第2章 第7节 指数函数(课时作业Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

**基本信息** 聚焦指数函数专项，通过定义辨析、性质应用及综合拓展，系统构建“概念-性质-应用”逻辑链条，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3题|定义法、图象特征分析|从指数函数定义出发，结合单调性、奇偶性概念生成| |性质应用|5题|单调性比较、换元法、复合函数分析|性质推导延伸至比较大小、值域求解等应用| |综合拓展|7题|新定义转化、恒成立问题处理|核心知识拓展至有界函数、局部奇函数等创新考法|

限时规范训练(十五) (建议用时：60分钟　分值：105分) 单项选择题、填空题5分；多项选择题6分． 1．已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在区间(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为(　　) A． B．1 C． D．2 解析：D　由题意得2a2－5a＋3＝1，所以2a2－5a＋2＝0，所以a＝2或a＝.当a＝2时，f(x)＝2x在区间(0，＋∞)上单调递增，符合题意；当a＝时，f(x)＝x在区间(0，＋∞)上单调递减，不符合题意．所以a＝2.故选D. 2．函数y＝ax－(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　) 解析：D　根据题意，函数y＝ax－(a＞0，且a≠1)，当x＝－1时，必有y＝0，即函数经过点(－1，0)，排除A、B、C.故选D. 3．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 解析：A　因为y＝0.4x为减函数，所以0.40.6＜0.40.2＜0.40＝1，又20.2＞1，所以a＞b＞c.故选A. 4．(2026·浙江诸暨模拟)已知函数f(x)＝ex－e2-x，若实数m，n满足f(m)＋f(n)＝0，则m＋n＝(　　) A．1 B．2 C．e D．4 解析：B　函数f(x)＝ex－e2-x，f(2－m)＋f(m)＝e2-m－em＋(em－e2-m)＝0，而f(m)＋f(n)＝0，因此f(2－m)＝f(n)，又函数y＝ex，y＝－e2-x在R上单调递增，则函数f(x)＝ex－e2-x在R上单调递增，于是2－m＝n，所以m＋n＝2.故选B. 5．(多选)已知函数f(x)＝2－x－2x，则(　　) A．f(0)＝0 B．f(x)是奇函数 C．f(x)在R上单调递增 D．对任意的实数a，方程f(x)－a＝0都有解 解析：ABD　f(x)＝2－x－2x，则f(0)＝－20＝0，故A正确；f(－x)＝2x－2－x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，故B正确；f(x)＝－2x在R上单调递减，故C错误；因为f(x)是R上的减函数，且当x→－∞时，f(x)→＋∞；当x→＋∞时，f(x)→－∞，所以f(x)的值域是(－∞，＋∞)，因此对任意的实数a，f(x)＝a都有解，故D正确．故选ABD. 6．(5分)若函数y＝2－x+1＋m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是________． 解析：y＝2－x+1＋m＝x-1＋m，由指数函数的单调性可得函数为减函数，因为图象不经过第一象限，所以当x＝0时，-1＋m≤0，解得m≤－2. 答案：(－∞，－2] 7．(5分)若函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在[－1，1]上的最大值是14，则a＝________． 解析：令t＝ax，则y＝t2＋2t－1. ①当a>1时，因为x∈[－1，1]，所以ax∈，即t∈.所以y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2在区间上单调递增(对称轴t＝－1<)．所以当t＝a时，ymax＝(a＋1)2－2＝14.所以a＝3或a＝－5.因为a>1，所以a＝3. ②当0<a<1时，t∈.因为y＝(t＋1)2－2在区间上单调递增(对称轴t＝－1<a)，所以ymax＝2－2＝14.所以a＝或a＝－.因为0<a<1，所以a＝.综上，a＝3或a＝. 答案：3或 8．(13分)已知函数f(x)＝ . (1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求实数a的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求实数a的值． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝，令u＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7.则u＝－(x＋2)2＋7在区间(－∞，－2)上单调递增，在区间(－2，＋∞)上单调递减，而y＝u在R上单调递减，所以f(x)在区间(－∞，－2)上单调递减，在区间(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令h(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝ h(x)，因为f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1. (3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，y＝ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0. 9．(多选)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是(　　) A．a＜b B．若a＜0，则b＜a＜0 C．|a|＜|b| D．若0＜a＜log32，则ab＜ba 解析：BCD　如图，由指数函数的图象可知，0＜a＜b或者b＜a＜0，所以A错误，B、C正确；D选项中，0＜a＜log32⇒0＜a＜b＜1，则有ab＜aa＜ba，所以D正确．故选BCD. 10．(多选)已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a＜b)，则(　　) A．2a＋2b＞2 B．∃a，b∈R，使得0＜a＋b＜1 C．2a＋2b＝2 D．a＋b＜0 解析：CD　画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示． 由图知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A错误，C正确；由基本不等式可得2＝2a＋2b＞2 ＝2 ，所以2a＋b＜1，则a＋b＜0，故B错误，D正确．故选CD. 11．(5分)已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则不等式f(9x－3)＞f(3x＋b)的解集为________． 解析：若0＜a＜1，f(x)在区间[0，2]上单调递减，所以方程组无解；若a＞1，f(x)在区间[0，2]上单调递增，所以解得a＝，b＝－1或a＝－，b＝－1(舍去)．综上，a＝，b＝－1.此时f(x)＝x－1，x∈[0，2].由于f(9x－3)＞f(3x－1)，所以2≥9x－3＞3x－1≥0，解得log32＜x≤log95，因此不等式的解集为(log32，log95]. 答案：(log32，log95] 12．(13分)设a∈R，函数f(x)＝. (1)求a的值，使得y＝f(x)为奇函数； (2)若f(2)＝a，求满足f(x)＞a的实数x的取值范围； (3)在(1)的条件下，若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(t2－k)＜0恒成立，求实数k的取值范围． 解：(1)由f(x)为奇函数，可知f(－1)＝－f(1)，即－(1＋2a)＝－(2＋a)，解得a＝1，当a＝1时，f(x)＝(x≠0)，f(－x)＝＝－f(x)对一切非零实数x恒成立，故a＝1时，y＝f(x)为奇函数． (2)由f(2)＝a，可得＝a，解得a＝2，所以f(x)＞a⇔＞2⇔＜0⇔1＜2x＜4，解得0＜x＜2，所以满足f(x)＞a的实数x的取值范围是(0，2)． (3)由(1)知：f(x)＝＝f(k－t2)，所以t2－2t＞k－t2恒成立，即k＜(2t2－2t)min，又2t2－2t＝22－，所以k＜－.所以实数k的取值范围为. 13．(15分)定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有－M≤f(x)≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知f(x)＝4x＋a·2x－2. (1)当a＝－2时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的值域，并判断函数f(x)在(0，＋∞)上是否为有界函数，请说明理由； (2)若函数f(x)在(－∞，0)上是以2为上界的有界函数，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝－2 时， f(x)＝4x－2×2x－2＝(2x－1)2－3，令2x＝t，由x∈(0，＋∞)，可得t∈(1，＋∞)．令g(t)＝(t－1)2－3，t>1，得g(t)>－3，可得函数f(x)的值域为(－3，＋∞)，故函数f(x)在(0，＋∞)上不是有界函数． (2)由题意可知，当x∈(－∞，0)时，－2≤4x＋a·2x－2≤2，可化为0≤4x＋a·2x≤4，必有a＋2x≥0 且a≤－2x.令2x＝k，由x∈(－∞，0)，可得k∈(0，1)，由a＋2x≥0 恒成立，可得a≥0，令h(k)＝－k(0<k<1)，可知函数h(k)为减函数，有h(k)>h(1)＝4－1＝3，由a≤－2x 恒成立，可得a≤3，所以0≤a≤3.故若函数f(x)在(－∞，0)上是以2为上界的有界函数，则实数a 的取值范围为[0，3]. 14．(多选)已知函数f(x)＝m－是定义域为R的奇函数，则下列说法正确的是(　　) A．m＝ B．函数f(x)在R上的最大值为 C．函数f(x)是减函数 D．存在实数n，使得关于x的方程f(x)－n＝0有两个不相等的实数根 解析：AC　因为函数f(x)＝m－是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝m－＝0，解得m＝，此时f(x)＝，则f(－x)＝＝－f(x)，符合题意，故A正确；又f(x)＝，因为ex>0，所以ex＋1>1，则0<<1，所以－<f(x)<，即f(x)∈，故B错误；因为y＝ex是增函数，y＝ex>0，且y＝在区间(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝是减函数，故C正确；因为f(x)是减函数，所以y＝f(x)与y＝n最多有1个交点，故f(x)－n＝0最多有一个实数根，即不存在实数n，使得关于x的方程f(x)－n＝0有两个不相等的实数根，故D错误．故选AC. 15．(5分)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0，满足f(－x0)＝－f(x0)，则称f(x)为“局部奇函数”．已知f(x)＝－aex－1在R上为“局部奇函数”，则a的取值范围是________． 解析：因为f(x)＝－aex－1在R上为“局部奇函数”，所以存在实数x0，使得＋1，所以方程－ae－x－1＝aex＋1在R上有解，所以方程e－x＝ex＋≥2，当且仅当x＝0时等号成立，所以－1≤a＜0，所以a的取值范围是[－1，0)． 答案：[－1，0) 学科网（北京）股份有限公司 $