第2章 第6节 指数式与对数式的运算(课件PPT)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦“指数式与对数式的运算”专题，依据课标要求覆盖有理数指数幂、实数指数幂的含义与运算性质，对数的概念、运算性质及换底公式等核心考点，对接高考评价体系，分析指数幂化简、对数运算、实际应用三大高频题型的考查权重，构建系统的知识梳理与题型归纳体系。 课件亮点在于“教材回扣夯实基础+考点突破精研真题+限时训练提升能力”的备考策略，如例2通过换底公式转化对数连乘问题，培养学生的数学思维；实际应用专题（如过滤问题、星等计算）训练用数学语言表达现实问题，设高考题（2025北京卷）及限时规范训练，帮助学生掌握运算技巧与答题节奏，为教师提供精准的复习教学指导，助力高效备考。

第6节　指数式与对数式的运算 返回 ‹#› 1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质．　2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 课标解读 返回 ‹#› 1 再研教材 夯实基础 4 限时规范训练　 栏 目 导 引 3 考教衔接 精研教材 2 考点突破 通法悟道 返回 ‹#› 再研教材 夯实基础 1．根式与有理数指数幂 (1)根式 ①一般地，如果xn＝a，那么__叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*； ②式子 叫做______，这里n叫做根指数，a叫做被开方数； ③n＝__．当n为奇数时， ＝__；当n为偶数时， ＝|a|＝ x 根式 a a 返回 ‹#› (2)有理数指数幂 概念 正分数指数幂：＝ a＞0，m，n∈N*，n＞1 负分数指数幂：＝ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 运算 性质 aras＝ar＋s a＞0，b＞0，r，s∈Q (ar)s＝ars (ab)r＝arbr 返回 ‹#› 2．对数 概念 般地，如果_________(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝__________，其中a叫做对数的______，N叫做______ 性质 对数式与指数式的互化：当a＞0，a≠1时，ax＝N⇔_______________ 负数和0没有对数 1的对数是______：loga1＝______ 底数的对数是______：logaa＝______ 对数恒等式：alogaN＝______ ax＝N logaN 底数 真数 x＝logaN 0 0 1 1 N 返回 ‹#› 运算 性质 loga(MN)＝______________________ a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0 loga＝_______________________ logaMn＝____________ (n∈R) 换底 公式 logab＝ logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 返回 ‹#› 1．换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝； logab(a，b均大于0且a不等于1，m≠0，n∈R)． 2．换底公式的推广 logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d＞0)． 返回 ‹#› 1．(多选)(人A必修一P109习题T1，T5改编)下列结论中，正确的是(　　) A．设a＞0，则＝a B．若m8＝2，则m＝± 8＝ D． ＝2－π BC 返回 ‹#› 解析：BC　对于A，根据指数幂的运算性质，可得≠a，故A错误；对于B，m8＝2，故m＝± ，故B正确；对于8＝m2n-3＝，故C正确；对于D， ＝|2－π|＝π－2，故D错误．故选BC. 返回 ‹#› 2．(多选)(人A必修一P126练习T1改编)下列运算正确的有(　　) A．lg 2＋lg 3＝lg 5 B．log3100＝10log310 C．4log45＝5 D．log34·log43＝1 解析：CD　lg 2＋lg 3＝lg 6，故A错误； log3100＝2log310，故B错误； 4log45＝5，故C正确； log34·log43＝1，故D正确．故选CD. CD 返回 ‹#› 3．(人A必修一P127习题T3(6)改编)若log35·log2527＝a，则a＝________． 解析：log35·log2527＝log35·log53＝，所以a＝. 答案： 4．(人A必修一P110习题T7(2)改编)已知a2x＝3，则ax＋a－x＝________． 解析：因为a2x＝3，所以a-2x＝，所以(ax＋a－x)2＝a2x＋2＋a-2x＝3＋2＋，所以ax＋a－x＝. 答案： 返回 ‹#› 考点突破 通法悟道 考点一　指数幂的化简与求值(师生共研) 例1　化简与求值： ； (a＞0，b＞0)； . 返回 ‹#› 解：(1)原式＝＋0.09＝－0.16. (2)原式＝. (3)原式＝＝2. 返回 ‹#› 1．指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： (1)必须同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序． 2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． 3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 返回 ‹#› 1．(多选)已知a＋a-1＝3，则下列选项正确的是(　　) A．a2＋a-2＝ ＝±1 ABD 返回 ‹#› 解析：ABD　将a＋a-1＝3两边平方，得(a＋a-1)2＝a2＋2＋a-2＝9，所以a2＋a-2＝7，故A正确；因为2＝a－2＋a-1＝3－2＝的大小不确定，所以＝±1，故B正确；因为2＝a＋2＋a-1＝3＋2＝5，又因为>0，所以 ，故C错误；由立方和公式，可得3＝(a－1＋a-1)＝ ×(3－1)＝2 ，故D正确．故选ABD. 返回 ‹#› ．＝________． 解析： ＝－＋1＋ ＝1. 答案：1 返回 ‹#› 考点二　对数式的化简与求值(师生共研) 例2　(1)若2a＝3，3b＝5，5c＝4，则log4(abc)＝(　　) A．－2 B． C． D．1 解析：B　由2a＝3，3b＝5，5c＝4，可得a＝log23，b＝log35，c＝log54，所以abc＝log23×log35×log54＝＝2， 则log4(abc)＝log42＝.故选B. B 返回 ‹#› (2)计算：＝________． 解析：原式＝ ＝ ＝＝1. 答案：1 返回 ‹#› 1．在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并． 2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算． 3．ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化． 