第1章 培优增分1 多变量最值问题的处理方法(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学讲义聚焦高考多变量最值问题核心考点，围绕换元法、因式分解双换元等四种方法分层构建知识体系，通过方法梳理、例题精研、变式训练等环节，帮助学生突破代数式变形与方法选择难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料以“问题驱动+素养导向”为特色，如换元法培养转化与化归的数学思维，构造二次不等式渗透模型意识，设置师生共研例题与配套练习，确保方法即时内化。助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供精准指导，提升应考能力。

培优增分1　多变量最值问题的处理方法 命题解读 多变量的最值问题，常常以压轴题的身份“现身”于各种考试题中．求解这类问题，不仅要求考生善于对目标代数式进行适当变形，使其能够与基本不等式的应用相“匹配”，而且要求考生能根据实际问题，选择恰当的方法，从而达到优化解题过程的目的． 方法一　换元法(师生共研) 例1　已知x，y为正实数，则的最大值为________． 解析：令2x＋y＝m，x＋2y＝n，则x＝，且m＞0，n＞0，因此－ ＝，当且仅当，即m＝n时取等号，则的最大值为. 答案： 换元法实质还是配凑或者常数代换法的拓展，在已知条件或者所求表达式的分母上出现一次二项式时，可尝试使用． 若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则的最小值为________． 解析：令m＝x＋1，n＝y＋2，则x＝m－1，y＝n－2，则x＋2y＝m－1＋2(n－2)＝1，即m＋2n＝6，则(m＋2n)－4＝－4≥－4＝，当且仅当，即m＝时等号成立，故的最小值为. 答案： 方法二　因式分解双换元(师生共研) 例2　已知0＜a＜1，0＜b＜1，且4(a＋b)＝4ab＋3，则a＋2b的最大值为(　　) A．2 B．2 C．3－ D．3－2 解析：C　因为4(a＋b)＝4ab＋3，所以4ab－4a－4b＋3＝0，配凑得4ab－4a－4b＋4＝1，两边同时除以4得ab－a－b＋1＝，即(1－a)(1－b)＝.令x＝1－a＞0，y＝1－b＞0，则a＝1－x，b＝1－y，y＝，所以a＋2b＝1－x＋2(1－y)＝－x－2y＋3＝－x－＋3＝－＋3≤－2 ＋3＝3－ ，当且仅当x＝，即x＝时等号成立，故a＋2b的最大值为3－ .故选C. (1)特征：条件式子复杂，一般有一次和二次(因式分解展开就是一次和二次)，符合因式分解原理． (2)最常见的因式分解：a＋b＋ab＋1＝(a＋1)(b＋1)． 已知x2－3xy＋2y2＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值为(　　) A． －6 B． ＋6 C．2 ＋6 D．2 －6 解析：D　 因为x2－3xy＋2y2＝(x－y)(x－2y)＝1，所以可设x－y＝t，x－2y＝(t≠0)，所以x＝2t－，从而x2＋y2＝2＋2＝5t2＋－6≥－6＝2 －6，当且仅当5t2＝时等号成立．所以x2＋y2的最小值为2 －6.故选D. 方法三　构造二次不等式(师生共研) 例3　已知正数a，b满足a＋b＋＝10，则a＋b的最大值是________． 解析：设a＋b＝x，则＝10－x，因为a，b均为正数，所以解得0＜x＜10.x(10－x)＝(a＋b)＝5＋≥5＋2 ＝9(当且仅当，即b＝2a时等号成立)，所以x(10－x)≥9，即x2－10x＋9≤0，解得1≤x≤9，满足0＜x＜10，所以a＋b的最大值为9. 答案：9 变量x，y满足mx＋ny＋＝t的处理办法 (1)问谁设谁：求谁，设谁就是k. (2)代入整理：整理成某个变量的一元二次方程(或不等式)． (3)确认最值：方程有解(或不等式用均值放缩)，从而确定最值． 已知x，y＞0，若x＋4y＋6＝，则的最小值是________． 解析：设＝k(k＞0)，则x＋4y＋6＝k，所以(x＋4y＋6)＝k2，所以·(x＋4y)＋6k＝k2，整理得k2－6k－8＝.由x，y＞0得k2－6k－8＝ ＝8，当且仅当x＝时取等号．所以k2－6k－16≥0，解得k≥8或k≤－2(舍去)，即当x＝1，y＝时，取得最小值8. 答案：8 方法四　待定系数配凑法(师生共研) 例4　已知a＞0，b＞0，则的最大值为________． 解析： ≤，当且仅当a＝ ，b＝ 时取等号． 答案： ab＋bc＝ a· b·(λ，μ＞0)，a2＋b2＋c2＝a2＋λb2＋(1－λ)b2＋c2≥2 ab＋2 bc(0＜λ＜1)． 一般通过类似上式构造，配凑出题目所需要的结构，进而化简整理得到题目所求最值，分式最值注意上下系数成比例． 已知a，b，c是正实数，则的最大值为________． 解析：，当且仅当b＝c＝时等号成立． 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $