第5章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示(课件PPT)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量基本定理及坐标表示”专题，依据课标要求覆盖基本定理、坐标表示、运算及共线条件等核心考点，通过知识梳理明确基底定义、坐标公式等基础要点，结合教材改编题和模拟题分析高频考点分布，归纳多选、填空等常考题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“考点突破+真题演练+素养提升”策略，如基本定理应用中通过基底表示向量培养数学思维，坐标运算采用建系法强化数学语言表达，共线条件用方程思想解析典型例题。帮助学生掌握解题技巧，教师可据此系统组织复习，提升高考冲刺效率。

第2节　平面向量基本定理及坐标表示 返回 ‹#› 1．掌握平面向量基本定理及其意义．　2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．　3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算．　4.能用坐标表示平面向量共线的条件． 课标解读 返回 ‹#› 1 再研教材 夯实基础 3 限时规范训练　 栏 目 导 引 2 考点突破 通法悟道 返回 ‹#› 再研教材 夯实基础 1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，____________一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基底：若e1，e2_________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 有且只有 不共线 返回 ‹#› 2．平面向量的坐标运算 (1)平面向量的坐标运算 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 向量的加法运算 a＋b＝_______________________________ 向量的减法运算 a－b＝_______________________________ 向量的数乘运算 λa＝_____________________ 向量的模 |a|＝___________ (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1) 返回 ‹#› (2)向量坐标的求法 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝_____________________________，＝ . 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R)⇔________________________． (x2－x1，y2－y1) x1y2－x2y1＝0 返回 ‹#› 1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 2．三角形的重心坐标公式 已知△ABC的顶点，则△ABC的重心G的坐标为. 返回 ‹#› 1．(人A必修二P60T2(6))在下列各组向量中，可以作为基底的是(　　) A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7) C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D．e1＝(－2，3)，e2＝ 解析：B　两个不共线的非零向量构成一个基底，A中向量e1为零向量，C、D中两向量共线，B中e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线．故选B. B 返回 ‹#› 2．(人A必修二P36习题T1改编)在△ABC中，已知AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　) A． B． C． D． 解析：A　由题意知＝，则.故选A. A 返回 ‹#› 3．(人A必修二P33T5改编)已知＝(5，－2)，＝(－4，－3)，且＝0，其中O为坐标原点，则P点坐标为________． 解析：由题意，得P是△OAB的重心，又A(5，－2)，B(－4，－3)，O(0，0)，所以P点坐标为. 答案： 返回 ‹#› 4．(人A必修二P30例5改编)已知▱ABCD的顶点A(0，－2)，B(3，－1)，C(5，2)，则顶点D的坐标为________． 解析：设D(x，y)，则由，得(3，1)＝(5－x，2－y)，即解得 答案：(2，1) 返回 ‹#› 考点突破 通法悟道 考点一　平面向量基本定理的应用(自主练透) 1．(多选)下列命题中正确的是(　　) A．若p＝xa＋yb(x，y∈R)，则p与a，b共面 B．若p与a，b共面，则存在实数x，y使得p＝xa＋yb C．若，则P，M，A，B共面 D．若P，M，A，B共面，则存在实数x，y使得 AC 返回 ‹#› 解析：AC　对于B，若a，b共线，p与a，b不共线，则不存在实数x，y使得p＝xa＋yb，故B错误；对于D，若M，A，B共线，P在直线AB外，则不存在实数x，y使得，故D错误；由平面向量基本定理知A、C正确．故选AC. 返回 ‹#› 2．在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，DE＝EC，CF＝2BF，设＝n，则＝(　　) A． B． C． D． 解析：D　由题意，，设x＝＋，由对应系数相等得所以所以．故选D. D 返回 ‹#› 3．