第1章 第6节 一元二次方程与不等式(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学讲义聚焦一元二次方程与不等式高考核心考点，按定义、三个“二次”关系、分式不等式、恒成立问题的逻辑层次展开，通过考点梳理（表格对比关系）、方法指导（含参分类策略）、真题训练（改编题与高考题）等环节，帮助学生构建知识体系，突破解题难点。 资料以数学思维（分类讨论、转化化归）和数学语言（集合表示解集）为核心，设计“定义理解-关系探究-问题解决”教学活动，如例1通过参数a的分类讨论突破含参不等式解法，分层练习覆盖基础到高考难度，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供系统指导。

第6节　一元二次方程与不等式 课标解读 1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．　2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 1．一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} {x|x1≠－} R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 1．分式不等式的解法 (1)＞0(＜0)⇔f(x)·g(x)＞0(＜0)． (2)≥0(≤0)⇔ 2．一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是 (2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是 1．(人A必修一P53练习T1改编)不等式－2x2＋x≤－3的解集为(　　) A．(－∞，－1] B． C． D． 解析：C　由－2x2＋x≤－3可得2x2－x－3≥0，即(2x－3)(x＋1)≥0，解得x≤－1，或x≥，故不等式的解集为.故选C. 2．(湘教必修一P59习题T11改编)若关于x的不等式ax－b>0的解集是(－∞，－1)，则关于x的不等式ax2＋bx>0的解集为(　　) A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，＋∞) C．(－1，0) D．(0，1) 解析：D　由于关于x 的不等式ax－b>0 的解集是(－∞，－1), 所以 则有b＝－a 且a<0, 所以由ax2＋bx>0，得x<0, 即x(x－1)<0，解得0<x<1，即不等式ax2＋bx>0的解集为(0，1)．故选D. 3．(湘教必修一P54例4改编)不等式≥0的解集为____________． 解析：由题意得 解得x≥1 或x<－. 答案： 4．(苏教必修一P69习题T11(2)改编)若关于x的不等式x2－2ax＋18>0在R上恒成立，则实数a的取值范围为____________． 解析：由题意得Δ＝4a2－4×18<0，解得－3 <a<3 . 答案： ，3 考点一　一元二次不等式的解法(师生共研) 例1　解关于x的不等式：ax2－(a＋2)x＋2<0(a∈R)． 解：若a＝0，不等式可化为－2x＋2<0，解得x>1，所以不等式的解集为{x|x>1}； 若a≠0，则不等式可化为(ax－2)(x－1)<0，当(ax－2)(x－1)＝0 时，x1＝，x2＝1， ①若a>0，则当>1，即0<a<2 时，原不等式的解集为{x}；当＝1，即a＝2 时，原不等式的解集为∅ ；当<1，即a>2 时，原不等式的解集为{x<x<1}； ②若a<0，则<1，且不等式变化为(－ax＋2)(x－1)>0，解得x>1 或x<，原不等式的解集为{x}．综上所述，当a<0 时，不等式的解集为{x}；当a＝0 时，不等式的解集为{x}；当a＝2 时，不等式的解集为∅；当a>2 时，不等式的解集为{x<x<1}． 解含参数的一元二次不等式的策略 (1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一元一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式． (2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ 与0的关系． (3)确定方程无根时，可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集． 1．不等式－x2＋3x＋10>0的解集为(　　) A．(－2，5) B．(－∞，－2)∪(5，＋∞) C．(－5，2) D．(－∞，－5)∪(2，＋∞) 解析：A　由－x2＋3x＋10>0，得x2－3x－10<0，得(x－5)(x＋2)<0，解得－2<x<5.故选A. 2．解关于x的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)． 解：将不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)变形为(x－a)(x－a2)>0.当(x－a)(x－a2)＝0 时，x1＝a，x2＝a2.当a<0 时，a<a2，所以原不等式的解集为{x|x<a，或x>a2}；当a＝0 时，a＝a2＝0，所以原不等式的解集为{x|x≠0}；当0<a<1 时，a>a2，所以原不等式的解集为{x|x<a2，或x>a}；当a＝1 时，a＝a2＝1，所以原不等式的解集为{x|x≠1}；当a>1 时，a<a2，所以原不等式的解集为{x|x<a，或x>a2}．综上所述，当a<0 或a>1 时，原不等式的解集为{x|x<a，或x>a2}；当a＝0 时，原不等式的解集为{x|x≠0}；当0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x<a2，或x>a}；当a＝1 时，原不等式的解集为{x|x≠1}． 考点二　三个“二次”间的关系(师生共研) 例2　已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1，5)，其中a，b，c为常数，则不等式cx2＋bx＋a≤0的解集是(　　) A． B． C． D． 解析：A　因为关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1，5)，所以a<0，且－1和5是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以解得，所以不等式cx2＋bx＋a≤0可化为－5ax2－4ax＋a≤0，即5x2＋4x－1≤0，解得－1≤x≤，则不等式cx2＋bx＋a≤0的解集是.故选A. 1．一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值． 2．给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或利用根与系数的关系求解． (多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项正确的是(　　) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6} C．a＋b＋c>0 D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为∪ 解析：ABD　由题意可知－2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a>0，所以－2＋3＝－，(－2)×3＝，所以b＝－a，c＝－6a，a>0，故A正确；不等式bx＋c>0等价于a(x＋6)<0，所以x<－6，故B正确；因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，所以当x＝1时，有a＋b＋c<0，故C错误；因为不等式cx2－bx＋a<0等价于a(6x2－x－1)>0，即a(3x＋1)(2x－1)>0，所以x<－或x>，故D正确．故选ABD. 考点三　一元二次不等式的恒成立问题(多维探究) 角度1　在R上的恒成立问题 例3　已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则实数k的取值范围是(　　) A．[0，1] B．(0，1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 解析：A　当k＝0时，8＞0恒成立，符合题意；当k≠0时，要使kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，只需解得0＜k≤1.综上，实数k的取值范围是[0，1].故选A. 角度2　在给定区间上的恒成立问题 例4　(一题多解)已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)＜5－m恒成立，则实数m的取值范围为________． 解析：法一：要使f(x)＜5－m在x∈[1，3]上恒成立，即m2＋m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立．令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1，3].当m＞0时，g(x)在区间[1，3]上单调递增，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6＜0，所以m＜，所以0＜m＜；当m＝0时，－6＜0恒成立；当m＜0时，g(x)在区间[1，3]上单调递减，所以＝g(1)，即m－6＜0，所以m＜6，所以m＜0.综上所述，实数m的取值范围是. 法二：f(x)＜5－m在[1，3]上恒成立，即mx2－mx＋m－6＜0在[1，3]上恒成立，因为x2－x＋1＝2＋＞0，m(x2－x＋1)－6＜0在x∈[1，3]上恒成立，所以m＜在x∈[1，3]上恒成立．令y＝，因为函数y＝在区间[1，3]上的最小值为，所以只需m＜即可．所以实数m的取值范围是. 答案： 角度3　给定参数范围的恒成立问题 例5　若不等式x2＋px＞4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　) A．[－1，3] B．(－∞，－1] C．[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析：D　不等式x2＋px＞4x＋p－3可化为(x－1)p＋x2－4x＋3＞0，由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min＞0(0≤p≤4)，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，可得解得x＜－1或x＞3.故选D. 恒成立问题求参数范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数，一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般运用分离参数法求最值或进行分类讨论． 已知关于x的不等式2x－1>m(x2－1)． (1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于x∈(1，＋∞)恒成立，求m的取值范围； (3)若不等式对于m∈[－2，2]恒成立，求实数x的取值范围． 解：(1)原不等式等价于mx2－2x＋(1－m)<0，当m＝0时，－2x＋1<0不恒成立；当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立，则需m<0且Δ＝4－4m(1－m)<0，无解，所以不存在实数m，使不等式恒成立． (2)因为x>1，所以m<.设2x－1＝t(t>1)，x2－1＝，所以m<.设g(t)＝t－＋2，t∈(1，＋∞)，显然g(t)在区间(1，＋∞)上单调递增．当t→＋∞时，t－＋2→＋∞，→0，所以m≤0.所以m的取值范围是(－∞，0]. (3)设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，当m∈[－2，2]时，f(m)<0恒成立．当且仅当即 由①得<x<. 由②得x<或x>. 取交集，得<x<. 所以实数x的取值范围是. 高考题　(2025·全国二卷T4)不等式≥2的解集是(　　) A．{x|－2≤x≤1}　　　 B．{x|x≤－2} C．{x|－2≤x<1} D．{x|x>1} 解析：C　因为≥2，所以－2≥0，故有≥0，即≤0，等价于解得－2≤x<1，故原不等式的解集是{x|－2≤x<1}．故选C. 教材题　(人B必修一P75例3)求不等式≥1的解集． 点评：两题均为分式不等式，核心解法相同，均需通过移项通分将不等式化为标准形式，再转化为整式不等式求解，同时注意分母不为零的限制，体现了转化与化归的数学思想，高考题可看作教材例题的变式拓展． 1．一元二次方程的根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个一元二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧． (1)方程有两个不等正根x1，x2⇔ (2)方程有两个不等负根x1，x2⇔ (3)方程有一正根和一负根，设两根为x1，x2⇔x1x2＝<0. 2．一元二次方程根在区间的分布 根的分布 图象 限定条件 在区间(m，n)内没有实根 Δ<0 或 在区间(m，n)内有且只有一个实根 在区间(m，n)内有两个不等实根 典例　已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数 m的取值范围； (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求实数m的取值范围． 解：(1)设函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，则其图象与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图如图(1)，由题意，得解得－＜m＜－. 故实数m的取值范围为. (2)由题意知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点落在区间(0，1)内，画出示意图如图(2)，由题意，得 解得－＜m≤1－ . 故实数m的取值范围为. 已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有两个不相等的正实数根，则实数m的取值范围是________． 解析：设f(x)＝2x2－(m＋1)x＋m，依题意有，即 解得0＜m＜3－2 ，或m＞3＋2 . 答案：∪ 学科网（北京）股份有限公司 $