2.4 用一元二次方程解决问题（第2课时）（教学课件）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，核心讲解连续两次平均增长率（降低率）模型及动态运动问题转化，课堂导入通过知识回顾列方程步骤与矩形面积问题，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点是以实例驱动教学，通过药品降价、缉私艇拦截等问题，培养数学眼光（几何直观）、数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识），采用化动为静、双重检验等方法，课堂小结系统梳理步骤与模型，助力学生提升问题解决能力，教师可高效备课。

2.4 用一元二次方程解决问题（2） 第二章 一元二次方程 学 习 目 标 1 2 理解“连续两次平均增长率(降低率)”问题的数量关系，能正确列出形如a (1±x) 2＝b的一元二次方程并求解． 能够将直角三角形中的动态运动问题转化为勾股定理方程，建立一元二次方程模型． 3 会根据实际情境检验方程根的合理性，舍去不合题意的解． 知识回顾 1．列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么？ 审题→设元→列方程→解方程→检验→作答 矩形面积类实际问题．除了常规的“负数根无意义需舍去”外， 特别要注意，超出实际图形尺寸范围的正数根也必须舍去． 2．上节课我们解决了哪些类型的问题？在解的取舍方面要注意什么？ 例题讲解 例2 某种药品原价 125 元/盒，经过连续两次降价，现价格为 80 元/盒，这种药品平均每次降价的百分率是多少？ 分析：① “连续两次降价”是什么意思？ ② 如果平均每次降价的百分率是 x，第一次降价后的价格如何表示？ ③ 第二次降价是在哪个价格基础上进行的？如何表示？ ④ 这个问题的等量关系是什么？ 原价 第一次降价后的售价 第二次降价后的售价 例题讲解 例2 某种药品原价 125 元/盒，经过连续两次降价，现价格为 80 元/盒，这种药品平均每次降价的百分率是多少？ 设这种药品平均每次降价的百分率是 x ，可以列表分析如下： 125 元/盒 125 (1－x) 元/盒 125 (1－x)2 元/盒 等量关系：两次降价后价格＝现价 例题讲解 例2 某种药品原价 125 元/盒，经过连续两次降价，现价格为 80 元/盒，这种药品平均每次降价的百分率是多少？ 解：设这种药品平均每次降价的百分率是 x． 根据题意，得 125(1－x)²＝80． 解这个方程，得 x1＝0.2＝20%， x2＝1.8 (不合题意，舍去)． 答：这种药品平均每次降价的百分率是2 0%． 注意：变化率 0＜x＜1，大于1的根无实际意义，必须舍去． 💡 连续两次下降模型： 原量×(1一变化率)2＝现量． 新知巩固 1．某种帆布鞋原价每双160元，经过两次降价，现售价每双102.4元． 求该种帆布鞋平均每次降价的百分率． 解：设这种帆布鞋平均每次降价的百分率是 x． 根据题意，得 160(1－x)²＝102.4． 化简，得 (1－x)²＝0.64 解这个方程，得 x1＝0.2＝20%， x2＝1.8 (不合题意，舍去)． 答：这种帆布鞋平均每次降价的百分率是 20%． 新知巩固 2．某农场的粮食产量在两年内从 3 000t 增加到 3 630 t，平均每年增产的百分率是多少？ 分析：这道题与“药品降价”问题有什么相同点和不同点？ 相同：都是连续两次变化； 不同：药品是降价（降低率），粮食是增产（增长率） 💡 连续两次增长模型： 原量×(1＋变化率)2＝现量． 解：设平均每年增产的百分率是 x． 根据题意，得 3000(1＋x)²＝3630． 化简，得 (1＋x)²＝1.21 解这个方程，得 x1＝0.1＝10%， x2＝－2.1 (不合题意，舍去)． 答：平均每年增产的百分率是 10%． 例题讲解 例3 如图，海关缉私人员驾艇在 C 处发现正北方向 30 km 的 A 处有一艘可疑船只，并测得它正以 60 km/h 的速度向正东方向航行，缉私艇随即以 75 km/h 的速度沿直线行驶，在 B 处将可疑船只拦截．缉私艇从 C 处到 B 处需航行多长时间？ A C B 北 30km 60km/h 75km/h 分析：① 设缉私艇从C到B需航行 x h，则BC的长度为多少？ ② 同一段时间内，可疑船只从A到B航行了多少？ ③ 观察△ABC,这是什么三角形？三边之间有什么关系？ 75x km 60x km 例题讲解 例3 如图，海关缉私人员驾艇在 C 处发现正北方向 30 km 的 A 处有一艘可疑船只，并测得它正以 60 km/h 的速度向正东方向航行，缉私艇随即以 75 km/h 的速度沿直线行驶，在 B 处将可疑船只拦截．缉私艇从 C 处到 B 处需航行多长时间？ A C B 北 30km 60km/h 75km/h 75x km 60x km 解：设缉私艇从C处到B处需航行 x h． 根据题意，得△ABC是直角三角形，AC=30km， AB＝60x km，BC＝75x km． 于是 (60x)2＋ 302 ＝(75x)2． 解这个方程，得 x1＝，x2＝－(不合题意，舍去)． 答：缉私艇从C处到B处需航行 h ． 讨论交流 解决动态运动问题的基本步骤是什么？ (1) 画图标注：画出运动过程中的关键状态图，标注所有已知量和含未知数的代数式； (2) 化动为静：分析运动过程中的不变量，将动态问题转化为静态几何关系； (3) 寻找定理：根据图形特征选择几何定理（如勾股定理），建立方程； (4) 双重检验：既要检验方程解是否为实数且为正，还要检验是否满足几何条件． 新知巩固 1．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝7，BC＝2，点 P 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 移动．点 P 出发几秒后，点 P，A 的距离是点 P，C 的距离的 2 倍？ A B C D P 解：设点P出发 x s后，点 P、A 的距离是点 P、C 的距离的 2 倍． 根据题意，得 x2＝4[(7－x)2＋(2)2] 解这个方程，得x1＝6，x2＝≈12.67＞7 (超出范围，舍去)． 答：点P出发 6s 后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍． 7 2 1 个单位长度/s 新知巩固 2．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远？ 解：设经 x 秒二人在 B 处相遇，这时 乙共行走：AB＝3x，甲共行走：AC＋BC＝7x， ∵ AC＝10，∴ BC＝7x－10， 又∵ ∠A＝90°，∴ BC2＝AC2＋AB2， ∴ (7x－10)2＝102＋(3x)2， 解得：x＝0（舍去）或 x＝3.5， ∴ AB＝3x＝10.5，AC＋BC＝7x＝24.5. 答：相遇时甲走了24.5步. 思维提升 如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）． (1) 当 t 为何值时，△PAQ为等腰三角形？ 6cm 4cm 1cm/s 2cm/s 解：(1) 根据题意，得AQ＝t cm，BP＝2t cm，AP＝(6－2t)cm， ∵ △PAQ为等腰三角形，∠A＝90°， ∴ AQ＝AP，即 t＝6－2t， 解得：t＝2， 答：当t＝2时，△PAQ为等腰三角形． 思维提升 如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）． (2) 当 t 为何值时，△APD的面积为 6 cm2？ 解：(2) ∵ S△APD＝ AD·AP＝×4×(6－2t)＝(12－4t) (cm2)， ∴ 12－4t＝6，解得：t＝， 答：当 t＝ 时，△APD的面积为6 cm2． 6cm 4cm 1cm/s 2cm/s 思维提升 如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）． (3) 五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能， 请求出 t 的值；若不能，请说明理由． 解：(3) ∵S五边形PBCDQ＝S矩形ABCD－S△APQ＝6×4－ t (6－2t) ＝(24－3t＋t2)（cm2）， ∴ 24－3t＋t2＝20，整理得：t2－3t＋4＝0， ∵ Δ＝(－3)2－4×1×4＝－7＜0，∴该方程没有实数根， 答： 五边形PBCDQ的面积不能达到20cm2． 6cm 4cm 1cm/s 2cm/s 思维提升 如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）． (4) 当 t 为何值时，P、Q两点之间的距离为cm？ 6cm 4cm 1cm/s 2cm/s 解：(4) 在Rt△APQ中，， 根据题意，得 ， 化简，得：5t2－24t＋16＝0，解得：t1＝4，t2＝， ∵ 6÷2＝3，4÷1＝4，∴ 0≤t≤3，∴ t＝． 答：当 t 为h，P、Q两点之间的距离为cm． 课堂小结 2.4 用一元二次方程解决问题（2） 一般步骤：审题→设元→列方程→解方程→检验根的实际意义→作答 两类模型：① 连续两次平均增长率(降低率)：a (1±x) 2＝b； ②动态运动问题：画图标注 → 化动为静 → 寻找定理 → 双重检验 易错提醒：负根、超范围根、百分率大于 1 舍去 感谢聆听！ $