(多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则(　　) A． B． C． D． ABD 返回 ‹#› 解析：ABD　由AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，及向量加法的三角形法则得＋＝，又F为AE的中点，则，故A正确；，故B正确；，故D正确；－＝， 故C错误．故选ABD. 返回 ‹#› 4．在△ABC中，M，N分别是AB，AC的中点，若(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________． 解析：，故＝ λ＝λ＋μ＝＋，故解得 所以λ＋μ＝＝－2.   答案：－2 返回 ‹#› 应用平面向量基本定理表示向量的策略 (1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一个基底表示出来． (2)强调图形几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等． 返回 ‹#› 考点二　平面向量的坐标运算(师生共研) 例1　(1)在平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　) A． B． C． D． 解析：C　因为在平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，所以＝.故选C. C 返回 ‹#› (2)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝(　　) A． B． C．2 D． B 返回 ‹#› 解析：B　建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0)．不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，所以＝(－2，2)，＝(－2，1)，＝(1，2)，因为，所以(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，所以 解得故λ＋μ＝.故选B. 返回 ‹#› 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标； (2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 返回 ‹#› 1．已知向量a＝(2，－3)，b＝(1，2)，c＝(9，4)，若正实数m，n满足c＝ma＋nb，则＝(　　) A． B． C． D． A 返回 ‹#› 解析：A　因为a＝(2，－3)，b＝(1，2)，c＝(9，4)，所以c＝ma＋nb＝(2m＋n，－3m＋2n)＝(9，4)，所以解得所以.故选A. 返回 ‹#› 2．如图，在7×5正方形网格中，向量a，b满足a⊥b，则等于(　　) A．2a＋ B．－2a－ C．－3a＋ D．3a－ C 返回 ‹#› 解析：C　以图中向量a，b的始点为坐标原点，a所在直线为x轴，b所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则a＝(1，0)，b＝(0，2)，C(2，5)，D(5，4)．＝(－3，1)．令＝xa＋yb，得到(－3，1)＝x(1，0)＋y(0，2)＝(x，2y)，解得x＝－3，y＝.所以．故选C. 返回 ‹#› 考点三　向量共线的坐标表示(多维探究) 角度1　利用向量共线求参数 例2　(1)(2025·浙江金华十校二模)已知向量a＝(1，2)，b＝(x，－4)，且a∥b，则实数x的值为(　　) A．－2 B． 2 C． －8 D． 8 解析：A　由a∥b可得，解得x＝－2.故选A. A 返回 ‹#› (2)已知向量＝(7，6)，＝(－3，m)，＝(－1，2m)，若A，C，D三点共线，则m＝________． 解析：因为＝(4，m＋6)，又A，C，D三点共线，所以且λ∈R，则解得 答案：－ 返回 ‹#› 角度2　利用向量共线求向量或点的坐标 例3　(1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，若A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________． 解析：由题意得，.设点D的坐标为(x，y)，则＝(4－x，2－y)，＝(1，－1)，所以(4－x，2－y)＝(2，－2)，即解得故点D的坐标为(2，4)． 答案：(2，4) 返回 ‹#› (2)(一题多解)已知O为坐标原点，点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________． 解析：法一：由O，P，B三点共线，可设＝(4λ，4λ)，则＝(4λ－4，4λ)．又＝(－2，6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝.所以＝(3，3)，所以点P的坐标为(3，3)． 法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且与共线，所以，即x＝y.又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且与共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3)． 答案：(3，3) 返回 ‹#› 1．已知两向量共线，求某些参数的取值，可利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题． 2．利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路 (1)求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程(组)，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量； (2)求点的坐标时，可设要求点的坐标为(x，y)，根据向量共线的条件列方程(组)，求出x，y的值． 返回 ‹#› 1．设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且＝2，则点P的坐标为(　　) A．(3，1) B．(1，－1) C．(3，1)或(1，－1) D．(3，1)或(1，1) 解析：C　因为A(2，0)，B(4，2)，所以＝(2，2)．因为点P在直线AB上，且＝2或，故＝(1，1)或＝(－1，－1)，故P点坐标为(3，1)或(1，－1)．故选C. C 返回 ‹#› 2．(2025·山东聊城一模)已知角α∈(0，π)，向量a＝，b＝(cos α，sin α)，若a//b，则α＝(　　) A. B． C． D． 解析：B　因为α∈(0，π)，则sin α>0，向量a＝，b＝(cos α，sin α)，若a//b，则sin α＝ cos α>0，可得tan α＝ ，故α＝.故选B. B 返回 ‹#› 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 1 2 限时规范 训练(四十二) 14 15 (建议用时：45分钟　分值：79分) 单项选择题、填空题5分；多项选择题6分．   1．(2025·辽宁锦州模拟)已知平面直角坐标系中的两个向量a＝(1，2)，b＝(m，3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B． (2，＋∞) C．(－∞，＋∞) D． (－∞，2)∪(2，＋∞) 解析：D　由题意，知向量a，b不共线，故2m≠3m－2，即m≠2.故选D. D 返回 ‹#› 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2．向量a＝(1，3)，b＝(3x－1，x＋1)，c＝(5，7)，若(a＋b)∥(a＋c)，且c＝ma＋nb，则m＋n的值为(　　) A．2 B． C．3 D． 解析：C　由题意，得a＋b＝(3x，x＋4)，a＋c＝(6，10)，因为(a＋b)∥(a＋c)，所以30x＝6x＋24，解得x＝1，所以b＝(2，2)．则c＝ma＋nb＝(m＋2n，3m＋2n)＝(5，7)，即解得故m＋n＝3.故选C. 14 15 C 返回 ‹#› 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 3．在A＝90°的等腰直角三角形ABC中，E为AB的中点，F为BC的中点，，则λ等于(　　) A．－ B．－ C．－ D．－1 14 15 A 返回 ‹#› 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 解析：A　如图，以A为原点建立平面直角坐标系，设AB＝2，则B(2，0)，C(0，2)，F(1，1)，E(1，0)，＝(－2，2)，λ＝λ(1，1)＋μ(1，－2)＝(λ＋μ，λ－2μ)，所以所以λ＝－.故选A. 14 15 返回 ‹#› 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 12 13 11 4．已知点A，B，C，D为平面内不同的四点，若，且＝(－2，1)，则＝(　　) A．(4，－2) B．(－4，2) C．(6，－3) D．(－6，3) 解析：D　由，得，即，又＝(－2，1)，所以＝(－6，3)．故选D. 14 15 D 返回 ‹#› 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 11 5．已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 14 15 B 返回 ‹#› 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 11 解析：B　设网格中小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图所示，可知b＝(3，3)，a＝(－2，1)，c＝(－1，－3)，代入c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，得(－1，－3)＝λ(－2，1)＋μ(3，3)，则解得所以λ＋μ＝－.故选B. 14 15 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 6．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧上的两个三等分点，＝b，则等于(　　) A.－b B．a－ C．－＋b D．－a＋ 14 15 C 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 解析：C　连接OC，OD和CD，如图所示，由于C，D是半圆弧上的两个三等分点，所以△AOC，△COD，△DOB是等边三角形，所以OA＝OB＝OC＝OD＝AC＝CD＝BD，所以四边形OACD和四边形OBDC是菱形，所以＋b.故选C. 14 15 返回 ‹#› 7 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 2 7．(多选)已知等边三角形ABC内接于⊙O，D 为线段OA 的中点，E 为BC 中点，则＝(　　) A． B． C． D． 解析：AC　＝.故选AC. 14 15 AC 返回 ‹#› 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 2 8．(多选)已知λ，μ∈R，＝(λ，1)，＝(－1，1)，＝(1，μ)，则下列说法正确的有(　　) A．＝(λ－1，1－μ) B．若∥，则λ＝2，μ＝ C．若A是BD中点，则B，C两点重合 D．若B，C，D三点不重合且共线，则μ＝1 14 15 ACD 返回 ‹#› 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 2 解析：ACD　因为＝(λ，1)，＝(－1，1)，＝(1，μ)，所以＝(λ，1)－(－1，1)＝(λ＋1，0)，＝(－1，1)－(1，μ)＝(－2，1－μ)，所以＝(λ－1，1－μ)，故A正确；若∥，则λμ＝1，当λ＝3，μ＝时也符合，故B错误；因为＝(1，μ)－(λ，1)＝(1－λ，μ－1)，A是BD中点，所以＝＝－＝(－λ，－1)，所以解得λ＝－1，所以，B，C两点重合，故C正确；若B，C，D三点共线，则存在实数t，使得，而＝(－1－λ，0)，＝(2，μ－1)，所以(－1－λ，0)＝t(2，μ－1)，所以t(μ－1)＝0，且2t＝－1－λ，则t＝0或μ＝1，而t＝0时，λ＝－1，此时B，C重合，所以μ＝1，故D正确．故选ACD. 14 15 返回 ‹#› 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 2 9．(5分)已知向量a＝(6，2)，与a共线且方向相反的单位向量b＝________． 解析：因为a＝(6，2)，|a|＝ ＝2 ，所以与a共线且方向相反的单位向量是b＝－＝. 答案： 14 15 返回 ‹#› 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10．(5分)已知点A(－1，1)，B(3，2)，D(0，5)，若，AC与BD交于点M，则点M的坐标为________. 解析：结合题意，设C(x，y)，M(x1，y1)，易得＝(x－3，y－2)，＝(1，4)， 由，可得(x－3，y－2)＝3(1，4)，解得即C(6，14)． 因为，所以△DMA∽△BMC， 所以，所以， 14 15 返回 ‹#› 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 即(x1＋1，y1－1)＝(7，13)＝，解得即点M的坐标为. 答案： 14 15 返回 ‹#› 11 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 11．(2025·山东烟台二模)已知向量a＝(x，1)，b＝(y，x－1)，若a∥b，则y的最小值为(　　) A．－ B． － C． D． 解析：A　若a∥b，则x2－x＝y，当x＝时，y有最小值为－.故选A. 14 15 A 返回 ‹#› 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 12．(多选)如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若，则(　　) A．P为线段OC的中点时，μ＝ B．P为线段OC的中点时，μ＝ C．无论μ取何值，恒有λ＝ D．存在μ∈R，λ＝ 14 15 AC 返回 ‹#› 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 解析：AC　＋λ＝(1－λ)，因为与共线，所以，解得λ＝，故C正确，D错误；当P为线段OC的中点时，则，则1－λ＝×3μ，解得μ＝，故A正确，B错误．故选AC. 14 15 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13．(5分)已知△ABC所在平面内一点M满足(λ 为非零实数)，且△ABC的面积为12，则△ABM的面积为________． 解析：如图所示，设BC的中点为N，连接MN，由条件知，所以MN//AB，而N为BC的中点，所以点C到直线AB的距离等于点M到直线AB的距离的2倍，所以S△ABC＝2S△ABM＝12，故S△ABM＝6. 答案：6 14 15 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 14．(多选)如图，B是AC的中点，，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且(x，y∈R)，则下列结论中正确的是 (　　) A．当x＝0时，y∈[2，3] B．当P是线段CE的中点时，x＝－ C．若x＋y为定值1，则在平面直角坐标系中， 点P的轨迹是一条线段 D．当P在C点时，x＝1，y＝2 13 15 BC　 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 解析：BC　当x＝0时，则，点P在线段BE上，故1≤y≤3，故A错误；当P是线段CE的中点时，＝3＝＝－，故B正确；当x＋y为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，故P的轨迹是一条线段， 故C正确；因为，所以 ，当P在C点时，则，所以x ＝－1，y＝2，故D错误．故选BC. 15 返回 ‹#› 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 15．(5分)根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对Rt△CDE按上述操作作图后，得到如图所示的图形，若，则x－y＝________． 15 14 返回 ‹#› 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 15 14 解析：建立如图所示的平面直角坐标系． 设DC＝2a，则EC＝a，DE＝ a，A(0，0)，B(2a，0)，D(0，2a)，DF＝a，所以xF＝a·cos 30° ，yF＝2a＋a·sin 30° ，即F，所以＝ ＝(2a，0)，＝(0，2a)，因为，所以＝x(2a，0)＋y(0，2a)，则 则2ax－2ay＝a，化简得x－y＝－. 答案：－ 返回 ‹#› 第2节　平面向量基本定理及坐标表示 点击进入WORD文档 按ESC键退出全屏播放 返回 ‹#› $