第2章 第7节 对数与对数函数(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（湘教版）

该高中数学讲义聚焦对数与对数函数高考核心考点，涵盖对数概念运算、函数图象性质及反函数，按“概念-运算-应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破运算技巧、图象分析等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以“数学思维”“数学语言”为导向，创新设计多维探究与分层练习。如对数运算中巧用换底公式转化，培养逻辑推理能力；实际应用结合生物丰富度指数问题，用数学语言解析现实规律。设置自测诊断与真题衔接训练，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

第七节　对数与对数函数 【课程标准】　1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．　2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.　3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1). 1.对数的概念 (1)如果ab=N(a>0且a≠1)，那么数b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作b=logaN，其中a叫作对数的底数，N叫作真数. (2)对数的基本恒等式 =N(N>0，a>0且a≠1)，b=logaab(b∈R，a>0且a≠1)，logaa=1，loga1=0. (3)常用对数与自然对数 常用 对数 将以10为底的对数叫作常用对数 把log10N 记为lg N 自然 对数 将以无理数e=2.718 28…为底的对数叫作自然对数 把logeN 记为ln N 2.运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M >0，N >0，那么 ①loga(M·N)=logaM+logaN； ②logaMn=nlogaM (n∈R)； ③loga=logaM-logaN； ④loMn=logaM. (2)对数的重要公式 ①换底公式：logbN=(a，b均大于零且不等于1)； ②logab=，推广logab·logbc·logcd=logad. 3.对数函数的图象与性质 表达式 y=logax(0<a<1) y=logax(a>1) 图象 定义域 (0，+∞) 值域 (-∞，+∞) 性质 函数图象过定点(1，0)，即loga1=0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 在(0，+∞)上递减 在(0，+∞)上递增 [微提醒]　y=logax(a>0且a≠1)的图象只在第一、四象限，即在直线x=0的右侧. 4.反函数 指数函数y=ax和对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x轴对称. [常用结论] (1)换底公式的三个重要结论 ①logab=. ②lobm=logab. ③logab·logbc·logcd=logad. (2)对数函数图象的特点 ①对数函数的图象恒过点(1，0)，(a，1)，，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象. ②函数y=logax与y=lox(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称. ③在第一象限内，不同底数的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 学生用书⬇第40页 【自测诊断】 1.(多选)下列结论正确的是(　　) A．若M·N>0，则loga(M·N)=logaM+logaN B．对数函数y=logax(a>0且a≠1)在(0，+∞)上是增函数 C．函数y=ln与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同 D．对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限 答案：CD 2.已知实数a=log32，b=log2π，c=log2，则有(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a 答案：A 解析：因为f(x)=log2x在(0，+∞)上为增函数，且2<π<，所以c>b>1.又a=log32<1，所以a<b<c.故选A． 3.log23·log34·log42=　　　　.  答案：1 解析：log23·log34·log42=log22=1. 4.已知函数y=loga-1的图象恒过定点P，则点P的坐标是　　　　.  答案：(4，-1) 5.函数y=的定义域是　　　　.  答案： 解析：由lo(2x-1)≥0，得0<2x-1≤1，所以<x≤1.所以函数y=的定义域是. 考点一　对数的运算多维探究 角度1　对数式的化简与计算 计算下列各式： (1) (一题多解)log225·log3(2)·log59； (2)； (3)log23·log38+(. 解：(1)法一：log225·log3(2)·log59=log252·log3·log532=6log25·log32·log53=6. 法二：log225·log3(2)·log59=··=··=6. (2)原式===1. (3)原式=·+=3+=3+2=5. 角度2　指数式与对数式的综合运算 (1)已知loga=m，loga3=n，则=(　　) A．3 B． C．9 D． (2)设2a=5b=m，且+=2，则m=(　　) A． B．10 C．20 D．100 答案：(1)D　(2)A 解析：(1)因为loga=m，loga3=n，所以am=，an=3.所以=am·=am·(an)2=×32=.故选D． (2)因为2a=5b=m，所以log2m=a，log5m=b，所以+=+ =logm2+logm5=logm10=2，所以m2=10，所以m=(舍m=-).故选A． 1.对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并. (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 2.指对互化的转化技巧 对于将指数恒等式ax=by=cz作为已知条件，求函数f(x，y，z)的值的问题，通常设ax=by=cz=k(k>0)，则x=logak，y=logbk，z=logck，将x，y，z的值代入函数f(x，y，z)求解. 对点练1.(1)已知2a=5，log83=b，则4a-3b=(　　) A．25 B．5 C． D． (2)log23·log38+=　　　　.  答案：(1)C　(2)5 解析：(1)2a=5，8b=3，2a-3b===，4a-3b==.故选C． (2)原式=·+=3+=3+2=5. 学生用书⬇第41页 考点二　指数与对数运算的实际应用师生共研 (1)(2024·北京卷)生物丰富度指数 d=是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A．3N2=2N1 B．2N2=3N1 C．= D．= (2)(多选)(2026·湖南长沙模拟)氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生β衰变，其半衰期约是12.43年.样本中氚的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N=N0·，其中N0表示氚原有的质量，则(参考数据：lg 2≈0.301)(　　) A．t=12.43log2 B．经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的 D．若x年后，样本中氚元素的含量为0.4N0，则x>16 答案：(1)D　(2)CD 解析：(1)由题意得=2.1，=3.15，则2.1ln N1=3.15ln N2，即2ln N1=3ln N2，所以=.故选D． (2)由题意得N=N0·，故有=，左右同时取对数得log2=-，故得t=-12.43log2，故A错误；当t=24.86时，N=N0·=2-2·N0=N0，故B错误；而当t=62.15时，N=N0·=2-5·N0=N0，得到经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确；由题意得0.4N0=N0·，化简得x=-12.43log2=-12.43log2=-12.43(log22-log25)=-12.43(1-log25)=-12.43=-12.43，将lg 2≈0.301代入其中，可得x≈-12.43≈16.44>16，故D正确.故选CD． 解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 第一步：理解题意、理清条件与所求之间的关系； 第二步：运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求．　　 对点练2.(1)放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为M0，质量M与时间T(单位：天)的函数关系式为M＝M0·(其中H为常数)，若锶89的半衰期(质量衰减一半所用时间)约为50天，那么质量为M0的锶89经过30天衰减后质量约变为(参考数据：20.6≈1.516)(　　) A.0.72M0 B．0.70M0 C．0.67M0 D．0.66M0 (2)(多选)地震释放的能量E与地震震级M之间的关系式为lg E=4.8+1.5M，2024年8月12日日本宫崎县发生的7.1级地震释放的能量为E1，2023年1月28日伊朗西北发生的5.9级地震释放的能量为E2，2023年2月6日土耳其卡赫拉曼马拉什省发生的7.7级地震释放的能量为E3，下列说法正确的是(　　) A．E1约为E2的10倍 B．E3超过E2的100倍 C．E3超过E1的10倍 D．E3低于E1的10倍 答案：(1)D　(2)BD 解析：(1)由题意，锶89的半衰期(质量衰减一半所用的时间)约为50天，即M0=M0·，则H=50，所以质量为M0的锶89经过30天衰减后，质量大约为M0·=M0·=M0·≈M0×≈0.66M0.故选D． (2)对于A，lg E1-lg E2=1.5×，所以=101.8，故A错误；对于B，lg E3-lg E2=1.5 × ， =102.7>100，故B正确；对于C，lg E3-lg E1=1.5×=100.9<10，故C错误，D正确.故选BD． 考点三　对数函数的图象及应用自主练透 1.函数y=logax与y=-x+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 答案：A 解析：当a>1时，函数y=logax的图象为选项B，D中过点(1，0)的曲线，此时函数y=-x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a>1，选项B，D中的图象都不符合要求；当0<a<1时，函数y=logax的图象为选项A，C中过点(1，0)的曲线，此时函数y=-x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0<a<1，只有选项A中的图象符合要求.故选A． 2.(2026·广东佛山模拟)已知函数f(x)=|ln x|，若0<a<b，且f(a)=f(b)，则a+2b的取值范围是　　　　.  答案：(3，+∞) 解析：f(x)=|ln x|的图象如图， 因为f(a)=f(b)，所以|ln a|=|ln b|，因为0<a<b，所以ln a<0，ln b>0，所以0<a<1，b>1，所以-ln a=ln b，所以ln a+ln b=ln(ab)=0，所以ab=1，则b=，所以a+2b=a+，令g(x)=x+(0<x<1)，则g(x)在(0，1)上单调递减，所以g(x)>g(1)=1+2=3，所以a+2b>3，所以a+2b的取值范围为(3，+∞). 3.已知函数f(x)=关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是　　　　.  答案：(1，+∞) 解析：问题等价于函数y=f(x)与y=-x+a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1，所以实数a的取值范围是(1，+∞). 对数函数图象的识别及应用方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 学生用书⬇第42页 对点练3.(1)(多选)已知函数f(x)=loga(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则以下说法正确的是 (　　) A．-1<b<0 　　　　B．a+b>0 C．0<a<1 　　　　D．loga|b|<0 (2)若方程4x=logax在上有解，则实数a的取值范围为　　　　.  答案：(1)ABD　(2) 解析：(1)由图象可知f(x)在定义域内单调递增，所以a>1，故C错误；令f(x)=loga(x-b)=0，即x=b+1，所以函数f(x)的零点为b+1，结合函数图象可知0<b+1<1，所以-1<b<0，故A正确；因此a+b>0，故B正确；因为0<|b|<1，所以loga|b|<loga1，即loga|b|<0，故D正确.故选ABD． (2)若方程4x=logax在上有解，则函数y=4x和函数y=logax的图象在上有交点，由图象知解得0<a≤. 考点四　对数函数的性质及应用多维探究 角度1　比较对数式的大小 (一题多解)(2026·河南开封模拟)已知a=log2e，b=ln 2，c=lo，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 答案：D 解析：法一：(中间量法)因为a=log2e>1，b=ln 2∈(0，1)，c=lo=log23>log2e>1，所以c>a>b.故选D． 法二：(图象法)lo=log23，在同一平面直角坐标系中作出函数y=log2x，y=ln x的图象，如图，由图可知c>a>b.故选D． 比较对数式大小的方法 若底数相同，真数不同 若底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论 若底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 若底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较 角度2　解对数方程、不等式 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则不等式f(lo(2x-5))>f(log38)的解集为　　　　.  答案：∪ 解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(-∞，0]上单调递减，所以函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，故f(lo(2x-5))>f(log38)可化为|lo|>|log38|，即log3(2x-5)>log38或log3(2x-5)<-log38=log3，即2x-5>8或0<2x-5<，解得x>或<x<. 求解对数不等式的两种类型及方法 1.logax>logab：借助y=logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论. 2.logax>b：需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y=logax的单调性求解. 角度3　对数型函数的综合问题 (多选)已知函数f(x)=ln，下列说法正确的是(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)的值域为(-∞，0)∪(0，+∞) 答案：ACD 解析：f(x)=ln，令>0，解得x>或x<-，所以f(x)的定义域为∪，又f(-x)=ln=ln=ln=-ln=-f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确，B错误.又f(x)=ln=ln，令t=1+，t>0且t≠1，所以y=ln t，又t=1+在上单调递减，且y=ln t为增函数，所以f(x)在上单调递减，故C正确；所以y=ln t的值域是(-∞，0)∪(0，+∞)，故D正确.故选ACD． 解决与对数函数有关的复合函数的单调性问题需关注三点 一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论； 二是底数与1的大小关系； 三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则确定函数的单调性. 对点练4.(1)( 2026·辽宁沈阳调研)已知a=log2.57，b=log415，c=，则下列判断正确的是(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．b<c<a (2)( 2026·广东深圳联考)已知函数f(x)=loga(6-ax)(a>0，且a≠1)在(0，2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，3] B．(1，3) C．(0，1) D．(1，+∞) (3)(多选)( 2026·安徽蚌埠模拟)已知函数f(x)=log4(1+4x)-x，则下列说法中正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于原点对称 B．函数f(x)的图象关于y轴对称 C．函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递减 D．函数f(x)的值域为 答案：(1)D　(2)A　(3)BD 解析：(1)因为a=log2.57>log2.52.52=2，b=log415<log416=2，c==2，所以b<c<a.故选D． (2)令t(x)=6-ax，因为a>0，所以t(x)=6-ax为减函数.又由函数f(x)=loga(6-ax)在(0，2)上单调递减，可得函数t(x)=6-ax>0在(0，2)上恒成立，且a>1，故有解得1<a≤3.故选A． (3)易知f(x)的定义域为R，f(x)=log4(1+4x)-log4=log4=log4(2-x+2x)，由于f(-x)=log4(2x+2-x)=f(x)，因此f(x)为偶函数，故A错误，B正确；令t=2x，则y=log4，令s=t+，则y=log4s，当x∈[0，+∞)时，t∈[1，+∞)，所以s=t+在定义域上为增函数，又y=log4s在定义域上为增函数，所以y=log4为增函数，又t=2x为增函数，所以f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，故C错误；又f(x)为R上的偶函数，所以f(x)≥f(0)=，所以f(x)的值域为，故D正确.故选BD． 学生用书⬇第43页 1.[真题再现]　(2024·全国甲卷)已知a>1，且-=-，则a=　　　　.  答案：64 解析：由题-=-log2a=-，整理得-5log2a-6=0，⇒log2a=-1或log2a=6，又a>1，所以log2a=6=log226，故a=26=64. [教材呈现]　(湘教版必修一P126T15)已知log4(x+2)+log2(x+2)2=5，求x的值. 点评：高考题与教材习题都是通过解方程来考查对数的运算性质及换底公式等基本知识技能. 2.[真题再现]　(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 答案：C 解析：由L=5+lg V，当L=4.9时，lg V=-0.1，则V=10-0.1==≈≈0.8.故选C． [教材呈现]　(湘教版必修一P121练习4)我们都处于有声世界之中.音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，音量的定义是η=10lg ，这里I0是人耳能听到的声音的最低声波强度，I0=10-12 W/m2. (1)如果I=1 W/m2，求相应的分贝值； (2)70 dB时的声音强度I是60 dB时声音强度I'的多少倍? 点评：高考题与教材习题都是以实际问题为背景考查对数的基本运算. 3.[真题再现]　(2020·全国Ⅲ卷)设a=log32，b=log53，c=，则(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 答案：A 解析：因为a=log323<log39==c，b=log533>log525==c，所以a<c<b.故选A． [教材呈现]　(湘教版必修一P122例11)比较下列各组中两个数的大小： (1)log27.6和log28.7； (2)lo7.6和lo8.7； (3)loga7.6和loga8.7(a>0且a≠1)； (4)log0.82和20.8. 点评：本高考题是教材例题的拓展，由于a和b的底数不同，故不能直接利用单调性比较大小，需变形后比较大小，而变形的过程中应用了函数的单调性. 学科网（北京）股份有限公司 $