1.4 基本不等式(课件PPT)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”专题，依据课标要求梳理了公式、成立条件及最值应用核心考点，通过高考改编题（如人A必修一P49T5）和2025-2026年模拟题分析，明确直接法、配凑法等四大常考题型占比，构建完整解题体系，对接高考评价体系。 课件亮点在于“考点突破+真题训练+易错警示”策略，如配凑法解决“ax(c-bx)”型问题，常数代换法处理“已知x+y=t求a/x+b/y”，培养数学思维与运算能力。设诊断自测辨析易错点，限时训练提升实战技巧，助力学生高效得分，教师可据此精准教学。

1．4　基本不等式 返回 ‹#› 1．掌握基本不等式．　2.能用基本不等式解决简单的最值问题． [课标解读] 返回 ‹#› 1 聚焦·必备知识 3 限时规范训练　 栏 目 导 引 2 突破·核心考点 返回 ‹#› 聚焦 ·必备知识 1．基本不等式： a>0,b>0 a＝b 不小于 返回 ‹#› 2．利用基本不等式求最值问题 已知x＞0，y＞0，则 (1)如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有_________2(简记：积定和最小)． (2)如果和x＋y是定值S，那么当且仅当_______时，积xy有_________(简记：和定积最大)． 最小值 x＝y 最大值 返回 ‹#› 常用结论 灵活应用两个基本不等式的变形公式 (1)≥2(a，b同号，当且仅当a＝b时，等号成立)．(应用见例1(1)) (2)若a>0，b>0，则，当且仅当a＝b时，等号成立．(应用见限时规范训练T2) 返回 ‹#› 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)不等式ab≤2与≥ 成立的条件是相同的．(　　) (2)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) (3)函数y＝sin x＋，x∈的最小值是4.(　　) (4)“x>0且y>0”是“≥2”的充要条件．(　　) × × × × 返回 ‹#› 2．(人A必修一P49T5改编)已知x>0，则1－2x－的最大值为__________． 解析：因为x>0，所以2x＋＝8，当且仅当2x＝，即x＝2时等号成立，所以1－2x－＝1－≤1－8＝－7，即1－2x－的最大值为－7. 答案：－7 返回 ‹#› 3．(人A必修一P58T5改编)已知a>0，b>0，若ab＝a＋b＋1，则ab的最小值为__________． 解析：由a>0，b>0，得ab＝a＋b＋1≥2＋1，且ab>1，当a＝b＝1＋时取等号，则2－2－1≥0，解得，即的最小值为1＋，所以ab的最小值为3＋2. 答案：3＋2 返回 ‹#› 4．(人A必修一P46例3改编)用一段长为16 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长10 m，则能围成的菜园面积的最大值为________m2. 解析：设矩形菜园的长为x m(0<x≤10)，宽为y m，可得x＋2y＝16，则围成的菜园的面积S＝xy＝·2＝×64＝32，当且仅当x＝2y即x＝8，y＝4时等号成立，所以围成菜园的最大面积为32 m2. 答案：32 返回 ‹#› 例1　(1)x∈R，且下列式子有意义，则下列代数式中最小值为2的是 (　　) A．x＋　　　　　 B．2x＋2－x C．x2＋ D． 突破 ·核心考点 考点一 直接法求最值 B 返回 ‹#› 解析：B　对于A，当x<0时，x＋<0，故A错误；对于B，易知2x>0，因为2x＋2－x＝2x＋＝2，当且仅当2x＝，即x＝0时取等号，故B正确；对于C，易知x≠0，所以x2>0，则x2＋＝4，当且仅当x2＝，即x＝±时取等号，故C错误；对于D，易知，又＝2，当且仅当时取等号，但无解，所以>2，故D错误．故选B. 返回 ‹#› (2)若正实数x，y满足xy＋x＋y＝3，则x＋y的最小值为(　　) A．1　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：B　因为正实数x，y满足xy＋x＋y＝3，又xy≤2，则xy＝3－(x＋y)≤，当且仅当x＝y时取等号，设x＋y＝t，则t>0，代入整理可得t2＋4t－12≥0，解得t≤－6或t≥2，又t>0，故t≥2，故当x＝y＝1时，x＋y取得最小值为2.故选B. B 返回 ‹#› 利用基本不等式求最值时要注意三点 (1)各项均为正． (2)寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)． (3)考虑等号成立的条件是否具备． 返回 ‹#› 跟踪训练1　(1)已知－3<x<0，则y＝x的最小值为(　　) A．－ B． C．－ D．不存在 解析：A　由于－3<x<0，则9－x2>0，故y＝x，当且仅当x2＝9－x2，即x＝－时取等号，即y＝x的最小值为－.故选A. A 返回 ‹#› (2)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________． 解析：因为xy＝1，所以x2＋2y2≥2，当且仅当x2＝2y2，且xy＝1时，等号成立． 答案：2 返回 ‹#› 例2　(1)已知0<x<，则函数y＝x(1－3x)的最大值为(　　) A．　　　　　 B． C． D． 解析：A　当0<x<时，y＝x(1－3x)＝·3x·(1－3x)≤·2＝，当且仅当3x＝1－3x，即x＝时等号成立，所以当0<x<时，y＝x(1－3x)的最大值为.故选A. 考点二 配凑法求最值 A 返回 ‹#› (2)函数y＝(x<－1)的最大值为(　　) A．3 B．2 C．1 D．－1 解析：D　因为y＝ ＝ ＝－＋1 ≤－2＋1＝－1，当且仅当x＋1＝＝－1，即x＝－2时等号成立．故选D. D 返回 ‹#› 利用配凑法求最值，主要解决形如“cx＋d＋或ax(c－bx)的最值”问题，配凑成“积为常数”或“和为常数”的形式． 返回 ‹#› 跟踪训练2　(1)已知0<x<2，求 的最大值为(　　) A． B． C． D． 解析：B　因为0<x<2，所以x>0，1－>0，所以，当且仅当，即x＝1时等号成立，因此的最大值为.故选B. B 返回 ‹#› (2)已知x>1，y>0，x＋y＝2，则(x－1)·y的最大值是________． 解析：因为x>1，y>0，x＋y＝2，所以x－1>0，(x－1)＋y＝1，可得(x－1)·y≤，当且仅当x－1＝y，即x＝时，等号成立，所以(x－1)·y的最大值是. 答案： 返回 ‹#› 例3　(1)(2026·河北石家庄月考)已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则的最小值是(　　) A．4＋1 B．4 C．5 D．4 解析：C　因为a＋b＝2，所以＋1＝5，当且仅当，即b＝2a＝时，等号成立．故选C. 考点三 常数代换法求最值 C 返回 ‹#› (2)(2025·山西吕梁一模)正数x，y满足x＋y＝xy，则x＋9y的最小值是__________． 解析：由正数x，y满足x＋y＝xy，得＝1，则x＋9y＝(x＋9y)＝10＋＝16，当且仅当，即x＝3y＝4时取等号，所以x＋9y的最小值是16. 答案：16 返回 ‹#› 常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为·，再用基本不等式求最值． 返回 ‹#› 跟踪训练3　(1)设m，n∈(0，＋∞)，且m＋2n＝1，则的最小值为 (　　) A．10 B．9 C．8 D．7 解析：B　因为m，n∈(0，＋∞)，且m＋2n＝1，所以＝(m＋2n)＝5＋＝9，当且仅当，即m＝n＝时取等号，所以的最小值为9.故选B. B 返回 ‹#› (2)已知m，n∈(0，＋∞)，＋n＝4，则m＋的最小值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：B　∀m，n∈(0，＋∞)，m＋＝＝4，当且仅当mn＝，且＋n＝4，即m＝1，n＝3时等号成立，则m＋的最小值为4.故选B. B 返回 ‹#› 例4　(苏教必修一P61习题T2改编)已知a>0，b>0，且ab＝1，则的最小值是________． 解析：法一：由ab＝1可得b＝，所以≥ 2＝4，当且仅当a＋，即a＝1，b＝1时，等号成立，故min＝4. 考点四 消元法求最值 返回 ‹#› 法二：由题意，＝4，当且仅当a＋b＝，即a＝b＝1时，等号成立，所以min＝4. 答案：4 返回 ‹#› 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，然后利用基本不等式求最值． 返回 ‹#› 跟踪训练4　关于x的方程x2－ax＋b－1＝0有两个相等的正根，则 ( ) A．有最大值　　　　 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 B 返回 ‹#› 解析：B　因为关于x的方程x2－ax＋b－1＝0有两个相等的正根， 所以所以b＝＋1，a>0，所以，当且仅当a＝b＝2时取等号，所以有最大值.故选B. 返回 ‹#› 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 1 2 (建议用时：45分钟　分值：72分)   1．给出条件①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使ab＋≥2成立的条件有(　　) A．1个　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 解析：C　由基本不等式可知，要使ab＋≥2成立，则ab>0，所以a，b同号，所以①③④均可以．故选C. 限时规范 训练4　基本不等式 14 C 返回 ‹#› 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2．(2025·广东汕头一模)已知a>0，b>0，a＋b＝4，则ab的最大值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．不存在 解析：C　由基本不等式得：ab≤2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，C正确．故选C. 14 C 返回 ‹#› 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 3．(2026·河南濮阳一模)已知x>1，则4x＋的最小值为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：C　由x>1得x－1>0，4x＋＝4(x－1)＋＋4＝8，当且仅当4(x－1)＝，即x＝时，等号成立，故4x＋的最小值为8.故选C. 14 C 返回 ‹#› 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 12 13 11 4．若x<0，则的最大值是(　　) A．2 B．－2 C．4 D．－4 解析：B　因为x<0，所以1－x>0，＋2＝2≤－2＋2＝－2，当且仅当1－x＝，即x＝－1时，等号成立．故选B. 14 B 返回 ‹#› 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 11 5．(2025·黑龙江佳木斯三模)已知正数x，y满足2x·4y＝4xy，则2x＋y的最小值是(　　) A．2 B．9 C． D．13 解析：C　由2x·4y＝4xy，则2x·22y＝22xy，即x＋2y＝2xy，则＝1，所以2x＋y＝(2x＋y)＝，当且仅当，即x＝y＝时等号成立，所以2x＋y的最小值是.故选C. 14 C 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 6．已知x，y>0，那么的最大值为(　　) A．2 B． C．3 D． 解析：B　由题可知：2＝，由基本不等式可得x＋y≥2，故2＝1＋≤1＋1＝2，当且仅当x＝y时取得最大值，故.故选B. 14 B 返回 ‹#› 7 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 2 7．(2025·河南周口二模)已知m>0，n>0，且m＋＝1，则当n＋取得最小值时，＝(　　) A．3－4 B． C．2－2 D．1 解析：A　已知m>0，n>0，且m＋＝1，所以＝mn＋1＋2＋＋3，当且仅当mn＝时，即n＝时，n＋取得最小值，则－4.故选A. 14 A 返回 ‹#› 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 2 8．(2025·云南昆明模拟)已知x>0，y>0，且x＋y－xy＋8＝0，则xy的最小值为(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析：C　由题意可知xy＝x＋y＋8≥2＋8，即xy－2－8≥0，令＝t(t>0)，则t2－2t－8≥0，解得t≥4或t≤－2(舍)．即≥4，xy≥16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立．故选C. 14 C 返回 ‹#› 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 2 9．(多选)在下列函数中，最小值是2的函数有(　　) A．f(x)＝x2＋ B．f(x)＝cos x＋ C．f(x)＝ D．f(x)＝3x＋－2 14 AD 返回 ‹#› 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 2 解析：AD　对于A，因为x2＞0，所以由基本不等式可得x2＋≥2，当且仅当x2＝，即x＝1或x＝－1时，等号成立，故A正确；对于B，因为0<x<，所以0＜cos x＜1，由基本不等式可得cos x＋≥2，当且仅当cos x＝，即cos x＝1时，等号成立，但是cos x取不到1，所以等号不能成立，故B错误；对于C，由基本不等式可得f(x)＝≥2，当且仅当，即x2＝－2时，等号成立，显然不可能取到，故C错误；对于D，因为3x＞0，所以由基本不等式可得f(x)＝3x＋－2＝2，当且仅当3x＝，即x＝log32时，等号成立，故D正确．故选AD. 14 返回 ‹#› 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10．(多选)设正数x，y满足2x＋y＝1，则下列选项正确的是( 　　) A．2xy的最大值为 B．4x2＋y2的最小值为 C．3x(x＋2y)的最大值为2 D．的最小值为1＋2 14 ABD 返回 ‹#› 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 解析：ABD　对于A，1＝2x＋y≥2，得2xy≤，当且仅当y＝2x且2x＋y＝1，即x＝时，2xy取得最大值，为，故A正确；对于B，4x2＋y2＝(2x＋y)2－4xy＝1－4xy≥1－2×，当且仅当x＝时，，故B正确；对于C，3x(x＋2y)≤2＝(2x＋y)2＝1，当且仅当3x＝x＋2y，即x＝y＝时，3x(x＋2y)取得最大值，为1，故C错误；对于D，＋1，当且仅当，即x＝－1时，取得最小值，为2＋1，故D正确．故选ABD. 14 返回 ‹#› 11 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 11．(5分)(2025·四川眉山模拟)已知a，b∈R＋，4a＋b＝1，则的最小值是________． 解析：因为a，b∈R＋，4a＋b＝1，故＝(4a＋b)＝5＋＝9，当且仅当，且4a＋b＝1，即a＝时等号成立，即的最小值为9. 答案：9 14 返回 ‹#› 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 12．(5分)已知x>0，y>0，且x2＋3xy－2＝0，则2x＋y的最小值是__________． 解析：因为x>0，y>0，x2＋3xy－2＝0，所以y＝，则2x＋y＝2x＋，当且仅当，即x＝时，取等号． 答案： 14 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13．已知x>0，y>0，x＋＝1，则的最小值为(　　) A． B．5 C．2＋2 D．2＋ 14 C 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 解析：C　由题意得x＝1－，且x>0，y>0，所以y>2，所以＋(y－2)－＝2＋(y－2)＋， 当且仅当y－2＝，即y＝2＋时取等号，所以的最小值为2＋2.故选C. 14 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 14．(5分)(2025·陕西西安模拟)已知实数a>0，b>2，且，则2a＋b的最小值是________． 13 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 解析：因为a>0，b>2，且，所以＝1，所以 2a＋b ＝[2(a＋1)＋(b－2)]＝4＋4＋敲黑板：当两个变量为正实数，有一个代数式的值已知，求另一个代数式的最值问题时，根据任意数乘1数值不变的性质，将已知式和所求式相乘，转化成互为倒数式之和的形式，然后再使用基本不等式求最值，当且仅当，即b－2＝2(a＋1)，即a＝3，b＝10时，等号成立，故2a＋b的最小值是16. 答案：16 返回 ‹#› 1．4　基本不等式 点击进入WORD文档 按ESC键退出全屏播放 返回 ‹#› $