江西景德镇市乐平市第四中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

**基本信息** 高二数学期末卷聚焦数列、导数、概率统计核心知识，通过体育锻炼调查等实际情境与导数应用等数学建模，考查数学抽象、逻辑推理与数据意识，层次分明适配期末综合测评。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|等差/等比数列、导数几何意义|基础巩固，如第1题等差数列基本量计算| |多选|3/18|正态分布、超几何分布、数列性质|能力辨析，如第10题多分布期望方差判断| |填空|3/15|数列求和、切线方程、极值条件|细节应用，如第13题过点切线分类讨论| |解答|6/77|概率全概公式、导数单调性、独立性检验|综合创新，如第18题体育达标与性别关联分析|

乐平四中2025-2026学年度下学期高二数学期末考试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第IⅡ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟 第I卷（选择题共58分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.在等差数列{a.}中，a6=11,d一1，则a,等于（) A.-15 B.15 C.25 D.-25 2.若fx)=2xf(1)十x2,则f(0)等于() A.2 B.0 C.-4 D.-2 3.随机变量X~W2,o2),且P(X≤4)=0.8，则P(0≤X≤2)=( A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3 4.已知Sn是等比数列{a}的前n项和，若a2=2,ag=8a6,则S1o=（) A.1022 B.1023 C.1024 D.1025 5.设y=f(x)存在导数，且满足--@=1，则曲线y=f(x)在x=1处的切线 倾斜角为() A.30° B.45° C.135° D.120° 6.已知条件概率PBA)3,P(A)2则PAB)（) A君 B.3 c.月 D. 7.已知函数f(x)=x2-41nx,则f(x)的极小值为（) A.2-2n2 B.2-4ln2 C.4-2ln2 D.4-41n2 8.已知等差数列(a,,(b,}的前n项和分别为S,T,且(2n+3)S,nT,则5() A号 B时 c D 第1页共4页 二、多项选择题（每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，答错不给分) 9.已知函数f(x)=x3-4x2+(a+1)x的图象与x轴相切，则实数a的所有可能的值 为() A.-1 B.0 C.2 D.3 10.下列关于随机变量X的说法正确的是（) A.若x服从正态分布N(1,2),则D(2x+2)=4 B.已知随机变量x服从二项分布B(2,p),且P(x之1)号 随机变量Y服从正态分布N2,2),若P(Y<0)=品则P(2<Y<4)=子 C.若x服从超几何分布H(4,2,10),则期望EW= D.若x服从二项分布B(4,,则方差DW。 11.等差数列(a}的前n项和记为S,若a1>0,So=S2o,（) A.公差d<0 B.a16<0 C.S.≤S6 D.当且仅当Sn<0时n≥32 第Ⅱ卷（非选择题共92分) 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.数列(a}7,77,777…前n项和S= 13.过点M(1,1)且与曲线y=x+1相切的直线方程是 14.已知函数f(x)=x+3ax2+bx+a2在x=-1处取得极值0，则a°= 四、解答题（本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 第2页共4页 15.(13分)甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品 和3个次品. (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品， 求取出的这个产品是正品的概率. 16. （15分)已知等差数列{an}中，a2t6=14,S.为其前n项和，S=25. (1)求{an)的通项公式； ②)设b 求数列{bn}的前2026项和T2026 17.（15分)己知函数f(x)=x-3x2-9x+2。 (1)求函数f()的单调区间： (2)求函数f(x)在区间[-2,4]上的最值。 18.（17分)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对 该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查， 将收集的数据分成0.10.【10.20).[20.30.30.40).[40.50.30.60)六组，并作出频 率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为 “课外体育达标”. (1)请根据直方图中的数据填写下面的2：2列联表，并通过计算判断是否能 在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？ (2)现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8 人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育 不达标”的人数为5，求的分布列和数学期望， 第3页共4页 频率 组所 0.025 0.022 0.020 课外作自不达标课外体育达标合计 0.018 男 60 女 I10 0.010 合计 0.005 0102030405060分钟 附表及公式 P≥a) 0.15 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 ko 2.072 3.481 5.024 6.635 7.879 10.828 K2= n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,其中m=a+b+c+d 19.(17分)已知函数f(x)=xlnx-ax+1(a∈R)。 (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围。 第4页共4页 乐平四中2025-2026学年度下学期高二数学期末考试卷 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.在等差数列{an}中，a5=11，d=－1，则a1等于（ ） A．－15 B.15 C．25 D．－25 2．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于( ) A．2 B．0 C．－4 D．－2 3.随机变量，且，则（ ） A． B． C． D． 4.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若a2=2， a9=8a6 ，则S10 =（ ） A．1022 B．1023 C．1024 D．1025 5.设y=f (x)存在导数，且满足 ,则曲线y f (x)在x=1处的切线倾斜角为（ ） A．30 B．45 C．135 D．120 6.已知条件概率 P(B|A)=， P(A)=，则 P(AB)=（ ） A. B. C. D. 7.已知函数f(x)=x2-4lnx，则f(x)的极小值为（ ） A. 2-2ln2 B.2-4ln2 C. 4-2ln2 D. 4-4ln2 8.已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且(2n+3)Sn=nTn，则=（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，答错不给分） 9.已知函数f (x) x34x2(a1)x的图象与x轴相切，则实数a的所有可能的值为（    ） A． 1 B．0 C． 2 D．3 10.下列关于随机变量的说法正确的是（       ） A．若服从正态分布N(1,2)，则D(2x+2)=4 B．已知随机变量服从二项分布B(2,p)，且P(x)=， 随机变量服从正态分布N(2,)，若P(Y)=，则P(2)=, C．若服从超几何分布H(4,2,10)，则期望E(X)= D．若服从二项分布B(4,)，则方差D(X)=. 11. 等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1＞0，S10＝S20，（ ） A．公差d＜0 B．a16＜0 C．Sn≤S15 D．当且仅当Sn＜0时n≥32 第卷（非选择题共92分） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.数列{an}7,77,777……前n项和Sn= 。 13.过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程是 。 14.已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处取得极值0，则ab= 。 四、解答题（本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分）甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 16. （15分）已知等差数列{an}中，a2+a6 =14，Sn为其前n项和，S5 = 25. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn=，求数列 {bn} 的前2026项和T2026. 17.（15分）已知函数f(x)=x3-3x2-9x+2。 （1）求函数f(x)的单调区间； （2）求函数f(x)在区间[-2,4]上的最值。 18. （17分） 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位：分钟)进行调查，将收集的数据分成六组，并作出频率分布直方图(如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”. (1)请根据直方图中的数据填写下面的列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？ (2)现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查， 记“课外体育不达标”的人数为，求的分布列和数学期望. 19.（17分）已知函数f(x)=xlnx-ax+1（a∈R）。 （1）求f(x)的单调区间； （2）若f(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围。 参考答案与详细解析 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 答案:B． 解析：由题意得:a14da1411，解得:a1 15。故选B． 2. 答案:C　 解析：∵f(x)＝2xf′(1)＋x2，∴f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴f′(1)＝2f′(1)＋2，∴f′(1)＝－2， ∴f(x)＝－4x＋x2，∴f′(x)＝－4＋2x，∴f′(0)＝－4。故选：C 3. 答案： D． 解析：∵随机变量，则， 且，则， ∴。∴故选D． 4. 答案：B． 解析：设等比数列的公比为q(q 0) ，由题意可得 解得：，S10== =210-1=1023。故选 B． 5. 答案:C． 解析:设曲线 y f (x) 在 x 1处的切线倾斜角为，由 ,f′(1)= 1则曲线y f (x)在x 1处的斜率为1，则tan 1，0 180，解得 135。故选 C 6. 答案：A 解析：根据条件概率公式P(B|A)=，∴P(BA) =P(AB)= P(B|A).P(A)=。故选:A 7. 答案：A 解析：定义域(0,+∞)，f (x)=2x-，令f'(x)=0得2x=，2x2 =4，解得x=(x0)，当0x时，f (x)0，当x时，f (x)0，故x=是极小值点。f()=2-=2-4=2-ln2, 选A。 8. 答案：D 解析：(2n+3)Sn=nTn，得，又等差数列{an}的前n项和Sn的表达式满足Sn=an2+bn(a,b∈R), ∴数列(a≠0), ∴由此可设Sn=, Tn=,故，, 故选D 二、多项选择题（每小题5分，共20分） 9.答案：AD． 解析：设切点为 (x0,0)，求导，由f (x0) 3x 8xa1=0得a18x0 3x02， f (x0) x03 4x02 （a1）x0 x03 4x02 （8x0 3x02）x0= 2x02 (2 x0 ) 0，所以x0 0或x0 2．当x0 0时，a10，得a1； 当x0 2时， a 1 8 2 3 22 4，得a 3，所以 a 1或a3． 故选 AD． 10. 答案： CD 解析:A错，由于XN(1,2),D(X)=2，根据方差的性质，D(2X+2)=22D(X)=8, 故A错误； B错，X服从二项分布B~N(2，p),P(X)=P(X=1)+ P(X=2)=p(1-p)+p2=2p-p2=,解得p=，P(Y)=,根据正态分布的对称性可得，p(2)=,故B错误； C对，X服从超几何分布H（4,2,10），根据超几何分布的期望公式，E(X)==； D对，X服从二项分布B（4,），根据二项分布的方差公式得，D(X)=np(1-p)=4=. 11. 答案：ABC　 解析:因为 S10＝S20，所以a11＋a12＋…＋a19＋a20＝5(a15＋a16)＝0，又a1＞0，所以a15＞0，a16＜0，所以d＜0，Sn≤S15，故ABC正确；因为S31＝＝31a16＜0，故D错误．故选ABC. 三、填空题（每小题5分，共20分） 12. 答案： 解析：数列7,77,777……的通项公式an=(10n-1), Sn=(101-1)+(102-1)+ …(10n-1)=(101+102+…10n)-n] =[]=(= 13. 答案：y=1或27x-4y-23=0 解析：y′=3x2,设过M(1,1)的切线与曲线y=x3+1相切于点P(x0,x03+1),根据导数的几何意义，曲线在点P处的切线的斜k=3x02过M切点的斜率为,3x02=,解得x0=0或x0=，k=0或k=，因此曲线y=x3+1的切线方程为y-1=0或y-1=(x-1),即y=1或27x-4y-23=0。 14. 答案：512 解析：∵f(x)在x=-1处有极值，且f′(x)=3x2+6ax+b,,即,解得：，或.当时，f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2函数f(x)在R上为增函数，无极值，舍去；当时，f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),当x时，函数f(x)为减函数，当x时，函数f(x)为增函数，故函数f(x)在x=-1处取得极小值，所以a=2,b=9,ab=29=512. 四、解答题（共70分） 15（13分）(1) 从甲箱中任取2个都是次品的概率 甲箱共有5+3=8个产品，从8个中任取2个的总组合数为：=28,从3个次品中任取2个的组合数为：=3 因此从甲箱中任取2个都是次品的概率为：P=； (2)设Ak为“从甲箱中取出k个正品[（2-k）个次品]放入乙箱”（k=0,1,2），B为“从乙箱中取出的是正品”。 P(A0)=，此时乙箱有4个正品、5个次品，P(B|A0)=； P(A1)=，此时乙箱有5个正品、4个次品，P(B|A1)=； P(A2)=，此时乙箱有 6个正品、3个次品，P(B|A1)=； 由全概率公式： P(B) = P(A0)P(B|A0) + P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2)=+++= 16. （15分）解：(1)设等差数列{an}公差为d，a2+a6 = a1+d+a1+5d=2a1+6d=14①,S5 ==5a1+10d=25②.联立①，②解得a1=1，d=2，{an}的通项公式an=1+2(n-1)=2n-1. (2) bn=， T2026====. 17. （15分）解：（1）函数定义域为R，求导得： f(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1)。 令f(x)>0，得x<-1或x>3；令f(x)<0，得-1x。 故单调递增区间为(-∞,-1),(3,+∞)，单调递减区间为(-1,3)。（6分） （2）由（1）知，函数极值点为x=-1，x=3。 计算区间端点与极值点函数值： f(-2)=(-8)-12+18+2=0，f(-1)=-1-3+9+2=7， f(3)=27-27-27+2=-25，f(4)=64-48-36+2=-18。 故函数在[-2,4]上的最大值为7，最小值为-25。（12分） 18.（17分） 解： (1) 根据频率分布直方图计算“课外体育达标”（时间≥40分钟）的频率： [40,50) 频率：0.02010=0.2，[50,60) 频率：0.00510=0.05 达标总频率：0.2+0.05=0.25，达标总人数：2000.25=50，不达标总人数：200-50=150 已知女生合计110人，总人数200人，故男生合计：200-110=90人。 男生不达标60人，故男生达标：90-60=30人。达标总人数50人，故女生达标：50-30=20人。 女生不达标：110-20=90人。 列联表如下： 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 60 30 90 女 90 20 110 合计 150 50 200 计算卡方统计量： 2 = =6.061， 犯错误概率不超过0.01的临界值为0.012=6.635，因为6.0616.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关。 (2) 不达标与达标人数比为150:50 = 3:1，分层抽样抽取8人： 不达标人数：8=6人，达标人数：8=2人 表示抽取3人中“不达标”的人数，服从超几何分布，可取1,2,3： P(=1)=；P(ξ=2)=；P(ξ=3)= 分布列： ξ 1 2 3 P 数学期望：E(ξ) = 1 3==2.25 19.（17分） 解：（1）函数f(x)的定义域为(0,1)(1,)。 f(x)=-a+1，令f(x)=0得x=ea-1 由f(x)0得xea-1，由f(x)0得xea-1， 所以函数的单调递增区间为(ea-1,)，单调递减区间为(0, ea-1)。 （2）f(x)定义域：(0,1)(1,)。 f(x)=xlnx-ax+1恒成立，即f(x)min 由（1）得，f(x)min=f(ea-1)= ea-1ln(ea-1)-a ea-1+1=1-ea-1 令1-ea-1，得ea-1=e0,所以a-1 ,解得：a 所以，a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $