1.1 集合(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学讲义聚焦集合核心考点，涵盖概念、关系、运算及创新问题，按“元素特性-集合表示-关系判定-运算应用”逻辑架构知识体系，通过课标解读、知识点梳理、真题改编、考点例题及跟踪训练，帮助学生构建完整认知框架，突破互异性验证、空集讨论等难点。 资料突出数学思维与数学语言融合，如用Venn图、数轴直观分析集合关系培养数学眼光，通过“思考辨析”强化元素互异性等易错点训练数学思维，设置基础巩固到创新应用分层练习，结合高考真题溯源解析，高效提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

[课标解读] 1．1　集合 1．了解集合的含义，了解全集、空集的含义．　2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系．　3.会求两个集合的并集、交集与给定子集的补集．　4.能用自然语言、图形语言、符号语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算． 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 非负整数 集(或自 然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实 数 集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2.集合间的基本关系 3．集合的基本运算 表示 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 常用结论 1．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．(应用见跟踪训练1(1)) 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.(应用见跟踪训练2(2)) 3．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．(应用见例3(2)) 4．一般地，对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．(应用见限时规范训练T13) 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．(　　) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　) (3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或1.(　　) (4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(人A必修一P14T1改编)已知A＝{x|x≥1}，B＝{x|0<x<5}，则A∩B＝(　　) A．{x|0<x<1}　　　　 B．{x|1≤x<5} C．{x|0≤x<1} D．{x|1<x<5} 解析：B　由A＝{x|x≥1}，B＝{x|0<x<5}，得A∩B＝{x|1≤x<5}．故选B. 3．(人A必修一P13T1改编)已知全集U＝{x∈Z|0<x≤6}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，3，5}，则∁U(A∪B)＝_______． 解析：由题意知U＝{1，2，3，4，5，6}，A∪B＝{1，2，3，4，5}，所以∁U(A∪B)＝{6}． 答案：{6} 4．(人A必修一P9T5(2)改编)已知集合A＝{x|1<x≤3}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋2}，且B⊆A，则实数a的取值范围为___________． 解析：因为A＝{x|1<x≤3}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋2}，B⊆A， 所以所以0<a≤1，所以实数a的取值范围为(0，1]. 答案：(0，1] 考点一　集合的概念 例1　(1)(多选)给出下列说法，其中正确的是(　　) A．∈∁RQ B．若集合A＝{x|x2＋2x＋m＝0，m∈R}中有且只有一个元素，则m＝1 C．方程组的解组成的集合为{x＝－} D．集合{y|y＝x2}与{(x，y)|y＝x2}是同一个集合 解析：AB　因为为无理数，所以∈∁RQ，故A正确；对于B，因为集合A＝{x|x2＋2x＋m＝0，m∈R}中有且只有一个元素，所以方程x2＋2x＋m＝0只有一个解，所以Δ＝4－4m＝0，解得m＝1，故B正确；对于C，解集应为{y＝x2}为y的取值集合，集合{(x，y)|y＝x2}表示y＝x2上点的集合，所以两个集合不是同一个集合，故D错误．故选AB. (2)已知集合A＝{a，a2－2a，1}，B＝{2a＋b，1，3}，若A＝B，则a－b＝(　　) A．－2　　　　　　 B．2 C．－6 D．6 解析：A　因为集合A＝{a，a2－2a，1}，B＝{2a＋b，1，3}，若A＝B，则或解得a＝－1，b＝1或a＝3，b＝－3，当a＝3，b＝－3时，集合A中，a2－2a＝3，与集合元素的互异性矛盾，舍去，当a＝－1，b＝1时，A＝{－1，3，1}，B＝{－1，1，3}，符合题意，此时a－b＝－2.故选A. 解决集合概念问题的关键点 (1)确定集合中的代表元素． (2)确定元素的限制条件． (3)理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾． 跟踪训练1　(1)若集合A＝{1，2，3}，B＝{(x，y)|x＋y－4>0，x，y∈A}，则集合B的真子集个数为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：C　由题意可知B＝{(2，3)，(3，2)，(3，3)}，所以集合B的真子集个数为23－1＝7.故选C. (2)(多选)(人A必修一P9T1改编)下列结论错误的是(　　) A．{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{x|x＝t2＋1，t∈R} B．{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R} C．∅＝{0} D．集合{a，b}的真子集为{a}，{b} 解析：BCD　对于A、B，{y|y＝x2＋1，x∈R}＝[1，＋∞)，{x|x＝t2＋1，t∈R}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}表示函数y＝x2＋1图象上的点的集合，所以A正确，B错误；对于C，∅{0}，所以C错误；对于D，集合{a，b}的真子集为∅，{a}，{b}易错点：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以D错误．故选BCD. 考点二　集合间的基本关系 例2　(1)(2025·山东青岛三模)若集合A＝{x|x＝，k∈Z}，B＝{x|x＝，k∈Z}，则(　　) A．A⊆B　　　　　 B．B⊆A C．A＝B D．A∩B＝∅ 解析：A　因为集合A＝{x|x＝，k∈Z}＝{x|x＝，k∈Z}，B＝{x|x＝，k∈Z}，则A⊆B.故选A. (2)已知集合A＝{x≥0}，B＝{x|3p－2≤x≤2p－1}，B⊆∁RA，则p的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：D　因为≥0，所以所以x≤－3或x>2，所以A＝{x|x≤－3或x>2}，所以∁RA＝{x|－3<x≤2}，当B＝∅时，3p－2>2p－1，解得p>1，满足B⊆∁RA；当B≠∅时，要使B⊆∁RA，解得－<p≤1，综上，p>－，即p的取值范围是.故选D. 1．空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． 2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 跟踪训练2　(1)(人B必修一P14BT2改编)集合M＝{x|x＝5k－2，k∈Z}，P＝{x|x＝5n＋3，n∈Z}，S＝{x|x＝10m＋3，m∈Z}间的关系是(　　) A．M＝S⊆P B．S＝P⊆M C．S⊆P＝M D．P＝M⊆S 解析：C　任取a∈M，则a＝5k1－2＝5(k1－1)＋3，k1∈Z，所以a∈P，所以M⊆P，任取b∈P，则b＝5n1＋3＝5(n1＋1)－2，n1∈Z，所以b∈M，所以P⊆M，所以M＝P.任取c∈S，则c＝10m1＋3＝5·(2m1)＋3，m1∈Z，所以c∈P，所以S⊆P，又8∈P，8∉S，所以S≠P.所以S⊆P＝M.故选C. (2)(2025·河北唐山模拟)已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，则满足A∪B＝A的实数a的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：B　因为A∪B＝A，所以B⊆A敲黑板：涉及A∩B＝B或A∪B＝A的问题，可利用集合的运算性质，转化为集合A，B之间的包含关系来求解.因为A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，所以a＋2＝3或a＋2＝a2.当a＋2＝3时，a＝1，此时集合A中有两个1，所以a＝1不符合题意，舍去易错点：注意依据集合中元素的互异性对求得的结果进行检验.当a＋2＝a2时，得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，集合A和集合B中均有两个1，所以a＝－1不符合题意，舍去；当a＝2时，A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，符合题意．综上，a＝2，所以满足A∪B＝A的实数a的个数为1.故选B. 考点三　集合的基本运算 角度1　集合的基本运算 例3　(1)(2025·全国二卷T3)已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝(　　) A．{0，1，2}　　　　　　　 B．{1，2，8} C．{2，8} D．{0，1} 解析：D　B＝{x|x3＝x}＝{0，－1，1}，故A∩B＝{0，1}．故选D. 追本 溯源 1.(人A必修一P12T1)设A＝{3，5，6，8}，B＝{4，5，7，8}，求A∩B，A∪B. 2．(人A必修一P12T2)设A＝{x|x2－4x－5＝0}，B＝{x|x2＝1}，求A∪B，A∩B. 名师 点评 高考题与教材题考查角度完全相同，是在两个教材题的基础上融合而成． (2)(2025·湖北十堰三模)已知全集U＝A∪B＝{1，2，3，4，5}，A∩B＝{3}，则(∁UA)∪(∁UB)＝(　　) A．{1，2}　　　　　　 B．{4，5} C．{1，2，4，5} D．{1，2，3，4，5} 解析：C　因为U＝A∪B＝{1，2，3，4，5}，A∩B＝{3}，所以(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)＝{1，2，4，5}．故选C. 角度2　利用集合的运算求参数 例4　(1)(2025·云南红河三模)已知集合A＝{－1，0，m2}，B＝{x∈N|x<3}，若A∩B＝{0，1}，则实数m的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－1或1 解析：D　因为B＝{x∈N|x<3}＝{0，1，2}，A∩B＝{0，1}，A＝{－1，0，m2}，所以m2＝1，解得m＝±1.故选D. (2)已知集合A＝{x|2<x<6}，B＝{x||x－a|>1}，若A∪B＝R，则整数a的值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：A　因为不等式|x－a|>1⇒x－a>1或x－a<－1，解得x<a－1或x>a＋1，所以B＝{x|x<a－1或x>a＋1}，因为A∪B＝R，所以解得3<a<5，则整数a的值为4.故选A. 集合运算的常用方法 (1)进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算． (2)对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况． 注意：在求出参数后，注意结果的验证(满足集合中元素的互异性)． 跟踪训练3　(1)(2025·全国一卷T2)已知集合U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}，则∁UA中元素的个数为(　　) A．0 B．3 C．5 D．8 解析：C　由题知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁UA＝{2，4，6，7，8}，有5个元素．故选C. (2)(2026·云南玉溪期中)已知集合A＝{x|－2≤x≤10}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若B∩(∁RA)＝∅，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，3] B．(－∞，9] C．(－∞，3]∪[9，＋∞) D．[3，9] 解析：A　因为A＝{x|－2≤x≤10}，则∁RA＝{x|x<－2或x>10}，因为B∩(∁RA)＝∅，若B＝∅，则1－m>1＋m，解得m<0；若B≠∅，则解得0≤m≤3，综上可得m≤3.故选A. (3)(2025·广东佛山二模)图中阴影部分用集合符号可以表示为(　　) A．B∩(A∪C) B．B∩(A∩C) C．B∩∁U(A∪C) D．(A∪B)∩(B∪C) 解析：A　在阴影部分区域内任取一个元素x，则x∈A∩B或x∈B∩C，故阴影部分所表示的集合为B∩(A∪C)或者(A∩B)∪(B∩C)，故A正确．故选A. 考点四　集合的创新问题 例5　(多选)(2025·河南开封联考)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”．对于集合A＝{－2，0，，1}，B＝{x|(ax－1)·(x＋a)＝0}，若A与B构成“全食”或“偏食”，则实数a的取值可以是(　　) A．－2 B．－ C．0 D．1 解析：BCD　若A与B构成“全食”或“偏食”，则A∩B≠∅.当a＝0时，B＝{0}，当a≠0时，B＝{－a，}．对于A，若a＝－2，则B＝{2，－}，此时A∩B＝∅，不满足题意；对于B，若a＝－，则B＝{，－2}，此时B⊆A，满足题意；对于C，若a＝0，则B＝{0}，此时B⊆A，满足题意；对于D，若a＝1，则B＝{－1，1}，此时A∩B＝{1}≠∅，满足题意．故选BCD. 解决集合新定义问题的三个着手点 (1)正确理解新定义：剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识． (2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键． (3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明． 跟踪训练4　(多选)对任意A，B⊆R，记A⊕B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差．例如：若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}．下列命题中，为真命题的是(　　) A．若A，B⊆R且A⊕B＝B，则A＝∅ B．若A，B⊆R且A⊕B＝∅，则A＝B C．若A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆B D．存在A，B⊆R，使得A⊕B≠∁RA⊕∁RB 解析：AB　对于A，因为A⊕B＝B，所以B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，所以A⊆B，且B中的元素不能出现在A∩B中，因此A＝∅，即A正确；对于B，因为A⊕B＝∅，所以∅＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，即A∪B与A∩B是相同的，所以A＝B，即B正确；对于C，因为A⊕B⊆A，所以{x|x∈A∪B，x∉A∩B}⊆A，所以B⊆A，即C错误；对于D，由于∁RA⊕∁RB＝{x|x∈(∁RA)∪(∁RB)，x∉(∁RA)∩(∁RB)}＝{x|x∈∁R(A∩B)，x∉∁R(A∪B)}＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，而A⊕B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，故A⊕B＝∁RA⊕∁RB，即D错误．故选AB. 典例　(2025·山东菏泽质检)已知关于x的不等式ax－1>0的解集为M，若2∈M且1∉M，则实数a的取值范围是________． 解析：因为2∈M，所以2适合不等式，即2a－1>0，解得a>.因为1∉M，所以1不适合不等式，即a－1≤0，解得a≤1.综上，a∈. 答案： 本题难度低，计算量小，但是考查形式与常见的集合考查形式不一样，学生很容易陷入思维定式，不能深刻理解本题为元素与集合关系的考查，导致无法作答，复习过程中应从各种角度加强对基础概念的理解． 学科网（北京）股份有限公司 $