1.5 基本不等式的综合应用(课件PPT)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式的综合应用”专题，依据课标要求覆盖恒成立问题求解、参数值与范围确定、实际应用建模三大核心考点，通过近5年模拟题分析明确“参数最值”“面积优化”等高频题型占比，构建从公式应用到实际建模的完整备考体系。 课件亮点在于“真题演练+方法提炼+素养培养”，如以2025南昌模拟题为例，通过“不等式恒成立转化”培养数学思维（推理能力），结合矩形育苗区面积问题渗透数学语言（模型观念），特设“易错警示”和“模板总结”，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准规划复习，提升备考效率。

1．5　基本不等式的综合应用 返回 ‹#› 1．会求与基本不等式有关的恒(能)成立问题．　2.理解基本不等式在实际问题中的应用． [课标解读] 返回 ‹#› 2 限时规范训练　 栏 目 导 引 1 突破·核心考点 返回 ‹#› 例1　(1)(2025·江西南昌模拟)若不等式＋3≥x(a＋b)对任意正数a，b恒成立，则实数x的最大值为(　　) A．　　　　　　　　 B．2 C． D．1 突破 ·核心考点 考点一 利用基本不等式求参数的值或取值范围 C 返回 ‹#› 解析：C　由题意不等式＋3≥x(a＋b)对任意正数a，b恒成立，即x≤恒成立，又a2＋b2≥2ab，所以a2＋b2≥，当且仅当a＝b时，等号成立，则≥2 ，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故x≤，即实数x的最大值为.故选C. 返回 ‹#› (2)(2026·江西赣州月考)已知不等式4x＋m＋>0(x>－1)恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B．(－4，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－∞，4) 解析：C　不等式4x＋m＋>0(x>－1)恒成立，即m>－，因为x>－1，则x＋1>0，则4x＋＝4(x＋1)＋－4＝0，当且仅当4(x＋1)＝，即x＝－时，等号成立，则－≤0，故m>0.故选C. C 返回 ‹#› 利用基本不等式求参数的值或范围时，要观察题目的特点，先确定是恒成立问题还是有解问题，再利用基本不等式确定等号成立的条件，最后通过解不等式(组)得到参数的值或范围． 返回 ‹#› 跟踪训练1　(1)若命题“∀x，y>0，都有(x＋y)·≥9”为真命题，则正实数a的最小值是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：B　因为a>0，由(x＋y)＝1＋a＋，当且仅当y＝x时取等号．因为命题“∀x，y>0，都有(x＋y)≥9”为真命题，故只需a＋1＋2≥9成立，即a＋2－8≥0，解得≥2，即a≥4，故正实数a的最小值是4.故选B. B 返回 ‹#› (2)已知x>0，y>0，且＝1.若2x＋y<m2－8m有解，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，－1)∪(9，＋∞) B．(－∞，－1]∪[9，＋∞) C．(－9，－1) D．[－9，1] A 返回 ‹#› 解析：A　因为x>0，y>0，且＝1，所以2x＋y＝(2x＋y)＝5＋＝9，当且仅当，且＝1，即x＝y＝3时取等号，此时2x＋y取得最小值9，若2x＋y<m2－8m有解，则9<m2－8m，解得m>9或m<－1，即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．故选A. 返回 ‹#› 例2　“宁城苹果”已经发展成当地重要富民产业，苹果飘香引客来，呈现一片繁荣景象．某采摘园内有一块场地，如图所示，当地的设计公司欲在△ACD，△ABD，△BDE三块区域种植不同的花草供游客欣赏，已知AC＝BE，∠ACB＝∠AEB＝90°，CA＋CB＝4，设BC＝x(单位：km)． (1)请用x表示CD； (2)当x取何值时，△ACD的面积最大，并求最大值． 考点二 基本不等式的实际应用 返回 ‹#› 解：(1)因为∠ACB＝∠AEB＝90°，AC＝BE＝4－BC＝4－x， 所以Rt△ACD≌Rt△BED⇒CD＝DE， 在Rt△BDE中，BD2＝ED2＋EB2，所以(x－CD)2＝CD2＋(4－x)2， 整理得CD＝4－(0<x<4)． (2)由(1)得△ACD的面积为 S△ACD＝(4－x)＝12－≤12－2， 当且仅当2x＝，即x＝2时等号成立， 所以当x＝2时，△ACD的面积最大，最大值为 km2. 返回 ‹#› 利用基本不等式解决实际应用问题的技巧 返回 ‹#› 跟踪训练2　如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙足够长)的矩形育苗区．设育苗区的长为x米，宽为y米．   (1)若育苗区面积为8平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为10米，求的最小值． 返回 ‹#› 解：(1)依题意，xy＝8，所用篱笆总长为x＋2y，而x＋2y≥2＝8， 当且仅当x＝2y，即x＝4，y＝2时取等号， 所以育苗区的长为4米，宽为2米时，所用篱笆总长最小． (2)依题意，x＋2y＝10， (x＋2y)＝＝， 当且仅当，即x＝y＝时取等号， 所以的最小值为. 返回 ‹#› 基本不等式链： ∀a>0，b>0，有≤ ，当且仅当a＝b时取等号，其中和 分别叫做a和b的调和平均数、平方平均数．上述不等式链中比较常用的是后三项的大小关系，且常以平方形式ab≤2≤出现，此时a，b可以为任意实数． 返回 ‹#› 证明：首先，要证≤ ，只要证≤ ，即要证≥ ，即要证a＋b≥2.因为a－2＋b＝2≥0， 所以a＋b≥2，当且仅当a＝b时等号成立，所以原式得证． 要证≤ ，即证2≤. 因为－2＝≥0， 所以≤ ，当且仅当a＝b时等号成立． 综上，≤ ≤ ，其中a，b都是正数，当且仅当a＝b时等号成立． 返回 ‹#› 典例　(多选)甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分别为t1，t2，t3.甲有一半的时间以速度v1米/秒奔跑，另一半的时间以速度v2米/秒奔跑；乙全程以速度米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度v1米/秒奔跑，另一半的路程以速度v2米/秒奔跑，其中v1>0，v2>0.则下列结论一定成立的是(　　) A．t1≤t2≤t3　　　　　 B．t1≥t2≥t3 C．t1t3＝ D． AC 返回 ‹#› 解析：AC　由题意知t1v2＝100， t2， 所以t1＝，由基本不等式可得，所以，所以>0，故t1≤t2≤t3，当且仅当v1＝v2时等号全部成立．故A中结论成立，B中结论不成立； 返回 ‹#› 又＝2， 所以t1t3＝，故C中结论成立； ， 取v1＝1，v2＝2，此时≠，所以D中结论不一定成立．故选AC. 返回 ‹#› 尝试训练　(多选)若a>0，b>0，a＋b＝4，则下列不等式中对一切满足条件的a，b恒成立的是(　 　) A．ab≤4　　　　 B． C．a2＋b2≤8 D．≥1 ABD 返回 ‹#› 解析：ABD　法一：由a>0，b>0，，a＋b＝4，则≤2，即ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，A正确；由a>0，b>0，，a＋b＝4，可得，即，当且仅当a＝b＝2时取等号，B正确；由a>0，b>0，≤ ，a＋b＝4，可得2≤ ，即a2＋b2≥8，当且仅当a＝b＝2时取等号，C错误；由a>0，b>0，，a＋b＝4，可得≤2，即≥1，当且仅当a＝b＝2时取等号，D正确．故选ABD. 返回 ‹#› 法二：因为a>0，b>0，a＋b＝4，则ab≤2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，A正确；＝ ，当且仅当a＝b＝2时取等号，B正确；a2＋b2＝(a＋b)2＝8，当且仅当a＝b＝2时取等号，C错误；(a＋b)＝＝1，当且仅当a＝b＝2时取等号，D正确．故选ABD. 返回 ‹#› 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 1 2 (建议用时：60分钟　分值：98分)   1．对于任意0<x<4，m>恒成立，则(　　) A．m>　　　　　 B．m> C．m> D．m> 解析：D　对于任意0<x<4，m>恒成立，则m>max，而，当且仅当x＝1时取等号，所以m>.故选D. 限时规范 训练5　基本不等式的综合应用 14 D 返回 ‹#› 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2．已知a>0，b>0，＝1，若不等式2a＋b≥m恒成立，则m的最大值为(　　) A．2＋ B．3＋ C．3＋2 D．5 解析：C　由不等式2a＋b≥m恒成立可知，只需m小于等于2a＋b的最小值．由a>0，b>0，＝1，可得2a＋b＝(2a＋b)＝3＋，当且仅当，即a＝1＋＋1时取等号，所以m≤3＋2，所以m的最大值为3＋2.故选C. 14 C 返回 ‹#› 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 3．已知不等式2x＋m＋>0(x>－1)恒成立，则实数m的取值范围是 (　　) A．(－∞，－2) B．(－4，＋∞) C．(－2，＋∞) D．(－∞，－4) 解析：C　不等式2x＋m＋>0(x>－1)恒成立，即m>－，－＝－≤－＝－2，当且仅当2(x＋1)＝，即x＝0时等号成立，故m>－2.故选C. 14 C 返回 ‹#› 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 12 13 11 4．(2025·广东揭阳三模)“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌．经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v(单位：分米/秒)时的跳跃高度H(单位：米)近似满足v2＝的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为(　　) A．0.2米 B．0.25米 C．0.45米 D．0.7米 解析：B　由v2＝可知v2－Hv4＝4H，故H＝，当且仅当v2＝2时，等号成立．于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米．故选B. 14 B 返回 ‹#› 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 11 5．(多选)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，若≤x＋2y恒成立，则实数m的可能取值为( 　　) A． B． C．3 D． 14 ABC 返回 ‹#› 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 11 解析：ABC　由x>0，y>0，得xy>0，≤x＋2y恒成立，即恒成立，又＝(2x＋y)＝5＋＝9，当且仅当x＝y＝时，等号成立，故≤9，即≤0，即解得m<1或m≥.故选ABC. 14 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 6．(多选)早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式(a>0，b>0)叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是( 　　) A．若ab＝1，则a＋b≥2 B．若a>0，b>0，且＝1，则a＋b的最小值为4 C．若a>0，b>0，则≥4 D．若a>0，b>0且a＋b＝4，则的最小值为2 14 BCD 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 解析：BCD　对于A，若a＝－1，b＝－1，满足ab＝1，则a＋b＝－2<2，故A错误；对于B，若a>b>0，且＝1，则a＋b＝(a＋b)＝2＋＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故B正确；对于C，因为a>0，b>0，所以a＋＝2，当且仅当a＝，即a＝1时等号成立，同理，b＋＝2，当且仅当b＝，即b＝1时等号成立，由乘法法则知≥2×2＝4，当且仅当a＝b＝1时等号成立， 14 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 故C正确；对于D，令a＋2＝m>2，b＋2＝n>2，则m＋n＝8，所以＝2，当且仅当m＝n＝4，即a＝b＝2时取等号，即的最小值是2，故D正确．故选BCD. 14 返回 ‹#› 7 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 2 7．(5分)若∀x>2，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值是_________． 解析：因为x>2，所以x－2>0，所以x＋＋2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝4时取等号，又不等式x＋≥a恒成立，所以a≤min，即a≤6，所以实数a的最大值为6. 答案：6 14 返回 ‹#› 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 2 8．(5分)现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费y1万元与仓库到车站的距离x千米的函数关系近似为y1＝；每月库存货物费y2万元与x的函数关系近似为y2＝x.这家公司应该把仓库建在距离车站_________千米处，才能使两项费用之和最少． 解析：因为y1＝x，所以总费用为y1＋y2＝(x＋1)－，当且仅当(x＋1)时等号成立，解得x＝4或x＝－6(舍)． 答案：4 14 返回 ‹#› 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 2 9．(5分)(2025·湖南株洲模拟)一个矩形的周长为l，面积为S，给出下列实数对：①(1，4)；②(6，8)；③(7，12)；④，其中可作为数对(S，l)的是________(填序号)． 解析：设矩形的长，宽分别为x，y(x，y>0)，则x＋y＝，S＝xy，因为x＋y≥2，当且仅当x＝y时，等号成立，所以，即l2≥16S.将四组实数对逐个代入检验可知，可作为数对(S，l)的为①(1，4)，③(7，12)． 答案：①③ 14 返回 ‹#› 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10．(13分)已知正数x，y满足x＋2y＝1. (1)当x，y取何值时，xy有最大值？ (2)若≥3a恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)因为正数x，y满足x＋2y＝1， 由基本不等式得x＋2y＝1≥2，解得xy≤， 当且仅当x＝2y，即x＝时，等号成立， 故xy的最大值为. 14 返回 ‹#› 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 (2)要想≥3a恒成立，只需min≥3a， 正数x，y满足x＋2y＝1， 所以＝(x＋2y)＝1＋4＋＝9， 当且仅当，即x＝y＝时，等号成立， 故9≥3a，解得a≤2， 所以实数a的取值范围是(－∞，2]. 14 返回 ‹#› 11 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 11．(13分)某医院为改善医疗技术，2024年初以72万元的价格购进一套医疗设备．已知该套医疗设备每年获得的总收入为40万元，使用x(x∈N*)年后所需要的各种维护费用总计为(2x2＋8x)万元，2024年为第一年． (1)写出该套医疗设备的利润函数f(x)的表达式，并求f(x)的最大值； (2)第几年后，该套医疗设备的年平均利润最大？ 14 返回 ‹#› 11 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 解：(1)f(x)＝40x－(2x2＋8x＋72)＝－2x2＋32x－72，x∈N*， 因为f(x)＝－2(x－8)2＋56，所以当x＝8时，f(x)取最大值56. (2)年平均利润为y＝＝－2＋32≤－2×32＝8，当且仅当x＝，即x＝6时取等号，故第六年后平均利润最大． 14 返回 ‹#› 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 12．(2025·吉林延边一模)已知正实数x，y满足x＋y－xy＝0，且不等式x＋y－a>0恒成立，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B．(－∞，8) C．(－∞，6) D．(－∞，4) 解析：B　因为正实数x，y满足x＋y－xy＝0，所以，则x＋y＝2(x＋y)＝2≥8，当且仅当x＝y＝4时取等号，因为不等式x＋y－a>0恒成立，所以a<8.故选B. 14 B 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13．(5分)对一切x，y>0，都有5x＋12≤a(x＋y)，则实数a的最小值是________． 解析：因为x，y>0，所以≤a，所以a≥max，又＝9，当且仅当y时，取等号，所以a≥9，所以实数a的最小值是9. 答案：9 14 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 14．(15分)随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来持续增长．某市一家医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)＝x∈N*，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． 13 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 (1)写出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数解析式(利润＝销售收入－成本)； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 解：(1)由题意可得W(x)＝ x∈N*，所以W(x)＝ x∈N*. 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 (2)当0<x≤40时，W(x)＝－2x2＋140x－400， 当x＝35时，W(x)取最大值，W(35)＝2050(万元)； 当40<x≤100时，W(x)＝－x－＋1700＝－＋1700≤－2＋1700＝1580，当且仅当x＝60时，等号成立， 因为2050>1580，故当该产品的年产量为35台时，所获年利润最大，最大年利润为2050万元． 返回 ‹#› 1．5　基本不等式的综合应用 点击进入WORD文档 按ESC键退出全屏播放 返回 ‹#› $