精品解析：宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题（A卷）

青铜峡市第一中学2025～2026学年第二学期期末试卷 高一数学（A卷） 满分：150分 考试时间：120分钟 第一部分（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得， 复数在复平面内对应的点为，位于第三象限. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用三角函数的周期性化简角度，再将大角度转化为特殊锐角后求值即可. 【详解】， 又因为，所以， 故选：A. 3. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直观图画出原图象，计算即可. 【详解】由直观图画出原图象，如图所示： 由直观图可知，， 所以，所以的周长为. 故选：B. 4. 把函数图象上的所有点往右平移个单位长度，得到图象对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数平移前后解析式的变化可求. 【详解】往右平移个单位长度后得到. 故选：A. 5. 已知和的夹角为，且，则（ ）． A. 1 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的运算律及数量积的定义求解即可. 【详解】因为 . 6. 已知圆锥的母线长为4，母线与底面所成的角是，则该圆锥的体积是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得圆锥的底面半径和高，进而求得圆锥的体积. 【详解】设圆锥的高为h，底面半径为r，又母线长为， 而母线与底面所成的角是30°，则，， 所以体积为. 故选：C 7. 在正方体中，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：利用坐标法可得异面直线夹角余弦值；法二：根据异面直线夹角的定义可得角. 【详解】法一： 如图，以为原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 从而，， 故， 即异面直线与所成角的余弦值是； 法二： 如图所示，取中点，连接，，，， 由正方体可知， 则异面直线与所成角即为直线与所成角， 设，则，， 由正方体可知，平面， 即，， 则， 在中，由余弦定理， 则直线与所成角的余弦值为， 即异面直线与所成角的余弦值为， 故选：C. 8. 的三个内角、、所对的边分别为、、，且，，其面积为，则的外接圆的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由三角形面积公式求得，由余弦定理求得，利用正弦定理求外接圆直径. 【详解】，， 又，可得. 设的外接圆半径为，则. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A选项，复数的共轭复数，因此，A选项正确. 对于B选项，复数的模，因此，B选项错误. 对于C选项，∵ ， ∴ ，该选项正确. 对于D选项， ∵ 分子，分母， ∴ ，是实数，故，该选项正确. 10. 已知 表示不同的直线，表示不同的平面，下面四个命题正确的有（ ）． A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，则 D. ，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，，根据面面平行的性质，可得，所以A正确； 对于B，如图所示，由，且，，可得， 因为，且，所以，所以B正确； 对于C，若，，则与平行或异面，所以C不正确； 对于D，若，，根据线面垂直的性质，可得，所以D正确. 11. 设的内角所对的边分别为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则是等腰三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理可判断A；举反例可判断B；根据余弦定理可判断C；根据正弦定理，将边转化为角，结合三角恒等变换可判断D. 【详解】对于A，若，由三角形中大角对大边可知， 由正弦定理可知，故A正确； 对于B，举反例：当A为钝角时，满足，而， 不满足，故B错误； 对于C，若，由余弦定理得， 所以为钝角，则为钝角三角形，故C正确； 对于D，若， 根据正弦定理得， 即，即， 所以或（舍去）， 所以是等腰三角形，故D正确. 第二部分（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若球的半径为，则该球的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由球的体积公式代入半径即可得到球的体积 【详解】因为球的半径为，并且球的体积公式为 故答案为： 13. 中，为边中点，，，，则__________．（用，表示） 【答案】 【解析】 【分析】作出图象，由向量的线性运算求解即可. 【详解】如图所示： 因为 . 14. 如图，某人为了测量塔高CD，在A点处测得仰角为45°，在B点处测得仰角为60°，A、B两点间的距离为30米，，则塔的高度为__________米． 【答案】 【解析】 【分析】设塔高米，根据题意，分别求得，，在中，利用余弦定理，列出方程，即可求解. 【详解】设塔高米， 在直角中，因为，可得米， 在直角中，因为，可得， 在中，因为，且， 由余弦定理得， 即，可得， 解得米. 四、解答题：本题共5小题，共77分．（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式以及二倍角公式求解即可； （2）利用两角差的余弦公式展开，将的值代入求解即可. 【小问1详解】 ∵，且， ∴， ∴； 【小问2详解】 . 16. 如图，在正方体中，是的中点． （1）求证：平面ACE； （2）设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 【答案】（1） 连接交于，连接， 则为的中点，又是的中点, 所以是的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，即可得到，从而得证； （2）根据正方体的性质及计算可得三棱锥的体积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 正方体中，易知平面， 所以 . 17. 在中，角、、的对边分别为、、，已知． （1）求角的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角，得到，即可求解； （2）根据条件，利用余弦定理得到，再利用面积公式，即可求解. 【小问1详解】 由，得到， 即， 又，则，所以，故. 【小问2详解】 由（1）知，又， 由余弦定理，得到，即， 解得或（舍）， 所以. 18. 如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点（异于），，，为圆所在平面外一点，且垂直于圆所在平面． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）平面，平面，． 是圆O的直径，C为圆上一点， ． 又，且平面，平面． 平面，平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证，得到平面，最后得到平面平面. （2）先找出直线与平面所成角，然后求出的长度，最后得到其正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，过点作于点， 平面，平面，， 又，平面，平面． 即为直线与平面所成角． ，，可得． . 即直线AC与平面PBC所成角的正弦值为． 19. 已知向量，，函数． （1）若，且，求的值； （2）已知，，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在，点坐标为 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积公式计算出，从而得到，结合角的范围得到，从而利用凑角法求出答案； （2）求出，设，由垂直关系利用向量列出方程，令，结合，得到，求出点的坐标. 【小问1详解】 ， ，因为，所以， 而，所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 由题意得， 假设的图象上存在点使得， 因为，， 因为， 所以， 令， 因为， 所以， 当且仅当时取等， 所以存唯一解，此时，点， 综上，符合条件的点坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青铜峡市第一中学2025～2026学年第二学期期末试卷 高一数学（A卷） 满分：150分 考试时间：120分钟 第一部分（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. （ ） A. B. C. D. 3. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的周长为（ ） A. B. C. D. 4. 把函数图象上的所有点往右平移个单位长度，得到图象对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知和的夹角为，且，则（ ）． A. 1 B. 3 C. D. 6. 已知圆锥的母线长为4，母线与底面所成的角是，则该圆锥的体积是（　　） A. B. C. D. 7. 在正方体中，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 的三个内角、、所对的边分别为、、，且，，其面积为，则的外接圆的直径为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知 表示不同的直线，表示不同的平面，下面四个命题正确的有（ ）． A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，则 D. ，，则 11. 设的内角所对的边分别为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则是等腰三角形 第二部分（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若球的半径为，则该球的体积为__________． 13. 中，为边中点，，，，则__________．（用，表示） 14. 如图，某人为了测量塔高CD，在A点处测得仰角为45°，在B点处测得仰角为60°，A、B两点间的距离为30米，，则塔的高度为__________米． 四、解答题：本题共5小题，共77分．（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 16. 如图，在正方体中，是的中点． （1）求证：平面ACE； （2）设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 17. 在中，角、、的对边分别为、、，已知． （1）求角的大小； （2）若，求的面积． 18. 如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点（异于），，，为圆所在平面外一点，且垂直于圆所在平面． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知向量，，函数． （1）若，且，求的值； （2）已知，，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $