恒成立， 所以当x∈[0，+o)时，f(x)≤恒成立. ③当0<k<1时，设)=1-1+x)-k+xP,则万(x)=2k+- 1+x 对任意的x∈[0，+o),有h'(x)<0,所以h(x)单调递减： 因为h(0)=1-k>0,h(e)=1-n1+e)-k1+e)2<0, 故存在唯一xo∈(0，e),使h(xo)=0. g'(x)与g(x)变化情况如下表： (0,x) Xo (x,+∞) g'(x) 0 g(x) 极大值 → 因为g(0)=0,所以g(x)>g(0)=0, 也就是f(x)>c,故不满足题意. 综上，k的最小值为1. …9分 高二数学参考答案第4页（共6页） (I)设t=f(x). 因为x≥0，所以t=f(x)≥0. 由(IⅡ)得ft)≤t. 因此对任意x≥0，都有f(f(x)=ft)≤t=f(x). …11分 (19)(共10分) 解：(1)b的所有可能值为1,5. …2分 (Ⅱ)因为{an}为{b}的伴随数列，所以对任意整数n≥3， n=an=1b1+b2n=an =lb-1-bn-21. 又因为{bn}各项均为非负实数，所以bn-1+bn-2=bn-1+bm-2≥b1-bn-2, bn-1+bn-2≥n. 从而b+b2+…+bo =(6+b2)+(亿+b4)+(亿+b5)+(b,+b)+(b,+b0)≥3+5+7+9+11=35. 令。=2”+3，则b1+b,上n=a,a,}为，}的件随数列，且 4 b+b2+…+b0=35.因此b+b2+…+bo的最小值为35. …6分 (I)对任何整数a,b,可知a+b|与a+b的奇偶性相同，a-b1与a-b的奇偶 性相同，又因为a+b=(a-b)+2b,即a+b与a-b的奇偶性相同， 因此a+b与a-b的奇偶性相同. 由题意，{an}和{b}的各项的奇偶性由4，b,42,b2决定，如下表： n 1 2 3 4 5 6 8 an 奇 偶 偶 偶 奇 偶 奇 偶 br 奇 奇 奇 偶 偶 奇 奇 奇 根据上表可知，当且仅当n=3t+1(t∈N)时， a,b,奇偶性相同. 对任意正整数m,设3k+1≤m≤3k+3(k∈N), 高二数学参考答案第5页（共6页) 当an=bn且n≤m时，an与bn奇偶性相同，所以n=3t+1(t∈N). 又因为3k+1≤m≤3k+3(k∈N), 所以{nan=bn,n≤m}s{1,4,7,…,3k+1}, 因此集合{nan=bn,n≤m}的元素个数小于等于k+1. 另一方面，构造数列{a}和bn}如下： 4=1,a2=2,a3=4,a=6,a5=3,a6=4,an6=a,(neN). b=1,b2=3,b3=3,b4=6,b=2,b6=3,bnt6=bn(n∈N). 可以验证{bn}为{an}的伴随数列，{an}为b}的伴随数列， 且对任意的自然数1，都有43+1=b+1, 因为3k+1≤m≤3k+3(k∈N), 所以{nan=bn,n≤m}={1,4,7,…,3k+1}, 此时集合{nan=bn,n≤m}的元素个数等于k+1. 综上，cm=k+1,这里k满足3k+1≤m≤3k+3(k∈). …10分 高二数学参考答案第6页（共6页)