1.6 第二课时 一元二次方程与不等式的应用(课件PPT)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学高考复习课件聚焦“一元二次方程与不等式的应用”专题，依据高考评价体系梳理了恒成立问题（含R上、给定区间、参数范围）和根的分布问题两大核心考点，通过典型例题分析明确恒成立问题占比60%、根的分布问题占比40%的常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“考点分类突破+真题变式训练+解题策略归纳”，如恒成立问题采用分离参数法结合对勾函数求最值，根的分布问题运用二次函数图像分析判别式与端点值，培养学生的数学思维和几何直观素养。特设限时规范训练和易错点警示，帮助学生熟练答题技巧，教师可据此精准指导复习，提升备考效率。

第二课时　一元二次方程与不等式的应用 返回 ‹#› 2 限时规范训练　 栏 目 导 引 1 突破·核心考点 返回 ‹#› 角度1　在实数集R上的恒成立问题 例1　若不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪[2，＋∞) C．(－2，2) D．(－2，2] 突破 ·核心考点 考点一 一元二次不等式的恒(能)成立问题 D 返回 ‹#› 解析：D　当a＝2时，－4<0恒成立，则a＝2符合题意；当a≠2时， 解得－2<a<2，所以实数a的取值范围为(－2，2].故选D. 返回 ‹#› 角度2　在给定区间上的恒成立问题 例2　若不等式x2－tx＋1<0对一切x∈恒成立，则实数t的取值范围为(　　) A．　　　　　 B． C．[2，＋∞] D． D 返回 ‹#› 解析：D　因为不等式x2－tx＋1<0对一切x∈恒成立，所以t>在区间上恒成立，由对勾函数性质可知函数y＝x＋在区间上单调递减，在区间(1，3)上单调递增，且当x＝时，y＝2＋，当x＝3时，y＝3＋，所以x＋<，故t≥.故选D. 返回 ‹#› 角度3　给定参数范围的恒成立问题 例3　若命题“∃－1≤a≤3，ax2－(2a－1)x＋3－a<0”为假命题，则实数x的取值范围为(　　) A．{x|－1≤x≤4} B．{x|0≤x≤} C．{x|－1≤x≤0或≤x≤4} D．{x|－1≤x<0或<x≤4} C 返回 ‹#› 解析：C　由题意可得：命题“∀－1≤a≤3，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0”为真命题，即ax2－(2a－1)x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0对a∈[－1，3]恒成立， 则解得－1≤x≤0或≤x≤4，即实数x的取值范围为{x|－1≤x≤0或≤x≤4}．故选C. 返回 ‹#› 恒成立问题求参数范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数，一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般运用分离参数法求最值或进行分类讨论． 返回 ‹#› 跟踪训练1　(1)设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1，2]上有解，则a的取值范围为(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C． D． 解析：C　因为关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1，2]上有解，所以a≤x＋在x∈[1，2]上有解⇔a≤max，x∈[1，2]，因为函数f(x)＝x＋在区间[1，2]上单调递增，所以f(x)max＝，所以a≤. C 返回 ‹#› (2)已知函数f(x)＝mx2－(m－1)x＋m－1. ①若不等式f(x)<1的解集为R，求m的取值范围； ②若不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立，求m的取值范围； ③若不等式f(x)>2对一切m∈(0，2)恒成立，求x的取值范围． 返回 ‹#› 解：①不等式f(x)<1，即mx2－(m－1)x＋m－2<0， 当m＝0时，x－2<0，解得x<2，不符合题意； 当m≠0时， 有解得m<， 综上所述，m的取值范围为. ②不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立， 即m(x2－x＋1)≥1－x对一切x∈恒成立， 返回 ‹#› 因为x2－x＋1＝2＋>0， 则不等式等价于m≥对一切x∈恒成立，1－x>0， 由x∈，得 ≤＝1， 当且仅当1－x＝，即x＝0时等号成立，所以max＝1， 所以m≥1，即m的取值范围是[1，＋∞)． ③不等式f(x)>2对一切m∈(0，2)恒成立， 返回 ‹#› 即(x2－x＋1)m＋x－3>0对一切m∈(0，2)恒成立， 令h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3， 因为x2－x＋1＝2＋>0， 所以函数h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3在区间(0，2)上单调递增，则h(0)＝x－3≥0，解得x≥3， 所以x的取值范围为[3，＋∞)． 返回 ‹#› 例4　(1)关于x的一元二次方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0有一个根小于1，另一个根大于1，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，2) B．(－2，0) C．(－2，1) D．(0，1) 解析：C　二次函数f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2的图象开口向上，由f(x)＝0的一个根小于1，另一个根大于1，得f(1)<0，因此12＋(a2－1)＋a－2<0，解得－2<a<1，所以实数a的取值范围是(－2，1)．故选C. 考点二 一元二次方程根的分布问题 C 返回 ‹#› (2)若关于x的方程x2－2ax＋a＋2＝0在区间(－2，1)上有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(　　) A． B． C．∪(－1，＋∞) D．∪(1，＋∞) A 返回 ‹#› 解析：A　令g(x)＝x2－2ax＋a＋2，因为方程x2－2ax＋a＋2＝0在区间(－2，1)上有两个不相等的实数根，所以 即解得－<a<－1， 所以a的取值范围是.故选A. 返回 ‹#› 求解二次方程根的分布问题，最重要的是数形结合，即结合对应二次函数的图象，从以下角度考虑：(1)开口方向；(2)判别式；(3)对称轴；(4)在区间端点处的函数值． 返回 ‹#› 跟踪训练2　(1)已知方程x2＋2mx－m＋12＝0的两根都大于－2，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－4)　　 B．(－5，－4) C．(－∞，－4] D．(－∞，－4)∪(4，＋∞) 解析：C　令f(x)＝x2＋2mx－m＋12，因为方程x2＋2mx－m＋12＝0的两根都大于－2，所以由题意可得解得m≤－4.故选C. C 返回 ‹#› (2)方程x2＋2ax－a＝0在区间(0，1)和(1，2)各有一个根的充要条件是 (　　) A．a∈(－∞，－1) B．a∈ C．a∈ D．a∈(－2，－1) B 返回 ‹#› 解析：B　因为一元二次方程x2＋2ax－a＝0在区间(0，1)和(1，2)各有一个根，令f(x)＝x2＋2ax－a，则由题意可得即解得－<a<－1，则方程x2＋2ax－a＝0在区间(0，1)和(1，2)各有一个根的充要条件是a∈.故选B. 返回 ‹#› 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 1 2 (建议用时：60分钟　分值：98分)   1．若关于x的不等式mx2－mx－1<0的解集是R，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|－4≤m≤0}　　 B．{m|－4<m≤0} C．{m|0≤m<4} D．{m|－4<m<0} 限时规范 训练7　一元二次方程与不等式的应用 14 B 返回 ‹#› 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 1 2 解析：B　当m＝0时，原不等式为－1<0，符合题意；当m≠0时，要使关于x的不等式mx2－mx－1<0的解集为R，只需解得－4<m<0.综上，－4<m≤0.故选B. 14 返回 ‹#› 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2．关于x的方程x2＋x＋9＝0有两个不相等的实数根x1，x2且x1<1<x2，那么a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：D　设f(x)＝x2＋x＋9，则解得－<a<0，即a的取值范围为.故选D. 14 D 返回 ‹#› 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 3．若命题“∀x∈[0，3]，x2－2x－a≤0”为真命题，则实数a的最小值是 (　　) A．－1 B．0 C．1 D．3 解析：D　若命题“∀x∈[0，3]，x2－2x－a≤0”为真命题，则∀x∈[0，3]，x2－2x－a≤0恒成立，即a≥(x2－2x)max，令t(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，1]时，t(x)单调递减；x∈(1，3]时，t(x)单调递增；当x＝3时，t(x)max＝t(3)＝9－6＝3，故a≥3，则实数a的最小值是3.故选D. 14 D 返回 ‹#› 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 12 13 11 4．已知一元二次方程x2－mx＋1＝0的两根都在(0，2)内，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 14 B 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 1 解析：B　设f(x)＝x2－mx＋1，由题意可得解得2≤m<.因此，实数m的取值范围是.故选B. 14 返回 ‹#› 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 11 5．(多选)若关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有实数根x1，x2，且x1<x2，则下列结论中正确的是(　 　) A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3 B．m>－ C．当m>0时，2<x1<x2<3 D．二次函数y＝(x－x1)(x－x2)＋m的图象与x轴交点的坐标为(2，0)和(3，0) 14 ABD 返回 ‹#› 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 11 解析：ABD　对于A，当m＝0时，(x－2)(x－3)＝0，解得：x1＝2，x2＝3，故A正确；对于B，若关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有两个不等实数根x1，x2，即x2－5x＋6－m＝0，则Δ＝25－4(6－m)＝4m＋1>0，解得：m>－，故B正确；对于C， 14 返回 ‹#› 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 11 y＝(x－2)(x－3)图象与y＝m图象交点横坐标即为x1和x2，但不满足2<x1<x2<3，故C错误；对于D，由(x－2)(x－3)＝m展开得：x2－5x＋6－m＝0，由根与系数的关系可得x1＋x2＝5，x1x2＝6－m，所以y＝(x－x1)(x－x2)＋m＝x2－(x1＋x2)x＋x1x2＋m＝x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)，故二次函数y＝(x－x1)(x－x2)＋m的图象与x轴交点的坐标为(2，0)和(3，0)，故D正确．故选ABD. 14 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 6．(多选)已知函数f(x)＝x2－ax＋4，a∈R，则下列叙述正确的是(　 　) A．若对∀x∈R都有f(x)≥0成立，则－4≤a≤4 B．若∃x∈[1，2]使得f(x)≥0有解，则a≤4 C．若∃x1，x2>0且x1≠x2使得f(x1)＝f(x2)＝0，则a>4 D．若f(x)≤0的解集是[1，4]，则a＝5 14 ACD 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 解析：ACD　对于A，由x2－ax＋4≥0恒成立，得Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4，故A正确；对于B，当x∈[1，2]时，f(x)≥0⇔ax≤x2＋4⇔a≤x＋，函数y＝x＋在区间[1，2]上单调递减，当x＝1时，max＝5，由∃x∈[1，2]使得f(x)≥0有解，得a≤5，故B错误；对于C，依题意，方程x2－ax＋4＝0有两个不等的正根，则解得a>4，故C正确；对于D，由x2－ax＋4≤0的解集是[1，4]，得1，4是方程x2－ax＋4＝0的两个根，则a＝5，D正确．故选ACD. 14 返回 ‹#› 7 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 2 7．(5分)已知函数f(x)＝，a为实数，若对于∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是____________． 解析：由≥2，x>0，得x2＋ax＋6≥2(x＋1)⇒x2＋(a－2)x＋4≥0，x>0.设g(x)＝x2＋(a－2)x＋4，x>0.因为g(0)＝4>0，所以g(x)≥0，x>0⇔Δ≤0或－≤0.由Δ≤0⇒(a－2)2－16≤0⇒－2≤a≤6；由－≤0⇒a≥2.所以实数a的取值范围为[－2，6]∪[2，＋∞)＝[－2，＋∞)． 答案：[－2，＋∞) 14 返回 ‹#› 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 2 8．(5分)已知关于x的不等式x2－(a＋4)x＋2a＋5≥0在(－∞，2)上恒成立，则a的最小值为________． 解析：由不等式x2－(a＋4)x＋2a＋5≥0在(－∞，2)上恒成立， 得(2－x)a≥－x2＋4x－5在(－∞，2)上恒成立， 所以a≥＝－(2－x)－在(－∞，2)上恒成立， 又(2－x)＋＝2，所以－≤－2， 当且仅当2－x＝，即x＝1时，等号成立． 所以a≥－2，故a的最小值为－2. 答案：－2 14 返回 ‹#› 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 2 9．(5分)已知集合A＝{x|x2－7x＋10≤0}，B＝{x|x2－(2－m)x＋5－m≤0}，若B⊆A，则实数m的取值范围为__________． 解析：由x2－7x＋10≤0解得2≤x≤5， 所以A＝{x|2≤x≤5}，要使B⊆A，则存在以下两种情况． (1)若B＝∅，即方程x2－(2－m)x＋5－m＝0无实数根，则Δ<0，解得－4<m<4. 14 返回 ‹#› 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 2 (2)若B≠∅，设方程x2－(2－m)x＋5－m＝0的两根为x1，x2， 设f(x)＝x2－(2－m)x＋5－m，画出函数图象，如图，分析可知， 方程x2－(2－m)x＋5－m＝0的两根x1，x2都在[2，5]上， 故应满足 解得－5≤m≤－4. 综上所述，实数m的取值范围为{m|－5≤m≤4}． 答案：{m|－5≤m≤4} 14 返回 ‹#› 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10．(13分)关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0满足下列条件，求实数m的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于1，一个根小于1； (3)一个根在(－2，0)内，另一个根在(0，4)内； (4)一个根小于2，一个根大于4. 14 返回 ‹#› 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 解：(1)令f(x)＝x2＋(m－3)x＋m，设f(x)＝0的两个根为x1，x2， 则满足解得0<m≤1，所以实数m的取值范围为(0，1]. (2)若方程x2＋(m－3)x＋m＝0的一个根大于1，一个根小于1， 则满足f(1)＝2m－2<0，解得m<1， 所以实数m的取值范围为(－∞，1)． 14 返回 ‹#› 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 (3)若方程x2＋(m－3)x＋m＝0一个根在(－2，0)内，另一个根在(0，4)内， 则满足解得－<m<0， 所以实数m的取值范围为. (4)若方程x2＋(m－3)x＋m＝0的一个根小于2，一个根大于4， 则满足解得m<－， 所以实数m的取值范围为. 14 返回 ‹#› 11 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 11．(13分)设二次函数y＝x2＋mx. (1)若对任意实数x∈[1，2]，y>0恒成立，求实数m的取值范围； (2)若存在x0∈[－4，0)，使得函数值y0≤－4成立，求实数m的取值范围． 解：(1)对任意实数x∈[1，2]，y>0恒成立， 即x∈[1，2]，x2＋mx>0⇒mx>－x2⇒m>－x恒成立， 即可得m>(－x)max，所以m>－1，实数m的取值范围为(－1，＋∞)． 14 返回 ‹#› 11 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 (2)存在x0∈[－4，0)，使得y0≤－4成立，即＋4≤－mx0， 只需(－x0)＋≤m成立，即需min≤m成立， 因为－x0∈(0，4]，所以－x0＋≥ 2＝4，当且仅当x0＝－2时等号成立， 则min＝4≤m，所以m≥4， 综上，实数m的取值范围是[4，＋∞)． 14 返回 ‹#› 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 12．方程4x2＋(m－2)x＋m－5＝0的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(0，2)内，则m的取值范围是(　　) A．　　　　　　　 B． C．∪(5，＋∞) D． 14 B 返回 ‹#› 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 解析：B　因为方程4x2＋(m－2)x＋m－5＝0的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(0，2)内，所以函数f(x)＝4x2＋(m－2)x＋m－5的两个零点一个在区间(－1，0)内，另一个在区间(0，2)内，则 解得－<m<5，所以m的取值范围是.故选B. 14 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13．(5分)(2025·山东日照模拟)若存在实数m，使得对于任意的x∈[a，b]，不等式m2＋sin x cos x≤m恒成立，则当b－a取得最大值时，＝________． 14 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 解析：因为m2＋sin x cos x≤2sin ·m恒成立，即m2－2sin ·m＋sin x cos x≤0恒成立，若存在实数m，使得上式成立，则Δ＝4sin2－4sinx cos x＝2－2cos －2sin 2x＝2－2sin 2x－2sin 2x＝2－4sin 2x≥0，可得sin 2x≤，可得2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，由题意知，[a，b]⊆[，kπ＋]，k∈Z，则当b－a取得最大值时，a＝kπ－，b＝kπ＋，k∈Z，则a＋b＝－＋2kπ，k∈Z，此时＝＝，k∈Z. 答案： 14 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 14．(15分)已知m∈R，命题p：∃x∈R，x2＋4mx＋1<0成立．命题q：∀x∈{x|－1≤x≤2}，不等式m2－m≥x2－2x－1恒成立． (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围． 解：(1)若p为真命题，则Δ＝16m2－4>0，解得m<－或m>. 所以实数m的取值范围为{x或m>}． 13 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 (2)当x∈{x|－1≤x≤2}时，x2－2x－1＝(x－1)2－2∈{x|－2≤x≤2}， 若q为真命题，则m2－m≥2，解得m≤－1或m≥2， 当p真，q假时，则可得－1<m<－或<m<2； 当p假，q真时，则可得m∈∅， 综上，实数m的取值范围是{x或<m<2}． 返回 ‹#› 第二课时　一元二次方程与不等式的应用 点击进入WORD文档 按ESC键退出全屏播放 返回 ‹#› $