返回 ‹#› 1．计算： －log5－log514＝________． 解析：原式＝＝＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2. 答案：2 返回 ‹#› 2．已知lg 2＝a，lg 3＝b，用a，b表示log1815＝________． 解析：log1815＝ ＝. 答案： 返回 ‹#› 考点三　指数式与对数式的实际应用(师生共研) 例3　某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的函数关系为：P＝P0·e－kt(k为正常数，P0为原污染物数量)．若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤(　　) A．小时 B．小时 C．5小时 D．小时 C 返回 ‹#› 解析：C　由题意，前5个小时消除了90%的污染物，因为P＝P0·e－kt，所以(1－90%)P0＝P0e-5k，所以0.1＝e-5k，即－5k＝ln 0.1，所以k＝－ln 0.1，则由0.01P0＝P0e－kt，即ln 0.01＝×ln 0.1，所以t＝10，即总共需要过滤10小时，污染物的残留含量才不超过1%，又因为前面已经过滤了5小时，所以还需过滤5小时．故选C. 返回 ‹#› 解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 第一步：理解题意、理清条件与所求之间的关系． 第二步：运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求． 返回 ‹#› (2025·北京顺义一模)在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述．视星等m是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响，绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距(10秒差距≈32.6光年)时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度．视星等m和绝对星等M满足m－M＝，其中d是与地球的距离，单位为秒差距．若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足mB－mA＝4，则(　　) A．MB＝MA＋4 B．MB＝MA＋6 C．MA＝MB＋1 D．MA＝MB＋6 C 返回 ‹#› 解析：C　由题意，dA＝10秒差距，dB＝100秒差距，mA－MA＝5lg ＝0，mB－MB＝，两式相减可得mA－MA－mB＋MB＝－5，又mB－mA＝4，所以MB－MA＝－1，所以MA＝MB＋1.故选C. 返回 ‹#› 考教衔接 精研教材 高考题　(2025·北京卷T9)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N(单位：小时)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)(　　) A.2　　　 B．4　　　 C．20　　　 D．40 教材题　(人A必修一P126例5)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M. 2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)？ B 返回 ‹#› 解析：B　设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3，由题意，T1＝klog2106＝6klog210，T2＝klog2(1.024×109)＝klog2(210×106)＝k(10＋6log210)，T3＝klog2(4.096×109)＝klog2(212×106)＝k(12＋6log210)，因为T2－T1＝k(10＋6log210)－6klog210＝10k＝20，所以k＝2，所以T3－T2＝k(12＋6log210)－k(10＋6log210)＝2k＝4，所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时．故选B. 返回 ‹#› 点评：两题均围绕对数函数模型展开，核心联系是利用对数运算性质解决实际问题中的变量关系．教材例题通过震级差计算能量倍数，高考题通过数据量倍数计算时间增量，两者均依赖对数的减法转化为变量的倍数关系，体现了对数函数将非线性倍数关系转化为线性增量关系的统一思想，且均需通过比例常数建立实际量与对数函数的联系． 返回 ‹#› 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 1 2 限时规范 训练(十四) 14 15 (建议用时：45分钟　分值：79分) 单项选择题、填空题5分；多项选择题6分． 1．(2025·河南新乡二模)＝(　　) A．16 B．8 C．32 D．16 解析：A　由＝＝24＝16.故选A. A 返回 ‹#› 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2．(2025·山东临沂二模)已知实数x，y满足log2(log3x)＝log3(log2y)＝1，则x＋y＝(　　) A．11 B．12 C．16 D．17 解析：D　因为log2(log3x)＝log3(log2y)＝1，所以x＋y＝32＋23＝9＋8＝17.故选D. 14 15 D 返回 ‹#› 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 3．若代数式 ＋ 有意义，则 ＋2 ＝(　　) A．2 B．3 C．2x－1 D．x－2 解析：B　由 ＋ 有意义，得所以x－2≤0，2x－1≥0，所以 ＋2 ＝＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3.故选B. 14 15 B 返回 ‹#› 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 12 13 11 4．已知a＝log23，b＝log25，则log415＝(　　) A．2a＋2b B．a＋b C．ab D． 解析：D　log415＝log215＝＝b.故选D. 14 15 D 返回 ‹#› 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 11 5．计算2log32－log3＋＝(　　) A．－7 B．－3 C．0 D．－6 解析：D　原式＝log34－log3＝log3＝log39＋1－9＝－6.故选D. 14 15 D 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 6．(2025·山东威海一模)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数，生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由d1变为d2，若，则＝(　　) A．log32 B． C．log23 D． 14 15 D 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 解析：D　由题意得d2＝，由，可得N1＝，所以.故选D. 14 15 返回 ‹#› 7 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 2 7．(多选)下列计算正确的是(　　) ＝－1 B．＋ln (ln e)＝7 C．log23×log34＝log67 D．lg 25＋lg 8－lg 200＋lg 2＝0 14 15 ABD 返回 ‹#› 7 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 2 解析：ABD　对于A，原式＝＝－1，故A正确；对于B，原式＝＋ln (ln e)＝7＋ln 1＝7，故B正确；对于C，原式＝＝2，故C错误；对于D，原式＝lg 52＋lg 23－lg 200＋lg 2＝2×(lg 5＋lg 2)－lg ＝2－2＝0，故D正确．故选ABD. 14 15 返回 ‹#› 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 2 8．(多选)下列结论中正确的是(　　) A．当a＜0时＝a3 B． ＝|a|(n＞1，n∈N*，n为偶数) C．函数f(x)＝－(3x－7)0的定义域是 D．若2x＝16，3y＝，则x＋y＝7 14 15 BC 返回 ‹#› 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 2 解析：BC　当a＜0时＞0，a3＜0，故A错误；B显然正确；解得x≥2且，故C正确；因为2x＝16，所以x＝4，因为3y＝＝3-3，所以y＝－3，所以x＋y＝4＋(－3)＝1，故D错误．故选BC. 14 15 返回 ‹#› 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 2 9．(5分)若xy＝3，则x ＋y ＝________． 解析：当x＞0，y＞0时，x ＋y ＝ ＋ ＝2 ，当x＜0，y＜0时，x ＋＝－ ＋＝－2 . 答案：±2 14 15 返回 ‹#› 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10．(5分)已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则2＝________． 解析：由题意得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，则2＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b＝22－4×＝2. 答案：2 14 15 返回 ‹#› 11 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 11．已知4a＝8，2m＝9n＝6，且＝b，则a＋b＝(　　) A． B． C． D．2 解析：A　因为4a＝8，2m＝9n＝6，所以a＝log48＝，m＝log26，n＝log96，所以b＝＝log62＋log69＝1，所以a＋b＝.故选A. 14 15 A 返回 ‹#› 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 12．(5分)(2026·河南南阳模拟)在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝(D为常数)，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，n表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中G0＝20，当n＝10时，学习率为0.25；当n＝30时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为________．(已知lg 2≈0.3)(　　) A．31 B．32 C．33 D．34 14 15 D 返回 ‹#› 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 解析：D　因为衰减学习率模型为L＝，所以根据已知条件可得：0.25＝，　① 0．0625＝，　② 用②式除以①式可得：，化简可得：D＝0.25.将D＝0.25代入①式中可得：L0＝0.5.所以衰减学习率模型为L＝.当学习率衰减到0.05以下时，即L＝<0.05.化简上述不等式得：lg 0.25<lg 0.1，所以n>≈33.3.因为n为正数，所以最小值取34.故选D. 14 15 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13．(多选)已知3a＝8b＝24，则a，b满足的关系是(　　) A．＝1 B．＝2 C．(a－1)2＋(b－1)2<2 D．(a－1)2＋(b－1)2>2 14 15 AD 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 解析：AD　由3a＝8b＝24，则(3a)b＝24b，(8b)a＝24a，即3ab＝24b，8ab＝24a， 两式相乘得(24)ab＝24a＋b，所以ab＝a＋b，又因为a≠0，b≠0，有＝1，A正确，B错误；由a≠b，有a2＋b2>2ab，则(a－1)2＋(b－1)2＝a2＋b2－2(a＋b)＋2>2ab－2(a＋b)＋2＝2，C错误，D正确．故选AD. 14 15 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 14．(多选)已知正数x，y，z满足3x＝4y＝6z，则下列说法中正确的是 (　　) A． B．3x＞4y＞6z C．x＋y＞z D．xy＞2z2 13 15 ACD 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 解析：ACD　设3x＝4y＝6z＝t(t＞1)，则x＝，因为＝＝logt6＝，故A正确；因为＝4logt3＝logt81，＝3logt4＝logt64，所以＞，即3x＜4y，故B错误；因为＋＞，故C正确；因为＝log36×log46＝＞2，故D正确．故选ACD. 15 返回 ‹#› 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 15．已知a＞b＞1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＋2b＝________． 解析：由logab＋logba＝，且logab·logba＝1，所以logab，logba是方程x2－＋1＝0的两根，解得logba＝2或logba＝，又a＞b＞1，所以logba＝2，即a＝b2，又ab＝ba，从而b2b＝ba，则a＝2b，且a＝b2，则b＝2，a＝4，所以a＋2b＝8. 答案：8 15 14 返回 ‹#› 第6节　指数式与对数式的运算 点击进入WORD文档 按ESC键退出全屏播放 返回 ‹#› $