第3章 第6节 导数与函数的零点(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学高考复习讲义聚焦导数与函数零点这一高考热点，涵盖零点个数判断、已知零点求参数等核心考点，按“考点梳理—方法指导—真题训练”逻辑组织，通过师生共研例题、总结解题策略（如转化思想、参变分离），帮助学生构建系统解题框架。 资料以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新采用“问题转化+导数工具”教学策略，如将零点问题转化为函数图象交点或参变分离，结合导数研究单调性与极值，培养学生逻辑推理与模型构建能力。设置典型例题与方法归纳，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第6节　导数与函数的零点 课标解读 利用导数研究函数零点问题是高考的热点，主要涉及判断、证明或讨论函数零点的个数、已知函数零点存在情况求参数及由函数零点性质研究其他问题等． 考点一　求函数零点的个数(师生共研) 例1　设函数f(x)＝(x－1)2ex－ax，若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－2x＋b. (1)求实数a，b的值； (2)判断函数f(x)零点的个数． 解：(1)由题意可得f′(x)＝(x2－1)ex－a.因为曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－2x＋b，所以 解得 (2)由(1)知f(x)＝(x－1)2ex－x，所以f(x)＝ex，令g(x)＝(x－1)2－，则f(x)零点的个数就是g(x)零点的个数．由于g′(x)＝(x－1)，所以当x＜1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；当x＞1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增．又g(0)＝1＞0，g(1)＝－＜0，g(2)＝1－＞0，所以g(0)g(1)＜0，g(1)g(2)＜0，由函数零点存在定理可得，∃x1∈(0，1)，使得g(x1)＝0，∃x2∈(1，2)，使得g(x2)＝0，故函数f(x)有两个零点． 解决零点个数问题常用的方法主要有以下三种 (1)转化为两个函数图象交点的个数问题，利用数形结合思想求解． (2)转化为函数f(x)的图象与x轴交点个数的问题． (3)将f(x)＝0进行参变分离，转化为a＝g(x)的形式；有时为了避免出现“断点”，可以考虑“倒数分参”． 已知函数f(x)＝ex－a(x＋1)(a>0)，试讨论函数f(x)的零点个数． 解：f(x)＝0等价于，故f(x)＝0的零点个数即为直线y＝与曲线y＝的图象的交点个数，令g(x)＝，则g′(x)＝，令g′(x)>0，得x<0，令g′(x)<0，得x>0，故g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，因为g(0)＝1，当x→－∞时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，函数g(x)的图象如图所示，所以当0<<1，即a>1时，f(x)有两个零点；当＝1，即a＝1时，f(x)有一个零点；当>1，即0<a<1时，f(x)无零点． 考点二　根据零点个数求参数(师生共研) 例2　(2025·山东烟台一模) 已知函数f(x)＝x(x＋c)2在x＝1处有极大值． (1)求实数c的值； (2)若函数g(x)＝f(x)＋a有三个不同的零点，求实数a的取值范围． 解：(1)由函数f(x)＝x(x＋c)2，求导可得f′(x)＝(x＋c)(3x＋c)，由函数f(x)＝x(x＋c)2在x＝1处取极大值，则f′(1)＝0，解得c＝－1或－3，当c＝－1时，可得f′(x)＝(x－1)(3x－1)，易知当<x<1时，f′(x)<0；当x＞1时，f′(x)>0，则此时函数f(x)在x＝1处取得极小值，不符合题意，舍去；当c＝－3时，可得f′(x)＝(x－3)(3x－3)，易知当x<1时，f′(x)>0；当1<x<3时，f′(x)<0，则此时函数f(x)在x＝1处取得极大值，符合题意．综上所述，c＝－3. (2)由(1)可得函数f(x)＝x(x－3)2，求导可得f′(x)＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)＝0，解得x＝1或3，可得下表： x (－∞，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调 递增 极大值 单调 递减 极小值 单调 递增 所以函数f(x)的极大值为f(1)＝4，极小值为f(3)＝0，函数g(x)＝f(x)＋a存在三个零点，等价于函数f(x)图象与直线y＝－a存在三个交点，作出函数图象如图所示： 由图可得0<－a<4，则－4<a<0.故实数a的取值范围为(－4，0)． 由零点个数求参数的方法 (1)分离参数法：分离之后函数无参数，则可得到函数的图象，然后上下移动参数的值，观察直线与函数图象交点个数即可． (2)隔离构造函数法：将一个函数分成两个函数，一个为容易求导的不含参函数，另一个为图象是一条直线的含参函数，观察它们图象的变化趋势，找到临界的位置，易求得参数的取值范围． (3)直接构造法：直接研究函数f(x)，对参数进行分类讨论，判断函数单调性，利用函数零点存在定理，判断零点个数，从而求出参数的取值范围． 　已知函数f(x)＝ln x＋ax＋2. (1)若函数f(x)在x＝1处取得极值，求a的值； (2)若函数f(x)在定义域内存在两个零点，求a的取值范围． 解：(1)因为f(x)＝ln x＋ax＋2(x>0)，则f′(x)＝，因为函数f(x)在x＝1处取得极值，所以f′(1)＝1＋a＝0，解得a＝－1，当a＝－1时，可得f′(x)＝，当x∈(0，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以当x＝1时，函数f(x)取得极大值，符合题意，故a＝－1. (2)由f′(x)＝，其中x>0，当a≥0时，可得f′(x)>0，f(x)单调递增，此时函数f(x)至多有一个零点，不符合题意；当a<0时，令f′(x)＝0，解得x＝－，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以当x＝－时，f(x)取得极大值，也是最大值，最大值为f ＝ln ＋a·＋2＝1－ln (－a)，又当x→0时，f(x)→－∞；当x→＋∞时，f(x)→－∞，所以要使得函数f(x)有两个零点，则满足f >0，即1－ln (－a)>0，解得－e<a<0，所以实数a的取值范围是(－e，0)． 学科网（北京）股份有限公司 $