暑假结业测试卷（范围：前3章）（暑假预习举一反三学情自测）新九年级数学上册新教材北师大版

**基本信息** 暑假结业测试卷（北师大版前3章），以几何图形性质、一元二次方程、相似三角形为核心，融入全运会文创销售、羊圈围栏等现实情境，通过基础巩固与综合应用梯度设计，适配暑假知识复盘与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|中心对称与轴对称图形、成比例线段、一元二次方程定义|基础概念辨析，如第1题考查5种图形对称性分类| |填空|6/18|一元二次方程解、菱形判定、折叠问题|第15题“同族二次方程”新定义，培养创新意识| |解答|8/72|方程求解、几何证明、动态问题、实际应用|22题结合全运会文创销售，考查增长率与利润模型；24题正方形综合证明，体现推理能力与几何直观|

暑假结业测试卷 【新教材北师大版】（范围：前3章） 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这五个几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的一共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（3分）下列四组线段中，是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．（3分）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 4．（3分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点O为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点C坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（3分）关于的方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 6．（3分）某病毒人传人，3人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有人感染，假设每轮每人传染的人数相同.则每轮每人传染的人数为（    ） A．4人 B．5人 C．6人 D．7人 7．（3分）如果一个矩形对折后和原矩形相似，则对折后矩形的长边与短边的比是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（     ） A． B． C． D． 9．（3分）如图所示：菱形的边长为5，对角线，相交于点O，，垂足为E，连接．若，则的长为（     ） A．1.2 B．2.4 C．4.8 D．9.6 10．（3分）如图，在中，，，动点P从点A开始以的速度沿边向点B运动；动点Q从点B开始以的速度沿边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． ①当时，的面积为； ②t有两个不同的值，都使的面积为； ③的面积可以为 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式的值是_____． 12．（3分）四边形的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足，请添加一个适当的条件：_______，使四边形成为菱形．（只需要添加一个条件即可） 13．（3分）如图，已知直线，直线 分别与直线交于A、B、C三点，直线 分别与直线交于D、E、F三点，与交于 点O，若，则的长是_________________． 14．（3分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长，各为_____米． 15．（3分）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是_____． 16．（3分）如图，在矩形中，，．现将该矩形沿折叠，使点A、C重合，则重叠部分的面积是______． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18．（8分）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是、． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 19．（8分）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点C作的平行线，过点B作的平行线，两直线相交于点E． （1）求证：四边形是矩形． （2）若 ，，求菱形的面积． 20．（8分）如图平面直角坐标系中，的位置如图所示， （1）写出各顶点的坐标分别为A（ ），B（ ），C（ ）； （2）作出向左平移4个单位后得到的； （3）在第三象限内，以点O为位似中心作出的位似图形，使新图与原图的位似比为； （4）在（3）的条件下，若M为边上的中点，则的边上与点M对应的点的坐标为（ ）． 21．（8分）如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且 ，． （1）求证：； （2）如果，，求的值． 22．（10分）2025年粤港澳大湾区全运会筹备工作全面推进，赛事周边文创产品市场热度持续攀升．某文创企业推出“活力大湾区”系列吉祥物智能手办，融合AR互动、赛事资讯实时推送等功能，一经推出便受到市场热烈追捧．经销售部门统计，该系列智能手办在2月份销售1000件，4月份销售1440件． （1）请求出“活力大湾区”系列智能手办从2月份到4月份销售量的月平均增长率． （2）市场调研显示，当每个智能手办售价为200元时，月销售量为3000件；在此基础上，售价每上涨5元，月销售量将减少50件，从生产部门得知，该系列智能手办的生产成本为每件120元． ①设该系列智能手办的售价为x元/件，月销售量为y件，请直接写出y（件）关于x（元/件）的函数关系式：____________． ②在充分考虑全运会期间市场竞争的情况下，为使月销售利润达到36万元，且使得销量尽可能多，该企业应将智能手办的实际售价定为多少元/件？ 23．（10分）如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作，交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）填空： ①当时，四边形是______形． ②在①的条件下，当时，四边形是______形，并说明理由． 24．（12分）如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与点B、C重合，点F是的延长线上一点，且． （1）求证：； （2）如图2，连接，交于点K，过点D作，垂足为H，延长交于点G，连接． ①求证：； ②若，求的长． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假结业测试卷 【新教材北师大版】（范围：前3章） 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这五个几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的一共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先明确中心对称图形和轴对称图形的定义，逐一判断题目给出的五个图形，统计符合条件的图形个数即可． 【详解】解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合要求； 矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求； 综上，符合要求的图形共个． 故选：B． 2．（3分）下列四组线段中，是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段的定义．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，四条线段不是成比例线段，故A选项不符合题意； B、，四条线段不是成比例线段，故B选项不符合题意； C、，四条线段是成比例线段，故C选项符合题意； D、，四条线段不是成比例线段，故D选项不符合题意． 故选：C． 3．（3分）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、中未说明，当时方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、由整理得，即，该方程满足一元二次方程的全部条件，故该选项符合题意； C、原方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意； D、原方程根号内含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，故该选项不符合题意． 故选：B． 4．（3分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点O为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点C坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为与的位似比为，所以点与点的坐标之比为，又因为点在第三象限，所以点的横、纵坐标为负数． 【详解】解：与的位似比为，点的坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 故选：C． 5．（3分）关于的方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】分为和两类讨论，结合根的判别式求出的取值范围． 【详解】解：①当时，该方程为关于的一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得， ∴且； ②当时，该方程为关于的一元一次方程， 原方程为，有实数根，符合题意； 综上所述，的取值范围为． 故选：A． 6．（3分）某病毒人传人，3人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有人感染，假设每轮每人传染的人数相同.则每轮每人传染的人数为（    ） A．4人 B．5人 C．6人 D．7人 【答案】A 【分析】设1个人传染人，第一轮共传染人，第二轮共传染人，由此列方程解答，再进一步求问题的答案． 【详解】解：设每个人传染人，根据题意列方程得， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 故选：A． 7．（3分）如果一个矩形对折后和原矩形相似，则对折后矩形的长边与短边的比是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似图形的性质，根据相似图形的性质，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：如图，    由题意，矩形与矩形相似，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：对折后矩形的长边与短边的比是； 故选D． 8．（3分）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质及平行线分线段成比例定理，逐项分析即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选项A正确； ∵， ∴， ∴，， 故选项B正确； ∵，， ∴， 故选项D正确； ∵，， ∴， ∴， 故选项C错误． 故选：C． 9．（3分）如图所示：菱形的边长为5，对角线，相交于点O，，垂足为E，连接．若，则的长为（     ） A．1.2 B．2.4 C．4.8 D．9.6 【答案】C 【分析】先利用菱形和直角三角形性质求长度，再根据勾股定理求得的长度，进而得到的长度，最后利用等面积法计算即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， ∴， 解得． 故选：C． 10．（3分）如图，在中，，，动点P从点A开始以的速度沿边向点B运动；动点Q从点B开始以的速度沿边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． ①当时，的面积为； ②t有两个不同的值，都使的面积为； ③的面积可以为 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及三角形的面积，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． ①当时，，，利用三角形的面积公式，可求出的面积为；②当运动时间为秒时，，，根据的面积为，可列出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；③假设的面积可以为，根据的面积为，可列出关于t的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即的面积不能为 【详解】解：①当时，，， ，结论①正确； ②秒，秒， 当运动时间为秒时，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 有两个不同的值，都使的面积为，结论②正确； ③假设的面积可以为， 根据题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即的面积不能为，结论③不正确． 综上所述，正确的结论有2个． 故选：C． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式的值是_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入原方程，求出的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程（）的解， ， 整理得 ， ． 故答案为：9． 12．（3分）四边形的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足，请添加一个适当的条件：_______，使四边形成为菱形．（只需要添加一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题可根据菱形的判定定理求解，已知四边形对角线互相垂直，且，只需证明四边形是平行四边形，即可结合对角线互相垂直判定其为菱形． 【详解】解：添加条件即可， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的对角线互相垂直， 平行四边形是菱形 故可添加为（答案不唯一）． 13．（3分）如图，已知直线，直线 分别与直线交于A、B、C三点，直线 分别与直线交于D、E、F三点，与交于 点O，若，则的长是_________________． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【详解】解：∵直线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 14．（3分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长，各为_____米． 【答案】20，20 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设的长度为米，则的长度为米，然后根据矩形的面积公式列出方程，结合题意舍掉不合适的结果即可． 【详解】解：设的长度为米，则的长度为米， 根据题意得：， 解得：，， 或， 舍去， ，， 答：羊圈的边长，各为20米，20米． 故答案为：20，20． 15．（3分）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是_____． 【答案】2027 【分析】本题考查了新定义，配方法的应用，根据同族二次方程的定义，两个方程必须具有相同的c和k，由第二个方程确定，，令第一个方程中的c相等，解出（舍去），再令k相等，解出，代入代数式，结合配方法求最小值，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴，，， 解得，， 则 ， 当时，则， ∴， 即代数式的最小值是， 故答案为：． 16．（3分）如图，在矩形中，，．现将该矩形沿折叠，使点A、C重合，则重叠部分的面积是______． 【答案】/ 【分析】设，根据折叠性质表示出，在中利用勾股定理列方程求出，进而得到的长. 根据折叠性质和平行线性质证明为等腰三角形，得到，最后利用三角形面积公式求解； 【详解】解：设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理，得，即，解得， ， 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，掌握直接开平方法，因式分解法以及公式法是解题的关键． （1）根据直接开平方法求解一元二次方程即可； （2）先移项，再提取公因式求解即可； （3）利用公式法求解一元二次方程即可； （4）利用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 解得，； （2）解：， ， ， 解得，； （3）解：， ， ，，， ， ， 解得，； （4）解：， ，，， ， ， 解得，． 18．（8分）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是、． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则． （1）根据题意可得，据此可得答案； （2）根据根与系数的关系得到，，再由已知条件和完全平方公式的变形得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴， ∴， ； （2）解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴ 解得：，（舍去） ∴． 19．（8分）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点C作的平行线，过点B作的平行线，两直线相交于点E． （1）求证：四边形是矩形． （2）若 ，，求菱形的面积． 【分析】（1）首先可根据，判定四边形是平行四边形，然后根据菱形的性质，得到，可判定四边形是矩形； （2）根据矩形的性质，菱形的性质解答即可． 本题主要考查矩形的判定，平行四边形、菱形的性质，菱形面积的求法，解题的关键是熟记矩形的各种判断方法． 【详解】（1）证明：四边形是矩形．理由如下： ∵为菱形对角线的交点， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 20．（8分）如图平面直角坐标系中，的位置如图所示， （1）写出各顶点的坐标分别为A（ ），B（ ），C（ ）； （2）作出向左平移4个单位后得到的； （3）在第三象限内，以点O为位似中心作出的位似图形，使新图与原图的位似比为； （4）在（3）的条件下，若M为边上的中点，则的边上与点M对应的点的坐标为（ ）． 【分析】本题主要考查平移，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）直接写出坐标即可 （2）根据题意得到对应点的坐标，画出平移图形即可； （3）根据相似比分别求出对应点的坐标，进行画图即可． （4）根据题意的出点M的坐标，然后根据位似的性质即可解答． 【详解】（1）解：由图可得，，，． 故答案为：；；． （2）解：如图，为所求图形； （3）如图，即为所求． （4） M为边上的中点， 点M的坐标为，即， 的边上与点M对应的点的坐标为，即． 故答案为：． 21．（8分）如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且 ，． （1）求证：； （2）如果，，求的值． 【分析】（1）由 可得，再结合已知比例，可得，证明，即可解答； （2）由图可知与等高，根据等高的两个三角形面积比等于底边的比，再由，得出，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 又， ∴， ∴， ． （2）解：， ； 与同高， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 22．（10分）2025年粤港澳大湾区全运会筹备工作全面推进，赛事周边文创产品市场热度持续攀升．某文创企业推出“活力大湾区”系列吉祥物智能手办，融合AR互动、赛事资讯实时推送等功能，一经推出便受到市场热烈追捧．经销售部门统计，该系列智能手办在2月份销售1000件，4月份销售1440件． （1）请求出“活力大湾区”系列智能手办从2月份到4月份销售量的月平均增长率． （2）市场调研显示，当每个智能手办售价为200元时，月销售量为3000件；在此基础上，售价每上涨5元，月销售量将减少50件，从生产部门得知，该系列智能手办的生产成本为每件120元． ①设该系列智能手办的售价为x元/件，月销售量为y件，请直接写出y（件）关于x（元/件）的函数关系式：____________． ②在充分考虑全运会期间市场竞争的情况下，为使月销售利润达到36万元，且使得销量尽可能多，该企业应将智能手办的实际售价定为多少元/件？ 【分析】本题考查一元二次方程的应用，一次函数的实际应用，熟练根据题意得出等量关系是解题的关键． （1）设“活力大湾区”系列智能手办从2月份到4月份销售量的月平均增长率为a，依题意得，求解即可； （2）①利用当每个智能手办售价为200元时，月销售量为3000件；在此基础上，售价每上涨5元，月销售量将减少50件，列式得； ②设该企业应将智能手办的实际售价定为x元/件，利用销量单个利润总利润，列式求解，再结合使得销量尽可能多，即可求解． 【详解】（1）解：设“活力大湾区”系列智能手办从2月份到4月份销售量的月平均增长率为a， 依题意得：， 解得：，， 因为增长率a为正数，故舍去， 所以， 答：“活力大湾区”系列智能手办从2月份到4月份销售量的月平均增长率为20%． （2）解：①由题意得， 故答案为； ②设该企业应将智能手办的实际售价定为x元/件， 由题意得：． 整理得：， 解得：，， 由于要使得销量尽可能多，，y随x的增大而减小，因此舍去， 所以． 答：该企业应将智能手办的实际售价定为300元/件． 23．（10分）如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作，交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）填空： ①当时，四边形是______形． ②在①的条件下，当时，四边形是______形，并说明理由． 【分析】（1）首先利用全等三角形的判定方法得出，进而得出，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而得出答案； （2）①当时，由等腰三角形的性质可得，根据矩形的判定定理即可得到结论；②当时，由直角三角形的性质可得，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （2）①当时， 又∵是边上的中线， ∴， ∴， 又∵四边形为平行四边形， ∴四边形是矩形； 故答案为：矩； ②菱；理由： 当时， 又∵是边上的中线， ∴， 又∵四边形为平行四边形， ∴四边形是菱形． 24．（12分）如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与点B、C重合，点F是的延长线上一点，且． （1）求证：； （2）如图2，连接，交于点K，过点D作，垂足为H，延长交于点G，连接． ①求证：； ②若，求的长． 【分析】（1）直接根据边角边证明即可； （2）①根据（1）中结果及题意，证明为等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线即可证明；②根据已知条件，先证明，再证明，然后根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴点H是的中点， ∴， 同理，由是的中线得：， ∴； ②∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在等腰直角三角形中，， ∴， ∴． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $