2.8 对数函数(课件PPT)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学高考复习课件聚焦“对数函数”专题，依据课标要求覆盖概念、图象、性质及反函数等核心考点，对接高考评价体系，通过真题分析明确比较大小、解对数不等式、复合函数单调性为高频考点，归纳出图象识别、性质应用等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题改编+方法归纳+素养提升”策略，如以2025年模拟题为例，用糖水不等式突破对数大小比较，结合复合函数“同增异减”原则解析单调性，培养学生数学思维与推理能力。设“易错陷阱警示”和“答题模板”，助力学生掌握解题技巧，教师可依托此课件精准教学，提升复习效率。

2．8　对数函数 返回 ‹#› 1．通过具体实例，了解对数函数的概念．能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与图象中的特殊点．　2.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数． [课标解读] 返回 ‹#› 1 聚焦·必备知识 3 限时规范训练　 栏 目 导 引 2 突破·核心考点 返回 ‹#› 聚焦 ·必备知识 1．对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是________________. (0，＋∞) 返回 ‹#› 2．对数函数的图象和性质   a＞1 0＜a＜1 图 象 返回 ‹#›   a＞1 0＜a＜1 性 质 定义域：________________ 值域：R 过定点___________ 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 在(0，＋∞)上是_________ 在(0，＋∞)上是_________ (0，＋∞) (1，0) 增函数 减函数 返回 ‹#› 3.反函数 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数_________(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的图象关于直线_____对称． y＝logax y＝x 返回 ‹#› 常用结论 对数函数图象的特点(应用见例1) (1)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象． (2)函数y＝logax与y＝(a＞0，且a≠1)的图象关于x轴对称． (3)如图给出4个对数函数的图象 则b＞a＞1＞d＞c＞0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 返回 ‹#› 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　) (2)函数y＝ln －1<x<1}．(　　) (3)当x＞1时，若logax＞logbx，则a＜b.(　　) (4)函数y＝log2x与y＝的图象重合．(　　) × √ × √ 返回 ‹#› 2．(人A必修一P160T1(3)改编)函数f(x)＝ln |x|的大致图象是(　　) C 返回 ‹#› 解析：C　函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A、B，当x>0时，f(x)＝ln x单调递增，故排除D.故选C. 返回 ‹#› 3．(人B必修二P27例2改编)不等式log2(2x＋3)>log2(5x－6)的解集为(　　) A．(－∞，3)　　　　 B． C． D． 解析：D　由已知得解得<x<3.故选D. D 返回 ‹#› 4．(人A必修一P141T13(1)改编)已知x＝ln π，y＝log52，z＝，则(　　) A．x<y<z　　　　　　　 B．z<x<y C．z<y<x D．y<z<x 解析：C　x＝ln π>ln e＝1，由0＝log51<log52<log55＝1，可得0<y<1，z＝＝0，故z<y<x.故选C. C 返回 ‹#› 例1　(1)(2025·湖南长沙一模)已知lg a＋lg b＝0(a>0，b>0，且a≠1，b≠1)，则函数f(x)＝a－x与g(x)＝logbx的图象可能是(　　) 解析：B　由lg a＋lg b＝0可知，＝b，故f(x)＝a－x＝bx，故函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的单调性相同．故选B. 突破 ·核心考点 对数函数的图象及应用 考点 一 B 返回 ‹#› (2)已知函数f(x)＝|log3x|，若a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的取值范围是 (　　) A．　　　　　　 B． C．[5，＋∞) D．(5，＋∞) 解析：D　画出f(x)＝|log3x|的图象如图所示，因为a<b，且f(a)＝f(b)，所以－log3a＝log3b，故＝b，且0<a<1，令y＝a＋4b，则y＝a＋，由对勾函数的性质可知y＝a＋在(0，1)上单调递减， 故y＝a＋>1＋＝5，故a＋4b的取值范围是(5， ＋∞)．故选D. D 返回 ‹#› 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 注意：对于函数f(x)＝|logax|(a＞0，且a≠1)，若f(m)＝f(n)(m≠n)，则必有mn＝1. 返回 ‹#› 跟踪训练1　(1)(2025·广东深圳二模)已知a>0，且a≠1，则函数y＝loga的图象一定经过(　　) A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 D 返回 ‹#› 解析：D　当x＝0时，y＝loga＝－1，则当0<a<1时，函数图象过二、三、四象限； 则当a>1时，函数图象过一、三、四象限； 所以函数y＝loga的图象一定经过三、四象 限．故选D. 返回 ‹#› (2)若实数x，y，z互不相等，且满足2x＝3y＝log4z，则下列式子一定成立的是(　　) A．z>x>y B．z>y>x C．x>y>z D．z>x，z>y 解析：D　设2x＝3y＝log4z＝k>0，则x＝log2k，y＝log3k，z＝4k，分别作出t＝log2k，t＝log3k，t＝4k的图象如图所示， 由图可知，当k>0时，4k>log2k，4k>log3k， 即z>x，z>y.故选D. D 返回 ‹#› 角度1　比较大小 例2　(2025·辽宁辽阳一模)若a＝－log0.220，b＝log624，c＝log312，则 (　　) A．c>a>b B．b>a>c C．a>b>c D．c>b>a 解析：A　a＝－log0.220＝log520＝1＋log54，b＝log624＝1＋log64，c＝log312＝1＋log34，因为0＝log41<log43<log45<log46，所以log34>log54>log64，则c>a>b.故选A． 考点 二 对数函数的性质及应用 A 返回 ‹#› 比较对数值大小的方法 若底数相同，真 数不同 若底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论 若底数不同，真 数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 若底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较 返回 ‹#› 角度2　解对数方程或不等式 例3　(1)不等式log2(x－1)<1的解集为__________. 解析：因为log2(x－1)<1，则log2(x－1)<log22，即0<x－1<2，解得1<x<3. 答案：(1，3) 返回 ‹#› (2)解下列对数方程： ①log4(3－x)＋log0.25(3＋x)＝； ②log2(9x－5)＝log2(3x－2)＋2. 返回 ‹#› 解：①原方程转化为log4＝log4，则 解方程得x＝0或x＝7(舍)，故原方程的解集为{0}． ②原方程转化为log2(9x－5)＝log2[4(3x－2)]⇒9x－5＝4(3x－2)．即9x－4·3x＋3＝0，3x＝1或3x＝3，解得x＝0或x＝1.又故x＝0不符合题意， 故原方程解集为{1}． 返回 ‹#› 1．求解对数不等式的两种类型及方法 (1)logax＞logab：借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论． (2)logax＞b：需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解． 返回 ‹#› 2．对数方程的解法 (1)logaf(x)＝logag(x)(a>0且a≠1)，化为求解． (2)形如F(logax)＝0的方程如(logax)2＋blogax＋c＝0，令logax＝t后转化为t2＋bt＋c＝0求解． (3)形如logf(x)g(x)＝c的方程，化为指数式[f(x)]c＝g(x)求解． 返回 ‹#› 角度3　对数函数性质的综合应用 例4　已知f(x)＝log2是一个奇函数． (1)求f(x)的解析式和定义域； (2)试判断f(x)的单调性并求出f(x)的值域． 返回 ‹#› 解：(1)因为函数f(x)＝log2为奇函数，则f(－x)＝－f(x)， 即log2＝－log2＝log2，可得， 即(2＋x)(2－x)＝(a－x)(a＋x)，即4－x2＝a2－x2，所以a2＝4，解得a＝±2， 当a＝－2时，因为＝－1(x≠2)，此时，函数f(x)无意义； 当a＝2时，f(x)＝log2，符合题意， 由>0可得<0，解得－2<x<2，即函数f(x)的定义域为(－2，2)． 返回 ‹#› (2)f(x)＝log2＝log2＝log2， 因为内层函数u＝－1在(－2，2)上为减函数，外层函数y＝log2u为增函数， 故函数f(x)在(－2，2)上单调递减， 当－2<x<2时，0<x＋2<4，则u＝－1>0， 所以函数f(x)的值域为R. 返回 ‹#› 解决与对数函数有关的复合函数的单调性问题 需关注三点 (1)遵循定义域优先的原则，所有问题都必须在定义域内讨论． (2)底数与1的大小关系． (3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则确定函数的单调性． 返回 ‹#› 跟踪训练2　(1)(2026·福建厦门期中)设a＝log0.43，b＝log43，c＝30.4，则 (　　) A．a<b<c B．b<c<a C．a<c<b D．b<a<c 解析：A　a＝log0.43，因为0.4<1，对数函数单调递减，故a<log0.41＝0；b＝log43，因为4>1，对数函数单调递增，故0＝log41<b<log44＝1；c＝30.4，因为3x单调递增，故c>30＝1.因此a<b<c.故选A． A 返回 ‹#› (2)若loga(a2＋1)<loga2a<0，则a的取值范围是________. 解析：由题意得a>0，且a≠1，故必有a2＋1>2a，又loga(a2＋1)<loga2a<0，所以0<a<1，同时2a>1，所以<a<1.综上，a的取值范围是. 答案： 返回 ‹#› (3)(多选)(2025·贵州安顺模拟)已知函数f(x)＝ln ，则(　　) A．f(x)是奇函数 B．f(x)≥0 C．f(x)在(－2，2)上单调递减 D．f(x)在(2，＋∞)上单调递增 解析：ACD　要使得函数f(x)有意义，则>0，解得x≠2且x≠－2，所以f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＋f(x)＝＝ln 1＝0，从而f(x)是奇函数，故A正确；f(1)＝ln <ln 1＝0，故B错误；当 ACD 返回 ‹#› x∈(－2，2)时，f(x)＝ln ＝＝ln (2－x)－ln (2＋x)，y＝ln (2－x)在(－2，2)上单调递减，y＝ln (2＋x)在(－2，2)上单调递增，所以f(x)在(－2，2)上单调递减，故C正确；当x∈(2，＋∞)时，f(x)＝ln ＝ln ＝ln ，y＝1－在(2，＋∞)上单调递增，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(2，＋∞)上单调递增，D正确．故选ACD. 返回 ‹#› (人A必修一P43T10)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立． 本题得到的不等式称为糖水不等式： (1)设b>a>0，m>0，则有<； (2)糖水不等式的倒数形式：设a>b>0，m>0，则有>. 对数型糖水不等式： (1)设n∈N*，且n>1，则有logn＋1·n<log(n＋2)(n＋1)； (2)设a>b>1，m>0，则有logab<loga＋m(b＋m)； (3)上式的倒数形式：设a>b>1，m>0，则有logba>logb＋m(a＋m)． 返回 ‹#› 典例　已知a＝3log83，b＝，c＝log45，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c　　　　　　　 B．c>a>b C．a>c>b D．c>b>a A 返回 ‹#› 解析：A　法一：a＝3log83＝log827＝ ＝log23，b＝log316＝log34.对任意x>y>0，m>0，>0，即>.所以a＝log23＝>＝log3>log34，即a>b，b＝log34＝>＝log4>log45，即b>c，所以a>b>c.故选A． 法二：a＝3log83＝log827＝ ＝log23，b＝log316＝log34，c＝log45，利用对数型糖水不等式得log23>log34>log45，即a>b>c.故选A． 返回 ‹#› 尝试训练　已知a>b>0，c∈R则下列不等式一定成立的是(　　) A．ab<b2 B．ac2>bc2 C．< D．< 解析：C　对于A，由a>b>0，得ab>b2，故A错误；对于B，当c＝0时，ac2＝0＝bc2，故B错误；对于C，由a>b>0，得a＋1>b＋1>0，则<，故C正确；对于D，取c＝－b，则＝0<，故D错误．故选C. C 返回 ‹#› 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 1 2 (建议用时：60分钟　分值：96分) 限时规范 训练17　对数函数 1．若函数f(x)＝4＋log2x在区间[1，a]上的最大值为6，则a＝(　　) A．2　　　　　　　 B．4 C．6 D．8 解析：B　因为函数f(x)＝4＋log2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，又函数f(x)在区间[1，a]上的最大值为6，所以f(a)＝4＋log2a＝6，即log2a＝2，所以a＝22＝4.故选B. B 返回 ‹#› 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2．函数y＝|lg (x＋1)|的单调递增区间是(　　) A．(－1，0] B．[1，＋∞) C．(－1，＋∞) D．[0，＋∞) 解析：D　y＝|lg (x＋1)|＝的图象如图， 显然y＝|lg (x＋1)|的单调递增区间为[0，＋∞)．故选D. D 返回 ‹#› 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 3．已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f(3)·g(3)<0，则f(x)与g(x)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) C 返回 ‹#› 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 解析：C　因为f(3)·g(3)<0，所以可排除B、D，当0<a<1时，f(x)与g(x)同为减函数，当a>1时，f(x)与g(x)同为增函数，排除A．故选C. 返回 ‹#› 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 12 13 11 4．已知a＝log23，b＝log46，c＝log49，则(　　) A．a＝b<c B．a<b<c C．a＝c>b D．a>c>b 解析：C　因为a＝log23＝ ＝log49＝c，又因为y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，所以log46<log49，所以a＝c>b.故选C. C 返回 ‹#› 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 11 5．(多选)(2025·安徽合肥三模)已知m>0且m≠1，则函数f(x)＝＋3的图象一定经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：AB　由f(x)＝＋3＝2logm＋3，m>0且m≠1，得f(0)＝2logm＋3＝－2＋3＝1，即函数f(x)过点(0，1)，当m>1时，函数f(x)单调递增，过第一、二、三象限；当0<m<1时，函数f(x)单调递减，过第一、二、四象限，故f(x)的图象一定经过第一、二象限．故选AB. AB 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 6．(多选)已知函数f(x)＝ln ，下列说法正确的是(　　) A．f(x)的定义域为(－1，1) B．f(x)为奇函数 C．f(x)在定义域上是增函数 D．f(x)的值域为(0，＋∞) AB 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 解析：AB　对于A，由>0，解得－1<x<1，即f(x)的定义域为(－1，1)，故A正确；对于B，f(x)的定义域关于原点对称，f(－x)＝ln ＝－ln ＝－f(x)，即f(x)为奇函数，故B正确；对于C，f(x)＝＝ln ＝ln ，在(－1，1)上，y＝－1＋单调递减，根据复合函数的单调性可知，f(x)在定义域上是减函数，故C错误；对于D，因为f(x)的定义域为(－1，1)，所以－1＋∈(0，＋∞)，所以ln ∈(－∞，＋∞)，故D错误．故选AB. 返回 ‹#› 7 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 2 7．(5分)若log0.5(m－2)>log0.5(4－m)，则m的取值范围是________. 解析：若log0.5(m－2)>log0.5(4－m)，则解得2<m<3，则m的取值范围是(2，3)． 答案：(2，3) 返回 ‹#› 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 2 8．(5分)函数f(x)＝ln x＋ln (4－x)的单调递增区间为______. 解析：令4－x>0且x>0，解得0<x<4，可知函数的定义域为(0，4)，因为f(x)＝ln x＋ln (4－x)＝ln (－x2＋4x)，且u＝－x2＋4x在(0，2]内单调递增，在(2，4)内单调递减，y＝ln u在定义域内单调递增，根据复合函数单调性知，函数在(0，2]内单调递增，在(2，4)内单调递减，所以函数的单调递增区间为(0，2]. 答案：(0，2] 返回 ‹#› 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 2 9．(13分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若g(x)＝f(x)·f，x∈[1，8]，求函数g(x)的值域． 解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0. 因为x>0时，f(x)＝log2x， 所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)， 所以f(x)＝ 返回 ‹#› 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 2 (2)由题意得g(x)＝(log2x)·＝(log2x)·(log2x－2)＝(log2x)2－2log2x，x∈[1，8]， 令log2x＝t，t∈[0，3]，问题等价于求h(t)＝t2－2t，t∈[0，3]的值域， 因为函数h(t)＝t2－2t图象开口向上，对称轴为直线t＝1， 所以h(t)在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增， 因为h(1)＝1－2＝－1，h(0)＝0，h(3)＝9－6＝3， 所以h(t)min＝－1，h(t)max＝3， 所以函数g(x)的值域为[－1，3]. 返回 ‹#› 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10．(15分)(2025·天津南开二模)设a>0且a≠1，函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(2x＋t)(t∈R)． (1)当t＝1时，求不等式2f(x)≤g(x)的解集； (2)若函数h(x)＝af(x)＋tx2＋2t＋2在区间(1，3]上有零点，求t的取值范围． 解：(1)当t＝1时，不等式2f(x)≤g(x)可化为2loga(x－1)≤loga(2x＋1)， 若0<a<1易错点：底数范围不同决定了函数单调性不同，所以一定要对底数进行讨论.则解得x≥4， 返回 ‹#› 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 若a>1，则解得1<x≤4， 综上所述，当0<a<1时，不等式2f(x)≤g(x)的解集为[4，＋∞)； 当a>1时，不等式2f(x)≤g(x)的解集为(1，4]. (2)由题意可知h(x)＝aloga(x－1)＋tx2＋2t＋2＝tx2＋x＋2t＋1， 令tx2＋x＋2t＋1＝0，即t(x2＋2)＝－(x＋1)， 因为x∈(1，3]，所以x＋1∈(2，4]， 返回 ‹#› 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 所以t≠0，所以将函数零点问题转化为方程有解问题，设m＝x＋1∈(2，4]， 则＝－＋2， 因为函数y＝－＋2在(2，4]上单调递减， 所以－<－，所以－<t≤－. 故t的取值范围是. 返回 ‹#› 11 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 11．若a＝ln ，b＝ ，c＝ln ，则a，b，c的大小关系是 (　　) A．c<a<b B．a<b<c C．c<b<a D．b<a<c 解析：D　a2＝2＝2＝>＝b2，又a>0，b>0，则a>b，因为6<3e，则ln <ln ，故a<c，综上所述，b<a<c.故选D. D 返回 ‹#› 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 12．(多选)已知a＝log210，b＝log3，则(　　) A．ab<0 B．4a·9b＝1 C．>1 D．log56＝ 解析：ABD　因为a＝log210>log21＝0，b＝log3<log31＝0，所以ab<0，故A正确；因为4a·9b＝ ＝2＝1，故B正确；因为＝lg 2－(－lg 3)＝lg 6<lg 10＝1，故C错误；因为＝log56，故D正确．故选ABD. ABD 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13．(15分)已知函数f(x)＝log2(x2－ax＋1)． (1)若f(x)为偶函数，求a的值； (2)若f(x)在(2，4)上单调递增，求a的取值范围； (3)设g(x)＝4x－2x+1，若对于任意x1∈(0，1)，存在x2∈[－1，1]，使得不等式f(x1)≥g(x2)成立，求a的取值范围． 解：(1)因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即log2(x2＋ax＋1)＝log2(x2－ax＋1)． 又因为函数y＝log2x是增函数， 所以x2＋ax＋1＝x2－ax＋1，即得2ax＝0对于函数f(x)定义域内任意的x都成立， 所以a＝0. 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 (2)令t＝x2－ax＋1，则y＝log2t. 因为函数y＝log2t在(0，＋∞)上单调递增，f(x)在(2，4)上单调递增， 所以根据复合函数单调性的判断方法可得：函数t＝x2－ax＋1在(2，4)上单调递增， 且t≥0在(2，4)上恒成立，所以解得a≤. 故a的取值范围为. 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 (3)因为对于任意x1∈(0，1)，存在x2∈[－1，1]，使得不等式f(x1)≥g(x2)成立，所以f(x)≥g(x)min. 令u＝2x，x∈[－1，1]，因为g(x)＝4x－2x+1＝(2x)2－2×2x, 所以y＝u2－2u，u∈. 又因为二次函数y＝u2－2u的图象开口向上，对称轴为直线u＝1， 所以当u＝1时，函数y＝u2－2u有最小值－1，故当x∈[－1，1]时，g(x)min＝－1. 所以f(x)≥－1对于任意x∈(0，1)恒成立，即x2－ax＋1≥对于任意x∈(0，1)恒成立， 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 故a≤x＋对于任意x∈(0，1)恒成立． 由基本不等式可得：x＋ ，当且仅当x＝时等号成立， 所以a≤ ，故a的取值范围为. 返回 ‹#› 2．8　对数函数 点击进入WORD文档 按ESC键退出全屏播放 返回 ‹#› $