3.3 导数与函数的极值(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学讲义聚焦导数与函数的极值核心考点，依据课标要求梳理极值的定义、必要与充分条件及易错点，按“概念理解—图象分析—极值求解—参数应用”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建极值问题的解题框架。 资料突出数学眼光与思维培养，如通过导函数图象判断极值点（几何直观）、分类讨论参数对极值的影响（推理能力），设计基础辨析、典例精讲、分层训练等活动，例1结合导函数图象分析极值点个数培养直观想象，例2讨论单调性与极值提升逻辑推理，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供精准指导。

3．3　导数与函数的极值 [课标解读] 1．借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．　2.会用导数求函数的极大值、极小值．　3.会利用极值求参数． 1．函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 提醒：(1)对于可导函数f(x)，f′(x)＝0是f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件，例如，f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点． (2)极值点不是点，而是一个实数，极大值与极小值没有必然联系，极小值可能比极大值还大． 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数可能没有极值，也可能不止一个．(　　) (2)单调函数没有极值．(　　) (3)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点．(　　) (4)极大值一定大于极小值．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．(人B选修三P100练习AT1改编)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的极小值点的个数为(　　) A．0　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析：B　由图象知，设f′(x)与x轴的两个交点横坐标分别为a，b，其中a<b，则在(－∞，a)，(b，＋∞)上f′(x)>0，所以此时函数f(x)在(－∞，a)，(b，＋∞)上单调递增，在(a，b)上，f′(x)<0，此时f(x)在(a，b)上单调递减，所以x＝a时，函数取得极大值，x＝b 时，函数取得极小值．则函数y＝f(x)的极小值点的个数为1.故选B. 3．(人A选修二P91例5改编)函数f(x)＝ln x－x的极大值是__________. 解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，因为f(x)＝ln x－x，所以f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1，当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)，故f(x)在x＝1处取得极大值，极大值为f(1)＝ln 1－1＝－1. 答案：－1 4．(人A选修二P104T9改编)已知函数f(x)＝x2＋x－3有两个极值点，则a的取值范围是__________. 解析：函数f(x)＝x2＋x－3求导得，f′(x)＝x2－ax＋1，由函数f(x)有两个极值点，则方程f′(x)＝0有两个不相等的根，所以Δ>0，即a2－4>0，解得a>2或a<－2，所以a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞) 考点一　利用函数图象判断极值 例1　(多选)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则(　　) A．f′(x)既有极大值又有极小值 B．f(x)有极小值f(－2)和f(3) C．f(x)有极大值f(－2)和f(3) D．f(x)可能有4个零点 解析：ACD　对于A，由题图可知，f′(x)既有极大值又有极小值，故A正确；对于B、C，由题图可知，当x<－2，1<x<3时，f′(x)>0，当－2<x<1，x>3时，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，－2)，(1，3)上单调递增，在(－2，1)，(3，＋∞)上单调递减，所以f(x)有极小值f(1)，f(x)有极大值f(－2)和f(3)，故B错误，C正确；对于D，当f(1)<0，f(－2)>0，f(3)>0时，f(x)可能有4个零点，故D正确．故选ACD. 由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点． 跟踪训练1　函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点的个数为(　　) A．1　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：A　由题图可知，f′(x)在开区间(a，b)内有4个零点x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3＝0<x4)，在x1处的两边f′(x)左正、右负，取得极大值；在x2处的两边f′(x)左负、右正，取得极小值；在x3处的两边f′(x)都为正，没有极值；在x4处的两边f′(x)左正、右负，取得极大值．因此函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点只有一个．故选A． 考点二　求已知函数的极值 例2　(2026·山东泰安期中)已知函数f(x)＝＋3a，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当x∈(0，1]时，求函数f(x)的极值． 解：(1)由f(x)＝x2－a ln x＋3a得f′(x)＝x－(x>0)， 当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>0时，令f′(x)＝>0且x>0得x> ， 令f′(x)＝<0且x>0得0<x< ， 故f(x)在上单调递减，在上单调递增； 综上，当a≤0时， f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>0时， f(x)在上单调递减，在上单调递增． (2)当a≤0时，f(x)在(0，1]上单调递增，无极值； 当 ≥1，即a≥1时，f(x)在(0，1]上单调递减，无极值； 当0< <1，即0<a<1时，f′＝0，且f(x)在上单调递减，在上单调递增， 故函数f(x)在x＝ 处有极小值f＝a－a ln ＋3a＝a ln a，无极大值． 运用导数求函数f(x)极值的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求导数f′(x)． (3)解方程f′(x)＝0，求出导函数在定义域内的所有根． (4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号． (5)求出极值． 跟踪训练2　已知函数f(x)＝ex－ax2－e＋a(a>0)，讨论函数f(x)的极值点个数． 解：函数f(x)＝ex－ax2－e＋a(a>0)的定义域为R， 因为f′(x)＝ex－2ax，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝ex－2a， 因为a>0，令g′(x)＝0，解得x＝ln (2a)， 当x∈(－∞，ln (2a))时，g′(x)<0，即g(x)在(－∞，ln (2a))上单调递减， 当x∈(ln (2a)，＋∞)时，g′(x)>0，即g(x)在(ln (2a)，＋∞)上单调递增， 所以g(x)min＝g(ln (2a))＝2a(1－ln (2a))， ①当0<a≤时，g(x)≥0，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)无极值点； ②当a>时，g(x)min＝g(ln (2a))<0， 因为g(0)＝1>0，即g(0)g(ln (2a))<0，因此函数g(x)在(0，ln (2a))上有唯一零点x1， 当x→＋∞时，g(x)→＋∞，因此函数g(x)在(ln (2a)，＋∞)上有唯一零点x2， 当x<x1时，g(x)>0，即f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，x1)上单调递增； 当x1<x<x2时，g(x)<0，即f′(x)<0，所以函数f(x)在(x1，x2)上单调递减； 当x>x2时，g(x)>0，即f′(x)>0，所以函数f(x)在(x2，＋∞)上单调递增． 又f′(x1)＝f′(x2)＝0，所以当a>时，函数f(x)有两个极值点． 综上，当0<a≤时，函数f(x)无极值点；当a>时，函数f(x)有两个极值点． 考点三　由函数的极值求参数 例3　(1)(2025·全国二卷T13)若x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)＝________. 解析：因为f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)＝x3－(a＋3)x2＋(3a＋2)x－2a，所以f′(x)＝3x2－2(a＋3)x＋3a＋2.因为x＝2是f(x)的极值点，所以f′(2)＝12－4(a＋3)＋3a＋2＝0，解得a＝2，经检验，符合题意，所以f(x)＝(x－1)(x－2)2，所以f(0)＝－4. 答案：－4 (2)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)在(0，＋∞)上有两个极值，则实数a的取值范围为________. 解析：f′(x)＝ln x＋1－2ax，由题意知ln x＋1－2ax＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实根，则2a＝，设g(x)＝，则g′(x)＝－.当0<x<1时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)的极大值为g(1)＝1，又当x>1时，g(x)>0，当x→＋∞时，g(x)→0，当x→0＋时，g(x)→－∞，所以0<2a<1，即0<a<. 答案： 已知函数极值确定函数解析式中的参数时，要根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解，求解后要检验． 跟踪训练3　(2024·新课标Ⅱ卷T16节选)已知函数f(x)＝ex－ax－a3，若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 解：易知函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在R上单调递增，无极值；当a>0时，由f′(x)>0，得x>ln a，由f′(x)<0，得x<ln a，所以函数f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极小值为f(ln a)＝a－a ln a－a3. 由题意知a－a ln a－a3<0(a>0)，等价于1－ln a－a2<0(a>0)． 令g(a)＝1－ln a－a2(a>0)，则g′(a)＝－－2a<0， 所以函数g(a)在(0，＋∞)上单调递减， 又g(1)＝0，故当0<a<1时，g(a)>0；当a>1时，g(a)<0. 故实数a的取值范围为(1，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $