2.10 函数的零点与方程的解(课件PPT)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的零点与方程的解”专题，依据课标要求覆盖函数零点与方程解的关系、零点存在定理、二分法求近似解三大核心考点，通过分析近五年高考真题明确零点区间判断、个数确定、参数范围求解等高频考点权重，归纳定理法、图象法等常考题型，构建系统备考体系。 课件亮点在于“真题溯源+技巧提炼+素养提升”的复习策略，如结合2025天津卷零点区间判断真题，提炼“定理法+单调性分析”解题步骤，培养学生数学思维中的推理能力和数学语言中的模型观念。针对嵌套函数零点等难点，通过换元法拆解复合函数，帮助学生掌握得分技巧，教师可依托分层训练精准突破考点，实现高效复习。

2．10　函数的零点与方程的解 返回 ‹#› 1．结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系．　2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理．　3.探索用二分法求方程近似解的思路，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性． [课标解读] 返回 ‹#› 1 聚焦·必备知识 3 限时规范训练　 栏 目 导 引 2 突破·核心考点 返回 ‹#› 聚焦 ·必备知识 1．函数的零点 (1)定义：对于一般函数y＝f(x)，我们把使____________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)三个等价关系 f(x)＝0 返回 ‹#› (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有____________________，那么，函数y＝f(x)在区间___________内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得____________，这个c也就是方程f(x)＝0的解． f(a)f(b)＜0 (a，b) f(c)＝0 返回 ‹#› 提醒：(1)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根．零点一定在定义域内． (2)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)＜0，如图所示．所以f(a)f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 返回 ‹#› 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且____________________的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间____________，使所得区间的两个端点逐步逼近______，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． f(a)f(b)＜0 一分为二 零点 返回 ‹#› 常用结论 1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．(应用见例2(1)) 2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 3．周期函数若存在零点，则必有无穷多个零点．(应用见跟踪训练2(2)) 返回 ‹#› 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　) (2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　　) (3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(　　) (4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点．(　　) × × × √ 返回 ‹#› 2．(人A必修一P155T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　) 解析：A　由二分法的定义知，若函数f(x)在区间[a，b]上连续，且满足f(a)·f(b)<0，则可以利用二分法求函数f(x)的零点的近似值，故选项A不能用二分法求图中函数零点．故选A． A 返回 ‹#› 3．(人A必修一P144T2改编)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是 (　　) A．(1，2)　　　　　　 B．(0，1) C．(2，e) D．(e，3) 解析：C　因为f(2)＝ln 2－2<0，f(e)＝ln e＋2e－6>0，且f(x)为增函数，所以f(x)的零点所在的区间为(2，e)．故选C. C 返回 ‹#› 4．(人A必修一P143例1改编)函数f(x)＝的零点个数为 (　　) A．0 B．1 C．2 D．3 C 返回 ‹#› 解析：C　当x≤0时，令x3＋8＝0，解得x＝－2，当x>0时，f＝log4<0，f(4)＝log44＋4＝5>0，f(4)f<0，所以f(x)在上存在零点，又因为f(x)＝log4x＋x在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有唯一零点．综上，f(x)的零点个数为2.故选C. 返回 ‹#› 例1　(2025·天津卷T7)函数f(x)＝0.3x－ 的零点所在区间是(　　) A．(0，0.3)　　　　　　 B．(0.3，0.5) C．(0.5，1) D．(1，2) 解析：B　由指数函数、幂函数的单调性可知：y＝0.3x在R上单调递减，y＝ 在[0，＋∞)单调递增，所以f(x)＝0.3x－ 在定义域上单调递减，显然f(0)＝1>0，f(0.3)＝0.30.3－0.30.5>0，f(0.5)＝0.30.5－0.50.5<0，所以根据零点存在定理可知f(x)的零点位于(0.3，0.5)．故选B. 突破 ·核心考点 函数零点所在区间的判断 考点 一 B 返回 ‹#› 追本 溯源 (北师大必修一P131例1)方程3x－x2＝0在区间[－1，0]内有没有解？为什么？ 名师 点评 与教材题相比较，高考题改变了题型，但是解题方法完全相同，都是利用函数零点存在定理解决问题． 返回 ‹#› 函数零点所在区间的判断方法及适用情形 (1)定理法：利用函数零点存在定理进行判断．适用于容易判断区间端点值所对应函数值的正负的情形． (2)图象法：画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．适用于容易画出函数图象的情形． 返回 ‹#› 跟踪训练1　(1)(人A必修一P144T2改编)用二分法求函数f(x)＝零点的近似值，可以取的初始区间是(　　) A．(0，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5) 解析：B　由题意可知，f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减．易得f(4)＝<0，f(3)＝＝1－log23<0，f(2)＝>0，由函数零点存在定理得，f(x)＝唯一的零点所在的区间为(2，3)．故选B. B 返回 ‹#› (2)(2025·辽宁抚顺六校协作体期中)已知函数f(x)＝x－，在下列区间中，一定包含f(x)零点的是(　　) A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3) 解析：C　对于函数f(x)＝x－，当x→0时，x2→0，则f(x)→－∞，f(－1)＝－1－＝－3<0，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－>0，f(3)＝3－>0，所以根据函数零点存在定理可知，(－1，0)，(0，1)，(2，3)内不一定包含f(x)的零点，(1，2)内一定包含f(x)的零点．故选C. C 返回 ‹#› [易错警示]：区间端点函数值异号，只是一个条件，还要注意函数零点存在定理成立的另一个条件，即函数在闭区间上的图象是一条连续不断的曲线． 返回 ‹#› 例2　(1)(2025·河北邯郸一模)函数f(x)＝sin 在上的零点个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 考点 二 函数零点个数的判断 C 返回 ‹#› 解析：C　令函数t＝x＋，根据“对勾函数”的性质可知：函数t＝x＋在上单调递减，在(1，10)上单调递增，且t(1)＝2，t＝t(10)＝10.1.所以当x∈时，t∈[2，10.1)，由y＝sin t＝0⇒t＝kπ，k∈Z.只有当k＝1，2，3时，t的值分别对应π，2π，3π∈[2，10.1)．又因为x＋＝π，2π，3π在上各有2个解，所以f(x)在上有6个零点．故选C. 返回 ‹#› (2)(2025·河北保定一模)已知f(x)是定义在R上的函数，且有f(x＋1)＝f(x)＋1，当0<x≤1时，f(x)＝3x＋1，则方程f(x)＝4的根的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C 返回 ‹#› 解析：C　f(x)是定义在R上的函数，且有f(x＋1)＝f(x)＋1，当0<x≤1时，f(x)＝3x＋1，则－1<x≤0时，0<x＋1≤1，则f(x)＝f(x＋1)－1＝3x＋3，1<x≤2时，0<x－1≤1，f(x)＝f(x－1)＋1＝3x－1，2<x≤3时，0<x－2≤1，f(x)＝f(x－2)＋2＝3x－3，3<x≤4时，0<x－3≤1，f(x)＝f(x－3)＋3＝3x－5，画出函数f(x)与函数y＝4的图象， 由图象可知方程f(x)＝4的根的个数为3.故选C. 返回 ‹#› 函数零点个数的判断方法 (1)直接法：令f(x)＝0，有几个解就有几个零点． (2)定理法：首先确定函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数． (3)图象法：将原函数分成两个函数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数． 返回 ‹#› 跟踪训练2　(1)(2025·陕西安康模拟)函数f(x)＝cos 2x＋3cos x－1在[－3π，3π]上的零点个数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．8 解析：C　函数f(x)＝cos 2x＋3cos x－1的零点满足cos 2x＋3cos x－1＝2cos2x＋3cosx－2＝(2cos x－1)(cos x＋2)＝0，所以cos x＝或cos x＝－2(舍)，在[－3π，3π]上cos x＝的值为，所以函数f(x)＝cos 2x＋3cos x－1在[－3π，3π]上的零点个数为6.故选C. C 返回 ‹#› (2)(2025·福建南平三模)设[x]表示不超过实数x的最大整数，如[2]＝2，[2.3]＝2，[－2.3]＝－3，则方程x－|log6x|＝[x]解的个数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：B　方程x－|log6x|＝[x]解的个数等价于函数y＝x－[x]和y＝|log6x|的图象交点个数，作函数y＝x－[x]和y＝|log6x|的图象如图所示，由图可知函数y＝x－[x]和y＝|log6x|的图象的交点个数为5.方程x－|log6x|＝[x]解的个数为5.故选B. B 返回 ‹#› 角度1　根据零点的范围求参数 例3　(2025·辽宁抚顺模拟)函数f(x)＝kx－4＋xlog2x在区间[1，4)内有零点，则实数k的取值范围为(　　) A．[－4，1) B．(－4，1] C．[－1，4) D．(－1，4] 考点 三 函数零点的应用 D 返回 ‹#› 解析：D　当x∈[1，4)时，由f(x)＝kx－4＋xlog2x＝0可得k＋log2x－＝0，令g(x)＝k＋log2x－，因为函数y＝log2x，y＝k－在[1，4)上均为增函数，故函数g(x)＝k＋log2x－在[1，4)上为增函数，因为函数f(x)在区间[1，4)内有零点，则函数g(x)在区间[1，4)内有零点，所以解得－1<k≤4，因此，实数k的取值范围是(－1，4].故选D. 返回 ‹#› 角度2　根据零点的个数求参数 例4　(2025·山西临汾二模)已知a>0，函数f(x)＝g(x)＝ax－a，若函数F(x)＝f(x)－g(x)有三个零点，则实数a的取值范围是______. 解析：因为函数F(x)＝f(x)－g(x)有三个零点，即方程f(x)－g(x)＝0有三个解，当x>0时，方程为＝ax－a，即1＝ax2－ax，即ax2－ax－1＝0，因为a>0，所以Δ＝(－a)2＋4a>0，所以方程有两个根，又<0，所以ax2－ax 返回 ‹#› －1＝0有一个正根与一个负根，又x>0，所以F(x)＝f(x)－g(x)有一个正的零点；当x≤0时，方程为ax2＋x＝ax－a，即ax2＋(1－a)x＋a＝0，因为函数F(x)＝f(x)－g(x)有三个零点，所以方程ax2＋(1－a)x＋a＝0有两个非正根，所以解得0<a<， 所以实数a的取值范围是. 答案： 返回 ‹#› 利用函数零点求参数范围的方法 返回 ‹#› 跟踪训练3　(1)(2026·青海西宁期中)已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－a有且仅有2个零点，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0]∪(2，＋∞) B．(－1，1]∪(3，＋∞) C．(－1，1] D．[1，＋∞) B 返回 ‹#› 解析：B　函数y＝f(x)－a有且仅有2个零点，则y＝f(x)与y＝a有2个交点，当x>1时，f(x)＝x＋ln x单调递增，f(x)>1；当x≤1时，f(x)＝x2＋2x在(－∞，－1]上单调递减，在[－1，1]上单调递增，且f(1)＝3，最小值为f(－1)＝－1， 作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，由y＝f(x)，y＝a的图象知a的取值范围是(－1，1]∪(3，＋∞)．故选B. 返回 ‹#› (2)(2025·山西阳泉三模)函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)存在零点．则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－5) B．(－5，－1) C．(1，5) D．(5，＋∞) B 返回 ‹#› 解析：B　由y1＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，y2＝x2＋m在(0，＋∞)上单调递增，得函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(0，＋∞)上单调递增，因为函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)存在零点，所以即解得－5<m<－1，所以实数m的取值范围是(－5，－1)．故选B. 返回 ‹#› 函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设出中间函数，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解． 典例　已知函数f(x)＝若关于x的方程f(f(x))＝a有4个不相等的实数解，则实数a的取值范围为____________. 返回 ‹#› 解析：f(f(x))＝a，设t＝f(x)，f(t)＝a，则y＝f(t)的图象如图所示， 当a<0时，显然不成立；当0≤a<1时，f(t)＝a有一个解，设为t1，由图可知0<t1≤1，当t1＝f(x)时，显然无四个解，不成立．当1<a<2时，f(t)＝a有三解，设为t1<0<t2<2<t3，由图可知1<t2<2，所以t1＝f(x)无解，t2＝f(x)有三解，t3＝f(x)有一解，故满足题意．当a≥2或a＝1时，显然不满足题意．综上所得，实数a的取值范围为(1，2)． 答案：(1，2) 返回 ‹#› 尝试训练　(2025·江苏盐城三模)设函数f(x)＝＋2＝0的解的个数是________. 解析：[f(x)]2－3f(x)＋2＝0⇒f(x)＝1或2，当f(x)＝1时，若x≤0，则8x＋1＝1，无解，若x>0，|log6x|＝1，故log6x＝1或log6x＝－1，解得x＝6或；当f(x)＝2时，若x≤0，则8x＋1＝2，解得x＝0，若x>0，|log6x|＝2，故log6x＝2或log6x＝－2，解得x＝36或，所以方程[f(x)]2－3f(x)＋2＝0的解的个数是5. 答案：5 返回 ‹#› 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 1 2 (建议用时：45分钟　分值：72分) 限时规范 训练19　函数的零点与方程的解 14 1．函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：C　当x≤1时，令f(x)＝0，即－x2－3x－2＝0，解得x＝－1或－2；当x>1时，令f(x)＝0，即2x-2－4＝0，解得x＝4.综上可知，函数f(x)有3个零点．故选C. C 返回 ‹#› 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2．函数f(x)＝ln x＋2x－5的零点为x0，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝ (　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：C　因为函数f(x)＝ln x＋2x－5在(0，＋∞)上单调递增提示：由于函数y＝ln x与函数y＝2x－5在定义域内均为增函数，根据增函数＋增函数＝增函数，知f(x)为增函数，且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3＋1>0，即x0∈(2，3)，所以k＝2.故选C. 14 C 返回 ‹#› 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 3．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(0，2) C．(－1，0) D．(1，2) 14 A 返回 ‹#› 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 解析：A　作出函数图象，其中当x≤0时，f(x)＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，其顶点为(－1，1)．由y＝f(x)与直线y＝m有3个交点，知m的取值范围是(0，1)．故选A． 14 返回 ‹#› 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 12 13 11 4．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，3) B．(1，3) C．(1，2) D．[2，＋∞) 解析：A　因为函数y＝2x，y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝2x－－a在(0，＋∞)上单调递增，由函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内得f(1)＝－a<0，f(2)＝3－a>0，解得0<a<3.故选A． 14 A　 返回 ‹#› 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 11 5．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有3个零点，则实数k的取值范围是(　　) A．(－2，0) B．(1，3) C．(0，3) D．(－2，3) 14 C 返回 ‹#› 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 11 解析：C　由题意可知，g(x)＝f(x)－k＝0有3个实数根，即y＝f(x)和y＝k有3个交点，画出函数y＝f(x)的图象，若y＝k与y＝f(x)有3个交点，则0<k<3.故选C. 14 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 6．设f(x)＝ex＋ln x，满足f(a)f(b)f(c)<0(0<a<b<c)．设函数f(x)的零点为x0，则(　　) A．x0<a B．x0>a C．x0<c D．x0>c 解析：B　因为f(x)＝ex＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，且0<a<b<c，所以f(a)<f(b)<f(c)．因为f(a)f(b)f(c)<0，所以f(a)<0，f(b)>0，f(c)>0或f(a)<0，f(b)<0，f(c)<0关键：根据函数的单调性及同号相乘得正，异号相乘得负判断出函数值的符号.若f(a)<0，f(b)>0，f(c)>0，由零点存在定理可知x0∈(a，b)；若f(a)<0，f(b)<0，f(c)<0，由函数零点存在定理可知x0∈(c，＋∞)．综上所述，x0>a.故选B. 14 B 返回 ‹#› 7 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 2 7．已知a，b，c分别是函数f(x)＝ex－，g(x)＝ln x－，h(x)＝x2－的零点，则(　　) A．c<a<b B．a<c<b C．c<b<a D．a<b<c 14 B 返回 ‹#› 7 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 2 解析：B　令f(x)＝ex－＝0，g(x)＝ln x－＝0，h(x)＝x2－＝0，得ex＝，ln x＝y＝，y＝ln x的图象，如图所示， 由图象知：a<1<b，即a<c<b.故选B. 14 返回 ‹#› 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 2 8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4.则x1＋x2＋x3＋x4等于(　　) A．－12 B．－6 C．－8 D．4 14 C 返回 ‹#› 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 2 解析：C　已知f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0，因为f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，所以f(x)是周期为8的周期函数；又因为f(x)是R上奇函数，所以由f(x－4)＝－f(x)，得f(4－x)＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称；再结合f(x)在区间[0，2]上是增函数和以上信息，作出函数图象． 根据图象，可得x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.故选C. 14 返回 ‹#› 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 2 9．(多选)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　) A．y＝x(2x＋2－x) B．y＝log2x2 C．y＝lg (1－x)＋lg (1＋x) D．y＝ 14 BC 返回 ‹#› 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 2 解析：BC　对于A，由y＝f(x)＝x(2x＋2－x)，得f(1)＝≠－＝f(－1)，故y＝x(2x＋2－x)不是偶函数，故A错误；对于B，由x2>0，解得x≠0，所以y＝g(x)＝log2x2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又g(－x)＝log2(－x)2＝log2x2＝g(x)，所以y＝log2x2是偶函数，而g(1)＝log21＝0，所以y＝log2x2是偶函数又存在零点，故B正确；对于C，由解得－1<x<1，所以函数y＝h(x)＝lg (1－x)＋lg (1＋x)的定义域为(－1，1)，关于原点对称，又h(－x)＝lg (1＋x)＋lg (1－x)＝h(x)，所以y＝lg (1－x)＋lg (1＋x)是偶函数，而lg (1－0)＋lg (1＋0)＝0，所以y＝lg (1－x)＋lg (1＋x) 14 返回 ‹#› 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 2 存在零点x＝0，所以y＝lg (1－x)＋lg (1＋x)是偶函数又存在零点，故C正确；对于D，由x－1≠0，解得x≠1，所以y＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，因为定义域不关于原点对称，所以y＝不是偶函数，故D错误．故选BC. 14 返回 ‹#› 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10．(多选)已知函数f(x)＝2x－x2，其零点所在的区间为(　　) A．(－1，0) B．(1，3) C．(3，5) D．(5，6) 14 返回 ‹#› 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 解析：ABC　f(x)＝2x－x2，因为f(－1)＝－，f(0)＝1，所以区间(－1，0)内存在零点；因为f(1)＝1，f(3)＝－1，所以区间(1，3)内存在零点；因为f(3)＝－1，f(5)＝7，所以区间(3，5)内存在零点；作出y＝x2与y＝2x的图象，结合y＝x2与y＝2x的图象的交点情况可知区间(5，6)内没有零点．故选ABC. 14 返回 ‹#› 11 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 11．(5分)若函数f(x)＝2x－＋a在区间(1，2)上存在零点，则实数a的取值范围为________. 解析：因为y＝2x，y＝－在(1，2)上均为增函数，所以函数f(x)＝2x－＋a在区间(1，2)上为增函数，且函数图象连续不间断，若f(x)在区间(1，2)上存在零点，则 解得－<a<－1.故实数a的取值范围为. 答案： 14 返回 ‹#› 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 12．(5分)(2025·北京海淀三模)已知函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x－2)，且f(x)＝方程2f(x)＝x的实数解的个数为______. 14 返回 ‹#› 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 解析：由函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x－2)，则f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，可得f(x)的图象如图， 方程2f(x)＝x的解，即为f(x)与g(x)＝x的交点横坐标，计算可得：f(0)＝2>g(0)＝0，f(1)＝0<g(1)＝，所以在[0，1]内有一个交点，f(2)＝g(2)＝1，f(4)＝g(4)＝2，且当x>4时，g(x)＝x>2，无交点．由图可知两图象交点个数为4，即方程2f(x)＝x的实数解的个数为4. 答案：4 14 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13．(2025·四川宜宾三模)设函数f(x)＝(x－x1)(x－x2)(x－x3)，其中x1<x2<x3，若f(1＋x)f(3－x)≤0，则 xi＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 14 C 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 解析：C　已知x1，x2，x3是f(x)的零点，在f(1＋x)f(3－x)≤0中令x＝1得f2(2)≤0，即f(2)＝0，所以x1，x2，x3中有一个为2，设另两个为a，b(a<b)，则f(x)＝(x－2)(x－a)(x－b)，所以f(1＋x)f(3－x)＝－(x－1)2(x＋1－a)(x＋1－b)(3－x－a)(3－x－b)＝－(x－1)2(x＋1－a)(x＋1－b)(x＋a－3)(x＋b－3)，由f(1＋x)f(3－x)≤0得(x＋1－a)(x＋1－b)(x＋a－3)(x＋b－3)≥0恒成立，1－a>1－b，1－a≠a－3，所以1－a＝b－3且1－b＝a－3，所以a＋b＝4，所以x1＋x2＋x3＝a＋b＋2＝6.故选C. 14 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 14．若函数y＝f(x)满足对∀x∈R都有f(x)＋f(2－x)＝2，且y＝f(x)－1为R上的奇函数，当x∈(－1，1)时，f(x)＝2x－＋sin x＋1，则集合A＝{x|f(x)＝log3x}中的元素个数为(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 13 C 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 解析：C　由y＝f(x)－1为R上的奇函数，得f(－x)－1＝－[f(x)－1]，即f(x)＋f(－x)＝2，又f(x)＋f(2－x)＝2，则f(2－x)＝f(－x)，即f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的函数．又f(x)＋f(2－x)＝2，将x＝1代入得f(1)＋f(1)＝2，即f(1)＝1.当x∈(－1，1)时，f(x)＝2x－＋sin x＋1，则f(0)＝1，所以当x∈Z时，f(x)＝1.又当x∈(－1，1)时，f(x)＝2x－＋sin x＋1单调递增，且－1<f(x)<3.故可作出函数y＝f(x)， y＝log3x的大致图象如图所示． 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 而集合A中的元素个数为函数y＝f(x)与y＝log3x图象交点的个数，由以上分析结合函数y＝log3x的性质可知，3为集合A中的一个元素，且y＝f(x)与y＝log3x在(1，3)，(3，5)，…，(23，25)中的图象各有一个交点，所以集合A＝{x|f(x)＝log3x}中的元素个数为13.故选C. 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 [易错警示]：利用函数图象求零点(或交点)个数时，需要在作出图象简图的同时注意以下要点：一是函数图象增长趋势，最简单的就是函数的单调性；二是注意特值，尤其是零点和最值．把握以上两个要点，便可准确作图求出零点(或交点)个数． 返回 ‹#› 2．10　函数的零点与方程的解 点击进入WORD文档 按ESC键退出全屏播放 返回 ‹#› $