湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 雅礼中学高一数学期末卷立足核心知识，通过分层设计（如立体几何翻折问题、统计与概率综合题）考查空间观念、数据意识和推理能力，适配高一学段能力发展需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、立体几何|基础概念辨析，如第3题充要条件判断| |多选题|3/18|三角函数、概率|多维度能力考查，如第10题事件独立性分析| |填空题|3/15|数据分位数、函数周期|结合应用情境，如第12题70%分位数计算| |解答题|5/77|三角函数、解三角形、统计、立体几何|综合性强，如19题翻折问题考查空间观念与创新意识，17题统计与概率结合体现数据意识|

雅礼中学2026年上学期期末考试试卷 高一数学 时间：120分钟 分值: 150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合A={x|x≥1}, B={x|-1<x<2}, 则A∩B= ( ) A. {x|x>-1} B. {x|x≥1} C. {x|-1<x<1} D. {x|1≤x<2} 2. 复数z满足z(1-i)=1+i, 则|z|= ( ) A. i B. 1 C. D. 2 3. 已知直线m和平面α,β,若m⊂α, 则“α⊥β”是“m⊥β”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.如图所示，在四面体A-BCD中，点E是CD的中点，记 则 5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=5,C=60°,且△ABC的面积为5 ，则△ABC的周长为( ) 6.已知单位向量，满足 则向量在向量上的投影向量为( ) 7. 已知等腰梯形ABCD, AB=2, CD=6, 圆O为梯形ABCD的内切圆, 并与AB, CD分别切于点E，F，如图所示，以EF所在的直线为轴，圆O旋转一周形成的曲面围成的几何体体积为V，则V 的值为( ) A. 12π B. C. D. 8. 如图, 四边形ABCD, BC=CD=1,将△ABD沿BD折起,当二面角A-BD-C的值属于区间 时，直线AB和CD所成角为α，则cosα的最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数 则 A. f(x)的最小正周期为2π B. 若f(θ)=2, 则 C. f(x)在区间[0, ]上单调递增 D. f(x)的图象关于点()中心对称 10.在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件A=“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件B=“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件C=“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是( B.事件A与事件B相互独立 D.事件B与事件C为互斥事件 11.如图，在长方体 中，AB=2, ，动点M在体对角线 (含端点)上，则下列结论正确的是( ) A.当点M为 的中点时， 为钝角 B. 当点M为 的中点时，四棱锥 的外接球的表面积为 C.存在点M，使得 平面 D.直线BM与平面 所成角的最大正切值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将10个数据按照从小到大的顺序排列如下: 7, 8, 13, 15, 17, 18, 18,a, 25, 27,若该组数据的70%分位数是19，则a= . 13.已知f(x)的定义域为R,周期为4,当x∈[0,4)时, ,则f(2027)= . 14.如图,DE是边长为2 的正三角形ABC的一条中位线，将△ADE沿DE翻折至 当三棱锥 的体积最大时，四棱锥 外接球的表面积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13分) 已知函数 (1)求 的值与求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)在区间 上的最大值及相应的x的值. 16.(15分) 在△ABC中, 角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若acosB+bcosA=2ccosA. (1)求A的大小; (2)若a=7,b+c=13, 求△ABC的面积. 17.(15分) 某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间, 将数据按照[50,60), [60,70), [70,80), [80,90),[90，100]的分组作出频率分布直方图如图所示. (1)求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的中位数(保留1位小数)； (2)若按照分层随机抽样从成绩在[80，90)，[90，100]的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的成绩在[90，100]内的概率. 18. (17分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA=PD=4, 底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD, AB∥DC, AD=DC=2AB=4. (1)求证: 平面PAD⊥平面ABCD. (2)求证: PC⊥BD; (3)求平面 PAD与平面PBC 所成锐二面角的正切值. 19.(17分) 在梯形ABCD中, AB∥CD, AB=2AD=2CD=4,P为AB的中点,线段AC与DP交于O点(如图1)将△ACD沿AC折起到△ACD'位置,使得平面D'AC⊥平面BAC (如图2). (1)求证: BC∥平面POD'; (2)求二面角C-AB-D'的余弦值； (3)线段PD'上是否存在点 Q，使得CQ与平面BCD'所成角的余弦值为 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $