第1章 培优增分1 多变量最值问题的处理方法(课件PPT)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦“多变量最值问题”核心考点，依据高考评价体系梳理换元法、因式分解双换元等四大通法，通过分析压轴题考查趋势明确方法应用权重，归纳“条件代换”“不等式构造”等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“方法悟道+真题训练+素养提升”，如以换元法处理“x+2y=1求分式最值”典型题，培养数学思维与数学眼光，限时规范训练含5类选择、2道填空及解答题，助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准指导，提升复习效率。

培优增分1　多变量最值问题的处理方法 返回 ‹#› 多变量的最值问题，常常以压轴题的身份“现身”于各种考试题中．求解这类问题，不仅要求考生善于对目标代数式进行适当变形，使其能够与基本不等式的应用相“匹配”，而且要求考生能根据实际问题，选择恰当的方法，从而达到优化解题过程的目的． 命题解读 返回 ‹#› 2 限时规范训练　 栏 目 导 引 1 考点突破 通法悟道 返回 ‹#› 考点突破 通法悟道 方法一　换元法(师生共研) 例1　已知x，y为正实数，则的最大值为________． 解析：令2x＋y＝m，x＋2y＝n，则x＝，且m＞0，n＞0，因此－ ＝，当且仅当，即m＝n时取等号，则的最大值为. 答案： 返回 ‹#› 换元法实质还是配凑或者常数代换法的拓展，在已知条件或者所求表达式的分母上出现一次二项式时，可尝试使用． 返回 ‹#› 若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则的最小值为________． 解析：令m＝x＋1，n＝y＋2，则x＝m－1，y＝n－2，则x＋2y＝m－1＋2(n－2)＝1，即m＋2n＝6，则(m＋2n)－4＝－4≥－4＝，当且仅当，即m＝时等号成立，故的最小值为. 答案： 返回 ‹#› 方法二　因式分解双换元(师生共研) 例2　已知0＜a＜1，0＜b＜1，且4(a＋b)＝4ab＋3，则a＋2b的最大值为 (　　) A．2 B．2 C．3－ D．3－2 C 返回 ‹#› 解析：C　因为4(a＋b)＝4ab＋3，所以4ab－4a－4b＋3＝0，配凑得4ab－4a－4b＋4＝1，两边同时除以4得ab－a－b＋1＝，即(1－a)(1－b)＝.令x＝1－a＞0，y＝1－b＞0，则a＝1－x，b＝1－y，y＝，所以a＋2b＝1－x＋2(1－y)＝－x－2y＋3＝－x－＋3＝－＋3≤－2 ＋3＝3－ ，当且仅当x＝，即x＝时等号成立，故a＋2b的最大值为3－ .故选C. 返回 ‹#› (1)特征：条件式子复杂，一般有一次和二次(因式分解展开就是一次和二次)，符合因式分解原理． (2)最常见的因式分解：a＋b＋ab＋1＝(a＋1)(b＋1)． 返回 ‹#› 已知x2－3xy＋2y2＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值为(　　) A． －6 B． ＋6 C．2 ＋6 D．2 －6 解析：D　 因为x2－3xy＋2y2＝(x－y)(x－2y)＝1，所以可设x－y＝t，x－2y＝(t≠0)，所以x＝2t－，从而x2＋y2＝2＋2＝5t2＋－6≥－6＝2 －6，当且仅当5t2＝时等号成立．所以x2＋y2的最小值为2 －6.故选D. D 返回 ‹#› 方法三　构造二次不等式(师生共研) 例3　已知正数a，b满足a＋b＋＝10，则a＋b的最大值是________． 解析：设a＋b＝x，则＝10－x，因为a，b均为正数，所以解得0＜x＜10.x(10－x)＝(a＋b)＝5＋≥5＋2 ＝9(当且仅当，即b＝2a时等号成立)，所以x(10－x)≥9，即x2－10x＋9≤0，解得1≤x≤9，满足0＜x＜10，所以a＋b的最大值为9. 答案：9 返回 ‹#› 变量x，y满足mx＋ny＋＝t的处理办法 (1)问谁设谁：求谁，设谁就是k. (2)代入整理：整理成某个变量的一元二次方程(或不等式)． (3)确认最值：方程有解(或不等式用均值放缩)，从而确定最值． 返回 ‹#› 已知x，y＞0，若x＋4y＋6＝，则的最小值是________． 解析：设＝k(k＞0)，则x＋4y＋6＝k，所以(x＋4y＋6)＝k2，所以·(x＋4y)＋6k＝k2，整理得k2－6k－8＝.由x，y＞0得k2－6k－8＝ ＝8，当且仅当x＝时取等号．所以k2－6k－16≥0，解得k≥8或k≤－2(舍去)，即当x＝1，y＝时，取得最小值8. 答案：8 返回 ‹#› 方法四　待定系数配凑法(师生共研) 例4　已知a＞0，b＞0，则的最大值为________． 解析： ≤，当且仅当a＝ ，b＝ 时取等号． 答案： 返回 ‹#› ab＋bc＝ a· b·(λ，μ＞0)，a2＋b2＋c2＝a2＋λb2＋(1－λ)b2＋c2≥2 ab＋2 bc(0＜λ＜1)． 一般通过类似上式构造，配凑出题目所需要的结构，进而化简整理得到题目所求最值，分式最值注意上下系数成比例． 返回 ‹#› 已知a，b，c是正实数，则的最大值为________． 解析：，当且仅当b＝c＝时等号成立． 答案： 返回 ‹#› 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 限时规范 训练(七)　多变量最值问题的处理方法　 (建议用时：45分钟　分值：60分) 本训练单项选择题5分，多项选择题6分，填空题5分． 1．已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，则a＋b的取值范围是(　　) A．[－1，1] B． C． D．[0，2] C 返回 ‹#› 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 解析：C　因为a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，所以a＋b＝1－c，ab＝[(a＋b)2－(a2＋b2)]＝c2－c，因为ab≤2，所以c2－c≤，所以－≤c≤1，所以0≤1－c≤，所以0≤a＋b≤.故选C. 返回 ‹#› 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2．设正数m，n，u＝，v2＝m2＋n2＋mn，则2的最大值是(　　) A． B． C． D．1 解析：B　2＝＝， 令t＝，则原式＝，当且仅当t＝，即t＝1，m＝n时取等号，此时取得最大值.故选B. B 返回 ‹#› 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 3．若a，b，c>0，且a2＋2ab＋2ac＋4bc＝12，则a＋b＋c的最小值是 (　　) A．2 B．3 C．2 D． 解析：A　因为a2＋2ab＋2ac＋4bc＝12，所以2ab＋2ac＋2bc＝12－a2－2bc.而(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝12＋b2＋c2－2bc＝12＋(b－c)2≥12，且a，b，c>0，所以a＋b＋c≥2 ，当且仅当b＝c时等号成立．故选A. A 返回 ‹#› 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 4．已知x＞0，y＞0，x＋2y＝3，则的最小值为(　　) A．3－2 B．2 ＋1 C． －1 D． ＋1 解析：B　因为x＞0，y＞0，x＋2y＝3，则 ＋1＝2 ＋1，当且仅当x2＝2y2，即x＝3 －3，y＝时等号成立，故的最小值为1＋2 .故选B. B 返回 ‹#› 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 5．已知实数a，b＞0，若a＋2b＝1，则的最小值为(　　) A．12 B．2 C．6 D．8 解析：A　由题知 ＋4＝8＋4＝12，当且仅当，即a＝b＝时取等号，所以的最小值为12.故选A. A 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 6．若x，y，z均为正实数，则的最大值为(　　) A． B． C． D． 解析：C　因为x，y，z均为正数，所以x2＋y2≥2xy，z2＋y2≥2yz，所以，当且仅当x＝y＝z时等号成立．故选C. C 返回 ‹#› 7 8 9 10 1 3 4 5 6 2 7．(多选)若a>1，b>1，且ab＝e2，则(　　) A．2e≤a＋b<e2＋1 B．0<ln a·ln b≤1 C．2 －1≤ln a＋logab<2 D．aln b的最大值为e ABD 返回 ‹#› 7 8 9 10 1 3 4 5 6 2 解析：ABD　由a>1，b＝>1，得1<a<e2， 因为函数f(a)＝a＋b＝a＋在区间(1，e)上单调递减，在区间[e，e2)上单调递增，所以2e≤a＋b<e2＋1，故A正确；因为ab＝e2，所以有ln a＋ln b＝2，于是0<ln a·ln b≤2＝1，当且仅当a＝b＝e时，等号成立，故B正确；ln a＋logab＝ln a＋＝ln a＋＝ln a＋－1，设t＝ln a∈(0，2)，所以φ(t)＝t＋－1在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以φ(t)＝t＋－1∈，故C错误； 设λ＝aln b，所以ln λ＝ln aln b＝ln b·ln a≤1，所以λ≤e，故D正确．故选ABD. 返回 ‹#› 8 9 10 1 3 4 5 6 7 2 8．(多选)若a，b是正实数，且a＋2b＝1，则的值可能为 (　　) A．6 B． C． D．5 BCD 返回 ‹#› 8 9 10 1 3 4 5 6 7 2 解析：BCD　由题意， ＋3＝ ＋3，当且仅当，即a＝时取等号，所以的最小值为 ＋3.结合选项知A错误，B、C、D正确．故选BCD. 返回 ‹#› 9 10 1 3 4 5 6 7 8 2 9．已知正实数x，y满足：x2＋xy＋＝2，则3x＋2y＋的最小值为________． 解析：因为正实数x，y满足x2＋xy＋＝2，所以(x＋y)＝5.令x＋y＝m，x＋＝n，则3x＋2y＋ ＝.当m＝ ，即x＝时，3x＋2y＋取到最小值2 . 答案：2 返回 ‹#› 10 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10．(13分)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，求：2x＋y的最大值． 解：由4x2＋y2＋xy＝1化简可得(2x＋y)2－3xy＝1，令t＝2x＋y，则y＝t－2x，所以t2－3x(t－2x)＝1，即6x2－3tx＋t2－1＝0，所以Δ＝(－3t)2－24(t2－1)≥0，解得－，所以2x＋y的最大值是，此时x＝. 返回 ‹#› 培优增分1　多变量最值问题的处理方法 点击进入WORD文档 按ESC键退出全屏播放 返回 ‹#› $