精品解析：宁夏吴忠市滨河中学2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试卷

吴忠市滨河中学2025—2026学年第二学期期末考试 高二数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用交集运算与补集运算求解. 【详解】由题可得，又因， 则. 2. 已知，，，四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为-0.95，-0.82，0.86，0.93，则线性相关程度最弱的是（ ） A. 组 B. 组 C. 组 D. 组 【答案】B 【解析】 【分析】由线性相关系数的性质判断即可得. 【详解】因为，所以线性相关程度最弱的是组. 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A、B，当时，，所以，故A、B均不正确； 对于C、D，因为，所以，又，所以，所以，即，C正确，D错误； 4. 有10件产品，其中3件是次品，从中不放回地任取2件，若X表示取得次品的件数，则（   ） A. B. C. D. 0.7 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件的概率公式，结合组合计数问题及超几何分布求解即得. 【详解】由题意知的所有可能取值为，，，服从超几何分布， 则，，， 所以. 5. 某班要从4名女生和3名男生中选择3人参加学生代表大会，则选出的代表中女生人数不少于男生人数的选法种数为（ ） A. 35 B. 30 C. 24 D. 22 【答案】D 【解析】 【分析】将女生人数不少于男生的情况分为3女0男、2女1男两类，分别计算两类选法的组合数后求和，即得总选法种数. 【详解】由题意，选出的3名代表中女生人数不少于男生人数，共包含两类情况： 第一类，选出3名女生、0名男生，共有种不同选法； 第二类，选出2名女生、1名男生，共有种不同选法. 根据分类加法计数原理，总选法有种. 6. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合正态分布的对称性分析求解. 【详解】因为服从正态分布，且， 则，即正态曲线关于直线对称， 所以， 又， 所以. 7. 展开式中的常数项为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】根据二项式定理，展开式中的通项公式为： ， 要求展开式中的常数项，则的指数为0，即， 解得，代入通项公式的系数部分，求得常数项： ，C正确. 8. 若两个正实数x，y满足，且对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式，先求的最小值，再依题意建立关于的不等式，求解即得的取值范围. 【详解】由题意，， 当且仅当，即时等号成立. 因对任意这样的，使不等式恒成立. 则需使，解得. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，选不全得3分，多选或选错一个得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量的数学期望，则 B. 若随机变量的方差，则 C. 将一枚质地均匀的硬币抛掷次，记正面向上的次数为，则服从二项分布 D. 从男女共名学生干部中随机选取名学生干部，记选出女学生干部的人数为，则服从超几何分布 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于选项A，因为，故A错误； 对于选项B，因为，故B正确； 对于选项C，根据二项分布的概念可知随机变量服从，故C正确； 对于选项D，根据超几何分布的概念可知服从超几何分布，故D正确． 10. 下列结论正确的是（ ） A. 在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明拟合的效果越好 B. 经验回归直线一定经过点 C. 在线性回归方程中，当变量x每增加1个单位时，平均减少0.5个单位 D. 在做回归分析时，残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 【答案】ABC 【解析】 【分析】应用决定系数定义判断A，应用回归直线性质判断B ，C，应用回归直线定义判断D. 【详解】对于选项A，决定系数是用来衡量回归模型拟合效果的指标， 的值越大，说明残差平方和越小，模型对数据的拟合效果越好，故选项A正确. 对于选项B，线性回归直线必然经过样本中心点，这是线性回归的基本性质，故B正确； 对于选项C，在线性回归方程中，x的系数为， 这意味着当变量x每增加一个单位时，平均减少个单位，故C正确； 对于选项D，在回归分析中，残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄， 说明模型的预测值与实际值越接近，回归效果越好，而不是越差，故D错误； 11. 下列命题中，正确的是（ ） A. “至少有一个x，使成立”是全称量词命题 B. 命题“，”的否定是“，” C. “，”是真命题 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】 【分析】使用全称量词命题，命题的否定，充分条件与必要条件的判断方法求解. 【详解】“至少有一个x，使成立”是特称量词命题，A选项错误； 命题“，”的否定是“，”，B选项正确； 当时，，，，C选项错误； 对于D，若，不妨取，则不成立， 若，则必有，所以“”是“”的必要不充分条件，D选项正确； 三、填空题：本大题共3小题，单空题每空5分，共15分. 12. 若随机变量服从两点分布，其中，则______． 【答案】 【解析】 【详解】随机变量服从两点分布，，则， ，. 13. 为了研究物理成绩y与数学成绩x之间的关系，随机抽取100名学生的成绩，用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，则样本中的样本点的残差的绝对值为______. 【答案】2.5 【解析】 【分析】使用最小二乘法与残差的定义求解. 【详解】由线性回归方程为，令，得， 所以时，，残差为. 因此样本点的残差的绝对值为2.5. 14. 已知函数的最大值为0，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】先求出导函数，再分类讨论应用导函数得出函数单调性，进而得出函数的最值计算求解参数即可. 【详解】函数的定义域为，可得， 当时，因为，所以，即，在上单调递增，此时无最大值，不符合题意. 当时，令，即，因为，所以，解得， 当时，，，则，在上单调递增； 当时，，，则，在上单调递减 由上述单调性可知，在处取得极大值，也是最大值，， 已知的最大值为0，则，即. 因为对数函数在上单调递增，所以. 综上，a的值为1. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知离散型随机变量的分布列如表所示： 求： （1）常数的值； （2）和． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用离散型随机变量分布列概率和为、各概率非负的性质求解； （2）根据期望、方差的定义，代入分布列计算结果． 【小问1详解】 根据题意得，解得； 【小问2详解】 由（1）得， 所以的分布列为 所以， ． 16. 某校为了解学生喜欢足球是否与性别有关联，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，得到如下列联表： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 40 女生 30 合计 （1）请将上面的列联表补充完整； （2）并依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关联？ 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 60 40 100 女生 30 70 100 合计 90 110 200 （2）有关【解析】 【小问1详解】 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 60 40 100 女生 30 70 100 合计 90 110 200 【小问2详解】零假设为：该校学生喜欢足球与性别无关， 而， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为该校学生喜欢足球与性别有关. 17. 已知函数. （1）当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； （2）若恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用在处斜率为0即可求解； （2）将问题转化成进行求解. 【小问1详解】 当时，，， 设点的坐标，由题意得：，解得：， 所以，因此点的坐标为. 【小问2详解】 ， 令，则， 因为，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以， 即：a的取值范围是. 18. 2025年世界人工智能大会于2025年7月26日至28日在上海市举行，大会号召“共商技术创新路线，共促技术成果赋能”.某企业的AI产品销售部门统计了1～5月份的销售量（单位：万件）： 月份x 1 2 3 4 5 销售量y 3 5 6 9 12 （1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程； （2）该企业科研部门从1月份与4月份的客户中分别随机抽取2位客户和6位客户进行电话回访，科研部门的工作人员甲从这8位客户中随机抽取2位进行回访，记甲回访客户中1月份的客户人数为，求的分布列和数学期望. 附：经验回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1） （2） 0 1 2 . 【解析】 【分析】（1）根据最小二乘法可求回归直线方程； （2）根据超几何分布可求的分布列，再根据期望公式可求数学期望. 【小问1详解】 ，，， ， ， 故y关于x的经验回归方程为. 【小问2详解】 X的取值可能为， ，，， 所以的分布列为 0 1 2 则. 19. 2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越.行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力.某公司进行AI知识竞赛.从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值； （2）在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求这3人中恰有1人成绩在的概率； （3）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用X表示其成绩在范围的人数，求X的分布列及方差. 【答案】（1） （2） （3） X 0 1 2 3 P . 【解析】 【分析】（1）使用频率分布直方图的性质求解； （2）使用分层抽样的定义，古典概型概率公式求解； （3）使用二项分布概率公式，二项分布期望与方差的性质求解. 【小问1详解】 依题意，得，解得. 【小问2详解】 依题意，成绩在的人有（人） 成绩在的人有（人）， 用分层随机抽样的方法抽取5人， 则从成绩在的人中抽取3人，从成绩在的人中抽取2人. 从5人中任取3人，恰有1人成绩在的概率为. 【小问3详解】 因为成绩在的频率为，用频率估计概率， 所以从全公司随机抽取1人，其成绩在的概率为. 所以X的可能取值为0，1，2，3，且X～. 所以，， ，. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴忠市滨河中学2025—2026学年第二学期期末考试 高二数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为-0.95，-0.82，0.86，0.93，则线性相关程度最弱的是（ ） A. 组 B. 组 C. 组 D. 组 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 有10件产品，其中3件是次品，从中不放回地任取2件，若X表示取得次品的件数，则（   ） A. B. C. D. 0.7 5. 某班要从4名女生和3名男生中选择3人参加学生代表大会，则选出的代表中女生人数不少于男生人数的选法种数为（ ） A. 35 B. 30 C. 24 D. 22 6. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 7. 展开式中的常数项为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 若两个正实数x，y满足，且对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，选不全得3分，多选或选错一个得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量的数学期望，则 B. 若随机变量的方差，则 C. 将一枚质地均匀的硬币抛掷次，记正面向上的次数为，则服从二项分布 D. 从男女共名学生干部中随机选取名学生干部，记选出女学生干部的人数为，则服从超几何分布 10. 下列结论正确的是（ ） A. 在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明拟合的效果越好 B. 经验回归直线一定经过点 C. 在线性回归方程中，当变量x每增加1个单位时，平均减少0.5个单位 D. 在做回归分析时，残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 11. 下列命题中，正确的是（ ） A. “至少有一个x，使成立”是全称量词命题 B. 命题“，”的否定是“，” C. “，”是真命题 D. “”是“”的必要不充分条件 三、填空题：本大题共3小题，单空题每空5分，共15分. 12. 若随机变量服从两点分布，其中，则______． 13. 为了研究物理成绩y与数学成绩x之间的关系，随机抽取100名学生的成绩，用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，则样本中的样本点的残差的绝对值为______. 14. 已知函数的最大值为0，则______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知离散型随机变量的分布列如表所示： 求： （1）常数的值； （2）和． 16. 某校为了解学生喜欢足球是否与性别有关联，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，得到如下列联表： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 40 女生 30 合计 （1）请将上面的列联表补充完整； （2）并依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关联？ 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数. （1）当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； （2）若恒成立，求a的取值范围. 18. 2025年世界人工智能大会于2025年7月26日至28日在上海市举行，大会号召“共商技术创新路线，共促技术成果赋能”.某企业的AI产品销售部门统计了1～5月份的销售量（单位：万件）： 月份x 1 2 3 4 5 销售量y 3 5 6 9 12 （1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程； （2）该企业科研部门从1月份与4月份的客户中分别随机抽取2位客户和6位客户进行电话回访，科研部门的工作人员甲从这8位客户中随机抽取2位进行回访，记甲回访客户中1月份的客户人数为，求的分布列和数学期望. 附：经验回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，. 19. 2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越.行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力.某公司进行AI知识竞赛.从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值； （2）在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求这3人中恰有1人成绩在的概率； （3）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用X表示其成绩在范围的人数，求X的分布列及方差. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $