2.3 函数的奇偶性、周期性(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学高考复习讲义聚焦函数的奇偶性与周期性，依据课标要求梳理概念、几何意义及判定方法，通过知识表格化呈现内在联系，设置考点分角度讲解（判断、求值、参数、不等式、周期性应用）与真题训练，构建“定义-结论-应用”的系统复习路径。 讲义突出数学思维与数学语言的培养，如判断奇偶性时强调定义域对称和f(-x)与f(x)的推理，周期性应用中通过递推关系推导周期。设计分层练习（基础辨析、综合例题、跟踪训练），配合方法总结（如奇函数“最大值+最小值=2常函数”），帮助学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

2．3　函数的奇偶性、周期性 [课标解读] 1．结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．　2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性． 3．结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义，会判断、应用简单函数的周期性解决问题． 1．函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 前提 函数定义域关于原点对称 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 图象 特点 关于y轴对称 关于原点对称 等价 形式 f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1(f(x)≠0) f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1(f(x)≠0) 2.函数的周期性 常用结论 1．函数奇偶性的常用结论(应用见跟踪训练1(2)) (1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)单调性与奇偶性的关系．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． (4)若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)． 2．函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)． (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)． 3．常见奇、偶函数的类型(应用见例1) (1)f(x)＝ax＋a－x(a＞0且a≠1)为偶函数；f(x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)，f(x)＝(a＞0且a≠1)为奇函数． (2)f(x)＝loga(b＋x)＋loga(b－x)(a>0且a≠1，b≠0)为偶函数；f(x)＝loga，f(x)＝loga为奇函数． (3)f(x)＝|ax＋b|＋|ax－b|为偶函数；f(x)＝|ax＋b|－|ax－b|为奇函数． 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(　　) (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　　) (3)对于函数y＝f(x)，若f(－2)＝－f(2)，则函数y＝f(x)是奇函数．(　　) (4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(多选)(人A必修一P84例6改编)下列函数中，是奇函数的有(　　) A．y＝x　　　　　　　 B．y＝ C．y＝x2 D．y＝x|x| 解析：ABD　y＝x是奇函数，y＝是奇函数，y＝x2是偶函数，不是奇函数，故AB正确，C错误；令f(x)＝x|x|，其定义域为R，因为f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，所以f(x)＝x|x|是奇函数，即y＝x|x|是奇函数，故D正确．故选ABD. 3．(人B必修一P117T8改编)若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a，2a]上的偶函数，则a＋b ＝(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 解析：B　若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a，2a]上的偶函数，则解得a＝1，b＝0，所以a＋b＝1.故选B. 4．(人A必修一P86T11改编)已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x－3；当x<0时，f(x)＝________. 解析：设x<0，则－x>0，代入x>0时的解析式可得f(－x)＝－2x－3，又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝－2x－3，即f(x)＝2x＋3. 答案：2x＋3 考点一　函数奇偶性的判断 例1　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝(x－1) ；(2)f(x)＝x3－3x；(3)y＝lg ；(4)y＝； (5)f(x)＝ 解：(1)函数的定义域为[－1，1)，不关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数． (2)函数的定义域为R，又f(－x)＝(－x)3－3(－x)＝－x3＋3x＝－f(x)，所以此函数为奇函数． (3)由>0，解得x∈(－1，1)，故函数的定义域为(－1，1)，关于原点对称， 又f(－x)＝lg ，f(－x)＋f(x)＝lg ＋lg ＝lg 1＝0，所以此函数为奇函数． (4)函数的定义域为R，又f(－x)＝＝－f(x)，所以此函数为奇函数． (5)法一(定义法)：易知f(x)的定义域为R. 当x>0时，f(x)＝x2－2x－1，－x<0，则f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝f(x)； 当x＝0时，f(0)＝－1，满足f(－x)＝f(x)； 当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x>0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1＝f(x)． 综上可知，∀x∈R，f(－x)＝f(x)， 所以f(x)为偶函数． 法二(图象法)：作出函数f(x)的图象，由偶函数的图象关于y轴对称的特征知函数f(x)为偶函数． 1．判断函数奇偶性的方法 (1)定义法；(2)图象法；(3)性质法． 2．判断函数奇偶性的关键点 (1)定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数． (2)判断f(x)与f(－x)的关系，在判断奇偶性的运算中，可以判断f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立． 跟踪训练1　(1)(2025·天津河西一模)已知函数f(x)＝e2x＋e-2x-2，则(　　) A．f(x＋1)为奇函数 B．f为偶函数 C．f(x－1)为奇函数 D．f为偶函数 解析：D　f(x)＝e2x＋e-2x-2，x∈R，则f(0＋1)＝f(1)＝e2＋e-4≠0，即故A错误；f(0－1)＝f(－1)＝e-2＋1≠0，故C错误；f＝e2＋e-4，f＝1＋e-2，则f≠f，故B错误；f＝e2x-1＋e-2x-1，f＝e-2x-1＋e2x-1，则f＝f，f为偶函数，故D正确．故选D. (2)(多选)已知奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域、值域均为R，则(　　) A．f(x)＋g(x)是奇函数 B．f(x)|g(x)|是奇函数 C．f(x)g(x)是奇函数 D．f[g(x)]是偶函数 解析：BCD　对于A，因为f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－[f(x)＋g(x)]，所以f(x)＋g(x)不是奇函数，故A错误；对于B，因为f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故B正确；对于C，因为f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故C正确；对于D，因为f[g(－x)]＝f[g(x)]，所以f[g(x)]是偶函数，故D正确．故选BCD. 考点二　函数奇偶性的应用 角度1　利用奇偶性求值(解析式) 例2　(1)设函数f(x)＝x5＋2x3＋3x＋1在区间[－2025，2025]上的最大值是M，最小值为m，则M＋m等于(　　) A．0　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析：C　由题意知，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，令g(x)＝f(x)－1＝x5＋2x3＋3x，则函数g(x)为奇函数，所以g(x)在区间[－2025，2025]上的最大值与最小值之和为0，即(M－1)＋(m－1)＝0，所以M＋m＝2.故选C. (2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝4－x＋1，则函数f(x)的解析式为________________. 解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，故f(0)＝0，当x>0时，－x<0，所以f(x)＝－f(－x)＝－(4x＋1)＝－4x－1，综上：函数f(x)的解析式为：f(x)＝ 答案：f(x)＝ 角度2　利用奇偶性求参数 例3　(2025·天津南开一模)已知f(x)＝是奇函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：C　f(x)＝是奇函数，由f(－x)＝－f(x)得所以恒成立，则2－a＝a，解得a＝1.故选C. 角度3　利用奇偶性解不等式 例4　(2025·山东济南一模)已知函数f(x)＝则f(2x)＋f(x－3)>0的解集是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－3) D．(－3，＋∞) 解析：A　当x>0时，f(x)＝1－ex，－x<0，则f(－x)＝e－(－x)－1＝ex－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝e－x－1，－x>0，则f(－x)＝1－e－x＝－f(x)；且当x＝0时，f(x)＝0，所以f(x)为奇函数，易知f(x)在R上单调递减，则f(2x)＋f(x－3)>0⇔f(2x)>－f(x－3)＝f(3－x)⇒2x<3－x⇒x<1，所以原不等式的解集为(－∞，1)．故选A． 函数奇偶性的应用类型及解题策略 (1)利用函数的奇偶性求函数值或参数值：求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数值或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．尤其对于“奇函数f(x)＋常函数A”的“最大值M＋最小值N”问题时，有结论M＋N＝2A成立． (2)利用奇偶性解不等式的步骤：转化、定性、去f、求解，即先把不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)．当涉及f(x)是偶函数时，常用f(x)＝f(|x|)，将问题转化到区间[0，＋∞)上求解． 跟踪训练2　(1)(2026·山东潍坊期中)已知f(x)是定义域为R的奇函数，若x>0时，f(x)＝x3－2x2，则f[f(1)]＝(　　) A．－1　　　　　　　 B．0 C．1 D．2 解析：C　由题意可得f(1)＝13－2×12＝－1，因为f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x3－2x2，当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)3－2(－x)2＝－x3－2x2，因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝x3＋2x2，所以f[f(1)]＝f(－1)＝(－1)3＋2×(－1)2＝1.故选C. (2)(2025·四川自贡二模)若f(x)＝ln (e2x＋1)＋ax是偶函数，则a＝(　　) A．0 B．－1 C．－2 D．－e 解析：B　由题可得f(－x)＝f(x)，即ln (e-2x＋1)＋a(－x)＝ln (e2x＋1)＋ax，所以2ax＝ln (1＋e2x)，所以2ax＝－ln e2x＝－2x，即x(a＋1)＝0，因为x不恒为0，故a＝－1.故选B. (3)(2025·广西河池二模)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(a－1)>f(2)，则a的取值范围是(　　) A．(3，＋∞) B．(－∞，－1) C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－1，3) 解析：C　由于f(x)是偶函数，根据偶函数的定义，f(－x)＝f(x)．因此，不等式f(a－1)>f(2)可以转化为f(|a－1|)>f(2)．函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以|a－1|>2，解得a<－1或a>3.故选C. 考点三　函数的周期性 例5　(1)(2025·黑龙江大庆三模)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＋f(x－1)＝3，且f(1)＝－1，则f(2024)＋f(2025)＋f(2026)＝______________. 解析：由f(x＋1)＋f(x－1)＝3，令x＋1代替x，可得f(x＋2)＝3－f(x)，则f(x＋4)＝3－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，可得f(2025)＝f(1＋506×4)＝f(1)＝－1，由f(x＋1)＋f(x－1)＝3，令x＝2025，则f(2026)＋f(2024)＝3，所以f(2024)＋f(2025)＋f(2026)＝2. 答案：2 (2)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[2，4]上的解析式为______________. 解析：根据题意，设x∈[2，4]，则x－4∈[－2，0]，则有4－x∈[0，2]，当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(4－x)＝log2[(4－x)＋1]＝log2(5－x)，又f(x)是周期为4的偶函数，所以f(x)＝f(x－4)＝f(4－x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]，则有f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]. 答案：f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4] 函数周期性的判定及应用 (1)求解与函数周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题． 跟踪训练3　(1)已知f(x＋1)＝.若f(x)是以2为最小正周期的周期函数，则a＝(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 解析：B　因为f(x)是以2为最小正周期的周期函数，所以f(x＋2)＝＝f(x)，所以解得a＝1.故选B. (2)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝，且当x∈[0，4)，f(x)＝x＋1，则f(2023)＝____________. 解析：由f(x)＝可得f(x＋4)＝，所以f(x＋8)＝＝f(x)，故f(x)为周期函数，且周期为8，f(2023)＝f(－1)＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $