第一单元 小数乘法和除法（二）（易错专项讲义）数学苏教版六年级上册（新教材）

该小学数学“小数乘法和除法（二）”易错专项讲义通过框架图系统梳理9大易错题型，涵盖口算、竖式计算、积的变化规律等核心内容，按运算规则、实际应用等维度呈现知识脉络，突出小数点定位、近似数取值等重难点分布及内在联系。 讲义亮点在于易错点精准剖析与分层练习设计，如口算专项强调“先按整数规则算结果，再统计小数位数点小数点”，通过反向核验培养运算能力与推理意识。每个题型配精讲示例和巩固练习，基础薄弱学生可掌握方法，优秀学生能深入规律探究，助力教师实施精准化复习教学。

第一单元　小数乘法和除法（二）易错专项讲义 易错题型01 小数乘除法口算 易错题型02 小数乘除法竖式计算（含近似数） 易错题型03 积的变化规律（小数乘法） 易错题型04 大小关系（因数和积，被除数和商） 易错题型05 一个数乘小数 易错题型06 一个数除以小数 易错题型07 小数连乘或连除 易错题型08 进一法或去尾法解决问题　 易错题型09 用计算器探索规律 易错题型01 小数乘除法口算 1、同时满足“先按整数乘除规则算出基准结果、再精准定位对应小数点位置”得到的数值，才是本单元认可的小数乘除法口算的标准结果，仅靠随意点出小数点得到的数值不能作为有效口算结论。 2、口算小数乘法确定小数点位置时，要统计两个因数的小数位数之和，从整数乘积的末尾向左数出对应位数点上小数点，不能直接把小数点对齐因数的小数点位置，直接打乱小数位数的计数逻辑。 3、口算除数是小数的除法时，要先同步把除数和被除数的小数点向右移动相同位数，将除数转化为整数后再按整数除法规则口算，不能只移动除数的小数点、遗漏被除数的同步移位，得到完全错误的运算结果。 4、反向核验小数乘除法口算结果时，用除法反向核对乘法运算、用乘法反向核对除法运算，最终得到的原始参与运算的数值必须和题目给出的已知数完全匹配。 5、口算小数乘整十、整百这类整十数的场景时，要先按整数乘出口算结果，再对应移动小数点位置，不能直接把整十数的0和小数末尾的0随意抵消，导致最终结果的数值大小发生改变。 6、标注小数乘除法口算的最终结果时，要保证结果的小数点位置完全准确，避免出现小数点错位、漏写小数点的结果错配问题，导致最终数值大小完全失真。 7、口算结果末尾带有多余0的小数乘除法场景时，可根据小数的性质去掉末尾多余的0简化结果，不能随意去掉非末尾数位的0，导致最终结果的数值大小发生改变。 8、同一道小数乘除法口算的题目中，小数点移位的基准、小数位数的计数规则必须完全统一，不能中途随意调整小数点的移位方向、混用不同的计数精度，打乱运算的严谨性。 【题型精讲1】直接写出得数。 1.25×8＝         1.2÷0.8＝           0.35÷0.01＝        2.5×40＝          0.2×0.3＝        0.96÷1.6＝           0.5×4.6＝        3.2÷0.16＝ 【易错巩固1】直接写出得数。 0.4×0.5＝          1.25×0.8＝         3.6÷0.6＝         4.9÷0.07＝ 0.72÷0.8＝         2.5×8＝           0.42＝               7.8÷0.3＝ 【易错巩固2】直接写出得数。 2×2.5＝    7.2÷0.8＝    0.45－0.2＝    0.75×100＝ 7.2×5＝    0.05＋4＝    25÷0.05＝    92÷100＝ 【易错巩固3】直接写出得数。 0.8÷4＝            0.2×0.3＝            42÷0.7＝            1.25÷5＝ 2.5×0.3＝        1.25×0.8＝            0.36÷0.09＝            0.25×2.3×4＝ 【易错巩固4】 【易错巩固4】直接写得数。 0.2×0.01＝       4.6×0.3＝        0.56÷0.7＝       6.8－3.5＝ 1.8×0.4＝        0.4×25＝        7.8÷0.26＝       3.2÷32＝ 易错题型02 小数乘除法竖式计算（含近似数） 1、同时满足“末位对齐数位、按整数乘除规则运算后再调整小数点位置”得到的结果，才是本单元认可的小数乘除法竖式标准结果，随意对齐小数点直接运算得到的数值不能作为有效竖式计算结论。 2、列小数乘法竖式时，要先忽略小数点按整数乘法算出完整乘积，再统计两个因数的总小数位数，从乘积的末位向左数出对应位数点上小数点，不能提前对齐小数点运算，直接打乱数位的对应关系。 3、列小数除法竖式时，要先根据商不变性质把除数转化为整数，同步将被除数的小数点向右移动对应位数，不能只改动除数的小数点位置、不同步调整被除数，得到完全错误的商值。 4、反向核验小数乘除法竖式结果时，用除法反向核对乘法运算、用乘法反向核对除法运算，最终还原得到的原始因数或除数、被除数必须和题目给出的已知数完全匹配。 5、取积的近似数时，要先算出完整的精确乘积，再按要求的保留位数的下一位数字做四舍五入判定，不能中途截断运算过程直接取近似值，导致最终近似数和标准值偏差过大。 6、标注小数乘除法竖式的最终结果时，要明确标注近似数的保留精度，必要时用约等号连接结果，避免出现小数点错位、漏写近似标识的结果错配问题。 7、取商的近似数时，要保证运算出的商的小数位数至少比要求保留的位数多一位，不能仅运算到保留位数就直接判定取舍，得到不符合精度要求的错误近似数。 8、同一道小数乘除法竖式相关题目中，小数点的移动基准、四舍五入的判定规则必须完全统一，不能中途随意调整小数位数的计数标准、混用不同的近似取舍规则，打乱运算的严谨性。 【题型精讲1】列竖式计算（带★的保留两位小数） 3.25×1.4＝                4.08÷0.24＝ ★6.35×2.9≈                ★8÷0.9≈ 【易错巩固1】列竖式计算。 2.34×0.15≈（保留两位小数） 4.59÷1.5＝（验算）  1.52÷0.37＝（商用循环小数表示） 【易错巩固2】用竖式计算下面各题。 0.46×2.1＝            8.64÷3.2＝            40.8÷3.3≈（得数保留两位小数） 【易错巩固3】用竖式计算。（带☆的要验算） 2.82×3.5＝        ☆18.62÷3.8＝ 6.45×0.24＝        25.95÷2.3≈（保留两位小数） 【易错巩固4】列竖式计算。 36×2.05＝    8.54÷2.8＝ 8.9×0.34≈（得数保留两位小数）    4.1÷1.76≈（得数精确到十分位） 易错题型03 积的变化规律（小数乘法） 1、同时满足“两个因数均完成小数位数对齐、运算全程遵循十进制计数规则”得到的结果，才是本单元认可的小数乘法积的变化规律的标准结论，仅靠整数乘法的经验直接推导的结论不能作为有效判定依据。 2、判定小数乘法中积的小数位数时，要明确积的小数位数等于两个因数的小数位数之和，不能直接忽略因数的小数位数直接按整数乘积判定，否则会直接导致积的数值出现量级偏差。 3、一个数乘小于1的纯小数时，得到的积会比原数本身更小，不能直接照搬整数乘法中“乘积一定大于因数”的错误经验，违背小数乘法的积的变化属性。 4、反向核验小数乘法的积的变化结果时，将得到的积除以其中一个因数，最终得到的数值必须和另一个因数的实际大小完全匹配，不能出现推导结果和原始因数偏差过大的逻辑矛盾。 5、两个因数同时扩大或缩小指定倍数时，积的变化倍数是两个因数变化倍数的乘积，不能直接认为积的变化倍数和单个因数的变化倍数完全相等，混淆积的联动变化逻辑。 6、标注小数乘法积的变化相关的最终结果时，要明确标注积的小数点位置，避免出现小数点错位、小数位数错配的问题，导致积的数值指代完全失真。 7、处理因数末尾带有0的小数乘法场景时，要先按整数乘法算出乘积，再补全对应小数位数后划去末尾多余的0，不能先划去末尾0再统计小数位数，得到不符合规则的错误结果。 8、同一道小数乘法积的变化相关题目中，因数的小数位数统计基准、倍数变化的计数规则必须完全统一，不能中途随意切换小数位数的统计标准、更改倍数的计算基准，打乱运算逻辑的严谨性。 【题型精讲1】2.36×0.3的积与下面算式（    ）的积相等。 A．0.236×3 B．23.6×0.3 C．236×0.03 D．236×0.3 【易错巩固1】下列算式中，与0.845×1.8的结果相同的是（    ）。 A．8.45×18 B．18×0.0845 C．84.5×0.18 D．0.845×180 【易错巩固2】两个因数的积是3.6，一个因数扩大到原来的10倍，另一个因数缩小到原来的，积是（    ）。 A．36 B．3.6 C．0.36 【易错巩固3】根据45×28＝1260，直接写出下面各题的得数。 4.5×28＝（ ），1260÷45＝（ ），4.5×0.28＝（ ）。 【易错巩固4】根据45×37＝1665，直接写出下面算式的得数。 （1）45×3.7＝（ ） （2）0.45×0.37＝（ ） （3）16.65÷0.45＝（ ） 易错题型04 大小关系（因数和积，被除数和商） 1、同时满足“两个非零因数参与运算、基于小数乘法规则计算”得到的结果，才是本单元认可的因数与积的标准大小关系结论，仅靠整数乘法的经验直接推导的大小判定不能作为有效依据。 2、判定小数乘法中积与第一个因数的大小关系时，要先确认第二个因数和1的大小对比，不能跳过和1的比对直接判定积的大小，否则会直接颠倒积和因数的实际大小关系。 3、判定小数除法中商与被除数的大小关系时，要先确认除数和1的大小对比，不能跳过和1的比对直接判定商的大小，得到完全错误的大小判定结果。 4、反向核验因数和积的大小关系结论时，将对应因数代入乘法算式算出实际积，最终积和因数的大小对比必须和之前的判定结果完全匹配，不能出现逻辑矛盾。 5、反向核验被除数和商的大小关系结论时，将对应被除数代入除法算式算出实际商，最终商和被除数的大小对比必须和之前的判定结果完全匹配，不能出现数值偏差。 6、标注小数乘除相关的大小判定结果时，要正确使用“>”“<”对应大小关系，避免出现符号写反、漏写连接符号的错配问题，导致数值关系指代模糊。 7、处理因数为0的特殊小数乘法场景时，要明确积固定为0，不受另一个因数和1的大小关系影响，不能直接套用常规非零因数的大小判定逻辑，得到不符合特殊场景的错误结论。 8、同一道小数乘除大小判定的题目中，因数、除数和1的大小对比基准必须完全统一，不能中途随意切换数值的判定参考标准，打乱判定逻辑的严谨性。 【题型精讲1】在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 14.3×0.98（ ）14.3     22.8÷1.01（ ）22.8 【易错巩固1】在括号里填上“＞”“＜”“＝”。 0.25÷0.5（ ）0.25×0.5            0.8×0.8（ ）0.8＋0.8 2.05×0.705（ ）0.205×7.05        5.25×10（ ）0.9×52.5 【易错巩固2】在括号里填上“＞”“＜”“＝”。 0.9×3.52（ ）3.52                       4.68÷1.2（ ）4.68÷12 19.8÷0.5（ ）19.8                        4.7×11（ ）4.7×10＋4.7 【易错巩固3】在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 16.5×0.98（ ）16.5      4.36÷0.9（ ）4.36 1.23÷1.01（ ）1.23      6.2÷0.5（ ）6.2×2 【易错巩固4】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 1.26÷1.01（ ）1.26           2.72÷0.5（ ）2.72×2 0.97×180（ ）1.8×9.7        0.75×0.89（ ）0.75÷0.89 易错题型05 一个数乘小数 1、同时满足“明确数量间的倍比基准、找准单位‘1’的对应数值”规则推导得到的结果，才是本单元认可的一个数乘小数解决问题的标准结论，仅靠随意选取两个数直接相乘得到的数值不能作为有效运算依据。 2、判定一个数乘小数的实际意义时，要明确它表示求这个数的十分之几、百分之几等对应占比的数值，不能直接等同于整数乘法的“几个相同加数求和”的含义，混淆倍比关系的定义边界。 3、列数量关系式时，要先锁定作为基准的单位“1”的已知量，再用该数值乘对应的小数倍比系数，不能随意把非单位“1”的量直接当作基准数参与运算，得到完全错位的结果。 4、反向核验一个数乘小数的解决问题结果时，将最终得到的结果除以基准单位“1”的数值，最终得到的比值必须和题目给定的小数倍比系数完全匹配，不能出现比值偏差过大的逻辑矛盾情况。 5、处理单位“1”为隐藏条件的实际场景时，要先通过题干描述明确基准量的具体数值，再代入乘法运算，不能跳过单位“1”的确认步骤直接选取任意数值相乘，违背数量关系的逻辑约束。 6、标注一个数乘小数解决问题的最终结果时，要明确标注和题干匹配的对应单位，避免出现单位错配、漏写单位的问题，导致最终结果的数值指代完全失真。 7、处理求比一个数的小数倍多/少几的复合场景时，要先算出基准数对应的小数倍数值，再做后续的加减运算，不能颠倒运算顺序先算加减再乘小数，打乱数量关系的优先级逻辑。 8、同一道一个数乘小数的解决问题题目中，单位“1”的判定基准、倍比系数的对应关系必须完全统一，不能中途随意切换基准量、更改小数倍比的对应对象，打乱运算逻辑的严谨性。 【题型精讲1】小红妈妈带150元去超市购物，买了2袋大米，每袋30.5元，还买了1.9千克肉，每千克28.5元。剩下的钱买一盒28元的草莓够吗？ 【易错巩固1】曾侯乙编钟一共有65件，最大的一件的高度约是最小的7.6倍，质量约是最小的一件的84.8倍，最大的这件编钟高约多少厘米？重约多少千克？ 【易错巩固2】天桂梨每千克售价12.5元，李叔叔买了3.4千克，他微信钱包余额为50元，支付后还剩多少元？ 【易错巩固3】一支铺路队铺一段公路，上午工作3.5小时，每小时铺路65.2米；下午工作4.5小时，每小时铺路57.4米。这支铺路队这一天一共铺路多少米？ 【易错巩固4】一个长方形花坛，长是3.5米，宽是2.4米。花坛的中间有一个边长为0.4米的正方形喷泉，求花坛的实际种植面积是多少平方米？ 易错题型06 一个数除以小数 1、同时满足“被除数和除数同步扩大相同倍数转化为整数除法、商的数值保持不变”规则得到的结果，才是本单元认可的一个数除以小数的标准运算结论，仅直接去掉除数的小数点就直接做整数除法得到的数值不能作为有效运算结果。 2、处理除数为多位小数的除法运算时，要先将除数的小数点向右移动转化为整数，同步把被除数的小数点向右移动相同位数，不能只改动除数的小数点位置、不调整被除数的数位，直接破坏商不变的核心规则。 3、计算被除数小数位数少于除数小数位数的除法时，要在被除数末尾补足够的0补足移动位数，不能直接截断被除数的数位强行对齐，得到完全错误的商值。 4’反向核验一个数除以小数的运算结果时，将得到的商和原小数除数相乘，最终得到的乘积必须和原式的被除数完全相等，不能出现乘积和原始被除数偏差过大的逻辑矛盾情况。 5、用一个数除以小数解决实际分配类问题时，要先明确总量和每份数的对应关系，用总量除以每份数得到分配份数，不能随意颠倒被除数和除数的位置，得到不符合实际意义的结果。 6、标注一个数除以小数解决问题的最终结果时，要明确标注和场景匹配的对应单位，避免出现单位和所求量错配、漏写单位的问题，导致结果的实际指代完全失真。 7、解决一个数除以小数的实际应用问题时，要先锚定“商不变性质保证等值转化”的核心规则，不能直接硬套整数除以整数的运算逻辑，忽略除数为小数的特殊属性。 【题型精讲1】永州和岳阳两地大约相距450千米，甲乙两车分别同时从两地出发，3.6小时后两车相遇，已知甲车的速度是每小时65千米，乙车每小时行驶多少千米？ 【易错巩固1】某种植大户承包了200亩的高标准农田。为了提高水肥利用率、降低成本，决定安装一套智能水肥一体化系统，总费用大约是21.6万元。安装后，系统每月大约能帮农场节省1.2万元的费用。照这样计算，多少个月后节省的费用就能收回系统投入的成本？ 【易错巩固2】遵化到北京的路程大约180千米，一辆客车从遵化开往北京，一辆货车从北京开往遵化，货车每小时行驶70千米，两车同时出发，经过1.2小时相遇，客车每小时行驶多少千米？ 【易错巩固3】五一班举行“庆元旦”联欢会，买6.7千克葵花籽用了18.76元，又买了5.6千克糖果。糖果的单价是葵花籽的3.5倍。买糖果共用多少元？ 【易错巩固4】玩具厂做一种益智玩具，每个玩具需要3.2元的材料。后来该玩具厂改进了制作工艺，每个玩具比原来少用0.4元的材料。原来准备做560个玩具的材料，现在比原来可以多做多少个玩具？ 易错题型07 小数连乘或连除 1、同时满足“同级运算从左到右依次推进、每一步小数乘除的数位对齐规则合规”得到的结果，才是本单元认可的小数连乘或连除的标准运算结论，随意跳步运算、数位错位得到的数值不能作为有效运算结果。 2、计算小数连乘运算时，要先按整数乘法规则算出总乘积后，再统一统计所有因数的小数位数之和确定最终小数点位置，不能每乘一个小数就单独点一次小数点，打乱小数位数的累计统计逻辑。 3、计算小数连除运算时，要先将所有除数同步转化为整数后再按规则运算，不能仅把第一个除数转化为整数就直接后续运算，导致后续除数的小数点位置错位引发运算错误。 4、反向核验小数连乘或连除的结果时，从最终结果出发反向逆推所有运算步骤，每一步都用对应逆运算还原前序数值，最终得到的初始参与运算的数值必须和题目给出的已知数完全匹配。 5、运用乘法交换律调整小数连乘的运算顺序时，要同步移动数字前的运算符号，不能只移动数字、遗漏对应前置乘号，直接改变原式的运算逻辑得到错误结果。 6、标注小数连乘或连除的最终结果时，要保证结果的小数点位置和累计统计的小数位数完全匹配，避免出现小数点错位、漏写小数点的结果错配问题，导致最终数值大小完全失真。 