宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题（B卷）

**基本信息** 以三角函数、向量、立体几何为核心，通过南湾湖开渔节情境题、直三棱柱证明计算等设计，实现基础巩固与数学应用能力考查，体现空间观念与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|扇形弧长、三角函数图像、向量性质|基础概念辨析，如向量平行与垂直判定| |多选题|3/18|三角函数性质、解三角形|选项分层，如第11题结合正弦定理与三角形形状判断| |填空题|3/15|三角恒等变换、向量投影|直接考查运算能力，如弦化切求值| |解答题|5/77|三角函数综合、解三角形应用、立体几何证明|情境真实，如17题南湾湖航行距离计算；综合考查，如19题线面平行证明与线面角计算|

■ 青铜峡市第一中学2025-2026学年第二学期期末考试 高一教学答题卡(B卷) 。年年●●00年中●0年年●●00年●●00年中●000年●●0●中 姓 名： 条形码粘贴区域 班 级： (正面朝上，切勿贴出虚线方框) 考 号： 000e0000e0000e00000e0000e0000000000ee 试卷类型 A B 缺考标记（禁止考生填涂）☐ 1.选择题请用2B铅笔填涂方框，如需改动，必须用橡皮擦干 注 净，不留痕迹，然后再选择其它答案标号。 填 意 2.非选择题必须使用黑色签字笔书写，笔迹清楚。 正确填涂 事 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域， 样 以及在草稿纸和试题上的答案均无效。 例 4.请保持卷面清洁，不要折叠和弄破答题卡。 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1A Bc1D 5 LA [B CD 2 A][B CD b [A [B]C ▣ 3 ABc ) > [A [B]CD 4 AB C D 8 A BCD 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每 小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9ABCD 10 [A B]CD 11 [A][B]C]D 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12. 13. 14. 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 15.(共13分) 数学第1面共2面 ■ 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 16.(共15分) 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17.(共15分) D 北 C B Ta 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 18.(共17分) 数学第2面共2面 ■ 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 19.(共17分) A C B B D 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 > > > > 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 > > > > 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ( 青铜峡市第一中学2025-2026学年第二学期期 末 考试 高 一 数学答题卡 （ B 卷） ) ( 注意事项 选择题请用2B铅笔填涂方框，如需改动，必须用橡皮擦干净，不留痕迹，然后再选择其它答案标号。 非选择题必须使用黑色签字笔书写，笔迹清楚。 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域，以及在草稿纸和试题上的答案均无效。 请保持卷面清洁，不要折叠和弄破答题卡。 填 涂 样 例 正确填涂 > 条形码粘贴区域 (正面朝上，切勿贴出虚线方框) 试卷类型 A B 缺考标记 （禁止考生填涂） < < < 姓 名： 班 级： 考 号： ) ( 一、 单选题 (本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 二、多项选择题： （本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） ) ( 5 abcd 6 abcd 7 abcd 8 abcd    ) ( 1 abcd 2 abcd 3 abcd 4 abcd ) ( 9 abcd 10 abcd 11 abcd ) ( 三、填空题 (本题共3小题，每小题5分，共15分。) 12. 13. 14. ) ( 15. （共13分） ) ( 1 6 . （共15分） ) ( 1 7 . （共1 5 分） ) ( 1 8 . （共17分） ) ( 19 . （共1 7 分） ) 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 > > 数学 第2面 共2面 > > 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 > > 数学 第1面 共2面 > > 学科网（北京）股份有限公司 $ 《高一期末数学试卷（B卷）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B C D D C D B BC ABC ACD 1．C 【分析】先将圆心角从角度制转化为弧度制，再代入弧长公式计算求解. 【详解】由题意可得，根据弧长公式可得： . 2．B 【分析】根据函数图像，可得，结合周期公式可求得，代入最高点坐标可求得，即可得函数解析式. 【详解】根据函数图像可知， 周期，所以， 所以，将最高点坐标代入可得 ，所以， 解得， 当时，， 所以. 3．C 【详解】对于A，只说明向量模长相等，但向量的方向不一定相同，所以不一定等于，A错误； 对于B，若，零向量和任意向量平行，此时、，但与不一定平行，B错误； 对于C，说明与方向相反，方向相反的两个向量是平行向量，即，C正确； 对于D，向量既有大小又有方向，向量不能直接比较大小，只有模长可以比较，D错误． 4．D 【详解】由，得， 所以，即； 由，得， 所以，即. 两式相减，得， 所以 . 5．D 【分析】根据向量的三角形法则表示即可． 【详解】因为为靠近点的三等分点，所以， 所以． 6．C 【分析】根据题意，先求圆锥的底面半径和母线长，再由圆锥的侧面积公式即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则， 所以， 所以该圆锥的侧面积为. 7．D 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系及相关判定、性质定理，逐一判断即可. 【详解】对选项A：根据线面平行的判定定理，平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，才可推出该直线与此平面平行， 该选项未说明，当时也满足且，故A错误； 对选项B：根据面面平行的判定定理，一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，才可推出两平面平行， 该选项未说明与为相交直线，若，则与可能相交，故B错误； 对选项C：若，则与内的直线无公共点，位置关系为平行或异面，不一定平行，故C错误； 对选项D：若，则与无公共点，因此分别在两平面内的直线、也无公共点，无公共点的两条直线位置关系为平行或异面，故D正确. 8． B 【详解】对于A选项，复数的共轭复数，因此，A选项正确. 对于B选项，复数的模，因此，B选项错误. 对于C选项，∵ ， ∴ ，该选项正确. 对于D选项， ∵ 分子，分母， ∴ ，是实数，故，该选项正确. 9．BC 【分析】根据三角函数的最值求得的最大值，根据三角函数的周期性求得最小正周期，根据三角函数的对称性求得对称轴，根据三角函数的单调性求得单调减区间，进而判定各选项. 【详解】∵，所以的最大值为，故A不正确； 的最小正周期为，故B正确； 因为，解得：，所以直线是的图象的对称轴，故C正确； 令，解得：，所以在区间和单调递减，在上单调递增，故D不正确， 故选：BC. 10．ABC 【详解】A选项，因为，所以，故A正确； B选项，若，则，得，故B正确； C选项，因为，所以，得，故C正确； D选项，若，则，得，故D错误. 11．ACD 【分析】由正弦定理可判断A，结合在上单调递减判断B，由余弦定理判断C，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断D正确. 【详解】对于A，若，则，所以，所以A正确； 对于B，由且， 根据函数在上单调递减，可得，所以B错误； 对于C，由余弦定理，可知为钝角，即为钝角三角形，所以C正确； 对于D，因为，所以，即， 又，所以，所以或， 即或，即为等腰三角形或直角三角形，所以D正确． 故选：ACD 12．/ 【分析】在所求分式的分子和分母中同时除以，利用弦化切可求得结果. 【详解】. 13． 【详解】因为 ， ， 所以 . 14． 【分析】根据向量投影公式直接计算即可得. 【详解】. 15．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角α终边上点的坐标，结合任意角三角函数定义求出、，代入目标式计算即可； （2）利用三角函数诱导公式化简原式为，再结合终边上点的坐标求的值. 【详解】（1）点到坐标原点的距离， 根据任意角三角函数的定义： ，， 代入得； （2）利用诱导公式化简原式： 分子部分：，， ，， 因此分子， 分母部分：，，， 因此分母， 约分化简得原式， 根据定义. 16．(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解； （2）利用换元法，结合正弦函数性质求解； （3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解. 【详解】（1）； （2）若，则， 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值，即， 当，即时，函数有最大值，即. 所以函数的最大值为，最小值为； （3）若，，所以， 则，， 则. 17．(1)记与交于点，显然为的中点，由D为中点得，    由平面，平面可得平面． (2) (3) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由得直线与所成角即直线与所成角，由余弦定理计算得到夹角的余弦值； （3）记与交于点N，由等体积法可得B到平面的距离为d，根据直线与平面的定义求得所成角的正弦值； 【详解】（1）略 （2）由得直线与所成角即直线与所成角， 即或其补角为所求角，记为，而由勾股定理得， ，， 由余弦定理可得． （3）记与交于点N，易得，，， 由得，可得的面积， 记点B到平面的距离为d，由等体积法得， 即，可得， 而由平面几何知识显然可得， 记直线与平面所成角为，则．    18．(1) (2) 【分析】（1）应用正弦定理和余弦定理来求解角的大小； （2）应用三角形的面积公式计算边的数量关系. 【详解】（1）由可知， 由正弦定理，得， 即． 所以， 又， 所以. （2）由（1）知． 所以， 又， 所以， 所以，即． 所以的周长为． 19．(1)（海里） (2) (3)答案见解析 【分析】（1）在△中利用余弦定理即可求解； （2）在△中利用余弦定理即可求解； （3）结合保护自然环境提出建议即可. 【详解】（1）∵，，， ∴在△中由余弦定理得， ∴（海里）. （2）∵，由正弦定理得， ∴. （3）不要向南湾湖里投扔垃圾；建立各种保护机制；防止水污染物直接排入水体；限制保护区内从事餐饮、住宿等经营活动；禁止垂钓、游泳等娱乐活动. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一期末数学试卷（B卷） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．半径为，圆心角为的扇形的弧长为（     ） A． B． C． D． 2．某函数在一个周期内的图像，此函数的解析式可以是（   ） A． B． C． D． 3．关于向量，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 4．已知向量满足，，则（     ） A． B． C． D． 5．如图，在平行四边形中，为靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 6．圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 7．已知两条不同直线，，两个不同平面，，下列命题中正确的是（ ） A．若，，则； B．若，，，，则； C．若，，则； D．若，，，则或与异面 8．设，则下列计算不正确的是（     ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数，则（    ）. A．的最大值为3 B．的最小正周期为 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递减 10．已知向量，，则下列说法正确的是（     ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．设ABC的内角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则ABC为钝角三角形 D．若，则ABC是等腰三角形 三．填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知，则__________. 13．计算：________． 14．已知，，且，则在方向上的投影是________． 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．(13分)已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求的值. 16．已知． (1)求最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，，求． 17．信阳南湾湖以源远流长的历史遗产，浓郁丰厚的民俗风情而著称；以幽、朴、秀、奇的独特风格，山、水、林、岛的完美和谐而闻名，是融自然景观、人文景观、森林生态环境、森林保健功能于一体，是河南省著名的省级风景区.如图，为迎接第九届开渔节，某渔船在湖面上A处捕鱼时，天气预报几小时后会有恶劣天气，该渔船的东偏北方向上有一个小岛C可躲避恶劣天气，在小岛C的正北方向有一航标灯D距离小岛25海里，渔船向小岛行驶50海里后到达B处，测得，海里. (1)求A处距离航标灯D的距离AD； (2)求的值； (3)为保护南湾湖水源自然环境，请写出两条建议（言之有物即可）. 18．已知的内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若的面积为，求的周长． 19．如图，在直三棱柱中，，，为中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高一期末数学试卷（B卷）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B C D D C D B BC ABC ACD 1．C 【分析】先将圆心角从角度制转化为弧度制，再代入弧长公式计算求解. 【详解】由题意可得，根据弧长公式可得： . 2．B 【分析】根据函数图像，可得，结合周期公式可求得，代入最高点坐标可求得，即可得函数解析式. 【详解】根据函数图像可知， 周期，所以， 所以，将最高点坐标代入可得 ，所以， 解得， 当时，， 所以. 3．C 【详解】对于A，只说明向量模长相等，但向量的方向不一定相同，所以不一定等于，A错误； 对于B，若，零向量和任意向量平行，此时、，但与不一定平行，B错误； 对于C，说明与方向相反，方向相反的两个向量是平行向量，即，C正确； 对于D，向量既有大小又有方向，向量不能直接比较大小，只有模长可以比较，D错误． 4．D 【详解】由，得， 所以，即； 由，得， 所以，即. 两式相减，得， 所以 . 5．D 【分析】根据向量的三角形法则表示即可． 【详解】因为为靠近点的三等分点，所以， 所以． 6．C 【分析】根据题意，先求圆锥的底面半径和母线长，再由圆锥的侧面积公式即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则， 所以， 所以该圆锥的侧面积为. 7．D 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系及相关判定、性质定理，逐一判断即可. 【详解】对选项A：根据线面平行的判定定理，平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，才可推出该直线与此平面平行， 该选项未说明，当时也满足且，故A错误； 对选项B：根据面面平行的判定定理，一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，才可推出两平面平行， 该选项未说明与为相交直线，若，则与可能相交，故B错误； 对选项C：若，则与内的直线无公共点，位置关系为平行或异面，不一定平行，故C错误； 对选项D：若，则与无公共点，因此分别在两平面内的直线、也无公共点，无公共点的两条直线位置关系为平行或异面，故D正确. 8． B 【详解】对于A选项，复数的共轭复数，因此，A选项正确. 对于B选项，复数的模，因此，B选项错误. 对于C选项，∵ ， ∴ ，该选项正确. 对于D选项， ∵ 分子，分母， ∴ ，是实数，故，该选项正确. 9．BC 【分析】根据三角函数的最值求得的最大值，根据三角函数的周期性求得最小正周期，根据三角函数的对称性求得对称轴，根据三角函数的单调性求得单调减区间，进而判定各选项. 【详解】∵，所以的最大值为，故A不正确； 的最小正周期为，故B正确； 因为，解得：，所以直线是的图象的对称轴，故C正确； 令，解得：，所以在区间和单调递减，在上单调递增，故D不正确， 故选：BC. 10．ABC 【详解】A选项，因为，所以，故A正确； B选项，若，则，得，故B正确； C选项，因为，所以，得，故C正确； D选项，若，则，得，故D错误. 11．ACD 【分析】由正弦定理可判断A，结合在上单调递减判断B，由余弦定理判断C，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断D正确. 【详解】对于A，若，则，所以，所以A正确； 对于B，由且， 根据函数在上单调递减，可得，所以B错误； 对于C，由余弦定理，可知为钝角，即为钝角三角形，所以C正确； 对于D，因为，所以，即， 又，所以，所以或， 即或，即为等腰三角形或直角三角形，所以D正确． 故选：ACD 12．/ 【分析】在所求分式的分子和分母中同时除以，利用弦化切可求得结果. 【详解】. 13． 【详解】因为 ， ， 所以 . 14． 【分析】根据向量投影公式直接计算即可得. 【详解】. 15．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角α终边上点的坐标，结合任意角三角函数定义求出、，代入目标式计算即可； （2）利用三角函数诱导公式化简原式为，再结合终边上点的坐标求的值. 【详解】（1）点到坐标原点的距离， 根据任意角三角函数的定义： ，， 代入得； （2）利用诱导公式化简原式： 分子部分：，， ，， 因此分子， 分母部分：，，， 因此分母， 约分化简得原式， 根据定义. 16．(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解； （2）利用换元法，结合正弦函数性质求解； （3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解. 【详解】（1）； （2）若，则， 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值，即， 当，即时，函数有最大值，即. 所以函数的最大值为，最小值为； （3）若，，所以， 则，， 则. 17．(1)记与交于点，显然为的中点，由D为中点得，    由平面，平面可得平面． (2) (3) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由得直线与所成角即直线与所成角，由余弦定理计算得到夹角的余弦值； （3）记与交于点N，由等体积法可得B到平面的距离为d，根据直线与平面的定义求得所成角的正弦值； 【详解】（1）略 （2）由得直线与所成角即直线与所成角， 即或其补角为所求角，记为，而由勾股定理得， ，， 由余弦定理可得． （3）记与交于点N，易得，，， 由得，可得的面积， 记点B到平面的距离为d，由等体积法得， 即，可得， 而由平面几何知识显然可得， 记直线与平面所成角为，则．    18．(1) (2) 【分析】（1）应用正弦定理和余弦定理来求解角的大小； （2）应用三角形的面积公式计算边的数量关系. 【详解】（1）由可知， 由正弦定理，得， 即． 所以， 又， 所以. （2）由（1）知． 所以， 又， 所以， 所以，即． 所以的周长为． 19．(1)（海里） (2) (3)答案见解析 【分析】（1）在△中利用余弦定理即可求解； （2）在△中利用余弦定理即可求解； （3）结合保护自然环境提出建议即可. 【详解】（1）∵，，， ∴在△中由余弦定理得， ∴（海里）. （2）∵，由正弦定理得， ∴. （3）不要向南湾湖里投扔垃圾；建立各种保护机制；防止水污染物直接排入水体；限制保护区内从事餐饮、住宿等经营活动；禁止垂钓、游泳等娱乐活动. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $