福建莆田市2025-2026学年下学期期末质量调研试卷高二数学

莆田市2025-2026学年下学期期末质量调研试卷 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在 本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1,若随机变量X服从二项分布B4,2: 则E(X)= A C.2 D.4 2.若函数f(x)=e+x,则f'(0)= A.0 B.1 C.2 D.e 3.若随机事件A,B满足P()=}P(B)=则P(4) A司 B. c D.g 4.在四面体OABC中，D是BC的中点，则AD= A.-04+-0B+0C B.04+10B-OC C.04-108-10C D.-04+10B+00 5.根据成对分类变量X与Y的样本观测数据，计算得到x2≈4.881，依据a=0.05的独立性检验， 可认为 A.变量X与Y相互独立，该推断犯错误的概率不超过0.05 B.变量X与Y相互独立，该推断犯错误的概率不超过0.01 C.变量X与Y不相互独立，该推断犯错误的概率不超过0.05 D.变量X与Y不相互独立，该推断犯错误的概率不超过0.01 附： 0.1 0.05 0.01 Xa 2.706 3.841 6.635 数学试题第1页（共4页） 6.若向量a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,k,-1)共面，则k= A.-1 B.0 C.1 D.2 7.若函数f(x)=lnx+ax2-2在区间 内存在单调递减区间，则实数α的取值范围是 A.（-∞，-8) B.（-0,-2) C.（-2,+o) D.(-8,+oo) 8.已知随机变量X服从正态分布N(0,),随机变量Y服从正态分布N(2,1),且满足 P(X<a=P(Y>b),P(X≥c+P(Y≥c)=1,则P(c<X<a+b)= (附：若5~N(4,o2),则P(u-o<5<u+o)=0.6827,P(-2o<5<4+2o)=0.9545, P(μ-3o<5<H+3o)=0.9973) A.0.1359 B.0.1573 C.0.2718 D.0.34135 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 10 9.已知线性相关的两个变量x,y的10对样本观测数据(x,y=1,23,,10)满足∑x=0, i=l 用最小二乘法得到y关于x的回归直线方程为y=2x+1;若剔除一个数据(9,10)后，剩下数 据的样本中心为(x,),其回归直线方程为y=2.8x+a,则 A.x=-1 B.y=-1 C.a=2.8 D.a=1.8 10.已知正方体ABCD-AB,C,D,的棱长为1，若AP=xAB+yAD+zAA(x,y,z∈[0，])，则 A.若x=z=1,则AP⊥CD B.若AP∥平面ABC,则点P轨迹的面积为因 C.若x+y+:=l,则AP的最小值为写 D.若x2+y2+2=2,则点P的轨迹与正方体表面交线的长度为3弧 11.已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),若x2f'(x)-1=x2f(x)-3lnx,且f四)=0， 则 A.2f3)<3f(2) B.f(N2)>f(3)>f(4) C.f(x)在x=√E处取得极大值 D.若方程f(x)=a有两个实数根，则实数a的取值范围是 -0,2e 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.曲线y=在点(，1)处的切线方程为 13.在直三棱柱ABC-AB,C中，AB=AC=AA,AB⊥AC,M为BC的中点，则直线AB,与 C,M所成角的余弦值为， 14.有4个尺寸不同的蛋糕，事先尺寸未知.现随机排列逐个呈现，按如下策略进行选择：拒绝 第一个蛋糕，之后选择首个比第一个大的；若第一个本身就是最大的，则选择最后一个.按 此策略选到最大尺寸蛋糕的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数f()=号”-am2+1在x=2处取得极值。 (1)求f(x)的单调区间： (2)求f(x)在区间[-1，]上的最大值和最小值， 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD,PA=√3， E为PD的中点， (1)证明：PB∥平面ACE; (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值. 17.(15分) 已知函数f(x)=e-ln(x+l)-2. (1)证明：f(x)≥-1： (2)若f≥m+21nx-1nx+)恒成立，求实数m的取值范围 数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,∠BAD=90°，AB=4,CD=1,AD=3,E,F分别 为边AD,BC上的动点，且EF∥AB.沿EF将梯形ABCD翻折，使平面CDEF⊥平面ABFE, 且AC⊥BE. (1)求DE的长： (2)求平面BCE与平面BCF所成角的余弦值； (3)若四面体ABCE的四个顶点都在球O上，求三角形OEF的面积. B 19.(17分) 某通信系统包含n个信号节点A,A2,A,…,A,（n≥2)，它们通过n-1条光纤依次连接，光纤 支持双向信号传输.每条光纤因故障信号传输中断的概率为p(0<p<1),各光纤故障与否相 互独立.两端节点A,A作为信号源分别发送信号，其余中间节点仅可经光纤通路接收信号， (1)若每个节点正常工作的概率为g>),且每个节点是否正常工作相互独立， 设X为n个信号节点正常工作的节点数， (i)求P(X=0),P(X=I): (i)证明：对任意自然数m,都有(1+g)”1+mg. (2)已知每个节点均正常工作. ()求所有节点都有信号的概率（结果用P表示）； (ii)当n=100时，若对任意p∈(0，)，均可从A2,A,A4,…,A9中适当选取k个节点作 12 为新增信号源，使得所有节点都有信号的概率大于e-p(其中e=2.718…是自 然对数的底数)，求正整数k的最小值， 数学试题第4页（共4页） 莆田市2025-2026学年下学期期末质量调研测试 高二数学试题参考解答及评分标准 评分说明： 1.本解答给出了·种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分标准制定相应的评分细则， 2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半： 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分， 3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.单项选择题和单空填空题不给中间分. 一、选择题：每小题5分，满分40分. 题号 4 5 6 7 8 答案 C A D C B B A 二、选择题：每小题6分，满分18分.（本题为多项选择题，每小题中，全部选对得6分，部 分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 AC ABD ABC 三、填空题：每小题5分，满分15分. 12.x+y-2=0 13.5 6 数学答案第1页（共8页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15,本小题主要考查函数与导数的应用等基础知识；考查推理论证，运算求解等能力：考查函 数与方程，化归与转化等数学思想；考查逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性和 综合性.满分13分， 解：)因为/)=写-m2+1,所以r闪=2-2ax …1分 因为∫(x)在x=2处取得极值，所以f"(2)=0,… …2分 即4-4a=0,解得a=1,…3分 所以()=写2-+1，f)=-2x=xk-2到. …4分 令f'(x)=0,得x=0或x=2, 当0<x<2时，f'(x)<0,所以f(x)在(0,2)上单调递减：…5分 当x<0或x>2时，f'(x)>0,所以f(x)在(-∞，0)和(2，+∞)上单调递增…6分 所以∫(x)的单调递增区间为(-∞，0)和(2，+∞)，单调递减区间为(0,2).…7分 (2)由(1)知，f(x)在[-1,0)上单调递增，在(0，上单调递减， …8分 所以（似的最大值为f0)=×02-02+1=1.… …9分 因为-=×-°-(-+1=写 …10分 f0=x-+1=写 11分 所以∫()的最小值为-弓 12分 所以f()在区间-1，上的最大值为1，最小值为- 13分 16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，直线与平面所成的角等基础知识： 考查空间想象，逻辑推理，运算求解等能力：考查化归与转化，数形结合等数学思想：考 查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养：体现基础性和综合性.满分15分， 解：(1)证明：连接BD交AC于O,连接OE, … …】分 因为四边形ABCD是正方形，所以O为BD的中点.… …2分 又因为E为PD的中点，所以OE∥PB.… …3分 又OEC平面ACE,PB文平面ACE, …4分 所以PB∥平面ACE.… …5分 (2)如图，以A为原点，分别以AB,AD,AP的方向为x轴、y轴、轴的正方向， 建立空间直角坐标系， … …6分 数学答案第2页（共8页） 则P(0,05,B(1,0,0),C(L1,0）,D(0,10),…7分 所以PB=(1,0,-√3)，PD=(0l,-V3),DC=(L0,0).…9分 设n=(x,》,z)是平面PCD的法向量， 0。 …10分 取：=1，得y=√3，所以n=(0,V5, 11分 设直线PB与平面PCD所成的角为O, 则sing=bos<PE,n> PB-n P®网 12分 0+0- 13分 2×2 …14分 4 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为5 15分 17.本小题主要考查不等式，函数与导数的应用等基础知识；考查推理论证，运算求解等能力： 考查函数与方程，分类与整合，化归与转化等数学思想：考查逻辑推理，数学运算等核心 素养：体现基础性，综合性和创新性.满分15分. 解：（1)证明：因为函数f(x)=e-ln(x+)-2的定义域为(-l+∞)，…1分 又fr=-中e国-e+ x+02>0,…▣ …2分 所以f'(x)在(-1，+∞)上单调递增，又'(0)=0， …3分 所以当-1<x<0时，f'(x)<0:当x>0时，f'(x)>0 …4分 所以f(x)在(-1,0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增… …5分 所以当x=0时，f(x)取得最小值f(0)=-1,所以f(x)≥-1.… 6分 (2)因为/)=c-1n+l)-2≥m+2nx-1nx+）对xe0,+o)恒成立， 所以m≤xe*-2x-2lnx对x∈(0，+∞)恒成立 令g(x)=e*-2x-2lnx,x∈(0，+o),则… …7分 解法-：g倒=e+心2-2-子=6低+e-到 ……8分 令hM)=e-2（x>0),则()在(0，+o上单调递增9分 数学答案第3页（共8页） 又分=-4<0,0)=e-2>0, …10分 所以或行，使得)-0，即e=是 ,x=ln2-lnx0.…1l分 所以当0<x<x时，h(x)<0,即g'(x)<0:当x>x时，h(x)>0,即g'(x)>0.…12分 所以g(x)在(0，x)上单调递减，在(o,+∞)上单调递增…13分 所以8(=g6)=e-2x-2n,=6元2-20m2-%上2-2h24分 所以m≤2-21n2,所以n的取值范围为(-o,2-2ln2].…15分 g)=e2+xe-2-,g1)=2e+xe2+3>0, 所以g(x)在(0，+∞)上单调递增. …9分 又g0=28-4=24e-2到>0，g2=3-6=6-到<0，…10分 2 2 所以式e别，使得g)=0,即e+e-2-弓-0，即0+Xe-是=0， 2 所以e6=2,X。=lh2-lnX。..11分 所以当0<x<x时，g'(x)<0;当x>。时，g'(x)>0.…12分 所以g(x)在(0，x)上单调递减，在(x,+∞)上单调递增.…13分 所以8-gk)=xe-2点-2h,=5名2点-20n2-%上2-2n214分 所以m≤2-2ln2,所以m的取值范围为(-∞，2-2ln2].… …15分 解法三：因为g(x)=xe-2x-2lnx=erw-2x+lnx),…9分 令1=x+lnx,则g(x)=h(I)=e'-2(1∈R),…10分 所以h(0=e'-2.…11分 由h'(t)<0得1<ln2:由h(t)>0得t>ln2.… …12分 所以h()在(-o,ln2)上单调递减，在(n2,+∞)上单调递增.…13分 所以g(x)mn=h0)mn=h(lh2)=2-2ln2.…14分 所以m≤2-2ln2,所以m的取值范围为(-∞，2-2ln2].…15分 18.本小题主要考查直线与直线、直线与平而、平面与平面的位置关系，两个平面所成的角， 点到直线的距离，球等基础知识；考查空间想象，逻辑推理，运算求解等能力；考查化归 与转化，数形结合等数学思想：考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现综 数学答案第4页（共8页） 合性和创新性.满分17分. 解：(1)由题意可得DE⊥EF,AE⊥EF, 又因为平面CDEF⊥平面ABFE,平面CDEF∩平面ABFE=EF,DEC平面CDEF, 所以DE⊥平面ABFE,所以EA,EF,ED两两互相垂直.…1分 如图，以E为原点，分别以EA,EF,ED的方向 为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系 设DE=1(0<1<3),则E(0,0,0),A(3-1,0,0), B B(3-1,4,0),C(0,1,), 2分 所以AC=(t-3,1,),BE=(1-3,-4,0), …3分 因为AC1BE,所以AC.BE=(1-3)}-4=0,解得1=1或1=5（舍去)， 所以DE=l.… 4分 (2)由(1)得，DE=1,易得EF=2, …5分 则E(0,0,0)，A(2,0,0),B(2,4,0)，F(0,2,0)，C(0,1,), 所以EC=(01,),EB=(2,4,0),CF=(01,-),BF=(（-2,-2,0), …6分 设m=(G水，)是平面BCE的法向量，则m氏=%+=0， 即5=-， …7分 m.EB=2x1+4y=0. x=-2y 取y=-,得x=2,,=1，则m=(2,-1,1)… …8分 设n=(x2,2,2)是平面BCF的法向量，则 nCF=y2-52=0, 即5=为，…9分 n.BF=-2x2-2y2=0.x3=-2 取y2=1,得为=-1,22=1，则n=(-11,)… …10分 设平面BCE与平面BCF所成的角为0， 则c0s0=lcos<m,n>= m4_-2-1+_2 m风6×33 所以平面BCE与平面8CF所成角的余弦值为互 …11分 (3)解法一：设点O(x,y,z),OE=O4=B=C得…12分 x2+y2+z2=(x-2)2+y2+z2=(x-2)2+(y-4)2+z2=x2+(y-1)2+(2-1)2,…13分 数学答案第5页（共8页） x=1, 解得 y=2,即0（儿，2，-l).…14分 z=-1. 所以E0=(1,2,-1),又EF=(0,2,0), EO.EF 所以点O到直线EF的距离d=, …15分 E 所以三角形0EF的面积Ss=)Ed=号×2×2=反…17分 解法二：因为∠BAE=90°，所以Rt△ABE的外接圆圆心O,为斜边BE的中点， 即O(儿，2,0).…12分 因为四面体ABCE的四个顶点都在球O上，所以OO,⊥平面ABFE,所以设O(I,2,), 由0吲=0C得12+22+2=1户+12+(-1)2，…13分 解得0=-1，所以O(们，2，-1).…14分 下同解法一 19.本小题主要考查事件的独立性，二项分布，概率的运算，导数的应用等基础知识；考查运 算求解，推理论证等能力；考查分类与整合，概率与统计等数学思想；考查逻辑推理，数 学运算，数据分析，数学建模等核心素养；体现基础性，综合性与应用性.满分17分 解：wDPx=0-cg0-4g0+ 2分 Px-0-cgg =ng …4分 (1+g) (ii)解法一：当n≥2时，P(X=0)+P(X=1)<1,，…5分 所以+9<1，即(1+g)”>1+g,所以当m≥2时，有(1+9)”>1+mg.…6分 (1+g” 数学答案第6页（共8页） 当m=0时，(1+g）=1=1+mg;…7分 当m=1时，(1+g）=1+g=1+mg…8分 综上，对任意自然数m,都有(1+q"≥1+mg, 解法二：当m≥2时，由二项式定理得(1+g)"=1+C9+…+Cg”>1+mg:…6分 当m=0时，（自+g）=1=1+mg;…7分 当m=1时，（1+q）"=1+9=1+mg… …8分 综上，对任意自然数m,都有(1+q)1+mg. (2)(i)设n-1条光纤故障的数目为Y,则 P(Y=0)+P(Y=1）=C9(0-p)+CWp0-p)-2…10分 =(1-p)-2[1-p+(n-)p]=(1-p)m-2[1+(n-2)p]…11分 所以所有节点都有信号的概率为(1-p)-2[1+(n-2)p], (i)k+2个信号源将99条光纤分成了k+1段，设第i段光纤数为m, 记事件B=“第i段内所有节点都有信号”(1=1,2,5k+1),且B,B2,,B,相互独立，则 P(B,)=C%(I-p)"+Cp1-p)=-p)-[+(m-1)p], …12分 设x,=m,-1(=1,2,…,k+1),则 艺=9，登-2m-0总-+0=9-k+=98- k+ 记事件B=“所有节点都有信号”，则P(B)=P(B,B2…Bk)=P(B,)P(B)…P(BkH)） =（-p)8*(1+xp)1+x3P)…(1+xP）, …13分 问题转化为存在某种选取方式使得P(®到>e亭成立，即P(©)>e号. 由(1)得P(B)≤(l-p)*1+p0+p…1+p=1-p-*1+p%---p2)%-, 数学答案第7页（共8页） 当且仅当X=0或1时取等号.… …14分 当98-k≤k+1,即k≥49时，令其中98-k个x取1，其余x取0， 则P()的最大值为1-p): 当98-k>k+1,即k≤48时，则存在某个x,≥2，使得(1+xp)<(1+p)广， 则P(B)<-p) 所以P(B)≤(-p) …15分 令peQ0-p)≥c立，两边同取对数得(08-加0-p号。 12 则8-k≤-0-p)n(0-P) 令1=1-p,则1e0,,有8-k≤2，则≥8+2在1e0)上恒成立， dpe dnt 记f()=ln,t∈(0,1)，则f'()=lm+1, 当e0,3时，f0<0,当er0>0, 所以0在0，日单调递减，在（很 单调递增 所以0时（目=日 ……16分 所以k≥98-12e≈65.384，又k∈N',所以k≥66 当k≥49时，满足题意的k的最小正整数为66： 当<48时，则存在p0,使得P叫8)<-p<e片，不满足题意 综上，k的最小正整数为66. …17分 数学答案第8页（共8页）