7、处理连除运算中连续除以两个数的简便运算场景时，要严格遵循连除性质将两个除数相乘后再做总除法，不能随意变更括号内的运算符号，破坏简便运算的等值逻辑。 8、同一道小数连乘或连除的题目中，小数位数的统计基准、同级运算的顺序规则必须完全统一，不能中途随意调整小数点的对齐位置、混用不同的运算优先级规则，打乱运算的严谨性。 9、解决小数连乘或连除的实际应用问题时，要先锚定“同级运算顺序合规、等值调整运算顺序”的核心规则，不能直接硬套整数连乘连除的末位对齐逻辑，忽略小数的数位属性。 【题型精讲1】计算下面各题。 15×0.7×2.2         5.15×2.4×6         0.6×0.8×3.5 【易错巩固1】计算下面各题。 2.1÷3.5÷0.4              1.38÷0.25÷40             24.96÷6.4÷13 【易错巩固2】科学研究表明，1万平方米的森林每天大约可释放0.8吨氧气。美丽的大围山大约有269万平方米的森林面积。照这样计算这片森林30天一共释放了大约多少吨氧气？ 【易错巩固3】环卫工人开着洒水车给路面洒水，5台洒水车0.8小时洒了1.6公顷的路面。照这样计算，一台洒水车每小时可以洒多少公顷的路面？ 【易错巩固4】为了纪念世界杂交水稻之父袁隆平爷爷，学校组织学生到粮丰面粉加工厂参观学习面粉生产过程。粮丰面粉加工厂3台磨面机8小时可磨面粉33.6吨，照这样计算，每台磨面机1小时可磨面粉多少吨？ 易错题型08 进一法或去尾法解决问题 1、同时满足“结合实际场景对小数除法的商做正向取舍、完全贴合现实逻辑约束”得到的结果，才是本单元认可的进一法/去尾法的标准有效结论，仅按常规四舍五入规则直接取整得到的数值不能作为适配实际场景的合规结果。 2、使用进一法处理小数除法问题时，无论商的小数部分数值大小是多少，都要向整数部分进1后取整，不能直接按四舍五入规则舍去小数部分，导致最终结果无法满足实际场景的最低需求。 3、使用去尾法处理小数除法问题时，无论商的小数部分数值大小是多少，都要直接舍去小数部分仅保留整数部分，不能直接按四舍五入规则向整数部分进1，导致最终结果超出实际场景的承载上限。 4、反向核验进一法的运算结果时，将取整后的整数结果反向代入原场景验算，最终必须完全覆盖所有待分配的总量，不能出现剩余部分无法被承载的逻辑矛盾情况。 5、反向核验去尾法的运算结果时，将取整后的整数结果反向代入原场景验算，最终所有参与运算的材料总量必须完全满足实际使用的上限约束，不能出现材料总量不足的逻辑矛盾情况。 6、标注进一法、去尾法解决问题的最终结果时，要明确标注结果对应的实际场景单位，避免出现单位错配、漏写单位的问题，导致最终结果的实际指代完全失真。 7、处理装容器、运货物这类必须全部完成任务的场景时，要优先判定适配进一法规则，不能误用去尾法直接舍去小数部分，得到不符合任务完成要求的错误结果。 8、同一道小数除法取整的相关题目中，场景的约束规则、取舍的判定基准必须完全统一，不能中途随意切换进一法和去尾法的适用逻辑，打乱运算判定的严谨性。 9、解决进一法、去尾法的实际应用问题时，要先锚定“先算小数除法的商、再结合现实场景判定取舍规则”的核心逻辑，不能直接硬套常规四舍五入的取整规则，脱离实际场景的约束要求。 【题型精讲1】王阿姨要将23.4千克的糖果分装在一些袋子中，每个袋子里最多可以装1.5千克，至少需要准备多少个袋子才能把糖果装完？ 【易错巩固1】王叔叔今年收了8吨玉米，用小卡车运每次最多能运1.5吨。王叔叔这些玉米至少运多少次才能运完所有玉米？ 【易错巩固2】蝴蝶结是中华文化的一部分，在礼品上系上蝴蝶结，表达美好的心意与祝福。做一个蝴蝶结大约需要3.9分米的彩带，一根长19.2分米的彩带最大可做多少个蝴蝶结？ 【易错巩固3】李老师要用100元为班级买奖品。他先花72.8元买了8本《故事大王》，剩下的钱准备用来买单价为2.5元的练习本，还可以买多少本？ 【易错巩固4】“老吾老，以及人之老。”为发扬中华民族的传统美德，小乐一家打算利用周末的时间去看望敬老院的老人。他们准备了11.8千克的蜂蜜，分装在小瓶中，一个瓶子最多能装500克。他们至少要准备多少个瓶子来装这些蜂蜜？他们还准备了一根15米长的丝带来包装瓶子，每包装一个瓶子需要0.7米长的丝带。这根丝带最多可以包装多少瓶蜂蜜？ 易错题型09 用计算器探索规律 1、同时满足“用计算器精准完成多步运算、逐次记录结果比对变化趋势”得到的结论，才是本单元认可的小数运算规律有效判定结果，仅靠单次随机运算的结果直接归纳的规律不能作为可靠依据。 2、用计算器探索小数乘法的因数与积的变化规律时，要固定其中一个因数保持不变，仅调整另一个因数的数值，不能同时随意改动两个因数的取值，直接打乱变量的单一控制逻辑。 3、用计算器探索小数除法的被除数、除数与商的变化规律时，要保证参照组的基准数值完全固定，不能中途随意更换被除数或除数的基准值，得到前后矛盾的规律结论。 4、反向核验探索得到的运算规律时，代入未参与规律归纳的新数值做验证运算，最终计算器输出的结果必须完全符合归纳出的规律特征，不能出现结果和规律相悖的逻辑矛盾情况。 5、处理循环小数的规律探索场景时，要通过计算器输出的多组结果比对循环节的变化特征，不能仅凭单次显示的有限位小数就直接判定循环规律，遗漏循环节的完整结构。 6、标注规律探索相关的最终结果时，要明确标注规律的适用前提、对应运算类型，避免出现规律适用范围模糊、结果指代错配的问题。 7、同一组规律探索的运算序列中，计算器的精度设置、小数保留规则必须完全统一，不能中途随意切换小数的显示位数、更改运算的精度基准，打乱规律归纳的严谨性。 8、解决用计算器探索规律的实际应用问题时，要先锚定“控制单一变量、多组运算交叉验证”的核心规则，不能直接硬套整数运算的规律直接迁移到小数场景，忽略小数运算的特性差异。 【题型精讲1】用发现的规律直接写出右面两题的得数。 1÷11＝0.0909…        4÷11＝（ ） 2÷11＝0.1818…        6÷11＝（ ） 3÷11＝0.2727… 【易错巩固1】不计算，运用发现的规律，直接写出后三题的得数。 3×0.4＝1.2    3.333×333.4＝（ ） 3.3×3.4＝11.22    3.3333×3333.4＝（ ） 3.33×33.4＝111.222    3.33333×333333.4＝（ ） 【易错巩固2】乐乐用计算器分别算出了下面三道算式的得数，请你找出规律，再按规律填空。 123456.79×9＝1111111.11 123456.79×18＝2222222.22 123456.79×27＝3333333.33 123456.79×54＝（ ） 123456.79×（ ）＝9999999.99 【易错巩固3】根据计算结果的规律填空。 1.23×9＋0.04＝11.11 12.34×9＋0.05＝111.11 123.45×9＋0.06＝1111.11 （ ）×9＋0.07＝（ ）。 【易错巩固4】李洋用计算器计算了4道除法算式（如图）： …… 请你根据发现的规律完成填空。 （1）______。 （2）______ / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元　小数乘法和除法（二）易错专项讲义 易错题型01 小数乘除法口算 易错题型02 小数乘除法竖式计算（含近似数） 易错题型03 积的变化规律（小数乘法） 易错题型04 大小关系（因数和积，被除数和商） 易错题型05 一个数乘小数 易错题型06 一个数除以小数 易错题型07 小数连乘或连除 易错题型08 进一法或去尾法解决问题　 易错题型09 用计算器探索规律 易错题型01 小数乘除法口算 1、同时满足“先按整数乘除规则算出基准结果、再精准定位对应小数点位置”得到的数值，才是本单元认可的小数乘除法口算的标准结果，仅靠随意点出小数点得到的数值不能作为有效口算结论。 2、口算小数乘法确定小数点位置时，要统计两个因数的小数位数之和，从整数乘积的末尾向左数出对应位数点上小数点，不能直接把小数点对齐因数的小数点位置，直接打乱小数位数的计数逻辑。 3、口算除数是小数的除法时，要先同步把除数和被除数的小数点向右移动相同位数，将除数转化为整数后再按整数除法规则口算，不能只移动除数的小数点、遗漏被除数的同步移位，得到完全错误的运算结果。 4、反向核验小数乘除法口算结果时，用除法反向核对乘法运算、用乘法反向核对除法运算，最终得到的原始参与运算的数值必须和题目给出的已知数完全匹配。 5、口算小数乘整十、整百这类整十数的场景时，要先按整数乘出口算结果，再对应移动小数点位置，不能直接把整十数的0和小数末尾的0随意抵消，导致最终结果的数值大小发生改变。 6、标注小数乘除法口算的最终结果时，要保证结果的小数点位置完全准确，避免出现小数点错位、漏写小数点的结果错配问题，导致最终数值大小完全失真。 7、口算结果末尾带有多余0的小数乘除法场景时，可根据小数的性质去掉末尾多余的0简化结果，不能随意去掉非末尾数位的0，导致最终结果的数值大小发生改变。 8、同一道小数乘除法口算的题目中，小数点移位的基准、小数位数的计数规则必须完全统一，不能中途随意调整小数点的移位方向、混用不同的计数精度，打乱运算的严谨性。 【题型精讲1】直接写出得数。 1.25×8＝         1.2÷0.8＝           0.35÷0.01＝        2.5×40＝          0.2×0.3＝        0.96÷1.6＝           0.5×4.6＝        3.2÷0.16＝ 【答案】10；1.5；35；100； 0.06；0.6；2.3；20 【易错巩固1】直接写出得数。 0.4×0.5＝          1.25×0.8＝         3.6÷0.6＝         4.9÷0.07＝ 0.72÷0.8＝         2.5×8＝           0.42＝               7.8÷0.3＝ 【答案】0.2；1；6；70； 0.9；20；0.16；26 【易错巩固2】直接写出得数。 2×2.5＝    7.2÷0.8＝    0.45－0.2＝    0.75×100＝ 7.2×5＝    0.05＋4＝    25÷0.05＝    92÷100＝ 【答案】5；9；0.25；75 36；4.05；500；0.92 【易错巩固3】直接写出得数。 0.8÷4＝            0.2×0.3＝            42÷0.7＝            1.25÷5＝ 2.5×0.3＝        1.25×0.8＝            0.36÷0.09＝            0.25×2.3×4＝ 【答案】0.2；0.06；60；0.25； 0.75；1；4；2.3 【易错巩固4】 【易错巩固4】直接写得数。 0.2×0.01＝       4.6×0.3＝        0.56÷0.7＝       6.8－3.5＝ 1.8×0.4＝        0.4×25＝        7.8÷0.26＝       3.2÷32＝ 【答案】0.002；1.38；0.8；3.3 0.72；10；30；0.1 易错题型02 小数乘除法竖式计算（含近似数） 1、同时满足“末位对齐数位、按整数乘除规则运算后再调整小数点位置”得到的结果，才是本单元认可的小数乘除法竖式标准结果，随意对齐小数点直接运算得到的数值不能作为有效竖式计算结论。 2、列小数乘法竖式时，要先忽略小数点按整数乘法算出完整乘积，再统计两个因数的总小数位数，从乘积的末位向左数出对应位数点上小数点，不能提前对齐小数点运算，直接打乱数位的对应关系。 3、列小数除法竖式时，要先根据商不变性质把除数转化为整数，同步将被除数的小数点向右移动对应位数，不能只改动除数的小数点位置、不同步调整被除数，得到完全错误的商值。 4、反向核验小数乘除法竖式结果时，用除法反向核对乘法运算、用乘法反向核对除法运算，最终还原得到的原始因数或除数、被除数必须和题目给出的已知数完全匹配。 5、取积的近似数时，要先算出完整的精确乘积，再按要求的保留位数的下一位数字做四舍五入判定，不能中途截断运算过程直接取近似值，导致最终近似数和标准值偏差过大。 6、标注小数乘除法竖式的最终结果时，要明确标注近似数的保留精度，必要时用约等号连接结果，避免出现小数点错位、漏写近似标识的结果错配问题。 7、取商的近似数时，要保证运算出的商的小数位数至少比要求保留的位数多一位，不能仅运算到保留位数就直接判定取舍，得到不符合精度要求的错误近似数。 8、同一道小数乘除法竖式相关题目中，小数点的移动基准、四舍五入的判定规则必须完全统一，不能中途随意调整小数位数的计数标准、混用不同的近似取舍规则，打乱运算的严谨性。 【题型精讲1】列竖式计算（带★的保留两位小数） 3.25×1.4＝                4.08÷0.24＝ ★6.35×2.9≈                ★8÷0.9≈ 【答案】4.55；17； 18.42；8.89 【分析】小数乘法法则：（1）按整数乘法的法则先求出积；（2）看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 小数除法法则：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。 保留两位小数看千分位，小于5直接舍去，大于或等于5向前一位进一。 【解答】3.25×1.4＝4.55            4.08÷0.24＝17    ★6.35×2.9≈18.42            ★8÷0.9≈8.89    【易错巩固1】列竖式计算。 2.34×0.15≈（保留两位小数） 4.59÷1.5＝（验算）  1.52÷0.37＝（商用循环小数表示） 【答案】0.35；3.06； 【分析】计算小数乘法，先按整数乘法的法则求出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 根据除数是小数的除法的计算方法，先把除数扩大至整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点就移动几位，再根据除数是整数的小数除法计算方法即可，最后的被除数的小数点和商的小数点对齐。 结果保留两位小数，需要看小数点后第三位，根据“四舍五入”原则，小于5则直接舍去，大于等于5则需要向前进1。 根据“除数×商＝被除数”即可进行验算。 循环小数记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“·”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。 【解答】2.34×0.15≈0.35         4.59÷1.5＝3.06           1.52÷0.37＝ 验算： 【易错巩固2】用竖式计算下面各题。 0.46×2.1＝            8.64÷3.2＝            40.8÷3.3≈（得数保留两位小数） 【答案】0.966；2.7；12.36 【分析】小数乘法：先按整数乘法的法则算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 小数除法：先把除数变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。求近似数时，要计算到比要求保留的位数多一位，再进行四舍五入。 【解答】0.46×2.1＝0.966      8.64÷3.2＝2.7     40.8÷3.3≈12.36（得数保留两位小数）                  【易错巩固3】用竖式计算。（带☆的要验算） 2.82×3.5＝        ☆18.62÷3.8＝ 6.45×0.24＝        25.95÷2.3≈（保留两位小数） 【答案】9.87；4.9； 1.548；11.28 【分析】小数乘小数的竖式计算，关键在于‌先忽略小数点按整数相乘，再根据因数中小数位数确定积的小数点位置‌，‌如果末尾有0，去掉末尾的0，如果积的位数少于小数位数，要在前面补0再点小数点。 小数除以小数的竖式计算，核心是‌利用商不变性质，先把除数转化为整数，再按整数除法计算，最后对齐小数点‌。需要注意的是：被除数和除数必须扩大相同倍数，否则商会变；如被除数位数不足，要在末尾添0补足；商的小数点必须对齐；如果除不尽，根据要求保留小数位数（如四舍五入）。 【解答】2.82×3.5＝9.87         18.62÷3.8＝4.9          验算：   6.45×0.24＝1.548                25.95÷2.3≈11.28（保留两位小数）                 【易错巩固4】列竖式计算。 36×2.05＝    8.54÷2.8＝ 8.9×0.34≈（得数保留两位小数）    4.1÷1.76≈（得数精确到十分位） 【答案】73.8；3.05；3.03；2.3 【分析】小数乘整数（小数）时，‌首先按照整数乘法的法则计算出积，然后根据乘数中小数的位数，从积的右边数出相应位数，点上小数点。积的小数位数如果不够，前面用0补位再点小数点；点完小数点后，积的小数部分末尾的0要去掉。 小数除法列竖式和整数除法竖式一样，关键是要利用商不变的性质，即除数与被除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，把除数的小数点去掉后，再按整数除法计算，最后商的小数点与被除数的小数点对齐就行。 积保留两位小数，对积的小数点后第三位上的数字四舍五入；商精确到十分位，对商百分位上的数字四舍五入，据此解答。 【解答】36×2.05＝73.8            8.54÷2.8＝3.05            8.9×0.34≈3.03            4.1÷1.76≈2.3           易错题型03 积的变化规律（小数乘法） 1、同时满足“两个因数均完成小数位数对齐、运算全程遵循十进制计数规则”得到的结果，才是本单元认可的小数乘法积的变化规律的标准结论，仅靠整数乘法的经验直接推导的结论不能作为有效判定依据。 2、判定小数乘法中积的小数位数时，要明确积的小数位数等于两个因数的小数位数之和，不能直接忽略因数的小数位数直接按整数乘积判定，否则会直接导致积的数值出现量级偏差。 3、一个数乘小于1的纯小数时，得到的积会比原数本身更小，不能直接照搬整数乘法中“乘积一定大于因数”的错误经验，违背小数乘法的积的变化属性。 4、反向核验小数乘法的积的变化结果时，将得到的积除以其中一个因数，最终得到的数值必须和另一个因数的实际大小完全匹配，不能出现推导结果和原始因数偏差过大的逻辑矛盾。 5、两个因数同时扩大或缩小指定倍数时，积的变化倍数是两个因数变化倍数的乘积，不能直接认为积的变化倍数和单个因数的变化倍数完全相等，混淆积的联动变化逻辑。 6、标注小数乘法积的变化相关的最终结果时，要明确标注积的小数点位置，避免出现小数点错位、小数位数错配的问题，导致积的数值指代完全失真。 7、处理因数末尾带有0的小数乘法场景时，要先按整数乘法算出乘积，再补全对应小数位数后划去末尾多余的0，不能先划去末尾0再统计小数位数，得到不符合规则的错误结果。 8、同一道小数乘法积的变化相关题目中，因数的小数位数统计基准、倍数变化的计数规则必须完全统一，不能中途随意切换小数位数的统计标准、更改倍数的计算基准，打乱运算逻辑的严谨性。 【题型精讲1】2.36×0.3的积与下面算式（    ）的积相等。 A．0.236×3 B．23.6×0.3 C．236×0.03 D．236×0.3 【答案】A 【分析】在乘法算式中，一个因数乘（或除以）一个不为0的数，另一个因数同时除以（或乘）相同的数，积不变。 【解答】A．2.36除以10得到0.236，0.3乘10得到3，一个因数除以10，另一个因数乘10，两个因数变化的倍数相同，所以积不变，与原式的积相等。 B．2.36乘10得到23.6，0.3保持不变，只有一个因数乘10，另一个因数没有发生变化，所以积会乘10，与原式的积不相等。 C．2.36乘100得到236，0.3除以10得到0.03，一个因数乘100，另一个因数除以10，所以积会发生改变，与原式的积不相等。 D．2.36乘100得到236，0.3保持不变，只有一个因数乘100，另一个因数没有发生变化，所以积也乘100，与原式的积不相等。 2.36×0.3的积与算式0.236×3的积相等。 【易错巩固1】下列算式中，与0.845×1.8的结果相同的是（    ）。 A．8.45×18 B．18×0.0845 C．84.5×0.18 D．0.845×180 【答案】B 【分析】如果一个因数乘几，另一个因数除以相同的数（0除外），那么积不变。据此解答。 【解答】与0.845×1.8相比： A．8.45×18，相当于0.845×1.8中的0.845×10，1.8×10，积变大了； B．18×0.0845，相当于0.845×1.8中的0.845÷10，1.8×10，积不变； C．84.5×0.18，相当于0.845×1.8中的0.845×100，1.8÷10，积变大了； D．0.845×180，相当于0.845×1.8中的0.845不变，1.8×100，积变大了。 所以与0.845×1.8的结果相同的是18×0.0845。 【易错巩固2】两个因数的积是3.6，一个因数扩大到原来的10倍，另一个因数缩小到原来的，积是（    ）。 A．36 B．3.6 C．0.36 【答案】B 【分析】积的变化规律：在乘法运算中，一个因数扩大到原来的n倍，另一个因数缩小到原来的，（n≠0），积保持不变。 【解答】两个因数的积是3.6，一个因数扩大到原来的10倍，另一个因数缩小到原来的，积是3.6。 【易错巩固3】根据45×28＝1260，直接写出下面各题的得数。 4.5×28＝（ ），1260÷45＝（ ），4.5×0.28＝（ ）。 【答案】126 28 1.26 【分析】一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也跟着乘几或除以几； 积÷一个因数＝另一个因数； 一个因数除以10，另一个因数除以100，则积除以1000。 【解答】45÷10＝4.5，1260÷10＝126，所以4.5×28＝126； 1260÷45＝28； 45÷10＝4.5，28÷100＝0.28，所以1260÷1000＝1.26。 【易错巩固4】根据45×37＝1665，直接写出下面算式的得数。 （1）45×3.7＝（ ） （2）0.45×0.37＝（ ） （3）16.65÷0.45＝（ ） 【答案】（1）166.5 （2）0.1665 （3）37 【分析】积的变化规律：两个数相乘时，一个因数乘几或除以几，积也跟着乘几或除以几。 乘法各部分的关系可知：积÷一个因数＝另一个因数。 【解答】（1）37÷10＝3.7，1665÷10＝166.5，所以45×3.7＝166.5 （2）45÷100＝0.45，37÷100＝0.37， 1665÷100÷100 ＝16.65÷100 ＝0.1665 所以0.45×0.37＝0.1665 （3）45÷100＝0.45，1665÷100＝16.65，则0.45×37＝16.65，所以16.65÷0.45＝37 易错题型04 大小关系（因数和积，被除数和商） 1、同时满足“两个非零因数参与运算、基于小数乘法规则计算”得到的结果，才是本单元认可的因数与积的标准大小关系结论，仅靠整数乘法的经验直接推导的大小判定不能作为有效依据。 2、判定小数乘法中积与第一个因数的大小关系时，要先确认第二个因数和1的大小对比，不能跳过和1的比对直接判定积的大小，否则会直接颠倒积和因数的实际大小关系。 3、判定小数除法中商与被除数的大小关系时，要先确认除数和1的大小对比，不能跳过和1的比对直接判定商的大小，得到完全错误的大小判定结果。 4、反向核验因数和积的大小关系结论时，将对应因数代入乘法算式算出实际积，最终积和因数的大小对比必须和之前的判定结果完全匹配，不能出现逻辑矛盾。 5、反向核验被除数和商的大小关系结论时，将对应被除数代入除法算式算出实际商，最终商和被除数的大小对比必须和之前的判定结果完全匹配，不能出现数值偏差。 6、标注小数乘除相关的大小判定结果时，要正确使用“>”“<”对应大小关系，避免出现符号写反、漏写连接符号的错配问题，导致数值关系指代模糊。 7、处理因数为0的特殊小数乘法场景时，要明确积固定为0，不受另一个因数和1的大小关系影响，不能直接套用常规非零因数的大小判定逻辑，得到不符合特殊场景的错误结论。 8、同一道小数乘除大小判定的题目中，因数、除数和1的大小对比基准必须完全统一，不能中途随意切换数值的判定参考标准，打乱判定逻辑的严谨性。 【题型精讲1】在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 14.3×0.98（ ）14.3     22.8÷1.01（ ）22.8 【答案】＜ ＜ 【分析】一个数（除外），乘小于的数，积比原数小；除以大于的数，商比原数小。 【解答】因为，所以； 因为，所以。 【易错巩固1】在括号里填上“＞”“＜”“＝”。 0.25÷0.5（ ）0.25×0.5            0.8×0.8（ ）0.8＋0.8 2.05×0.705（ ）0.205×7.05        5.25×10（ ）0.9×52.5 【答案】＞ ＜ ＝ ＞ 【分析】（1）一个数（0除外）除以小于1的数，商比原来的数大； 一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小； （2）一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小； 两个非0数相加，和大于任何一个加数； （3）根据积不变的规律“一个因数乘几，另一个因数除以一个相同的数（0除外），积不变”，将2.05×0.705改写成0.205×7.05，再与另一个算式进行比较； （4）先根据积不变的规律将0.9×52.5改写成9×5.25，再根据“乘法算式中，其中一个因数相同，另一个因数大的，积就大”与另一个算式进行比较。 【解答】（1）0.5＜1，则0.25÷0.5＞0.25，0.25×0.5＜0.25，所以0.25÷0.5＞0.25×0.5； （2）0.8＜1，则0.8×0.8＜0.8，0.8＋0.8＞0.8，所以0.8×0.8＜0.8＋0.8； （3）2.05×0.705＝（2.05÷10）×（0.705×10）＝0.205×7.05，所以2.05×0.705＝0.205×7.05； （4）0.9×52.5＝（0.9×10）×（52.5÷10）＝9×5.25，5.25×10＞9×5.25，所以5.25×10＞0.9×52.5。 【易错巩固2】在括号里填上“＞”“＜”“＝”。 0.9×3.52（ ）3.52                       4.68÷1.2（ ）4.68÷12 19.8÷0.5（ ）19.8                        4.7×11（ ）4.7×10＋4.7 【答案】＜ ＞ ＞ ＝ 【分析】第1题，一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。 第2题，被除数相等，除数越小，商越大。 第3题，一个数（0除外）除以小于1的数，商比被除数大。 第4题，把11拆分成10与1的和，利用乘法分配律计算。观察计算过程判断。 【解答】第1题，因为0.9＜1，所以0.9×3.52＜3.52； 第2题，除数1.2＜12，被除数相等，那么4.68÷1.2＞4.68÷12； 第3题，因为0.5＜1，所以19.8÷0.5＞19.8； 第4题，4.7×11＝4.7×（10＋1）＝4.7×10＋4.7×1＝4.7×10＋4.7，所以4.7×11＝4.7×10＋4.7。 【易错巩固3】在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 16.5×0.98（ ）16.5      4.36÷0.9（ ）4.36 1.23÷1.01（ ）1.23      6.2÷0.5（ ）6.2×2 【答案】＜ ＞ ＜ ＝ 【分析】（1）一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小； （2）一个数（0除外）除以小于1的数，商比原来的数大； （3）一个数（0除外）除以大于1的数，商比原来的数小； （4）一个数（0除外）除以0.5等于这个数乘2。 【解答】（1）0.98＜1，所以16.5×0.98＜16.5； （2）0.9＜1，所以4.36÷0.9＞4.36； （3）1.01＞1，所以1.23÷1.01＜1.23； （4）6.2÷0.5＝12.4，6.2×2＝12.4，所以6.2÷0.5＝6.2×2。 【易错巩固4】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 1.26÷1.01（ ）1.26           2.72÷0.5（ ）2.72×2 0.97×180（ ）1.8×9.7        0.75×0.89（ ）0.75÷0.89 【答案】＜ ＝ ＞ ＜ 【分析】可以根据小数乘法积与因数的关系比较大小，即一个非零的数乘一个大于1的数，积比原数大；一个非零的数乘一个小于1的数，积比原数小； 还可以根据小数除法商与被除数的关系比较大小，即一个非零的数除以一个大于1的数，商比原数小；一个非零的数除以一个小于1的数，商比原数大； 还可以根据积的变化规律比较大小，即当因数乘或除以一个数（不为0），积也随着乘或除以这个数。； 也可以计算出两个算式的得数后，再进行比较。 【解答】1.26÷1.01中，1.01＞1，则商小于被除数1.26，所以，1.26÷1.01＜1.26； 2.72÷0.5＝5.44，2.72×2＝5.44，5.44＝5.44，所以，2.72÷0.5＝2.72×2； 与0.97×180比较，把因数180除以100，把因数0.97乘10，得1.8×9.7，则积应先除以100，再乘10，即积应除以10，所以，0.97×180＞1.8×9.7； 因0.89＜1，则0.75×0.89＜0.75，0.75÷0.89＞0.75，所以，0.75×0.89＜0.75÷0.89。 易错题型05 一个数乘小数 1、同时满足“明确数量间的倍比基准、找准单位‘1’的对应数值”规则推导得到的结果，才是本单元认可的一个数乘小数解决问题的标准结论，仅靠随意选取两个数直接相乘得到的数值不能作为有效运算依据。 2、判定一个数乘小数的实际意义时，要明确它表示求这个数的十分之几、百分之几等对应占比的数值，不能直接等同于整数乘法的“几个相同加数求和”的含义，混淆倍比关系的定义边界。 3、列数量关系式时，要先锁定作为基准的单位“1”的已知量，再用该数值乘对应的小数倍比系数，不能随意把非单位“1”的量直接当作基准数参与运算，得到完全错位的结果。 4、反向核验一个数乘小数的解决问题结果时，将最终得到的结果除以基准单位“1”的数值，最终得到的比值必须和题目给定的小数倍比系数完全匹配，不能出现比值偏差过大的逻辑矛盾情况。 5、处理单位“1”为隐藏条件的实际场景时，要先通过题干描述明确基准量的具体数值，再代入乘法运算，不能跳过单位“1”的确认步骤直接选取任意数值相乘，违背数量关系的逻辑约束。 6、标注一个数乘小数解决问题的最终结果时，要明确标注和题干匹配的对应单位，避免出现单位错配、漏写单位的问题，导致最终结果的数值指代完全失真。 7、处理求比一个数的小数倍多/少几的复合场景时，要先算出基准数对应的小数倍数值，再做后续的加减运算，不能颠倒运算顺序先算加减再乘小数，打乱数量关系的优先级逻辑。 8、同一道一个数乘小数的解决问题题目中，单位“1”的判定基准、倍比系数的对应关系必须完全统一，不能中途随意切换基准量、更改小数倍比的对应对象，打乱运算逻辑的严谨性。 【题型精讲1】小红妈妈带150元去超市购物，买了2袋大米，每袋30.5元，还买了1.9千克肉，每千克28.5元。剩下的钱买一盒28元的草莓够吗？ 【答案】够 【分析】先根据总价＝单价×数量分别算出买2袋大米和1.9千克肉用去的钱数，再相加即可得到花去的总钱数，再用小红妈妈带的钱数减去花去的钱数即可得到剩余的钱数，最后和一盒草莓的价钱比较即可。 【解答】150－（30.5×2＋28.5×1.9） ＝150－（61＋28.5×1.9） ＝150－（61＋54.15） ＝150－115.15 ＝34.85（元） 34.85＞28 答：剩下的钱够买一盒28元的草莓。 【易错巩固1】曾侯乙编钟一共有65件，最大的一件的高度约是最小的7.6倍，质量约是最小的一件的84.8倍，最大的这件编钟高约多少厘米？重约多少千克？ 【答案】153.52厘米；203.52千克 【分析】最大的编钟高度是最小的7.6倍，用最小高度乘7.6；最大的编钟质量是最小的84.8倍，用最小质量乘84.8。 【解答】20.2×7.6＝153.52（厘米） 2.4×84.8＝203.52（千克） 答：最大的这件编钟高约153.52厘米，重约203.52千克。 【易错巩固2】天桂梨每千克售价12.5元，李叔叔买了3.4千克，他微信钱包余额为50元，支付后还剩多少元？ 【答案】7.5元 【分析】先根据“单价×数量＝总价”求出买天桂梨一共花了多少钱，再用余额减去花的钱即得到剩下的钱。 【解答】12.5×3.4＝42.5（元） 50－42.5＝7.5（元） 答：支付后还剩7.5元。 【易错巩固3】一支铺路队铺一段公路，上午工作3.5小时，每小时铺路65.2米；下午工作4.5小时，每小时铺路57.4米。这支铺路队这一天一共铺路多少米？ 【答案】486.5米 【分析】上午工作3.5小时，每小时铺路65.2米；下午工作4.5小时，每小时铺路57.4米。分别用每小时铺路长度乘工作时间求出上午和下午铺路的长度，将两部分相加即可求出一天共铺路长度。据此解答。 【解答】65.2×3.5＋57.4×4.5 ＝228.2＋258.3 ＝486.5（米） 答：这支铺路队这一天一共铺路486.5米。 【易错巩固4】一个长方形花坛，长是3.5米，宽是2.4米。花坛的中间有一个边长为0.4米的正方形喷泉，求花坛的实际种植面积是多少平方米？ 【答案】8.24平方米 【分析】根据“长方形的面积＝长×宽”求出花坛的总面积，再根据“正方形的面积＝边长×边长”求出正方形喷泉的面积，花坛的实际种植面积＝花坛的总面积－正方形喷泉的面积，据此解答。 【解答】3.5×2.4－0.4×0.4 ＝8.4－0.16 ＝8.24（平方米） 答：花坛的实际种植面积是8.24平方米。 易错题型06 一个数除以小数 1、同时满足“被除数和除数同步扩大相同倍数转化为整数除法、商的数值保持不变”规则得到的结果，才是本单元认可的一个数除以小数的标准运算结论，仅直接去掉除数的小数点就直接做整数除法得到的数值不能作为有效运算结果。 2、处理除数为多位小数的除法运算时，要先将除数的小数点向右移动转化为整数，同步把被除数的小数点向右移动相同位数，不能只改动除数的小数点位置、不调整被除数的数位，直接破坏商不变的核心规则。 3、计算被除数小数位数少于除数小数位数的除法时，要在被除数末尾补足够的0补足移动位数，不能直接截断被除数的数位强行对齐，得到完全错误的商值。 4’反向核验一个数除以小数的运算结果时，将得到的商和原小数除数相乘，最终得到的乘积必须和原式的被除数完全相等，不能出现乘积和原始被除数偏差过大的逻辑矛盾情况。 5、用一个数除以小数解决实际分配类问题时，要先明确总量和每份数的对应关系，用总量除以每份数得到分配份数，不能随意颠倒被除数和除数的位置，得到不符合实际意义的结果。 6、标注一个数除以小数解决问题的最终结果时，要明确标注和场景匹配的对应单位，避免出现单位和所求量错配、漏写单位的问题，导致结果的实际指代完全失真。 7、解决一个数除以小数的实际应用问题时，要先锚定“商不变性质保证等值转化”的核心规则，不能直接硬套整数除以整数的运算逻辑，忽略除数为小数的特殊属性。 【题型精讲1】永州和岳阳两地大约相距450千米，甲乙两车分别同时从两地出发，3.6小时后两车相遇，已知甲车的速度是每小时65千米，乙车每小时行驶多少千米？ 【答案】60千米 【分析】根据速度和×相遇时间＝总路程，用总路程除以相遇时间算出甲乙两车的速度和，再减去65千米即可。 【解答】450÷3.6－65 ＝125－65 ＝60（千米/小时） 答：乙车每小时行驶60千米。 【易错巩固1】某种植大户承包了200亩的高标准农田。为了提高水肥利用率、降低成本，决定安装一套智能水肥一体化系统，总费用大约是21.6万元。安装后，系统每月大约能帮农场节省1.2万元的费用。照这样计算，多少个月后节省的费用就能收回系统投入的成本？ 【答案】18 个月 【分析】本题考查小数除法在实际生活中的应用。解题的关键是理清数量关系，即“收回成本所需时间＝总投入费用÷每月节省费用”。题干中提到的“200 亩”农田面积与计算收回成本的时间没有直接关系，属于多余条件，在列式计算时不需要使用。计算时需运用除数是小数的除法法则，将除数转化为整数再进行计算。 【解答】根据题意，求多少个月能收回成本，就是求21.6万元里面包含多少个1.2万元，用除法计算。 （个月） 答：18个月后节省的费用就能收回系统投入的成本。 【易错巩固2】遵化到北京的路程大约180千米，一辆客车从遵化开往北京，一辆货车从北京开往遵化，货车每小时行驶70千米，两车同时出发，经过1.2小时相遇，客车每小时行驶多少千米？ 【答案】客车每小时行驶80千米。 【分析】①相遇问题核心公式：总路程＝（客车速度＋货车速度）×相遇时间，客车速度＝总路程÷相遇时间－货车速度。 ②代入计算求解即可。 【解答】两车速度和：（千米/小时） 客车速度：（千米/小时） 答：客车每小时大约行驶80千米。 【易错巩固3】五一班举行“庆元旦”联欢会，买6.7千克葵花籽用了18.76元，又买了5.6千克糖果。糖果的单价是葵花籽的3.5倍。买糖果共用多少元？ 【答案】54.88元 【分析】买6.7千克葵花籽用了18.76元，用葵花籽的总花费除以购买的重量算出葵花籽的单价； 糖果单价是葵花籽的3.5倍，求一个数的几倍是多少，用乘法计算，用葵花籽的单价乘3.5，得到糖果的单价； 买了5.6千克糖果，用糖果的单价乘购买的数量，就能得出买糖果的总费用。据此解答。 【解答】18.76÷6.7×3.5×5.6 ＝2.8×3.5×5.6 ＝9.8×5.6 ＝54.88（元） 答：买糖果共用54.88元。 【易错巩固4】玩具厂做一种益智玩具，每个玩具需要3.2元的材料。后来该玩具厂改进了制作工艺，每个玩具比原来少用0.4元的材料。原来准备做560个玩具的材料，现在比原来可以多做多少个玩具？ 【答案】80个 【分析】已知原来准备做560个玩具的材料，每个玩具需要3.2元的材料，用每个玩具所需的材料费乘玩具的个数，求出材料的总费用； 已知现在每个玩具比原来少用0.4元的材料，用原来每个玩具所需的材料费减去0.4元，求出现在每个玩具所需的材料费； 再用材料的总费用除以现在每个玩具所需的材料费，求出现在可以做玩具的个数，再减去原来做玩具的个数，即是现在比原来可以多做玩具的个数。 【解答】3.2×560＝1792（元） 3.2－0.4＝2.8（元） 1792÷2.8＝640（个） 640－560＝80（个） 答：现在比原来可以多做80个玩具。 易错题型07 小数连乘或连除 1、同时满足“同级运算从左到右依次推进、每一步小数乘除的数位对齐规则合规”得到的结果，才是本单元认可的小数连乘或连除的标准运算结论，随意跳步运算、数位错位得到的数值不能作为有效运算结果。 2、计算小数连乘运算时，要先按整数乘法规则算出总乘积后，再统一统计所有因数的小数位数之和确定最终小数点位置，不能每乘一个小数就单独点一次小数点，打乱小数位数的累计统计逻辑。 3、计算小数连除运算时，要先将所有除数同步转化为整数后再按规则运算，不能仅把第一个除数转化为整数就直接后续运算，导致后续除数的小数点位置错位引发运算错误。 4、反向核验小数连乘或连除的结果时，从最终结果出发反向逆推所有运算步骤，每一步都用对应逆运算还原前序数值，最终得到的初始参与运算的数值必须和题目给出的已知数完全匹配。 5、运用乘法交换律调整小数连乘的运算顺序时，要同步移动数字前的运算符号，不能只移动数字、遗漏对应前置乘号，直接改变原式的运算逻辑得到错误结果。 6、标注小数连乘或连除的最终结果时，要保证结果的小数点位置和累计统计的小数位数完全匹配，避免出现小数点错位、漏写小数点的结果错配问题，导致最终数值大小完全失真。 7、处理连除运算中连续除以两个数的简便运算场景时，要严格遵循连除性质将两个除数相乘后再做总除法，不能随意变更括号内的运算符号，破坏简便运算的等值逻辑。 8、同一道小数连乘或连除的题目中，小数位数的统计基准、同级运算的顺序规则必须完全统一，不能中途随意调整小数点的对齐位置、混用不同的运算优先级规则，打乱运算的严谨性。 9、解决小数连乘或连除的实际应用问题时，要先锚定“同级运算顺序合规、等值调整运算顺序”的核心规则，不能直接硬套整数连乘连除的末位对齐逻辑，忽略小数的数位属性。 【题型精讲1】计算下面各题。 15×0.7×2.2         5.15×2.4×6         0.6×0.8×3.5 【答案】23.1；74.16；1.68 【分析】同级运算，按照从左到右的运算顺序，再按照小数乘法的计算法则，即可解答。 【解答】 【易错巩固1】计算下面各题。 2.1÷3.5÷0.4              1.38÷0.25÷40             24.96÷6.4÷13 【答案】1.5；0.138；0.3 【分析】（1）利用除法的性质a÷b÷c＝a÷（b×c）把2.1÷3.5÷0.4写成2.1÷（3.5×0.4）进行简便计算； （2）利用除法的性质a÷b÷c＝a÷（b×c）把1.38÷0.25÷40写成1.38÷（0.25×40）进行简便计算； （3）按照四则运算顺序，从左到右依次计算； 【解答】2.1÷3.5÷0.4 ＝2.1÷（3.5×0.4） ＝2.1÷1.4 ＝1.5 1.38÷0.25÷40 ＝1.38÷（0.25×40） ＝1.38÷10 ＝0.138 24.96÷6.4÷13 ＝3.9÷13 ＝0.3 【易错巩固2】科学研究表明，1万平方米的森林每天大约可释放0.8吨氧气。美丽的大围山大约有269万平方米的森林面积。照这样计算这片森林30天一共释放了大约多少吨氧气？ 【答案】6456吨 【分析】30天总共释放的氧气量＝每1万平方米每天释放的氧气量×森林面积×天数。 【解答】0.8×269×30 ＝215.2×30 ＝6456（吨） 答：这片森林30天一共释放了大约6456吨氧气。 【易错巩固3】环卫工人开着洒水车给路面洒水，5台洒水车0.8小时洒了1.6公顷的路面。照这样计算，一台洒水车每小时可以洒多少公顷的路面？ 【答案】0.4公顷 【分析】1.6公顷除以0.8得到5台洒水车1小时洒水的路面面积，再除以5就是一台洒水车每小时可以洒水的路面面积，据此解答。 【解答】1.6÷0.8÷5 ＝2÷5 ＝0.4（公顷） 答：一台洒水车每小时可以洒0.4公顷的路面。 【易错巩固4】为了纪念世界杂交水稻之父袁隆平爷爷，学校组织学生到粮丰面粉加工厂参观学习面粉生产过程。粮丰面粉加工厂3台磨面机8小时可磨面粉33.6吨，照这样计算，每台磨面机1小时可磨面粉多少吨？ 【答案】1.4吨 【分析】已知3台磨面机8小时共磨面粉33.6吨，将总磨面量按“时间”平均分，可求出3台磨面机1小时的磨面量，即：33.6÷8＝4.2（吨）。3台磨面机1小时磨面4.2吨，再将这个量按“机器台数”平均分，可求出单台磨面机1小时的磨面量，即：4.2÷3＝1.4（吨）。 【解答】33.6÷8÷3＝1.4（吨） 答：每台磨面机1小时可磨面粉1.4吨。 易错题型08 进一法或去尾法解决问题 1、同时满足“结合实际场景对小数除法的商做正向取舍、完全贴合现实逻辑约束”得到的结果，才是本单元认可的进一法/去尾法的标准有效结论，仅按常规四舍五入规则直接取整得到的数值不能作为适配实际场景的合规结果。 2、使用进一法处理小数除法问题时，无论商的小数部分数值大小是多少，都要向整数部分进1后取整，不能直接按四舍五入规则舍去小数部分，导致最终结果无法满足实际场景的最低需求。 3、使用去尾法处理小数除法问题时，无论商的小数部分数值大小是多少，都要直接舍去小数部分仅保留整数部分，不能直接按四舍五入规则向整数部分进1，导致最终结果超出实际场景的承载上限。 4、反向核验进一法的运算结果时，将取整后的整数结果反向代入原场景验算，最终必须完全覆盖所有待分配的总量，不能出现剩余部分无法被承载的逻辑矛盾情况。 5、反向核验去尾法的运算结果时，将取整后的整数结果反向代入原场景验算，最终所有参与运算的材料总量必须完全满足实际使用的上限约束，不能出现材料总量不足的逻辑矛盾情况。 6、标注进一法、去尾法解决问题的最终结果时，要明确标注结果对应的实际场景单位，避免出现单位错配、漏写单位的问题，导致最终结果的实际指代完全失真。 7、处理装容器、运货物这类必须全部完成任务的场景时，要优先判定适配进一法规则，不能误用去尾法直接舍去小数部分，得到不符合任务完成要求的错误结果。 8、同一道小数除法取整的相关题目中，场景的约束规则、取舍的判定基准必须完全统一，不能中途随意切换进一法和去尾法的适用逻辑，打乱运算判定的严谨性。 9、解决进一法、去尾法的实际应用问题时，要先锚定“先算小数除法的商、再结合现实场景判定取舍规则”的核心逻辑，不能直接硬套常规四舍五入的取整规则，脱离实际场景的约束要求。 【题型精讲1】王阿姨要将23.4千克的糖果分装在一些袋子中，每个袋子里最多可以装1.5千克，至少需要准备多少个袋子才能把糖果装完？ 【答案】16个 【分析】由题意可知，用总重量除以每个袋子的容量，得到袋子数。由于袋子数必须是整数，且要确保所有糖果装完，当计算结果有余数时，需多用一个袋子，即应采用“进一法”。据此解答。 【解答】（个） 答：至少需要准备16个袋子。 【易错巩固1】王叔叔今年收了8吨玉米，用小卡车运每次最多能运1.5吨。王叔叔这些玉米至少运多少次才能运完所有玉米？ 【答案】6次 【分析】用玉米的总重量8吨除以每次最多运的重量1.5吨，装不满一卡车也需要运一次，则用“进一法”将商取整即可求出王叔叔这些玉米至少运多少次才能运完所有玉米。 【解答】8÷1.5＝≈6（次） 答：王叔叔这些玉米至少运6次才能运完所有玉米。 【易错巩固2】蝴蝶结是中华文化的一部分，在礼品上系上蝴蝶结，表达美好的心意与祝福。做一个蝴蝶结大约需要3.9分米的彩带，一根长19.2分米的彩带最大可做多少个蝴蝶结？ 【答案】4个 【分析】用总长度除以单个长度，得出个数。由于蝴蝶结的数量必须是整数，且计算结果有余数（剩余彩带不足以再做一个），采用“去尾法”取整。 【解答】19.2÷3.9≈4（个） 答：最大可做4个蝴蝶结。 【易错巩固3】李老师要用100元为班级买奖品。他先花72.8元买了8本《故事大王》，剩下的钱准备用来买单价为2.5元的练习本，还可以买多少本？ 【答案】10本 【分析】要求买多少本练习本，应先计算出买《故事大王》后剩下的钱数，再用剩下的钱数除以练习本的单价，就可以计算出数量。结合实际，要用“去尾法”保留结果。 【解答】（100－72.8）÷2.5 ＝27.2÷2.5 10（本） 答：还可以买10本。 【易错巩固4】“老吾老，以及人之老。”为发扬中华民族的传统美德，小乐一家打算利用周末的时间去看望敬老院的老人。他们准备了11.8千克的蜂蜜，分装在小瓶中，一个瓶子最多能装500克。他们至少要准备多少个瓶子来装这些蜂蜜？他们还准备了一根15米长的丝带来包装瓶子，每包装一个瓶子需要0.7米长的丝带。这根丝带最多可以包装多少瓶蜂蜜？ 【答案】24个；21瓶 【分析】化500克＝0.5千克，求至少要准备多少个瓶子来装这些蜂蜜，就是求11.8里面有多少个0.5，再根据“进一法”，用商＋1即是所求；求这根丝带最多可以包装多少瓶蜂蜜，就是求15里面有多少个0.7，根据“去尾法”，商即是所求。 【解答】500克＝0.5千克 11.8÷0.5＝23（个）……0.3（千克） 23＋1＝24（个） 15÷0.7＝21（瓶）……0.3（米） 答：他们至少要准备24个瓶子来装这些蜂蜜，这根丝带最多可以包装21瓶蜂蜜。 易错题型09 用计算器探索规律 1、同时满足“用计算器精准完成多步运算、逐次记录结果比对变化趋势”得到的结论，才是本单元认可的小数运算规律有效判定结果，仅靠单次随机运算的结果直接归纳的规律不能作为可靠依据。 2、用计算器探索小数乘法的因数与积的变化规律时，要固定其中一个因数保持不变，仅调整另一个因数的数值，不能同时随意改动两个因数的取值，直接打乱变量的单一控制逻辑。 3、用计算器探索小数除法的被除数、除数与商的变化规律时，要保证参照组的基准数值完全固定，不能中途随意更换被除数或除数的基准值，得到前后矛盾的规律结论。 4、反向核验探索得到的运算规律时，代入未参与规律归纳的新数值做验证运算，最终计算器输出的结果必须完全符合归纳出的规律特征，不能出现结果和规律相悖的逻辑矛盾情况。 5、处理循环小数的规律探索场景时，要通过计算器输出的多组结果比对循环节的变化特征，不能仅凭单次显示的有限位小数就直接判定循环规律，遗漏循环节的完整结构。 6、标注规律探索相关的最终结果时，要明确标注规律的适用前提、对应运算类型，避免出现规律适用范围模糊、结果指代错配的问题。 7、同一组规律探索的运算序列中，计算器的精度设置、小数保留规则必须完全统一，不能中途随意切换小数的显示位数、更改运算的精度基准，打乱规律归纳的严谨性。 8、解决用计算器探索规律的实际应用问题时，要先锚定“控制单一变量、多组运算交叉验证”的核心规则，不能直接硬套整数运算的规律直接迁移到小数场景，忽略小数运算的特性差异。 【题型精讲1】用发现的规律直接写出右面两题的得数。 1÷11＝0.0909…        4÷11＝（ ） 2÷11＝0.1818…        6÷11＝（ ） 3÷11＝0.2727… 【答案】0.3636… 0.5454… 【分析】已知1÷11＝0.0909…，2÷11＝0.1818…，3÷11＝0.2727…，算式的规律是：都跟第一个算式比较，除数不变，被除数分别扩大到原来的2、3、4倍…，那么循环节09也分别扩大到原来的2、3、4倍…，据此直接写出得数即可。 【解答】根据分析可知： 1÷11＝0.0909… 2÷11＝0.1818… 3÷11＝0.2727… 4÷11＝0.3636… 6÷11＝0.5454… 【易错巩固1】不计算，运用发现的规律，直接写出后三题的得数。 3×0.4＝1.2    3.333×333.4＝（ ） 3.3×3.4＝11.22    3.3333×3333.4＝（ ） 3.33×33.4＝111.222    3.33333×333333.4＝（ ） 【答案】1111.2222 11111.22222 111111.222222 【分析】观察3×0.4＝1.2，3.3×3.4＝11.22，3.33×33.4＝111.222，可发现第一个因数整数部分有n（n是大于0的自然数）个“3”，第二个因数整数部分有（n－1）个“3”（末尾跟1个“4”）；积的规律：积的整数部分是n（n是大于0的自然数）个“1”，小数部分是n个“2”。 3.333×333.4：第一个因数有4个“3”，对应积的整数部分是4个“1”，小数部分是4个“2”，得数为1111.2222； 3.3333×3333.4：第一个因数有5个“3”，对应积的整数部分是5个“1”，小数部分是5个“2”，得数为11111.22222； 3.33333×33333.4：第一个因数有6个“3”，对应积的整数部分是6个“1”，小数部分是6个“2”，得数为111111.222222。 【解答】第一个因数整数部分有n（n是大于0的自然数）个“3”，第二个因数整数部分有（n－1）个“3”；积的整数部分是n（n是大于0的自然数）个“1”，小数部分是n个“2”。 所以3.333×333.4＝1111.2222；3.3333×3333.4＝11111.22222；3.33333×33333.4＝111111.222222。 【易错巩固2】乐乐用计算器分别算出了下面三道算式的得数，请你找出规律，再按规律填空。 123456.79×9＝1111111.11 123456.79×18＝2222222.22 123456.79×27＝3333333.33 123456.79×54＝（ ） 123456.79×（ ）＝9999999.99 【答案】6666666.66 81 【分析】观察已知的三道算式发现：每个乘法算式的第一个因数都是123456.79，第二个因数是9的几倍，结果就是1111111.11的几倍，据此规律解答。 【解答】9×6＝54，则1111111.11×6＝6666666.66； 9999999.99÷1111111.11＝9，则9×9＝81； 填空如下： 123456.79×54＝（6666666.66） 123456.79×（81）＝9999999.99 【易错巩固3】根据计算结果的规律填空。 1.23×9＋0.04＝11.11 12.34×9＋0.05＝111.11 123.45×9＋0.06＝1111.11 （ ）×9＋0.07＝（ ）。 【答案】1234.56 11111.11 【分析】观察已知的前三个算式发现：乘法中的第一个因数是两位小数，小数点每向后移动一位，就在小数末尾按顺序增加一个数字；第二因数是9；后面相加的数从0.04开始每次增加0.01；积是两位小数，由数字1组成，加数百分位上的数字是几，积就有几个1；据此解答。 【解答】1.23×9＋0.04＝11.11 12.34×9＋0.05＝111.11 123.45×9＋0.06＝1111.11 1234.56×9＋0.07＝11111.11 【易错巩固4】李洋用计算器计算了4道除法算式（如图）： …… 请你根据发现的规律完成填空。 （1）______。 （2）______ 【答案】（1）9.87654 （2）88.888887 【分析】根据给出的四个等式，可以找出如下规律。被除数整数部分不变，小数部分依次增加一个8，最后一位数字依次是2、3、4、5（依次增加1）。除数是9都不变。整数部分是9，小数部分依次是8、87、876、8765（从8开始依次递减1）。 【解答】（1）商：整数部分是9，小数部分依次是8、87、876、8765（从8开始依次递减1）。根据规律，被除数小数最后一位是6，商是：9.87654。 （2）被除数：整数部分都是88，小数部分依次增加一个8，最后一位数字依次是2、3、4、5（依次增加1）。商的小数部分是876543，对应被除数的小数部分最后一位是7，且小数部分有5个8，被除数是88.888887。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $