湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

**基本信息** 本试卷聚焦高中数学核心素养，通过真实情境问题考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力，适合期末综合评估学生知识应用与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|6/70|函数与导数、立体几何、概率统计|结合科技前沿情境，如数据分析案例，考查数学建模与逻辑推理能力，体现问题设计层次性|

雅礼中学2026年上学期期末考试试卷 高二数学 ·、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1.复数：=主为虚数单位)的实部匙 i+1 A.-1 B.1 C.-i D.i 2.设全集U={12,3,4,5},集合M满足CM={1,3},则()》 A.2∈M B.3∈M C.4 M D.54 M 3.命题“Vx∈R,e-12”的否定是() A.3x∈R,e-l2x B.Vx∈R,e-ls C.3x∈R,ex-1≤x D.Vx∈R,ex-1≤ 4.设向量a=(1,0), 则下列结论中正确的是( A.a=b B.ab= C.a一b与b垂直 D.a∥b 2 5.(x2-)的展开式中4的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.80 6.圆x2+y2-2x+4y=0与直线2-y-2-2t=0t∈R)的位置关系为() A.相离B.相切 C.相交 D.以上都有可能 7.设函数f(x)的定义域为R,(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[12]时， f0=m+6.若0+=-6，则f得) =() A.号 B月 C. 1 D 8.雅礼中学数学组、信息组、物理组的竞赛生人数比为4：2：3，在今年湖南省 某竞赛考试中，数学组、信息组、物理组分别有75%、50%、75%的学生进入 决赛在这三个竞赛组中随机抽取一名，已知该生进入了决赛，则该生为数学组 的学生的概率为( 2 B. 5 D33 36 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题日要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知变量x,y之间的经验回归方程为y=-0.7x+10.3,且变量x,y之间的一 组相关数据如下表所示，则下列说法正确的是( 10 12 A变量x,y之间成负相关关系 B.m=4 C.可以预测，当x=11时，y约为2.6 D.由表格数据知，该经验回归直线必过点(9,4) 10.写出一个具体函数，使得在[0,1]中任给一个数x,可以在(-1,1)中找到唯一确 定的值y与x对应，这个函数可以是() 2x-1,0<x<1 cos(πx),0<x<1 A.y=0 B.y= 0,x=0或1 C.y=2x-1,0≤x≤1D.y= 2x=0或1 11.下列说法正确的是() A.xeR,-x2+9x+a+3<0,则实数a的取值范围为(-0，- B.reR,-+9x+a+3<-2x2+5x+3.则实数a的取值范围为(-， C.3a∈R.x∈R,-2x2-(4-b)x+3<-x2+bx+a+3<10.则实数b的取值范围为 (←2W5,2W5 D.3r∈(-0,0)，使得不等式0<-x2+9x+a+3<-2x2+5x+3成立，则实数a的取 值范围为(3子 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若1og2a+log2b=3,则a+b的最小值为 13.若曲线y=x山x上点P的切线平行于直线2x一y+1=0,则点P的横坐标 是 14.若实数x,八，z满足2+1og2x=3+1ogy=t+1og5:,若x,y,z的大小关系为以下几种 情况（不考虑相等情况）：x>y>,x>z>z>x>y,2>y>x,则整数t的最大 值为 (数据：=04313=0.683.a5-ln3-1260) 1n5 In5 In3-In2 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 长沙市为了了解高中学生的近视眼情况，在雅礼中学高二某班做数据调查，己知 该班有50名学生，近视的学生人数为30人 (1)从该班随机抽取2人，抽到近视眼的人数为X,求X=1的概率： (2)用该班的近视眼率估计高二年级整体近视眼率，从高二学生中随机抽取2 人，抽到近视眼的人数为Y,求Y的分布列与均值 16.(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=A41=2,∠BAC=90°，E,F依 次为C1C,BC的中点 (1)求证：A,B⊥BC; (2)求A1B与平面AEF所成角的正弦值！ B 17.(本小题满分15分) 向量an=(xnyn),a=(1,1),其中数列{x}、{yn}均为正项等比数列. 定义a=y,向量a满足a=2W5aneN, (1)若数列{x}、{y}的公比相等，求向量a,. (2)若=2”. X+1 (i)求数列{x}的通项公式： 的前n项和Sn 18.(本小题满分17分) 己知抛物线C:y2=2pxp>0) (1)写出抛物线C的焦点坐标和准线方程： (2)动直线AB与抛物线C交于A、B两点，OA·OB=-p2,OT⊥AB交直线AB 于点T,动点T的轨迹过点(2,1) ()求证直线AB过定点，并求P的值： (ii)M、N为抛物线C上异于A、B的不同两点，MN⊥AB,直线MA与直线NB 的交点Q的坐标为(-p,a),a为参数.求四边形AMBN面积的最小值. 19.(本小题满分17分) 己知函数f(x)=血x-a(x-1)在x=1处取得最大值. (1)求a的值 （2)如果n≠2且x1)=2),证明：x12<1. 高二数学（答案） 1.【答案】B【解】 因为z= 2 21-i 21-i=1-i i+1i+11-i 所以复数z的虚部为一1. 2.【答案】A【解析】 由题意知M={2,4,5},故选A, 3.【答案】C 【解析】由题意得命题Vx∈R,e一12x”的否定是“妇x∈R,e-1”. 4【答案】C【解析】a=1,b=号，故A错；ab号故B错： .10 a-创b=兮9》}0，故c正确：号 故D错.故选C 22 5【答案】c【解折】由题意可得1=Cy(引=(-1心 令10一3k=4,则k=2,所以所求系数为（一1）2C322=40 6.【答案】C【解析】直线2-y-2-21=0恒过点(1，-2)， 12+(-2)2-2×1+4×(-2)=-5<0,∴.点(1，-2)在圆x2+y2-2x+4y=0内， 直线2一y-2-21=0与圆x2+2-2x+4y=0相交，故选C. 7.【答案】D【解析】[方法一】：因为f(x+1)是奇函数，所以f(-x+1)=-f(x+1)①： 因为f(x+2)是偶函数，所以f(x+2)=f(-x+2)②. 令x=1,由①得：f(0)=-f2)=-(4a+b),由②得：f(3)=f)=a+b, 因为f(0)+f(3)=6,所以-(4a+b)+a+b=6→a=-2, 令x=0,由①得：f(1)=-f)=f(1)=0→b=2,所以f(x)=-2x2+2. 思路从定义入手.)-22-》 =+*=-+-) 所以)=) [方法二]：因为f(x+1)是奇函数，所以f-x+1)=-f(x+1)①： 因为f(x+2)是偶函数，所以f(x+2)=f(-x+2)② 令x=1,由①得：f(0)=-f(2)=-(4a+b),由②得：f(3)=f(1)=a+b, 因为f(0)+f(3)=6,所以-(4a+b)+a+b=6=a=-2, 令x=0,由①得：f(1)=-f1)→f(1)=0→b=2,所以f(x)=-2x2+2. 思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数f(x)的周期T=4. 所以)付=-)故选：D. 8.【答案】B【解析】设抽取的一名学生来自数学组、信息组、物理组为事件 AA、A,该学生进入决赛为事件B,则 P(B)=P(4).P(B A)+P(4)P(B 4)+P(4).P(B4) =4075+20.5+30.75=2 9 9 36 0.75 则P4|B=PL4B_P4)PB4_9 12 P(B) P(B) 5 25 36 法二：设数学组、信息组、物理组的竞赛生人数为16、8、12，则数学组、信息 组、物理组分别有12、4、9人进入决赛，则已知该生进入了决赛，则该生为数 学组的学生的概率为 1212 12+4+925 9.【答案】ACD【解析】y=一0.7x十10.3得b=一0.7<0，所以x,y成负相 关关系，故A正确；当x=11时，y的预测值为2.6，故C正确： x=6+8+10+12=9,故y=-0.7×9+10.3=4.故经验回归直线过(9,4)，故D 正确；因为少=4，所以5+m十3+2=4，m=5,故B错误。 10.【答案】ABD 11.【答案】ACD【解析】A对、B错显然； C选项：原式子可化为3aeR,eR,-x2-4x<a<x2-bx+7, 则(-x2-4)mm<(x2-bx+7)，所以实数b的取值范围(-25,2W),所以C对. D选项：不等式可变形为x2-9x-3<a<-x2-4x,则x2-9x-3<-x2-4x, 解得- <x<3,因x<0,则-<x<0,此时(02-9x-3)<a<(←x2-4) 1 所以a的取值范围为(-3，)，所以D对. 12.【答案】45 13.【答案】e【解析】y=1+nx,令y=2,即1+如x=2, ∴x=e,.点P的横坐标为e. 14.【答案】3【解析】设2+1og2x=3+1ogy=t+1og5:=m,所以，x=2m2y=3m-3,:=5= 由2-3解得m=3n3-21n2,由3时-5解得m=t血5-3n3 n3-h2 In5-In3 结合指数函数图象，为了满足x,y,z的大小关系可能为 x>>3,x>2>火2>r>2>y>x这种情况，则血5-3血3<3血3-2h2 In5-In3 In3-In2 解得 t<3h3m5-2m2n5-lh2ln3=3+h2h5-lh2h3-3+ In2 In 5-In3 ≈3.543 In3In5-In2In5 In5In3-In5In2 In5 In3-In2 所以整数t的最大值为3. 15.()解：(1)px=D=C。·C-38 245 所以X=1的概率为38 55分 (2)由题意知，Y-B2,3 7分 PY=k)=c(f,k=0,12 9分 所以Y的分布列为 0 1 2 1 0 25 25 25 11分 均值为E00=2·亏3 36 13分 16.(*)解：(1)证明：因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以AA⊥面ABC, 又ACc面ABC,所以AC⊥AA, …1分 又AC⊥AB,AB∩AA=A,AB、AAC面ABA,所以AC⊥面ABA,又 ABC面ABA,则A,B上AC,3分 又4，B⊥AB,AC∩AB=AAC、ABc面ACB,所以AB⊥面ACB,又 BCC面ACB,则4B⊥BC5分 (2)解以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，…6分 则40,0,0)，A1(0.0,2),B(2,0,0),E(0,2,1),F(1,1,0),所以4B=(2,0,-2),正= (0,2.1)2=(1,1,0).8分 设平面AEF的一个法向量为n=(a,b,c), 正=0， 2b+c=0, 由 得 应=0， 4+b=0, 令a=1可得n=(1,-1,2).10分 设A1B与面AEF所成角为8，所以sim0=cos(n,A1B)= n:4B_3 n4B 6…14分 即4B与平面4EF所成角的正弦值为 15分 17.解：(1)设{x}、{yn}的公比分别为、92，则x=-yn=q，1分 由a=少.和a=2aneN得 xy1=8xnyn,则gq2=8g1·951，所以92=8,3分 若g=g2,则g,=22,所以X=y,=(2万-…5分 所以a=(22,2万)…6分 注：也可以直接由回=22，求石。 (2)(i)由1=2”得鱼=2,8分 Xn+1 g 又g92=8，所以g1=2,92=4,则xn=2”-…11分 (i)y,=4-1,则 流0可站 2-1 …13分 2”-1 所以数列 2”-1 (cn1-10n+2-1) 的前n项和，=2一号l5分 18.解：(1)抛物线C的焦点坐标为（号，0），准线方程为x=-号 5分 (2)(i)设直线AB的方程为x=y+1,A(:y),B(飞，)， 由 w+t得y2-2pm-2pr=0,则△>0，X%=-2pt，7分 ly'=2px 所以OA.OB=x5+y= 好 +%2=t-2pt=-p2解得t=p. 4D2 所以直线AB的方程为x=y+p,直线AB过定点S(,0)9分 因为OT⊥AB交AB于T点，动点T的轨迹过点(21)， 5 所以7而西=(-2.-(p-2.-0=-2p+5=0,解得p=号1分 (i)法1：设M(x),N(x44) 则直线MA的方程为5x-(y+)y+3=0, 直线NB的方程为5x-02+y4)y+2y4=0,12分 因为直线与直线8的交点Q(,由（①知道=-2空， 将Q坐标代入直线4的方程得-空-G+%+y=0得%0-a)=a 25 25 同理y02-a)=2+ 13分 将上面两式子相乘可得心+g)+]=+20+)+(学 因y2=一 ,则 25 %--a0+%)+1-g+22++登=--5-0+)+] 所以yy4= 25 .14分 设直线0的方程为x=之+， (x=-y+ 1 得y2+y-5=0, y2=5x 则%=-5=空，解得r所以直线0过定点S。 4B到=i+ml以-为=1+V01+½)2-4%=1+n√25m+50 同理y=+25+0 15分 所以-48=空2++9r+是+14≥2+2i4=7 等号成立当且仅当n2=1.所以四边形ABN面积的最小值为7517分 (i)法2：设M(x),N(x4y4),则直线MA的方程为5x-(y+)y+y3=0, 直线NB的方程为5x-y2+y4)y+y2y4=0, 因为直线4与直线的交点Q(。,由《①知道=-为。 2 入的方程5+y加+=y 得a0+y)=02+), 则a+为02+y4)=0y2+02+y)=+y为+y2+ 将Q坐标代入直线B的方程得 25 2 -0+y)a+y=y2-03+4)a+=0得a,+y)=20+y), 则a02+yX0+)=0+y)0+)=+y2y4+2y+yy411分 所以2+y+y4+yy4=片+y+h+yy4 )=y-),因出业2，则y 设直线M0N的方程为x=-y+r,由 =-y+”得y2+3-5r=0, 5 n n y2=5x 则y=-5=- ，解得7-所以直线过定点S。 25 4B到=1+m2片-l=1+mVG+)》2-4,=V1+mV25m+50 2 等号成立当且仅当n2=1.所以四边形AMBN面积的最小值为75. 19.解：(1)因为x=1为函数f(x)的最大值点， 即x=1为函数f)的极大值点2分 求号得/0-士a,f0=1-a=0,解得a=13分 当a=1时，f)=1-1>0→0<x<1f()=1-1<0→x>1 X 1” 所以函数f(x)在(0,1)单调递增，在(1，+)单调递减，所以f(x)≤f①=0. 即a=1符合题意5分 (2)法一：不妨设0<x<1<2,要证x<1,只要证x< +内：函数G在在+切)单调递减，只要 只要证f)>f白）8分 令gx)=f(x)-f白).(0<x<1), 则8-+f916-0是-0 所以g(x)在(0,1)单调递减，即g(x)>g①)=0， 所以f)>f白)成立，即<1成立l1分 法二：由题意知nx-x+1=n5-名+1，则血5-血五=1， 53-X 不妨设：<x,要证，<1，只要证V<1,只要证7 =>1, X2 只要证 1血-血五，8分 xX2 x2-x 只要吃-中>h,◆80-0--a0>0.g0-京>0 所以g0在(1+)单调递增，所以g)>g)=0 即->a,所以华<1…ln分 (3)先证明左边：由(1)知nx≤x-1,等号成立当且仅当x=1 令x为，可得如x≥1一生等号度立当且仅当= 令x=n+1 则n”+1>1-n n+112分 1 →n(n+1)-lnn> n+1 从而有ln2-n1> 2lh3-h2> ,lh(n+1)-lhm> 1 n+1 根据不等式同向可加性得n(n+1)>++ 23 …+1 n+11 左边得证14分 下面证明右边：由(2)的方法=知：ar<:-}t>1,令1=年 1 1 m+n-1 .16分 从而h2-h1c1h3-h2左，aa+-lan< 根据不等式同向可加性得hn+)<1+示+ 2 n +…+ , Vn'+n-1 左边得证..17分 法二：以证明右边为例：因为数列{n(n+1)-nn的前n项和为ln(n+1), 1 所以要证ln(n+)<1+ Vn+m-i’ n n(n+1)-Inn<- 只要证 n+n-1 1 n2+n- 只要证ln n+11 m+1n+1-n n√m+n ,只要证2血， n n'+n 只要证2h,